Analytische Eigenschaften des Hindernisproblems. Die Penalty-Methode und die duale Formulierung

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . 1

1 Mathematische Modellierung . . 3

2 Analytische Eigenschaften . . 5

2.1 Schwache Formulierung und Energiefunktional . . 5

2.2 Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Losung . . 6

2.3 Aquivalente Formulierungen . . 10

2.3.1 Variationsungleichung . . 10

2.3.2 Lagrange-Multiplikator . . 11

2.4 Regularitat der schwachen Losung . . 16

3 Penalty-Methode . . 23

3.1 Problemformulierung . . 23

3.2 Nichtkonforme Bestrafung . . 24

3.3 Konforme Bestrafung . . 28

4 Duale Formulierung 33

4.1 Herleitung . . 33

4.2 Starke Dualitat . . 36

A Notationen . . 39

B Hilfsaussagen . . 41

B.1 Differentiation in Banachraumen . . 41

B.2 Die Direkte Methode der Variationsrechnung . . 42

B.3 Funktionalanalytische Grundlagen . . 43

B.4 Frechet-Differenzierbarkeit des Funktionals I . . 45

B.5 Majorisierte Konvergenz . . 46

B.5.1 Rechnungen zu Satz 3.2.1 . . 46

B.5.2 Rechnungen zu Satz 3.3.1 . . 46

B.6 Duale Formulierung: Maximierung . . 47

Literaturverzeichnis . . 49

Zusammenfassung . . 51

Einleitung

Das sogenannte Hindernisproblem (engl. obstacle problem) wird oft als klassisches Motivationsproblem im Bereich der Variationsungleichungen sowie der freien Randwerte angesehen. Die Grundidee besteht darin, den Gleichgewichtszustand einer elastischen Membran, welche an einem Teil des Ran-des fest fixiert ist und die einer Nebenbedingung genügt, zu finden.

Erste Untersuchungen des Problems begannen in den 1960er Jahren. Hier waren besonders die Errungenschaften von Guido Stampacchia, Hans Lewy sowie Jacques-Louis Lions wegweisend und brachten Fortschritte in der Entwicklung der Theorie der Variationsrechnung. Erst später begann die Diskussion um sogenannte freie Randwertprobleme - Probleme, bei denen der Rand eines Gebietes a priori unbekannt ist.

In dieser Arbeit soll zum Einen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Hindernisproblems behandelt werden, zum Anderen soll der Zusammenhang zwischen der Darstellung des Problems als Minimierungsproblem mit der Formulierung als Variationsungleichung deutlich gemacht werden. Wiederholte Anwendung der Variationsungleichung in verschiedenen Beweisen macht deren großen Nutzen ersichtlich.

Besondere Geltung wird auch dem freien Rand, welcher die Kontaktzone von deren Komplement trennt, zugesprochen. Eine solche Unterteilung des zugrunde liegenden Gebietes ist maßgeblich für verschiedene Resultate.

Zunächst wollen wir im ersten Kapitel dieser Arbeit das Hindernisproblem anschaulich mit Hilfe physikalischer Überlegungen als Minimierungsproblem modellieren. Dabei werden wir ein Funktional herleiten, welches auf einem unendlich-dimensionalen Raum minimiert werden soll.

Die analytischen Eigenschaften des Problems werden im nächsten Kapitel behandelt. Schwerpunkt stellt vor allem der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung dar, welchen wir ausführlich diskutieren werden. Neben der Formulierung als Minimierungsproblem werden alternative Darstellungen hergeleitet, darunter insbesondere auch die Variationsungleichung. Desweiteren wird die Regularität der schwachen Lösung thematisiert und die erlangten Resultate anhand eines Beispiels verdeutlicht.

Im dritten Kapitel beschäftigen wir uns mit der sogenannten Penalty-Methode, welche approximativ schwache Lösungen liefern soll. Hierbei betrachten wir zwei Typen der Penalty-Methode: die nichtkonforme und die konforme Bestrafung. In beiden Fällen geben wir eine Fehlerabschätzung für die Differenz der schwachen Lösung des Problems und der approximativen Lösung an und wollen diskutieren, inwiefern die approximative Lösung gegen die eigentliche Lösung des Minimierungsproblems konvergiert.

Eine Diskussion der dualen Formulierung soll im abschließenden Kapitel dieser Arbeit behandelt werden. Auch hier wird zunächst eine Herleitung der Formulierung erfolgen, um daraus die starke Dualität, welche unter bestimmten Bedingungen gegeben ist, zu beweisen.

Einige Notationen, Hilfsaussagen und Ergänzungen sind im Anhang zu finden.

Kapitel 1

Mathematische Modellierung

Gegenstand des Hindernisproblems ist die Deformation einer elastischen Membran, welche an einem Teil des Randes eingespannt und deren mögliche Position durch ein Hindernis eingeschränkt ist.

In diesem Kapitel wollen wir das Problem zunächst im Eindimensionalen mathematisch als Minimierungsproblem modellieren. Anschaulich können wir uns dabei die Verformung eines Seils aus gummiartigem Material der Länge L vorstellen, welches an beiden Enden in horizontaler Lage fest verankert ist und aufgrund äußerer Krafteinwirkungen vertikal in Richtung eines Hindernisses de-formiert wird. Das Seil trifft unter Umständen auf das Hindernis auf, passt sich gegebenenfalls der Form des Hindernisses an und nimmt einen Gleichgewichtszustand ein, bei dem die Länge minimal wird.

Die nachfolgende mathematische Modellierung richtet sich nach [EGK11, Kapitel 7], [Kas06] sowie [Sta07].

Sei zunächst

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

ein beschränktes Gebiet, χ : Ω → R eine Hindernisfunktion mit

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

Die Funktion u : Ω → R beschreibe die neue Position des elastischen Seils in jedem Punkt

[Intervall nicht in dieser Leseprobe enthalten]

wobei wir idealisierend annehmen, dass die Deformation des Seils nur in vertikaler Richtung vorliegt (vgl. [Rin06]).

Das Seil sei am kompletten Rand ∂Ω auf Höhe 0 fest eingespannt und kann das Hindernis nicht durchdringen. Es gilt demnach

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

Desweiteren beschreibe f : Ω → R eine äußere Kraft, welche in vertikaler Richtung auf das Seil wirkt.

Durch das Funktional

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

ist die Länge des verformten Seils beschrieben. Die Deformation des Seils benötigt Energie, welche im Material in Form von potentieller Energie gespeichert ist. Wir setzen voraus, dass die potentielle Energie des verformten Seils mit Konstante 1 proportional zur Änderung der Länge ist, es gilt also

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

Da wir lediglich Situationen betrachten wollen, in denen nur kleine Auslenkungen erwartet werden, das heißt

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

und Terme höherer Ordnung vernachlässigen, lässt sich der Integrand des ersten Integrals mittels Taylor-Linearisierung durch

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

approximieren.

[…]