Wie kommt die Mathematik in den Kopf?

Inhalt

1 Einleitung

2 Lernen

3 Verschiedene Arten von Lerntheorien
3.1 Behavioristische Lerntheorien
3.2 Kognitivistische Lerntheorien
3.3 Konstruktivistische Lerntheorie

4 Behavioristische Lerntheorien
4.1 Die klassische Konditionierung nach Pawlow
4.2 Die operante Konditionierung nach Skinner

5 Kognitivistische Lerntheorien
5.1 Die sozial-kognitive Lerntheorie nach Bandura
5.2 Modelle der Informationsverarbeitung
5.2.1 Das Einspeichermodell nach Ebbinghausen
5.2.2 Mehrspeichermodelle und Mehrebenenmodelle

6 Konstruktivistische Lerntheorie
6.1 Überblick über die Vielfalt konstruktivistischer Sichtweisen
6.2 Der radikale Konstruktivismus
6.2.1 Die Sichtweise des metaphysischen Realismus
6.2.2 Die Sichtweise des radikaler Konstruktivismus
6.2.3 Konstruierte Wirklichkeit
6.2.4 Der Lernprozeß bei der Konstruktion einer Welt
6.3 Sozialer Konstruktivismus
6.4 Konstruktivistische Ansätze in Pädagogik und Didaktik
6.4.1 Der Glasersfeldsche Ansatz
6.4.2 Der Anchored-Instruction-Ansatz
6.4.3 Der Cognitive-Flexibility-Ansatz
6.4.4 Der Cognitive-Apprenticeship-Ansatz

7 Schluß

8 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Will man Mathematikunterricht planen, so benötigt man zunächst Informationen aus unterschiedlichen Bereichen:

- Man muß etwas über die Sache wissen, die unterrichtet wird.
- Man muß etwas über die Schüler und die Welt wissen, in der sie leben.
- Man muß etwas darüber wissen, wie Mathematikunterricht normalerweise abläuft und in welchen Kontext er eingebettet ist.¹

Auf Grund dieser Informationen kann man nun entscheiden, welche Ziele man mit dem Unterricht verfolgen will. Erst wenn diese Entscheidung getroffen ist, ist es sinn­voll, sich zu überlegen, auf welche Weise diese Ziele erreicht werden sollen.² Dazu benötigt man eine Vorstellung davon, wie Lernen eigentlich stattfindet - eine Lernthe­orie. Im folgenden will ich einen Überblick über die wichtigsten Lerntheorien geben, die sich vor allem in diesem Jahrhundert entwickelt haben. Den Schwerpunkt will ich dabei auf die Beschreibung der konstruktivistischen Lerntheorie legen. Das hat den einfachen Grund, daß sich über die “traditionellen” Lerntheorien, deren Entwicklung weitgehend abgeschlossen ist, leicht in einschlägigen Werken wie Bower / Hilgard 1983/84 oder Schermer 1998 nachlesen läßt. Im Hinblick auf den Konstruktivismus sieht die Situation ganz anders aus. Er ist auf dem Gebiet der Pädagogik und Didaktik zur Zeit zwar in Mode und wird in zahlreichen Publikationen angesprochen, allerdings scheint beinahe jeder Autor etwas anderes zu meinen, wenn er von Konstruktivismus spricht.³ Sich einen Überblick über die verschiedenen Ansätze, die sich konstruktivis­tisch nennen und ihrer Bedeutung für das Lehren und Lernen zu verschaffen, ist des­wegen nicht einfach. Ich möchte mit dieser Arbeit dem Leser eine Hilfe an die Hand geben, die es ihm erleichtert, sich in diesem schwierigen und momentan noch ständig ändernden Terrain zu orientieren.

Da das Thema dieser Arbeit Lemtheorien als Grundlage des Mathematikunterrichts sind, wird von Mathematik darin nur wenig die Rede sein. Einen direkten Bezug zwi­schen den verschiedenen Lerntheorien und dem Mathematikunterricht aufzuzeigen, hätte den Umfang dieser Arbeit bei weitem gesprengt. So muß jeder Leser diesen Schritt selbst leisten,⁴ ich hoffe aber dennoch, daß sich diese Arbeit für viele bei der Planung von Mathematikunterricht als nützlich erweisen wird.

2 Lernen

Eine allgemeine Definition des Begriffes “Lernen” zu geben ist nicht einfach, weil verschiedene lerntheoretische Traditionen unterschiedliche Dinge darunter verstehen. Unumstritten ist, daß sich beim Lernen etwas verändert und daß diese Veränderungen nicht auf Reifungsprozesse, Müdigkeit, Medikamenteneinnahme, strukturelle Verän­derungen des Gehirns oder ähnliche Einflüsse zurückführbar sein sollen. Außerdem wird allgemein gefordert, daß die Veränderungen von einer gewissen Dauerhaftigkeit sind. Keine Einigkeit besteht jedoch darüber, ob lediglich bei einer Veränderung des beobachtbaren Verhaltens von Lernen gesprochen werden soll, oder auch bei einer nicht beobachtbaren Veränderung von Verhaltensdispositionen. In diesem Fall wird oft von der Veränderung hypothetischer, das Verhalten bestimmender kognitiver Struktu­ren gesprochen. Auch in der Frage, wodurch Lernen ausgelöst wird, besteht keine Ei­nigkeit. Es gibt Lerntheorien, für die dafür eine wiederholte Erfahrung in einer ganz bestimmten Situation notwendig ist und andere, die die einmalige Beobachtung eines Geschehens dafür als ausreichend erachten.⁵ Auf diese Differenzen und ihre Konse­quenzen werde ich bei der Darstellung der einzelnen Lerntheorien noch näher einge­hen. Zunächst möchte ich zusammenfassend festhalten:

Unter Lernen versteht man

- eine Veränderung von Verhalten oder von Verhaltensdispositionen
- diese Veränderung ist relativ dauerhaft
- sie ist nicht auf Reifungsprozesse, Medikamente, Müdigkeit, strukturelle Ver­änderungen des Gehirns oder ähnliches zurückführbar
- sie wird durch Interaktionen mit der Umwelt oder durch gemachte Erfahrun­gen ausgelöst
- dabei sind unter Umständen mehrere gleichartige Interaktionen bzw. Erfah­rungen notwendig

3 Verschiedene Arten von Lerntheorien

Ausgehend von der Art und Weise, in der Lernen definiert wird, lassen sich die ver­schiedenen Lemtheorien in zwei große Gruppen einteilen.

3.1 Behavioristische Lerntheorien

Behavioristische Lerntheorien stützen sich bei ihrer Beschreibung von Lernvorgängen auf die Dinge, die tatsächlich beobachtet werden können. Das sind die beobachtbaren Reize, die von außen auf den Lernenden einwirken und die beobachtbaren Verhaltens­änderungen des Lernenden, seine Reaktionen. Was dabei im Lernenden vorgeht, wird nicht berücksichtigt, weil es nicht beobachtbar ist. Für die Behavioristen spielt sich der Lernprozeß in einer “Black Box” ab, in die man nicht hineinsehen kann. Da das engli­sche Wort für Reiz “stimulous” und das für Reaktion “response” ist, werden die beha- vioristischen Lerntheorien oft auch als S-R-Theorien bezeichnet.5⁶ Graphisch läßt sich ihr Grundprinzip folgendermaßen darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als Beispiel für die behavioristischen Lerntheorien werde ich im folgenden die Theo­rie der klassischen Konditionierung nach Pawlow und die Theorie der operanten Kon­ditionierung nach Skinner darstellen.

3.2 Kognitivistische Lerntheorien

Die kognitivistischen Lerntheorien gehen bei der Beschreibung und Erklärung von Lerntheorien über das Beobachtbare hinaus. Natürlich sind auch die kognitivistischen Lerntheoretiker keine Hellseher und wissen nicht, wie der Lernprozeß wirklich abläuft. Sie vertreten aber die Ansicht, daß es für ein Verständnis des Lernprozesses sinnvoll ist, eine kognitive Struktur des Lernenden anzunehmen, die sich im Lernprozeß verän- dert.⁷ Das obige Schema muß zur Beschreibung kognitivistischer Lerntheorien folgen­dermaßen abgeändert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Ansichten darüber, wie diese kognitivistische Strukturen aussehen, gehen bei den verschiedenen kognitivistischen Lerntheorien auseinander. Ich werde im folgenden auf die sozial-kognitive Lerntheorie von Bandura, die eine Art Bindeglied zwischen den behavioristischen und kognitivistischen Lerntheorien darstellt, und verschiedene In­formationsverarbeitungstheorien eingehen.

3.3 Konstruktivistische Lerntheorie

Eine dritte Art von Lerntheorie, die diese Zweiteilung sprengt, weil sie von einer völ­lig anderen philosophischen Grundlage ausgeht, bildet die konstruktivistische Lern­theorie. Sowohl behavioristische als auch kognitivistische Lerntheorien stützen sich auf die von Descartes populär gemachte Sichtweise, es gebe eine objektive, sowohl in ihrem Sein als auch in ihren Eigenschaften unabhängig vom denkenden Subjekt exis­tierende Welt, die aber dem Subjekt dennoch zugänglich sei.⁸ Der Konstruktivismus⁹ bestreitet das; aus konstruktivistischer Sicht stehen dem Subjekt lediglich die Sinnes­wahrnehmungen zur Verfügung, auf Grund derer es eine Welt konstruiert. Das Kon­strukt, das auf diese Weise entsteht, stellt kein Abbild der Welt dar in dem Sinne, daß es in irgendeiner Weise mit der Wirklichkeit übereinstimmt, sondern eine Anpassung an die Wirklichkeit im funktionalen Sinn.¹⁰ Geht man von dieser veränderten Grundla­ge aus, so erscheinen auch Lerntheorien in einem neuen Licht.

4 Behavioristische Lerntheorien

4.1 Die klassische Konditionierung nach Pawlow

Bei seinen Forschungen zur Verdauungsphysiologie entdeckte Iwan P. Pawlow (1846 -1936), daß bei seinen Versuchstieren der Speichelfluß bereits einsetzte, bevor ihnen tatsächlich Futter vorgesetzt wurde. Die genauere Untersuchung dieses Phänomens führte ihn zu seiner Theorie über den bedingten Reflex, die er 1903 in Madrid auf dem Internationalen Medizinischen Kongreß vorstellte. Nach Pawlow gibt es unbedingte Reize, die beruhend auf angeborenen Reiz- Reaktions-Verbindungen, zu unbedingten Reaktionen führen, z. B. stellt die Darbie­tung von Futter einen Auslöser für den Speichelfluß beim Hund dar. Wird ein neutra­ler Reiz, das heißt ein Reiz, der für sich allein nicht in der Lage ist, eine beobachtbare Reaktion auszulösen, z. B. das Läuten eine Glocke, mehrmals zusammen mit einem unbedingten Reiz dargeboten, so findet eine Koppelung zwischen unbedingtem und neutralem Reiz statt. Dadurch wird der neutrale Reiz zu einem bedingten Reiz und ist nun selbst in der Lage, den Speichelfluß beim Hund als bedingte Reaktion auszulösen. Schematisch läßt sich der Vorgang folgendermaßen darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es sind auch Konditionierungen höherer Ordnung möglich, bei denen eine Reaktion von einem bedingten Reiz auf einen weiteren bedingten Reiz übertragen wird, z. B. vom Läuten der Glocke auf ein Lichtsignal.

Die klassische Konditionierung wurde zunächst hauptsächlich an Tieren erforscht. Ihre Bedeutung für den humanen Bereich liegt vor allem in der Behandlung von Phobien, die mitunter durch Reizübertragungen entstehen und durch eine systematische Lö­schung der Koppelung geheilt werden können.¹¹ Für das Lernen im Mathematikunter­richt hat die klassische Konditionierung praktisch keine Bedeutung.

4.2 Die operante Konditionierung nach Skinner

Während die pawlowsche Lerntheorie vor allem die Beziehung zwischen einem be­stimmten Verhalten und den diesem Verhalten vorausgehenden Reizen untersuchte, stehen bei der operanten Konditionierung nach Skinner (1904-1990) die Folgen eines Verhaltens im Vordergrund. Seine Untersuchungen veröffentlichte Skinner zuerst in dem 1938 erschienen Buch “The Behavior of Organisms”. Bei seiner Analyse von Lernvorgängen unterscheidet er zwischen Antwortverhalten, das der Reaktion auf ei­nen Reiz entspricht, wie sie im Rahmen der klassischen Konditionierung beschrieben wird und Wirkverhalten, den spontan auftretenden und aktiv hervorgebrachten Reakti­onen eines Organismus (Skinner nennt sie Operants), die keinen notwendigen Bezug zu vorausgehenden Reizen erkennen lassen. Das Wirkverhalten hängt vielmehr in Häufigkeit und Intensität seines Auftretens von den auf es folgenden Konsequenzbe­dingungen ab.

Skinner untersuchte das Verhalten von Tieren, besonders von Ratten und Tauben, un­ter genau kontrollierten Bedingungen, wie sie z. B. mit Hilfe einer sogenannten Skin­ner-Box hergestellt werden können. Bei der Skinner-Box handelt es sich um einen Kä­fig, der mit einem Mechanismus zur Feststellung einer bestimmten operanten Reaktion und zur Darbietung eines Verstärkers ausgestattet ist. Dabei kann es sich beispielswei­se um eine Scheibe, die das Picken einer Taube registriert und einen Futterspender handeln.

Während der Ausgangspunkt für Pawlows Untersuchungen eine angeborene Reiz- Reaktions-Verbindung war, geht Skinner von einem konkreten, beobachtbaren und beliebigen Verhalten aus, an dem er untersucht, wie durch Verstärkung oder Bestra­fung die Wahrscheinlichkeit für das spätere Auftreten eines bestimmten Verhaltens erhöht oder vermindert werden kann. Der Schwerpunkt liegt bei Skinner also auf der Reakions-Konsequenz-Verbindung, wohingegen dem Reiz, der einer Reaktion voraus geht, nur eine Hinweisfunktion zugebilligt wird. - Er gibt dem untersuchten Organis­mus lediglich einen Hinweis darauf, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Reaktion von einer bestimmten Konsequenz gefolgt sein wird.

Als Verstärkung bezeichnet Skinner einen Reiz, der in einer zeitlichen Beziehung zu einem bestimmten Verhalten auftritt, und die Wahrscheinlichkeit für das Wiederauftre­ten desselben Verhaltens erhöht, wohingegen eine Bestrafung einen Reiz darstellt, der die Wahrscheinlichkeit für das Wiederauftreten eines bestimmten Verhaltens vermin­dert. Außerdem unterscheidet Skinner verschiedene Arten von Verstärkern:

- Positive Verstärker erhöhen durch ihre Darbietung die Auftrittswahrscheinlichkeit eines Verhaltens.
- Negative Verstärker erhöhen durch ihre Entfernung die Auftrittswahrscheinlichkeit eines Verhaltens.
- Primäre Verstärker beziehen sich auf elementare, angeborene Bedürfnisse wie Nah­rungs- und Flüssigkeitszufuhr, Schlaf, sexuellen Kontakt usw. Ihre verstärkende Wirkung ist dann am größten, wenn es dem jeweiligen Organismus an ihnen man­gelt.
- Koppelt man einen neutralen Reiz so mit einem primären Verstärker, daß auch er verstärkende Wirkung erhält, so nennt man ihn einen sekundären Verstärker.
- Ein generalisierter Verstärker ist ein Verstärker, der sich gegen verschiedene pri­märe und sekundäre Verstärker eintauschen läßt, z. B. Geld. Während das Bedürfnis nach einzelnen primären und sekundären Verstärkern oft relativ schnell gesättigt ist, tritt eine solche Sättigung bei generalisierten Verstärkern nicht auf.
- Materielle Verstärker bestehen in der Vergabe von Dingen, die ein bestimmtes Verhalten fördern.
- Soziale Verstärker drücken sich z. B. in Lob und Anerkennung aus, durch die ein Verhalten ebenfalls gefördert werden kann.
- Von verdeckten Verstärkern spricht man, wenn eine Handlung “sich selbst be­lohnt”, z. B. das Lösen einer Aufgabe in sich lustvoll ist, so daß keine sichtbare Verstärkung erfolgen muß.

[...]

¹ vgl. Ossner 1993: S. 192f

² Wobei eine Änderung der Ziele durchaus denkbar ist, wenn sich die Ziele als nicht, oder nur sehr schwer er­reichbar heraussteilen.

³ vgl. Gerstenmaier/Mandl 1995: S. 867 und Glasersfeld 1997: S. 310

⁴ Ich möchte in diesem Zusammenhang ein Buch erwähnen, auf das ich bei meiner Arbeit stieß, das ich aber leider nicht mehr bekommen konnte - es scheint mir im Rahmen dieses Themas große Relevanz zu besitzen: Steffe, L.P. (Ed.) a.o.: Theories of Mathematical Learning. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum 1996.

⁵ vgl. Gudjons 1995: S. 197f, Schermer 1998: S. 10ff und Zech 1996: S. 127f

⁶ vgl. Zech 1996: S. 141f

⁷ vgl. Zech 1996: S. 142f

⁸ vgl. Dieter 1998: S. 88

⁹ Ich beziehe mich hier auf den radikalen Konstruktivismus nach Glasersfeld. Auf die unterschiedlichen Kon­struktivistischen Denkweisen werde ich später noch eingehen.

¹⁰ vgl. Glasersfeld 1985: S. 18f

¹¹ Zum gesamten Abschnitt über die klassische Konditionierung vgl. Gudjons 1995: S. 198ff und Schermer 1998: S. 25ff