Die Chaos-Theorie

Was ist Chaos?

Das Wort Chaos kommt aus dem Griechischen und ist das Gegenteil von Kosmos es bezeichnete bei den griechischen Philosophen den ungeordneten Stoff vor der Entstehung unserer übersichtlichen Welt Chaos heißt nicht gleich unordentlich und wild , sondern es geht dabei darum wie sich Systeme verhalten. Als System kann z.B.: ein Pendel, ein springender Ball oder das Sonnensystem angesehen werden. Bevor es die Chaos-Theorie gab nahm man an alle Systeme würden sich auf eine von zwei Arten verhalten. Entweder sie bleiben eventuell stehen und halten diesen Zustand bei (ein hüpfender Ball der zum stehen kommt) oder sie würden sich andauernd zwischen einigen Orten hin und her bewegen.

Als Beispiel nimmt man ein Pendel. Auf der Erde würde es durch die Reibung und die Gravitation nach einiger Zeit stehen bleiben, wenn man es aber in den Weltraum bringt würde es sich andauernd drehen. Was hat dies nun mit der Chaos-Theorie zu tun?

Chaotische Systeme verhalten sich nicht nach diesen zwei annahmen. Sie wiederholen sich nicht und sie bleiben nicht auf einem Punkt stehen.

Ein weiterer Punkt der Chaos-Theorie ist das der momentane Zustand eine große Auswirkung darauf hat, wie sich ein System verhält.

Wenn man ein nicht-chaotisches System wie ein Ball nimmt und ihn irgendwo hinunterwirft so wird er zurückspringen aber keinesfalls die gleiche Höhe erreichen. Wenn man nun aber ein chaotisches System nimmt und den Momentanzustand ändert, so kann das Ergebnis vollkommen unvorhersagbar sein.

Geschichte der Chaos- Theorie:

Henri Poincaré (1854-1912) war anderer Meinung. Er meinte, daß kleine und unsichtbare Ursachen beachtliche Effekte bewirken können, die wir nicht mehr übersehen können. Poincaré lehrte, daß wir die Dinge dieser Welt niemals genau genug messen können um die Zukunft sicher vorhersagen zu können.

Wir sprechen dann von zufälligen Entwicklungen, obwohl gar kein Zufall wirkt sondern nur eine unbekannte Zahl nicht genau meßbarer Kräfte.

Edward Lorenz, Attraktor

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Attraktoren:

Der Meteorologe Edward Lorenz wollte mit seinem Differentialgleichungssystem eine Wetterentwicklung beschreiben. Hier und auch in vielen anderen "dynamischen Systemen" wird eigentlich das Verhalten im "Phasenraum" beschrieben. Den Phasenraum kann man sich als eine Menge vorstellen, welche alle Zustände umfaßt, die ein bestimmtes dynamisches System theoretisch einnehmen könnte. Die Koordinatenachsen des Phasenraumes bedeuten dann physikalische Größen, wie Druck, Temperatur, Die ersten Untersuchungen von Lorenz liegen schon vergleichsweise lange (nämlich 1961) zurück. Seine Entdeckung war für die anderen Meteorologen zu mathematisch, und die Mathematiker lasen keine meteorologischen Fachzeitschriften. Erst als in den achtziger Jahren die Kenntnis chaotischer Zusammenhänge wuchs, kam seine Entdeckung zu Ehren.

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Durch einen Attraktor lässt sich die Entwicklung eines zugehörigen dynamischen Systems (z.B. Populationen, Wirtschaftsprozesse,...)unter Beibehaltung der Anfangbedingungen in Abhängigkeit von der Zeit darstellen. Attraktoren beschreiben sowohl die Lage eines Punkts im Raum, als auch den Betrag und die Richtung seiner Bewegung.(Phasenraum).

Es gibt vier Stufen von Attraktoren:

Die ersten beiden sind in der Phasenebene (zweidimensional), die beiden letzten im Phasenraum (dreidimensional) Fixpunktattraktoren ( Darstellung durch Spirale): das dynamische System nähert sich einem Punkt an.

Zyklische Attraktoren ( Darstellung durch Ellipse): das dynamische System nähert sich einem Grenzzyklus an und ist periodisch.

Torus-Attraktoren (Darstellung durch Torus): das dynamische System nähert sich einem Torus an und verhält sich quasi-periodisch, da zwei unabhängige zweidimensionale dynamische Systeme Ausgangspunkt des Attraktors sind.

Chaotische (seltsame) Attraktoren: ist der sogenannte Lorenz-Attraktor, durch den der Schmetterlingseffekt berühmt wurde. Bei diesem kann eine minimale Änderung in den Anfangsbedingungen eines Systems zur völligen Unvorhersagbarkeit des Verhaltens führen. Es scheint so, daß nicht nur thermodynamische Systeme Attraktoren besitzen, sondern auch soziale Systeme wie unsere Gesellschaft oder die Weltwirtschaft. Dort können Attraktoren als erfolgreiche Muster im Sinne von Märkten aufgefaßt werden, auf die sich Systeme im Laufe der Zeit zubewegen

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Benoit Mendelbrot (1924)

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Mandelbrot wurde 1924 in Warschau/Polen geboren. Er verfügte über die Gabe mathematische Probleme auf leichteste Weise geometrisch zu lösen. Einer seiner Lehrer war Gaston Julia, der sich bereits Anfang des Jahrhunderts mit dem Chaos beschäftigt hatte. Später unterrichtete Mandelbrot u.a. in Harvard (Nationalökonomie), Yale (Ingenieurswissenschaften und Psychologie) und der Einstein School of Medicine. Er arbeitete auch bei IBM, wo er die Verteilung von Einkommen untersuchte. Mandelbrot unternahm in seiner Karriere Ausflüge in alle möglichen Wissenschaften, stellte dort teils sehr gewagte Thesen und Ideen auf, die er dann jedoch unbewiesen zurückließ. Auch in der Chaosforschung schlug Mandelbrot einen neuen Weg ein, fand dabei jedoch kaum Anerkennung. Mandelbrot sagte über die Eigenwilligkeit und Brisanz seiner Ideen folgendes: "Die Wissenschaft wäre (wie der Sport) verloren, wenn sie den Wettbewerb über alles andere stellen wollte und den Regeln des Wettbewerbs gehorchte, durch allseitigen Rückzug in eng umgrenzte Spezialgebiete. Die wenigen Gelehrten, die sich als Nomaden aus Überzeugung verstehen, sind von wesentlicher Bedeutung für das Wohl der klassischen Disziplinen." Durch diese Ideen jedoch isolierte sich Mandelbrot in der Wissenschaft. Seine Anerkennung als Mathematiker wurde ihm von den meisten seiner Kollegen verwehrt. Seine Publikationen wurden oftmals nur unter der Auflage herausgebracht, daß Mandelbrot seine kühnsten Ideen zurückhalte. Trotzdem erschien Ende der 70er Jahre sein erfolgreichstes Werk: "The fractal geometry of nature".

Fraktrale:

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Das Wort Fraktal stammt aus dem lateinischen und bedeutet dort gebrochen (in der Medizin gibt es ein ähnliches Wort: Fraktur). Das Gebrochene an einem Fraktal ist dabei die Dimension. Weiterhin ist typisch für ein Fraktal, daß wenn man einen Teil vergrößert, man wieder ein Bild erhält, daß dem Gesamten ähnlich ist. Die bekanntesten Fraktral-Typen sind Julia und Mandelbrot.

Die gebrochene oder fraktrale Dimension:

Fraktrale haben eine Dimension. Ein Objekt muß nicht unbedingt ein- oder zweidimensional sein, es kann eine Dimension von 1,5; 2.81 oder 3 haben. Die Dimension einesr Fraktral ist nicht so einfach zu beschreiben. Aber wenn man annimmt das eine gerade Linie eindimensional und ein Rechteck zweidimensional ist wäre ein Objekt das eine sehr zackige und Linie (so wie die meisten Fraktralen aussehen) zwischen den beiden Dimensionen. Sie würde den Raum zwar besser ausfüllen als eine gerade Linie aber nicht so gut wie das Rechteck. Also hätte die zackige Linie die Dimension irgendwo zwischen der 1. Und 2. Dimension z.B.: 1,25.

1. Was bedeutet Chaos für die Menschheit?

Bis vor ca. einem Jahrhundert waren die Menschen davon überzeugt, daß es in wenigen Jahrzehnten gelungen sein sollte, alles auf der Welt, bis auf wenige Ausnahmen, durch Formeln darstellen lassen zu können. Diese Theorie beruhte darauf, daß man glaubte, daß nahezu alles eine gewisse Regelmäßigkeit und Berechenbarkeit besitzt. Diese Vorstellung hat sich heute grundlegend geändert. Man hat festgestellt, daß die Unordnung, sprich das Chaos, unser Leben mehr bestimmt, als wir es für möglich halten. Man geht sogar noch weiter uns sagt, daß das Berechenbare die Ausnahme im sonst vom Chaos beherrschten Universum ist. Bestes Beispiel für Chaos ist der Mensch selbst. Der Mensch verhält sich in jeder Hinsicht unberechenbar, also chaotisch. Währe es nicht so, so würde es keine Unfälle mehr geben, da Unfälle Folgen eines Verhaltens sind, daß nicht dem "normalen" entspricht. So kann es kommen, daß zwei Autos an einer Ampelkreuzung kollidieren, weil einer der Fahrer bei rot gefahren war. Das Verhalten dieses Fahrers ist somit unberechenbar also chaotisch. Mittlerweile ist aus dem Chaos eine ganze Wissenschaft geworden, die Chaost-Theorie. Mit einem der größten Wissenschaftler dieser Sparte beschäftigt sich das folgende Kapitel.