Die Dreieckspyramide mit den Eckpunkten A(0|3|-1), B(0|-3|-1), C(5|0|0), D(3|0|-4) unter den Aspekten der Entwicklungsgeschichte der Mathematik

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1. Zur Entwicklungsgeschichte der Algebra
1.1 Zur Entwicklung der allgemeinen Algebra
1.2 Zur Entwicklung der linearen Algebra

Kapitel 2. Berechungen an der gegebenen Dreieckspyramide
2.1 Ermittlung von Geraden der Dreieckspyramide
2.1.1 Errechung der Vektoren, die die Seiten der Dreieckspyramide darstellen
2.1.2 Berechung der Geradengleichungen der Kanten
2.1.3 Entwicklung der Strecken zwischen den Eckpunkten
2.1.4 Ermittlung von Dreieckshöhen
2.1.5 Errechung der Gesamtlänge der Kanten
2.1.6 Berechnung von Normalen zu den Ebenen
2.1.7 Ermittlung der Raumhöhe zur Ebene E1
2.2 Ermittlung von Ebenenen
2.2.1 Berechnung der Ebenengleichungen, die die Dreiecksflächen bilden
2.2.2 Errechung der Dreiecksflächen
2.2.3 Entwicklung der Gesamtfläche
2.3 Ermittlung der Winkel
2.3.1 Berechnung der Innenwinkel zwischen den Kanten
2.3.2 Berechnung der Winkel zwischen den Ebenen
2.4 Ermittlung von Größen der Dreieckspyramide
2.4.1 Berechung der Raumgleichung
2.4.2 Errechnung des Volumens

Kapitel 3 Sonstige Berechnungen
3.1. Berechnungen zur Beziehung von Dreieckspyramide und Koordinatensystem
3.1.1 Spurpunkte
3.1.2 Durchstoßpunkte

Kapitel 1. ù Zur Entwicklungsgeschichte der Algebra

1.1- Zur Entwicklung der allgemeinen Algebra -

Aus sehr alten Unterlagen geht hervor, dass bereits Die Ägypter und Babylonier Regelsysteme und Formelsammlungen besaßen, mit denen man z.B. Flächen berechnen konnte. Die Entwicklung dieser Möglichkeiten beruht dabei nicht auf rechtfertigende Erläuterungen, sondern aus Erfahrung.

Später finden neue Faktoren wie die ,,Vorzeichenregel" oder Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten vorwiegend in der klassischen griechischen Mathematik ihre Anwendung. Weiterführungen dieser Gedanken lassen sich jedoch erst im frühen 19. Jahrhundert erkennen.

Die Griechen unterschieden in der Mathematik zwischen Logistik¹ und Arithmetik². Seit dem hohen Mittelalter rechnen Mathematiker aus Indien und Italien mit bisher unbekannten Größen wie der Null und negativen bzw. imaginären Zahlenwerten. Besonders im Wirtschaftsleben des Mittelalters hat Spielte der Dreisatz eine bedeutende Rolle, z.B. Bei Preisberechnungen oder Umrechungen von Währungen, Gewichte usw.

Zu Beginn des 16. Jahrhunderts gelingt es Mathematikern italienischer Schulen die Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades, was der Algebra einen neuen Aufschwung verleiht. Nach anfänglichen Misstrauen und Konservatismus gegenüber den nicht

Vorstellbaren Zahlen (,,unmögliche Zahlen"vgl.Buch1 Seite 67) werden diese Werte jetzt auch in ihre Rechnungen einbezogen. Hundert Jahre später lassen sich bereits Keime der Vektorrechnung - u.a. die Vektoraddition erkennen, die zur Ermittlung von z.B.

Geschwindigkeiten benutzt wurden. In der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts Wird die Idee von Langrange, Vandermonde und Gauß Weitergeführt. Hierbei werden beim Lösen von algebraischen Gleichungssystemen Zahlen durch Variable substituiert.

Leonard Euler bietet in einem seiner Bücher um 1770 eine erste Anleitung zur Algebra.

1.2. - Zur Geschichte der linearen Algebra -

Die ersten Funde über die lineare Algebra wurde in mittelalterlichen Lehrbüchern gefunden, die u.a. den Lösungsweg des Dreisatzes anboten. Bereits die Babylonier konnten Gleichungen ersten Grades lösen.

Jedoch gaben sich Mathematiker anfangs damit zufrieden, Unbekannte zu eleminieren. Aufgaben, bei denen mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden waren, wurden nicht näher betrachtet. Fermat klassifiziert die Gleichungen nach Höhe des Grades; eine Funktion ersten Grades ist so z.B. eine Gerade, eine Funktion zweiten Grades eine Kurve usw. Weiterhin entwickeln Mathematiker wie z.B. C.F. Gauß die Lösung von Berechungen von Punkten, Graden, Flächen (Orte) und Räume.

Gleichungen ersten Grades werden dabei anfangs außer Acht gelassen; man wendet sich eher den Differenzialgleichungen zu.

In der analytischen Betrachtung des gegebenen Körpers Werde ich verschiedene Berechnungen vornehmen.

Ich habe diese Berechnungen in fünf Abschnitte unterteilt. Der erste Teil beinhaltet die Errechnung Von Geraden und Strecken. Als nächstes wende ich mich Flächen und Ebenen zu. Der dritte Abschnitt umfasst Die Berechnung einiger Winkel zwischen den zuvor berechneten Kanten und Ebenen. Anschließend werde Ich Raumgrößen wie das Volumen ermitteln.

Beenden werde ich die Analyse der Dreieckspyramide mit der Errechnung des Verhältnisses zwischen Körper Und Koordinatensystem.

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Umdefinierung:

Weil es mir nicht möglich ist, einem Vektor, der über zwei oder mehr Ziffern ausgedrückt wird, einen Pfeil zuzufügen, werde ich die oben aufgeführten Vektoren umdefinieren.

Kapitel 2 -Berechungen an der gegebenen Dreieckspyramide-

2.1. Ermittlung von Geraden der Dreieckspyramide

2.1.1. Errechnung der Vektoren, die die Seiten der Dreieckspyramide darstellen

Als erstes berechne ich die Vektoren, die die Eckpunkte der Dreieckspyramide untereinander verbinden. Sie liegen praktisch auf den Kanten des Körpers. Alle weiteren Berechnungen basieren auf Diese Vektoren. Man erhält sie, wenn man den Ortsvektor des Endpunkts vom Ortsvektor des Startpunktes subtrahiert.

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Definitionen:

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2.1.2 Berechnung der Geradengleichungen der Kanten

Als nächsten Schritt stelle ich die Geradengleichungen auf. Sie bestehen aus den Ortsvektoren, die praktisch den Startpunkt der Geraden bilden, einer Variablen(t), die die Gerade Beliebig dehnt, und den Richtungsvektoren, die, wie Der Name bereits sagt, die Richtung angibt. Mit Diesen Geradengleichungen kann man später die Spurpunkte bestimmen.

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2.1.3 Entwicklung der Strecken zwischen den Eckpunkten

Die Strecken stehen für die Abstände zweier Punkte. Sie werden aus rationalen Zahlen, und einer Entfernungseinheit (hier Streckeneinheiten SE) gebildet. Ich erhalte sie, wenn ich die unter 2.1.1 berechneten Vektoren betrage. Die Strecken benötige ich später für die Berechung der Kantenlängen und des Flächeninhaltes der Dreiecke.

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2.1.4 Ermittlung von Dreieckshöhen

Zusätzlich zu den Strecken, die die Kanten beschreiben, benötige ich die Höhen der Dreiecke Für die Berechnung der Flächen. Sie bilden den Abstand zwischen einer Dreiecksseite und dem gegenüberliegenden Punkt. Statt drei berechne ich Nur eine Höhe je Dreieck, weil ich weitere Höhen Nicht benötige.

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2.1.5 Errechung der Gesamtkantenlänge der Pyramide

Die Gesamtkantenlänge der Dreieckspyramide ergibt Sich aus der Addition der einzelnen Strecken. Sie Trägt zwar für weitere Berechnungen keine Rolle, jedoch ist sie von Bedeutung, wenn man den Körper plastisch erzeugen möchte.

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2.1.6 Berechung der Normalen zu den Ebenen

Ein wichtiger Punkt meiner Analyse ist die Berechnung Der Normalen zu den Ebenen. Normale sind den Ebenen orthogonale Geraden, mit denen sich u.a. der Winkel zweier Ebenen oder die Raumhöhen entwickeln lassen.

Die Normalen erhalte ich, indem ich die beiden Richtungsvektoren einer Ebene mit einem n- Vektor³ multipliziere. Der so erhaltene n-Vektor ist gleichzeitig der Normalenvektor der Ebene.

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Definition:

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2.1.7 Ermittlung der Raumhöhe zur Ebene E1

Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, benötigt man - neben einer Dreiecksfläche - auch die dazu Gehörige Raumhöhe. Diese Höhe entwickelt man, indem Man die Normalengleichung N1 der Ebene E1 gleichsetzt. Anschließend subtrahiert man den gegenüberliegenden Ortsvektor (hier von Punkt D) Vom ermittelten Schnittpunkt.

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2.2. Ermittlung von Ebenen

2.2.1 Berechnung der Ebenengleichung, die die Dreiecksflächen bilden

Die Ebenengleichung werden aus einem Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen, sowie zwei Variablen gebildet. Mit Hilfe der Ebenengleichungen kann man die Normalen der Ebenen ermitteln.

Definitionen: E₁ = Dreieck ABC

E₂ = Dreieck ABD

E₃ = Dreieck ACD

E₃ = Dreieck BCD

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2.2.2 Errechnung der Dreiecksflächen

Ein weiterer interessanter Gesichtspunkt ist die Entwicklung der Flächen der Dreiecke. Man ermittelt Sie, indem man eine Grundseite mit der dazugehörigen Höhe multipliziert und durch 2 dividiert.

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2.2.3 Entwicklung der Gesamtfläche

Ähnlich wie die Gesamtkantenlänge ist auch die Oberfläche ein wichtiger Faktor, der benötigt wird, um sich den Körper gut vorstellen zu können.

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2.3 Ermittlung der Winkel

2.3.1 Berechnung der Innenwinkel zwischen den Kanten

Um die Dreieckshöhen berechnen zu können, benötigt man die Innenwinkel zwischen den Kanten, die über den Cosinussatz ermittelt werden.

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2.3.2 Berechnung der der Winkel zwischen den Ebenen

Neben den Winkel zwischen den Kanten kann man auch Den Winkel zwischen den Ebenen berechnen. Dies wird erreicht, wenn man den Winkel der Normalen dieser Ebenen ermittelt.

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2.4 Ermittlung von Größen der Dreickspyramide

2.4.1 Berechnung der Raumgleichung

Ähnlich wie die Ebenengleichung die Ebene aufspannt, kann man den Raum mit Hilfe der Raumgleichung definieren. Sie besteht aus einem Ortsvekor und drei Richtungsvektoren, die wiederum durch Variable bestimmt werden.

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2.4.2 Errechung des Volumens

Eine der wichtigsten Größen geometrischer Körper ist Das Volumen. Im Zusammenhang mit der Oberfläche Steht es für die Größe bzw. Inhalt.

Das Volumen berechnet sich, indem man eine Grundfläche mit der dazugehörigen Raumhöhe multipliziert und anschließend durch 3 dividiert.

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Kapitel 3 Sonstige Berechnungen

3.1. Berechnungen zur Beziehung von Dreieckspyramide und Koordinatensystem

3.1.1 Spurpunkte

Spurpunkte geben die Lagebeziehung eines Körpers Im Koordinatensystem wieder. Sie stehen für die Schnittpunkte einer Koordinatenebene und einer Geraden.

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3.1.2 Durchstoßpunkte zur Ebene 1

Anders als die Spurpunkte sind die Durchstoßpunkte Die Schnittpunkte der Körperebenen und den Koordinatenachsen. Sie geben ebenfalls die Beziehung

Zwischen Dreieckspyramide und Koordinatensystem wieder. Man erhält sie, indem man eine Ebene einer

Koordinatenachse gleichsetzt.

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Literaturverzeichnis:

Vandenhoeck & Ruprecht : ,,Elemente der Mathematikgeschichte"

Tropfke: ,,Geschichte der Elementarmathematik"

Schülererklärung

Hiermit erkläre ich, daß ich die vorliegende Facharbeit selbstständig angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlichgemacht habe.

Dierk Dubbels (Verfasser)

1 Logistik=Lehre vom Rechnen
2 Arithmetik=Zahlentheorie

n-Vektor mulipliziert mit Richtungsvektor = 0