Alternative Rechenverfahren zu den schriftlichen Normalverfahren der Grundrechenoperationen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Alternative Rechenverfahren in der Grundschule
2.1 Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel
2.1.1 Multiplikation
2.1.1.1 Die Kreuzmethode
2.1.1.2 Die Russische Bauernmultiplikation
2.1.1.3 Das Verdopplungsverfahren der Multiplikation
2.1.2 Division
2.1.2.1 Das Subtraktionsverfahren
2.1.2.2 Das Verdopplungsverfahren der Division
2.1.3 Addition und Subtraktion/Computersubtraktion
2.2 Alternative Rechenverfahren, basierend auf Hilfsmitteln
2.2.1 Das Schiebezettelverfahren
2.2.2 Die Neperschen Streifen
2.2.2.1 Anwendung für die Multiplikation
2.2.2.2 Anwendung für die Division
2.2.3 Der Abakus
2.2.3.1 Aufbau und Darstellung von Zahlen am Abakus
2.2.3.2 Rechnen mit dem Abakus
2.2.3.3 Vor- und Nachteile des Abakusrechnens
2.2.4 Der Schulabakus
2.2.4.1 Aufbau und Darstellung von Zahlen am Schulabakus
2.2.4.2 Rechnen mit dem Schulabakus
2.2.4.3 Vor- und Nachteile des Schulabakus
2.2.5 Der Minicomputer von F. Papy

3 Alternative Rechenverfahren im Berliner Rahmenlehrplan

4 Abschließende Betrachtung

5 Literaturverzeichnis
5.1 Bücher/Beiträge aus Büchern
5.2 Zeitschriftenaufsätze
5.3 Internet

6 Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

Die alternativen Rechenverfahren lernte ich das erste Mal in einem Hauptseminar meines Lehramtsstudiums kennen. Bis dahin hatte ich sie weder in meiner Schulzeit noch im Grundstudium wahrgenommen. Interessiert an der Alternative zu den Normalverfahren beschäftigte ich mich im Verlauf meines Studiums intensiver mit den alternativen Rechenverfahren. Mit der Examensarbeit habe ich die Möglichkeit gesehen, meine Sachkompetenz innerhalb dieses Themas weiter zu vertiefen und zusätzlich den Bezug zum Rahmenlehrplan zu untersuchen.

In der dritten und vierten Klasse werden im Mathematikunterricht die schriftlichen Rechenverfahren der Grundrechenoperationen behandelt. Die so genannten Norm- bzw. Normalverfahren^[1] sind verpflichtend für alle Schüler^[2] und unterliegen den Vorgaben der Kultusministerkonferenz (KMK) und des Rahmenlehrplans^[3] für den Mathematikunterricht.

Obwohl die schriftlichen Rechenverfahren im Mathematikunterricht obligatorisch sind, wird ihre Anwendung in der Schule seit einiger Zeit von namhaften Mathematikdidaktikern infrage gestellt. Innerhalb dieser Diskussion wird aufgrund der medialen Entwicklung die Notwendigkeit der Normalverfahren hinterfragt. Des Weiteren wird das mechanische Rechnen anhand eines Algorithmus kritisiert. Ein Lösungsvorschlag innerhalb dieser Diskussion ist das Ersetzen der Normalverfahren durch digitale Rechenhilfen oder durch halbschriftliches Rechnen. Ein weiterer Gedanke ist die Nutzung von alternativen Rechenverfahren, die teilweise weniger komplex sind als die Normalverfahren.

In dieser Arbeit werden dem Leser alternative Rechenverfahren^[4] zu den schriftlichen Normalverfahren der Grundrechenoperationen vorgestellt. Es gibt zahlreiche Variationen für die Multiplikation und Division und einige Alternativen für die Subtraktion. Die Addition bildet mit ihrem einfachen und verständlichen Algorithmus in den meisten Fällen die Grundlage der a. RV. Es werden ausgesuchte Verfahren für den Grundschulunterricht ausführlich beschrieben und auf ihre Vor- und Nachteile eingegangen.

Die vorliegende Arbeit untergliedert sich in vier Kapitel. Nach der Einleitung werden im zweiten Kapitel die Alternativen Rechenverfahren in der Grundschule ausführlich vorgestellt. Dies wird in zwei Abschnitten erfolgen. Im Ersten werden „Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel“ beschrieben. Dies sind einfache a. RV., die in der Grundschule angewandt werden können, ohne kostspieliges Zusatzmaterial kaufen zu müssen. Ihre Unterteilung erfolgt auf Grundlage Ihrer Anwendung für die Multiplikation, Division sowie Addition und Subtraktion. Im zweiten Abschnitt „Alternative Rechenverfahren, basierend auf Hilfsmitteln“ werde ich auf fünf verschiedene ’Rechenmaschinen’ eingehen. Diese ’Rechenmaschinen’ dienen den Schülern als Hilfsmittel und müssen für den Mathematikunterricht entweder nachgebaut oder gekauft werden. Orientiert an der zunehmenden Komplexität der einzelnen Hilfsmittel werden eingangs die relativ einfache Schiebezettelmethode und die Neperschen Streifen erklärt. Anschließend findet eine umfassende Erläuterung des sehr komplexen Abakus satt. Aufbauend auf den Ausführungen zum Abakus, der im europäischen Raum in Bezug auf seine Handhabung eher unbekannt ist, wird die didaktische Abwandlung - der Schulabakus vorgestellt. Dieser findet in Grundschulen bereits Anwendung und ähnelt in seinem Aufbau sehr dem Minicomputer von Papy, der abschließend beschrieben wird. Der mathematische Hintergrund sowie die Vor- und Nachteile der einzelnen Verfahren werden kapitelweise dargelegt.

Im dritten Kapitel wird zum Einen der neue Berliner RLP dahingehend untersucht, welchen Stellenwert die a. RV. einnehmen, verglichen mit dem alten RLP aus dem Jahre 1986. Zum Anderen wird beleuchtet inwieweit der Handlungsspielraum des Lehrers erweitert wurde und an welcher Stelle der Einsatz von a. RV. gerechtfertigt wäre.

In der „Abschließenden Betrachtung“ wird der Nutzen, den Schüler aus einer Methodenöffnung ziehen können, dem Aufwand des Lehrers gegenübergestellt. Inwieweit sich für den Schüler aus der Anwendung der a. RV. Vorteile ergeben und worin sie liegen, wird zusammengefasst und bewertet.

2 Alternative Rechenverfahren in der Grundschule

Die schriftlichen Rechenverfahren sind normierte Lösungsverfahren, so genannte Algorithmen. Der Mathematiker Dähn definiert Algorithmen wie folgt.

„Ein Algorithmus dient dazu, alle Aufgaben eines bestimmten Typs zu lösen. Es ist ein Verfahren, das durch endlich viele Anweisungen beschrieben wird. Dabei ist jede Anweisung eindeutig, d.h. wenn zwei verschiedene Personen eine Anweisung befolgen, erhalten sie stets das gleiche Ergebnis. Jeder Algorithmus ist im Blick auf einen Anwendungsbereich konstruiert.“^[5]

Mit Algorithmen lassen sich bestimmte Aufgabentypen rein mechanisch lösen, ohne dass eine Einsicht in das Verfahren notwendig ist.^[6] Die a. RV. werden in der einschlägigen Literatur und auch in dieser Arbeit hauptsächlich als Ergänzung und nur bedingt als Variante zu den Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren vorgestellt, da die schriftlichen Rechenverfahren im RLP obligatorisch sind. Sie werden für die schriftliche Multiplikation, Subtraktion und Division verwendet und basieren überwiegend auf der schriftlichen Addition. Einige in meiner Arbeit vorgestellte Verfahren dienten einst als Grundlage für die Entwicklung der heutigen schriftlichen Normalverfahren.

Es gibt viele schriftliche Rechenverfahren. In der Schule werden bisher lediglich die durch den KMK-Beschluss vorgeschriebenen Normalverfahren gelehrt. Trotz der KMK-Beschlüsse und der länderübergreifenden Zusammenarbeit gibt es in der Praxis gelegentlich Abweichungen hinsichtlich der Notation sowie Unterschiede in der Durchführung bei der schriftlichen Subtraktion.^[7] „Es kommt hinzu, dass heute in nahezu jeder Grundschulklasse zahlreiche Aussiedler- oder Ausländerkinder sitzen, deren Eltern ganz andere Verfahren gelernt haben als unsere Normalverfahren.“^[8] Zwangsläufig kommt es zu Konflikten zwischen den schulischen Verfahren und der ’gut gemeinten’ Hilfestellung durch die Eltern. Diese kulturelle Vielfalt kann bei allen Beteiligten zu Verwirrung führen. Sie bietet aber auch Ansatzpunkte für die a. RV. und stellt eine Bereicherung für den Unterricht dar.^[9]

Beispiele für die Standardverfahren sind in Abbildung 1 zu sehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: schriftliche Rechenverfahren der Grundrechenoperationen

„Die Entwicklung des schriftlichen Rechnens ist ein wesentlicher Teilbereich unserer über Jahrtausende gewachsenen mathematischen Kultur [...] .“^[10] Es wurde entwickelt, um die wachsenden Anforderungen an das Gedächtnis beim Kopfrechnen, vor allem mit großen Zahlen, zu minimieren. Im Mittelalter unterrichteten die Rechenmeister die Verfahren mit einer einzigen Methode, in der kein Wert auf das Verstehen der Rechnung, sondern lediglich auf das korrekte Ausführen der Rechen- und Notationsvorschriften gelegt wurde. Der Rechenunterricht war bis ca. 1830 durch Vor- und Nachmachen geprägt. Erst danach fand allmählich ein Wandel statt. Das Verständnis der Schüler und das Nachdenken wurden gefördert. Trotz dieser Entwicklung wurden 1958 mit dem Beschluss der Kultusministerkonferenz feste Regeln für die Normalverfahren festgelegt.^[11]

Die Normalverfahren werden oftmals als die Rechenverfahren angesehen, und das beständige Üben dieser führt dazu, dass selbst einfache Aufgaben mit diesem Verfahren durchgeführt werden. Dieser ’Missbrauch’ der schriftlichen Rechenverfahren ist unter Mathematiklehrern und Didaktikern bekannt.^[12] Schüler, die die Normalverfahren als eine effektive und schnelle Art des Rechnens kennen lernen, neigen dazu, ihnen einen übersteigerten Wert zuzusprechen. Sie deklarieren sie als die beste Methode des Rechnens. Nach Plunkett „spielen Konformismus und Verzicht auf eigenes Denken […] eine große Rolle“^[13].

Dieser Verzicht auf das eigene Denken und im Gegensatz dazu die Forderung nach Flexibilität im Mathematikunterricht sind Aspekte, die ein Umdenken in der Mathematikdidaktik verursachten. Schon Ende der 80er Jahre begannen Diskussionen zur Abschaffung der schriftlichen Rechenverfahren. In einigen Artikeln zur Mathematikdidaktik^[14] wird die Frage erörtert, ob es im heutigen Computerzeitalter überhaupt noch nötig ist, schriftliche Rechenverfahren zu lehren bzw. zu lernen. Plunkett zum Beispiel fordert, statt der Einführung der Normalverfahren den Schwerpunkt des Rechenunterrichts auf das Kopfrechnen, die halbschriftlichen Rechenverfahren und den Taschenrechner zu legen. Er teilt in seinem Artikel „Wie weit müssen Schüler heute noch die schriftlichen Rechenverfahren beherrschen?“ die Rechenaufgaben nach Schwierigkeitsgraden ein und vertritt die Meinung, dass die schwierigen Aufgaben, sofern sie nicht mit den ersten genannten Verfahren zu lösen sind, mit dem Taschenrechner gelöst werden können.^[15] Damit nimmt er Bezug auf den immer stärkeren Einfluss von digitalen Rechenmaschinen.

Auch Schipper vertritt in seinem Artikel „Schriftliches Rechnen – ein Fossil mit Zukunft“ die Meinung, dass das Normalverfahren im Mathematikunterricht nicht mehr einen so hohen Stellenwert einnehmen muss. Das schriftliche Rechnen ist nach Schipper zwar ein Kulturgut, das es zu erhalten gilt, allerdings im Rahmen eines Unterrichts, in dem die Diskussion des Rechenwegs und die Herausstellung von besonders praktischen Verfahren thematisiert werden.^[16] „In einem solchen Unterricht wird die Vermittlung der Kulturtechnik „schriftliches Rechnen“ durch die Thematisierung des Kulturgutes „Rechenverfahren“ abgelöst.“^[17]

Selter hat in einer Untersuchung festgestellt, dass viele Schüler selbst bei einfachen Rechenvorgängen die schriftlichen den halbschriftlichen Rechenverfahren oder dem Kopfrechnen vorziehen. Schüler favorisieren mechanisches Rechnen gegenüber dem flexiblen Rechnen, da es ihnen scheinbar mehr Sicherheit gibt.^[18] Diese Untersuchung bekräftigt die Forderungen von Plunkett und Schipper, dass die schriftlichen Rechenverfahren nicht als ’Höhepunkt’ im Arithmetikunterricht angesehen werden sollten und aus diesem Grunde von den Schülern immer bevorzugt werden.

Krauthausen fordert in seinem Buch „Einführung in die Mathematikdidaktik“ und in veröffentlichten Artikeln^[19], den Schwerpunkt auf die halbschriftlichen Verfahren zu verlagern.^[20] Er zählt zu den vehementen Verfechtern des flexiblen Rechnens, das seiner Meinung nach die halbschriftlichen Rechenverfahren ermöglicht.^[21]

Der RLP von 1986 wurde zum Jahre 2004 hin überarbeitet und greift Punkte dieser Diskussion auf. Die Vorgaben der KMK wurden zwar offiziell nicht außer Kraft gesetzt, aber in der Praxis findet schon seit einiger Zeit eine Öffnung der Verfahren statt. Seit 1996 ist es den Lehrkräften im Bundesland Nordrhein-Westfahlen freigestellt, ob sie das Abzieh- oder Ergänzungsverfahren lehren.^[22] Mit dem neuen RLP wurde das auch in Berlin erreicht.^[23] Diese Öffnung im Unterricht und die Vorgabe des neuen RLP von Berlin, dass „die Lehrerinnen und Lehrer […] die Schülerinnen und Schüler an der Gestaltung der Lernprozesse (beteiligen), indem sie […] sich und die Schülerinnen und Schüler nicht auf nur einen bestimmten Weg zur Lösung fokussieren [und] […] mit ihnen Varianten der Darstellung des Lösungsweges erörtern“^[24], geben den Lehrern die Möglichkeit, a. RV. in ihren Unterricht mit aufzunehmen.

Die a. RV. bieten den Schülern die Möglichkeit, auf unterschiedlichen Wegen zu einem Ergebnis zu gelangen. Lehrer, die a. RV. in ihrem Unterricht anwenden möchten, sollten ihre Sachkompetenz zu diesem Thema theoretisch, aber vor allem praktisch erweitern. Die Alternativen selbst zu erproben, ist lohnend, da durch die Anwendung erst ein Durchbrechen der festgefahrenen Rechenwege möglich ist. Der Anwender erhält einen neuen Blick auf diese Thematik.

Die vorgestellten a. RV sind eine Auswahl aus zahlreichen Rechenverfahren. Ihre Zusammenstellung richtete sich nach der einschlägigen Literatur und wurde mit dem betreuenden Professor abgestimmt. Viele der vorgestellten alternativen Verfahren sind bereits sehr alt und im Laufe der Zeit offensichtlich in Vergessenheit geraten. Vielleicht ist auch die Tendenz, ’Altes’ zu verwerfen und als unpraktisch oder altmodisch zu deklarieren, ein weiterer Grund dafür, dass diese Verfahren abgelehnt werden. Die Forderung nach einheitlichen Normalverfahren trug ihren Teil dazu bei.

2.1 Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel

Die in diesem Kapitel ausführlich erläuterten Rechenverfahren sind in der Grundschule ohne Zusatzmaterial, außer Papier und Stift, anwendbar. Anhand der einschlägigen Literatur konnten für die Multiplikation erheblich mehr a. RV. als für die Division oder gar Subtraktion herausgearbeitet werden. Für die Addition ließen sich lediglich Abwandlungen in der Notation, aber keine echten Alternativen finden. Sie bildet in vielen Fällen, mit ihrem einfachen Algorithmus, die Grundlage für a. RV.

2.1.1 Multiplikation

Das Normalverfahren der schriftlichen Multiplikation wird seit den 50er Jahren durch den Beschluss des Kultusministeriums an den deutschen Schulen gelehrt. Es handelt sich um ein standardisiertes Verfahren, das einem bestimmten Algorithmus in der Notation und dem Wortlaut folgt. Seine komplexe Notationsform führt dazu, dass Schüler mitunter den Hintergrund dieses Verfahrens nicht verstehen, sondern lediglich den Algorithmus auswendig lernen und anwenden.^[25]

Dass Fehler aufgrund des fehlenden Verständnisses von Schülern nicht gleich wahrgenommen werden, ist unter einigen Mathematikpädagogen ein bekanntes Problem und ein Grund für die Diskussionen zur Abschaffung der Normalverfahren.^[26] Gorski und Müller-Philipp, Padberg, Müller und Wittmann u. a. weisen in ihren Büchern daher auch auf a. RV. als ein erweitertes Angebot zu den Normalverfahren hin.^[27] Alternative Multiplikationsverfahren ermöglichen „eine Reduzierung der Anforderungen gegenüber dem komplexen Normalverfahren der schriftlichen Multiplikation“^[28]. Da die Reduzierung der Anforderungen zur Verringerung der Verständnisprobleme und Misserfolge führt, sind die a. RV. ein Angebot, aus dem nicht nur der rechenschwache Schüler wählen und von dem er profitieren kann.

[...]

^[1] Ich beschränke mich in dieser Arbeit auf den Begriff Normalverfahren.

^[2] Aus Gründen der besseren Lesbarkeit verwende ich in meiner Arbeit das Maskulinum auch stellvertretend für das Femininum.

^[3] In der weiteren Arbeit mit RLP abgekürzt.

^[4] In der weiteren Arbeit mit a. RV. abgekürzt.

^[5] Deutsches Institut für Fernstudien Abteilung Mathematik – Freiburg/Dähn, G., Mellin, E., Strehl, R., Walter, F.-R., Wissler, G.: Mathematik für Grundschullehrer. Ein Fernstudiengang. E11 Algorithmen, schriftliche Rechenverfahren. Weinheim: Beltz Verlag, 1974, S. 12.

^[6] Vgl. Krauthausen, Günter: Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen, schriftliche Normalverfahren, Taschenrechner: Für eine Neubestimmung des Stellenwertes der vier Rechenmethoden. In: Journal für Mathematik - Didaktik, 14/1993, Heft 3/4, S. 191.

^[7] Es gibt das Abzieh- oder Ergänzungsverfahren.

^[8] Schipper, Wilhelm: Schriftliches Rechnen – Ein Fossil mit Zukunft. In: Die Grundschulzeitschrift, 119/1998, S. 14.

^[9] Vgl. Schipper 119/1998, S. 14.

^[10] Schipper 119/1998, S. 11.

^[11] Vgl. Schipper 119/1998, S. 11 f.

^[12] Vgl. Plunkett, Stuart: Wie weit müssen Schüler heute noch die schriftlichen Rechenverfahren beherrschen? In: mathematik lehren, 21/1987, S. 43.

^[13] Plunkett 21/1987, S. 44.

^[14] Vgl. u. a. Plunkett 21/1987; Schipper 119/1998; Selter, Christoph: Flexibilität oder AutoMathik? In: Grundschulunterricht, 10/2002.

^[15] Vgl. Plunkett 21/1987, S. 45.

^[16] Vgl. Schipper 119/1998, S, 13.

^[17] Schipper 119/1998, S. 13.

^[18] Vgl. Selter 10/2002, S. 20.

^[19] Siehe Literaturliste 5.2.

^[20] Vgl. Krauthausen, Günther/Scherer, Petra: Einführung in die Mathematikdidaktik. 2. Auflage. Heidelberg; Berlin: Spektrum Akad. Verlag, 2003, S. 44 ff.

^[21] Vgl. Krauthausen 14/1993, S. 202.

^[22] Vgl. Schipper 19/1998, S. 15.

^[23] Vgl. Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hrsg.): Rahmenlehrplan Grundschule. Mathematik. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag, 2004, S. 29.

^[24] RLP 2004, S. 26.

^[25] Vgl. Gorski, Hans-Joachim/Müller-Philipp, Susanne: Leitfaden Arithmetik. 2., überarbeitete Auflage. Wiesbaden: Vieweg, 2004, S. 146.

^[26] Vgl. u. a. Plunkett 21/1987; Schipper 19/1998.

^[27] Vgl. u. a. Gorski/Müller-Philipp 2004; Padberg, Friedhelm: Didaktik der Arithmetik. 2. Auflage. Heidelberg; Berlin; Oxford: Spektrum Akad. Verlag, 1996; Müller, Gerhard/Wittmann, Erich Ch.: Der Mathematikunterricht in der Primarstufe. Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1984.

^[28] Padberg 1996, S. 224.