Einführung in die Chaostheorie

Inhaltsverzeichnis

I. Geschichte und Etymologie

II. Chaostheorie

III. Mathematische Hintergründe

IV. Interdisziplinäre Auswirkung der Chaostheorie

V. Kurze Zusammenfassung

Quellen

Geschichte und Etymologie

Betrachten wir zunächst die Etymologie. Die Ursprüngliche Bedeutung des griechischen Wortes Chaos ist „Schlund“, „Leere“ und „Abgrund“. Bereits die Philosophen und Dichter der Antike haben den Begriff verwendet. So schreibt der Grieche Hesiod in seiner Theogonie (ca. 700 v. Chr.) vom Chaos als den Urzustand der Welt: „Wahrlich, zuerst entstand das Chaos und später die Erde...“ (Vers 116). Damit geschah die Deutung von Chaos als etwas unstrukturellem und gleichzeitig als „Urstoff“. Im heutigen Alltagsgebrauch wird Chaos als Synonym für „Durcheinander“ verwendet

Die erste Verwendung in der modernen Wissenschaft fand in der Mathematik statt. Es war der Mathematiker J. YORKE, der 1975 seinem Artikel über die Eigenschaften von Abbildungen eines Intervalls auf sich selbst den Titel „Periode Three implies Chaos“ gab. In diesem Artikel beschreibt er, dass sich bei bestimmten Anfangswerten nichtperiodisches Verhalten zeigt. Die kausale Beziehung und die starke Auswirkung von Anfangswerten in der Mathematik und später in der Physik bezeichnet man seit dieser Zeit als chaotisch (vergl. REINHART BEHR, Klett, 1993).

Dieses Phänomen wurde bereits von dem Physiker und Astronomen Henri Poincare 1889 beschrieben, in einem anderen Kontext: dieser untersuchte die Planetenbahnen und beschäftigte sich mit der Frage ob es sich dabei um ein langfristig stabiles System stand. Für die damalige Wissenschaft stand dies außer Frage, vielmehr noch galten gerade die Planetenbahn als herausragendes Beispiel für Präzision, Ordnung und Berechenbarkeit. Poincare gelang es jedoch herauszuarbeiten, dass bereits winzigste Bahnstörungen ausreichen um auch kurzfristig signifikante Änderungen zu bewirken. Dies bezeichnet man noch heute als „Poincare-Szenario“.

Was wir mit Chaostheorie bezeichnen meint eigentlich die Theorie Nichtlinearer Dynamik. Dabei handelt es sich um einen recht jungen Wissenschaftszweig, der durch seine Abhängigkeit von den Fortschritten der Computer- und Modellierungstechnologie geprägt ist.

Chaostheorie

In den Naturwissenschaften gilt das Prinzip der Kausalität: Aus gleichen Ursachen entstehen gleiche Wirkungen. Da es genau genommen nie möglich ist, einen ursprünglichen Zustand vollständig wiederherzustellen gilt: Weitestgehend ähnliche Ursachen ergeben weitestgehend ähnliche Wirkungen. Dies wird als starke Kausalität bezeichnet, von der die schwache eine besondere Ausprägung darstellt.

Die Chaosforscher stellen nun fest, dass es Systeme gibt für die diese Kausalität nicht ungebrochen gilt. Hier erleben wir, das weitestgehend ähnliche Grundbedingungen zu völlig verschiedenen Ergebnissen führen können. Chaos kann, muss aber nicht eintreten. Dies kann auch erst in sehr langen Zeiträumen passieren.

Deterministisches Chaos

Wie wir bereits erfahren haben, können selbst bei einfachen Gesetzten (Gesetzt der Schwerkraft beim Planetensystem) Systeme entstehen, die auf geringfügig veränderte Anfangsbedingungen massiv Reagieren. Solche Systeme werden also durch ihren Kontext determiniert, man bezeichnet sie daher als „deterministisches Chaos“. Die Verwendung des Begriffes Deterministisch zeigt an, dass hinter dem scheinbaren Chaos dennoch eine Ordnung herrscht, die für uns allerdings nicht zwangsläufig erkennbar ist. Chaos und Ordnung sind also keine sich ausschließenden Prinzipien, sondern können lediglich nicht gleichzeitig beobachtet werden, woraus sich schließen lässt das sie in Systemen chronologisch getrennt auftreten müssen.

Beispiele für deterministisches Chaos gibt es viele. Aus dem Alltag kann hier das Billardspiel herangezogen werden. Obwohl uns die Regeln, das Verfahren, der Kontext und die physischen Gesetzte (Stoßgesetz) für dieses Spiel bekannt sind, ist es uns doch unmöglich vorherzusagen wie die Kugeln nach dem ersten Anstoß reagieren werden. Als weiteres sehr geeignetes Beispiel kann das Verhalten von Pendeln herangezogen werden. Prof. Dr. Peter Richter von der Universität Bremen führt dazu aus:

„Ein Pendel kann man noch als Inbegriff von Ordnung ansehen: es schwingt oder rotiert in regelmäßigem Takt . Zwei Pendel, als Doppelpendel aneinander gehängt, zeigen bereits chaotisches Verhalten: trotz einfacher Bewegungsgesetze kann man über längere Zeit keine Voraussagen machen. Immerhin erlaubt uns der Computer, die komplizierte Dynamik ins Bild zu setzen. Drei Pendel [...] schwingen, kräftig angestoßen, so wild, dass niemand bisher darin eine Ordnung entdeckt hat.“

(http://samphys.physik.uni-bremen.de/samphys2000/richter.html)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei den hier genannten Beispielen handelt es sich um sogenanntes transientes Chaos oder Transientenchaos. Das chaotische Verhalten stellt also lediglich einen Anfangszustand dar, während davon auszugehen ist, dass das System (mit Ausnahme der Drei Pendel) längerfristig in einen stabilen Zustand übergehen wird.

Damit ergibt sich folgendes Modell:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die einfachen Gesetzte sind die uns bekannten oder unbekannten Gesetzte der Physik, der Soziologie, der Ökonomie, je nachdem in welchem Kontext geforscht wird. Deterministisches Chaos wie es oben definiert wurde meint jene Zustände, die diesen bekannten oder unbekannten Gesetzten folgen, aber dennoch nicht vorhersehbar sind. Dabei handelt es sich also nicht um un- geordnete Systeme!

Um die nötige sprachliche Trennschärfe zu erreichen, wurde als zusätzliche Kategorie die Unordnung (disorder) eingeführt, die dem umgangssprachlichen „Chaos“ nahe kommt.

Anhand des menschlichen Herzens lässt sich dieses Prinzip der Aufteilung gut erklären. Bei einem gesunden menschlichen Herzen handelt es sich um ein deterministisch-chaotisches System. Die Herzrhythmen schwanken von Schlag zu Schlag minimal, aber erkennbar. Der tödliche Zustand des Kammerflimmerns allerdings ist ein disorder-stadium, und wird ironischerweise oft durch eine zu gleichmäßige Kontraktion des Herzmuskels angekündigt.

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Mathematische Hintergründe

Da es sich bei der Chaostheorie um eine mathematische Modellierung handelt, betrachten wir an dieser Stelle diese Hintergründe.

Attraktoren

In der Mathematik wird der Wert, auf den eine Funktion hinstrebt, als Grenzwert bezeichnet. Bei chaotischen Funktionen entsteht das besondere Phänomen, dass die Funktion auf mehrere unterschiedliche Grenzwerte hinzulaufen scheint. - der Graph springt zwischen diesen Werten, die man als Attraktoren bezeichnet.

Fraktal

Neben den Attraktoren sind es die Fraktale, die entscheidend zum Verständnis der mathematischen Hintergründe der Chaostheorie beitragen. Als Fraktale bezeichnet man geometrische Figuren, die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Diese sind: 1. eine gebrochene Dimension (der gebräuchliche Dimensionsbegriff umfasst lediglich positive natürliche Zahlen, und findet hier daher keine Anwendung) und 2. die sog. Selbstähnlichkeit. Diese besagt, dass ein vergrößerter Ausschnitt aus einem Fraktal die Geometrie des Gesamtfraktals beinhaltet.

Die bekannteste Darstellung eines Fraktales ist die des polnischen Mathematikers und „Urvaters“ der Chaostheorie, BENUÎT B. MANDELBROTs

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Bifurkation

Das Verfahren für die Berechnung und Darstellung von chaotischen Funktionen ist die sog. Bifurkation. Diese bezeichnet und misst im Allgemeinen die Änderungen an einem System. Speziell bei chaotischen Funktionen werden die sog. Bifurkationspunkte, d.h. Punkte an denen ein massive Verhaltensänderung auftritt (wechselnder Grenzwert, Attraktoren), dazu verwendet das Verhalten zu unterteilen.

Damit eignet sich die Bifurkation hervorragend, um sich der Chaostheorie von ihrer mathematischen Seite zu nähern. Dazu betrachten wir ein Modell von PIERRE FRANÇOIS VERHULST, des Entwicklers der Bifurkation.

Angenommen wird eine Insel als geschlossenes System. Auf dieser Insel befindet sich eine Population einer fiktiven Art, die sich regelmäßig fortpflanzt, deren Individuen jedoch nie sterben. Wir erhalten exponentielles Wachstum dieser Art.

Der Wert xn steht dabei für die Anzahl der Tiere nach n Jahren im Verhältnis zur Maximalanzahl der möglichen Tiere. Die Konstante r gibt an, wie schnell sich die Tiere vermehren. Um der begrenzten Lebensdauer der Tiere Rechnung zu tragen und um zu verhindern, dass die Insel schon nach kurzer Zeit überbevölkert ist, wird der Gleichung ein weiterer Faktor hinzugefügt:

xn steht in dieser Formell für die Anzahl der Tiere nach n Jahren im Verhältnis zur Maximalanzahl der potenziellen Tiere. r ist die Konstante der Vermehrung. Um das Modell realistischer zu gestalten (begrenze Lebensdauer der Individuen) sowie um eine Oberpopulation der Insel zu verhindern, fügte VERHULST einen weiteren Faktor hinzu:

Dieser Faktor bewirkt - da er immer kleiner wird, je größer die Population ist - eine Verminderung ebendieser.

Nun schränkte VERHULST noch den Wertebereich der Konstante r ein:

Werte größer als⁴ übersteigen die Aussagekraft des Modells, negative Werte sind nicht vorgesehen. Bei einem berechneten Zeitraum von ⁵⁰ Jahren und einem Anfangswert von jeweils x⁰ =⁰,² bewirkt eine unterschiedliche Wachstumsrate massive Änderungen im Ergebnis:

Während bei r = 2,75 noch ein eindeutiger Grenzwert angestrebt wird, springt der Graph bei r = 3 und bei r = 3,25 zwischen zwei Werten hin und her. Da einer der Werte beim Einsetzten in die Verhulst-Formel jeweils den anderen Wert ergeben, ist eine Stabilisierung auf einen Grenzwert nicht mehr möglich. Diese Wertepaare nennt man, wie im Grundlagenabschnitt erklärt, Attraktoren.

Bei dem Graphen für r = 4 ist keine Regelmäßigkeit mehr zu erkennen. Er verläuft völlig unvorhersehbar, also chaotisch.

Bei r = 2,75 wird ein eindeutiger Grenzwert angestrebt. Bei r = 3 und r = 3,25 tritt bereits ein Hinund Herspringen ein. Durch die VERHULST-Formel kann bewiesen werden, das eine Stabilisierung auf einen Grenzwert nicht mehr möglich ist (Einsetzten des einen Wertes ergibt den zweiten Wert). Diese Wertepaare entsprechen daher den oben aufgestellten Bedingungen, und sind damit Attraktoren. Bei r = 4 ist keine Regelmäßigkeit mehr zu erkennen, er ist chaotisch.

Feigenbaumdiagramm

Nicht immer ist es möglich, alleine über Bifurkation sinnvolle Informationen über ein chaotisches Verhalten zu erhalten. Ein weiteres Instrument ist das Feigenbaumdiagramm, benannt nach dem US-Mathematiker und Chaosforscher Mitchell Jay Feigenbaum. Bei dieser Darstellung trägt man über einen Parameter die näherungsweise (mittels Iteration) bestimmten Grenzwerte auf. Jeder Punkt im Diagramm stellt einen Grenzwert da. Da diese Berechnungen für viele unterschiedliche Startwerte durchgeführt werden, zeigen sich in dem Diagramm erkennbar die Attraktoren als Häufung von Punkten.

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Antichaos

Chaotische Systeme können in die Unordnung (disorder) übergehen, oder aber sich stabilisieren. Dies wird als Antichaos bezeichnet. Aus einem komplexen System kann dabei phasenweise ein einfaches werden. Sog. dissipative Strukturen entstehen, eine Selbstorganisation tritt ein.

Interdisziplinäre Auswirkung der Chaostheorie

Über die bisher dargestellten mathematischen Sachverhalte und das Populationsmodell hinaus hat die Chaostheorie inzwischen Einzug gehalten in die unterschiedlichsten Wissenschaften. Dies ist dem Umstand geschuldet, dass nichtlineare Systeme nicht die Ausnahme darstellen, sondern in allen Feldern die Regel. So beschäftigten sich auch die Wirtschaftswissenschaften (Börse) oder die Biologie (Rückkopplungsprozesse der Stoffwechselprozesse) mit chaotischen Systemen.

Ein besonders bekanntes Beispiel für die massive Abhängigkeit von Systemen von seinen Anfangsbedingungen stammt aus der Metereologie: der Schmetterlingseffekt. Edward N. LORENZ stellte 1963 in seinem Aufsatz „Deterministic Nonperiodic Flow“( Journal of the Atmospheric Sciences, Vol. 20, No. 2, 130-141, März 1963) dar, wie der Flügelschlag eines Schmetterlings an einem Ort mit gewisser Verzögerung einen Orkan an einer völlig anderen Stelle des Globus auslösen kann. Auf diese Art lässt sich vielleicht auch das Ansehen der viel gespotteten Wettervorhersage retten.

Besondere Wirkung hatte die Chaostheorie auf Theorien zur Politik, oder jüngst in der Interpretation der Geschehnisse auf den internationalen Finanzmärkten („Hypotheken-Krise“).

Zusammenfassung

Zusammenfassend lässt sich festhalten: Untersuchungsgegenstand der Chaostheorie sind komplexe nichtlineare dynamische Systeme. Sie beschäftigt sich dabei speziell mit der Frage der Entstehung dieser Systeme, sowie den Übergängen in die Folgestadien. Dabei konnte festgestellt werden, dass bereits minimale Änderungen in den Startparametern - wie sie natürlich auf auftreten - bereits massive Unterschiede im Ergebnis bedingen können.

Quellen

Vorträge:

„Chaos - Billardspiele der Natur“, Prof. Dr. Peter Richter, Universität Bremen http://samphys.physik.uni-bremen.de/samphys2000/richter.html

Arbeiten: „Mathematische Betrachtungen zur Chaostheorie - Eine Einführung in die Dynamik nichtlinearer Systeme“, Nikolei Krützmann http://www.nkruetzmann.de/

Weiteres: Encarta-Online, Artikel zu Chaostheorie und zu den verschiedenen mathematischen Begriffen http://de.encarta.msn.com/encyclopedia_761571605/Chaostheorie.html

Schriftliche Dokumentation des Wissenschaftsmagazins „Quarks & Co“, Sendung „Die Chaos-Theorie“ vom 23.07.2002

Zusätzlich wurden Gespräche mit Studenten und Studentinnen der Mathematik, der Physik, der Raumfahrtwissenschaften sowie der Biologie geführt.

Bildquellen: die hier verwendeten Bilder entstammen - so nicht im Text anders geschrieben - den oben genannten Quellen. Die Grafiken im Teil „Mathematische Hintergründe“ entstammen der Mathematik-Facharbeit „Die Chaos-Theorie“ von Jörg Ludwig und Felix Klose (2001).