Zusammenfassung Stochastik II mit Beispielen

Stochastik II

Umkehrung eines Baumdiagramms

Bei der Umkehrung eines Baumdiagramms sollte man zuerst zum gegebenen Baumdiagramm eine Vierfeldertafel aufstellen, um daraus dann die benötigten Anteile für das umgekehrte Baumdiagramm abzulesen bzw. zu berechnen.

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Die schwarzen Angaben (x) im Baumdiagramm sind der Quotient aus dem Anteil des jeweiligen Pfades am Ende (a) und den ersten Anteilen zu Beginn des jeweiligen Pfades (b).

Bsp.: (erster Pfad aus (2)) allg.:

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Beim Ablesen von Wahrscheinlichkeiten (Anteilen) aus Mehrfelderdiagrammen stellt man immer Bedingungen für diese Wahrscheinlichkeiten. Dabei unterscheidet man im großen und ganzen zwischen drei „Arten“ von Anteilen:

1. Anteile mit einer Bedingung aus der Gesamtmenge

z.B.: (s. Vierfelderdiagramm oben)

-der Anteil an Verkehrsunfällen in Ostdeutschland [Westdeutschland] beträgt 12,7% [87,3%] der Gesamtmenge aller Unfälle in Deutschland
-der Anteil an Verkehrsunfällen mit [ohne] tödlichem Ausgang in ganz Deutschland beträgt 2,5% [97,5%] der Gesamtmenge aller Unfälle in Deutschland

2. Anteile mit zwei Bedingungen aus der Gesamtmenge

z.B.:

-der Anteil an Verkehrsunfällen, die sich in Ostdeutschland [Westdeutschland] ereigneten und tödlichen Ausgang nahmen, liegt bei 0,7% [1,8%] der Gesamtmenge aller Unfälle in Deutschland
-der Anteil an Verkehrsunfällen, die sich in Ostdeutschland [Westdeutschland] ereigneten und keinen tödlichen Ausgang, nahmen liegt bei 12,0% [85,5%] der Gesamtmenge aller Unfälle in Deutschland

3. Anteile mit einer Bedingung aus einer Menge mit einer Bedingung

z.B:

-der Anteil an Unfällen mit [ohne] tödlichem Ausgang liegt bei 5,5% [94,5%] der Menge aller Unfälle in Ostdeutschland
-der Anteil an Unfällen mit [ohne] tödlichem Ausgang liegt bei 2,1% [97,9%] der Menge aller Unfälle in Westdeutschland

Diese Werte sind die Teilanteile (schwarz) aus den zweiten Baumdiagramm oben. Er wird errechnet in dem man den Wert aus dem Mehrfelderdiagramm, der beide Bedingungen (die für den Anteil und die für die Menge) durch den gesamt Wert der Menge teilt. (Bsp. s. oben)

Bayessche Regel

Regel für die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten, nach dem englischen Mathematiker Thomas BAYES (1702-1761):

Bayessche Regel

Sei A ein Ergebnis, das uns interessiert, und B die Bedingung, unter der wir den Vorgang betrachten.

Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit PB (A) für A unter der Bedingung B berechnet sich wie folgt:

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Aufgaben

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c) (alle Ergebnisse lassen sich aus den Diagrammen ablesen und sind darum nicht näher erläutert)

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(alle Werte beider Aufgaben sind, wie auch die Beispiele im Buch, auf eine Nachkommastelle gerundet)