Darstellung und Prüfung des ontologischen Gottesbeweises von Kurt Gödel auf Basis logischer Grundlagen

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Darstellung der Theorie
2.1 Historische Einordnung
2.2 Der ontologische Gottesbeweis von Kurt Gödel
2.3 Allgemeine logische Grundlagen
2.3.1 Modallogische Grundlagen und Schlussregeln
2.3.2 System S5

3 Prüfung der Gültigkeit des ontologischen Gottesbeweises
3.1 Gödels ontologischer Gottesbeweis in modallogischer Form
3.2 Teilbeweis 1 - Theorem 1
3.3 Teilbeweis 2 - Theorem 2
3.4 Teilbeweis 3 - Theorem 3

4. Bewertung und Folgen für das Argument
4.1 Modal collapse: Fallen die Modalitäten zusammen?
4.2 Ist die Verwendung des S5 Axioms anmessen?
4.3 Wurde „Göttlichkeit“ bewiesen?
4.4 Sind die Axiome zu stark?

5 Fazit

Literatur

1. Einleitung

Der Nachweis der Existenz Gottes ist seit Jahrhunderten fester Bestandteil der Philosophie. Sogenannte Gottesbeweise, die die Existenz (eines) Gottes zu beweisen versuchen, gibt es in verschiedenen Ausführungen, die jeweils von unterschiedlichen Prämissen ausgehen. Dies ist abhängig von der Epoche, in der sie aufgestellt wurden. Erst in der frühen Neuzeit und der deutschen Aufklärung nahm die Bedeutung der Gottesbeweise zu und wurde schlussendlich zu einer eigenständigen Disziplin. In dieser Arbeit soll der ontologische Gottesbeweis von Kurt Gödel vorgestellt werden, der einer der neueren Gottesbeweise darstellt. Dieser wird zunächst historisch eingeordnet und in Verbindung zu anderen Arten von Gottesbeweisen gesetzt, bevor er im nächsten Schritt logisch nachvollzogen und geprüft wird. Zum Ende wird das Argument Gödels hinsichtlich seiner logischen Gültigkeit und inhaltlichen Schlüssigkeit bewertet.

2. Darstellung der Theorie

2.1 Historische Einordnung

Unter Gottesbeweisen werden Argumente verstanden, die versuchen, die Existenz (eines) Gottes zu beweisen (Röd, 1994). Je nach Epoche gab es verschiedene Ansätze und Prämissen, die Existenz eines Gottes zu beweisen. Im christlichen Mittelalter wurde die Existenz eines Gottes nicht ernsthaft bezweifelt. Erst in der frühen Neuzeit nahm die kritische Auseinandersetzung mit Gottesbeweisen zu (Röd, 1994). Die Einteilung der klassischen Gottesbeweise geht auf Kant zurück, der diese in seiner Arbeit „Kritik der reinen Vernunft“ in drei grundlegende Beweisarten unterteilt: In ontologische, kosmologische und teleologische Gottesbeweise (Höffe, 2004). Während kosmologische Gottesbeweise von der Tatsache ausgehen, dass überhaupt irgendetwas existiert, gehen teleologische Gottesbeweise von dem Faktum aus, dass unser Universum und somit auch unsere Welt eine gewisse Ordnung aufweisen. Ontologische Gottesbeweise (Ontologie: Lehre vom Sein) hingegen schlussfolgern aufgrund des bloßen Gedankens an die Existenz eines „Gottes“, d.h. a priori, auf dessen reale Existenz und setzen somit keine Erfahrungstatsache voraus (Mackie & Ginters, 2013). Das erste ontologische Argument geht dabei wohl auf Anselm von Canterbury (1033-1109) zurück, der in der Darstellung des Arguments in seinem Werk „Proslogion“ allein von dem Begriff Gottes ausgeht. Laut Anselm sei Gott etwas, über dem nichts größeres gedacht werden könne (Anselm von Canterbury, 1961). Die genaue Struktur des Arguments soll an dieser Stelle nicht weiter betrachtet werden. Ein weiterer ontologischer Gottesbeweis wurde von Leibniz aufgestellt. Dieser besteht aus zwei Schritten: zuerst versuchte Leibniz zu zeigen, dass aus der Möglichkeit von Gottes Existenz seine notwendige Existenz folgt: OGx — oGx. Danach folgte der Möglichkeitsnachweis, in dem er versuchte zu zeigen, dass ein perfektes Wesen möglich sei (Fuhrmann, 2005).

2.2 Der ontologische Gottesbeweis von Kurt Gödel

Ähnlich wie Leibniz versuchte auch Gödel durch einen Möglichkeitsnachweis den ontologischen Beweis zu vervollständigen. Seinen 1970 angefertigten Gottesbeweis wollte Gödel jedoch nicht veröffentlichen - er befürchtete, sein Gottesbeweis könne als Glaubensbekenntnis missverstanden werden. Im selben Jahr erhielt eine Kreis Interessenten durch Dana Scott Zugang zu dem Beweis und wenig später wurde er in einem Seminar in Princeton vorgestellt (Bromand & Kreis, 2016). Gödels Anliegen bestand: „ [...] im Nachweis, dass ein ontologischer Gottesbeweis auf eine Art und Weise geführt werden könne, die modernen logischen Maßstäben gerecht wird“ (Bromand & Kreis, 2016). Dieser Beweis sollte auf drei Definitionen und fünf widerspruchsfreien Axiomen beruhen, um das modale Konditional und die Möglichkeitsbehauptung in dem axiomatischen System herzuleiten. Wenn dies gelingt, müsste Gott strenggenommen als bewiesen gelten. Schlussendlich war er mit seiner Beweisführung zufrieden. Später wurde der Gottesbeweis von Howard Sobel kritisiert und von Anthony Anderson modifiziert.

2.3 Allgemeine logische Grundlagen

Im Folgenden sollen kurz die modallogischen Grundlagen und Schlussregeln (Kap. 2.3.1) und das System S5 (Kap. 2.3.2) betrachtet werden. Diese Grundlagen sind notwendig, um den Gödel'schen Gottesbeweise und die Teilbeweise, die in Kapitel 3 vollzogen sind, nachvollziehen zu können.

2.3.1 Modallogische Grundlagen und Schlussregeln

Der Beweis selbst stellt eine Erweiterung der Prädikatenlogik zweiter Stufe dar. Diese wurde um Prinzipien und Regeln der Modallogik erweitert, wie beispielsweise die der Notwendigkeit (Box) und die der Positivität einer Eigenschaft. Diese sind nach Girle (2007) wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Modus Ponens ist ein seit der Antike bekannter Syllogismus, der folgende Schlussform aufweist (Strobach, 2015):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach dem Modus Ponens ergibt sich zusammen mit den modallogischen Prinzipien der Notwendigkeit und der Möglichkeit das folgende elementare modale Prinzip:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Modus Ponens (1) besagt, dass aus A B folgt, wenn gilt: aus A folgt B. Wenn A in allen möglichen Welten wahr ist, ist B ebenfalls in allen möglichen Welten wahr (2). Äquivalent dazu ergibt sich der Modus Ponens zusammen mit dem modallogischen Prinzip der Möglichkeit (Girle, 2007):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine weitere Äquivalenz besteht in:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Natürlichsprachlich übersetzt kann von der Möglichkeit der Notwendigkeit von A auf die Notwendigkeit geschlossen werden. Wenn also A in Welt w möglicherweise notwendig (◊□ A) ist, mindestens eine Welt gibt, beispielsweise v, in der A notwendig wahr ist. Nach der Definition der Notwendigkeit bedeutet das, dass A in allen möglichen Welten wahr ist und somit auch, dass A in jeder beliebigen Welt notwendig ist. Somit folgt aus der möglichen Notwendigkeit von A die Notwendigkeit von A (Girle, 2007).

2.3.2 System S5

Auch wenn Gödel es nie explizit erwähnte, dass er das charakteristische S5 Axiom (S5) verwendete, hegte er selbst Zweifel an seiner Verwendung (Bromand & Kreis, 2016). Ein formales logisches System ist dadurch charakterisiert, dass es bestimmte Axiome oder Schlussregeln beinhaltet, die zusätzlich zur Aussagenlogik und Prädikatenlogik hinzugefügt werden. Bei S5 handelt es sich um das Axiom, das besagt, dass alle modalen Operatoren bis auf den letzten entfernt werden dürfen, um eine äquivalente Formel zu erhalten. Dieses Axiom ist charakteristisch für das logische System S5:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Des Weiteren wird das System durch seine Äquivalenzrelationen der Welten untereinander gekennzeichnet: Es ist reflexiv, transitiv und symmetrisch (Abbildung 1). Reflexivität meint, dass jedes Element der Welt zu sich selbst Zugang hat. Transitivität meint, dass wenn Welt k Zugang zu Welt l hat und l wiederum zu m, dann hat k auch Zugang zu Welt m. Symmetrisch sind die Zugänge dann, wenn beispielsweise die Welten k und l gegenseitig Zugang zueinander haben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Die Zugangsmöglichkeiten der Welten untereinander im logischen System S5 (verändert nach (Girle, 2007).

3. Prüfung der Gültigkeit des ontologischen Gottesbeweises

3.1 Gödels ontologischer Gottesbeweis in modallogischer Form

Wie bereits in Kapitel 2.2 erläutert, stellt Gödels Gottesbeweis einen Versuch dar, aus axiomatisch formulierten Annahmen einen ontologischen Beweis zu führen. Ein wichtiger Bestandteil, auf den Gödel sich bei seinem Beweis stützt, sind ist der von Leibnitz geprägte Begriff der „positiven“ und „negativen“ Eigenschaften (Bromand & Kreis, 2016).

Die folgende Darstellung des Beweises orientiert sich hauptsächlich an der Darstellung von André Fuhrmann (2005) in seiner Arbeit „Existenz und Notwendigkeit“ in Spohn (2005). Dabei werden zuerst die Axiome, Theoreme oder Definitionen in Form modallogischer Formeln genannt und anschließend natürlichsprachlich übersetzt. Die Reihenfolge der aufgeführten Schritte sowie die logische Darstellungsweise wurden aufgrund einer besseren Lesbarkeit leicht verändert.

Axiom 1 Vx [P(x) V P (—x)] (A1)

Jede Eigenschaft ist entweder positiv oder nicht-positiv (im Weiteren als negativ bezeichnet). Eine solche dichotome Unterteilung ist für ontologische Gottesbeweise ein klassisches Element. Eine ähnliche Unterteilung liegt ebenfalls bei Descartes und Leibnitz vor (Bromand & Kreis, 2016).

Axiom 2 PX A oVx (Xx Yx) PY (A2)

Eine notwendige Eigenschaft, die durch eine positive Eigenschaft impliziert ist, ist selbst positiv. Daraus folgt die 1. Definition, die von Gott oder „göttlich“.

Definition 1 G(x) Vx [PX Xx] (D1)

Ein göttliches Wesen besitzt somit per Definition alle positiven Eigenschaften. Auch diese Definition entspricht der der klassischen ontologischen Gottesbeweise. Bei Anselm wird dies beispielsweise durch die Tatsache deutlich, dass ein göttliches Wesen etwas ist, über das nichts größeres gedacht werden kann und somit alle denkbaren Größe generierenden Faktoren besitzt (Anselm von Canterbury, 1961).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x ein X ist und alle weiteren Eigenschaften von x daraus notwendig folgen. Eine Essenz eines Indi­viduums ist eine Eigenschaft, die von ihm besessen wird und notwendigerweise eine seiner Eigenschaften impliziert. Aufgrund dieser Definition wird deutlich, dass zwei Essenzen einer Entität x notwendigerweise äquivalent sind. Die Es­senz beschreibt hier den Kern eines Objekts, aus dem sich alle Eigenschaften ableiten lassen, die dieses Objekt besitzt. Vereinfach ließe sich die Essenz eines Objekts als Summe seiner Eigenschaften bezeichnen (vgl. Bromand & Kreis, 2016). Zusammen mit (D1) wird aus dem ersten Theorem (T1) deutlich, dass alle Eigenschaften des göttlichen Wesens aus seiner Göttlichkeit folgen und dass es keine Eigenschaften besitzt, die nichts mit seiner Göttlichkeit zu tun haben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Göttlichkeit ist eine wesentliche Eigenschaft eines jeden göttlichen Wesens. (Ein Beweis für das zweite Theorem befindet sich in Kapitel 3.3)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es gibt notwendigerweise höchstens ein göttliches Wesen.

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