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Zahlbereichserweiterung durch Bruchteile

Unterrichtsentwurf 2007 31 Seiten

Mathematik - Zahlentheorie

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe

2 Analyse des Lernstoffs
2.1 Historisches
2.2 Fachwissenschaftliche Analyse
2.3 Entwicklung der Bruchrechnung in der Schule
2.4 Didaktische Reduktion

3 Didaktisch-methodische Entscheidungen
3.1 Methodisches Vorgehen
3.2 Lernziele
3.2.1 Stundenziel
3.2.2 Feinlernziele
3.3 Lehr- und Sozialformen
3.4 Lernerfolgskontrollen
3.5 Medien
3.6 Hausaufgaben

4. Verlauf der Stunde

5. Literaturverzeichnis
5.1 Lehrplan
5.2 Lehrwerk
5.3 Weitere Schulbücher
5.4 Fachliteratur und fachdidaktische Literatur

6. Anhang
6.1 Geplantes Tafelbild
6.2 Arbeitsblatt 1
6.3 Arbeitsblatt 2
6.4 Arbeitsblatt 3

1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe

Im Rahmen des achtjährigen Gymnasiums im Saarland werden in der Klassenstufe 5 Brüche behandelt. Dabei soll nach dem neuen G8-Lehrplan das Wissen der Schüler aus der Grundschule und aus dem Alltag zusammengeführt und erweitert werden. „Mit Hilfe von Größen und Figuren werden adäquate Grundvorstellungen von Bruchteilen entwickelt. [...] Eine systematische Behandlung von Bruchzahlen ist hier nicht vorgesehen.“[1] Es sollen Grundvorstellungen von Bruch teilen und keine Bruch rechnung vermittelt werden. Die Einführung versteht sich als Propädeutik.

Im G8-Lehrplan sind nicht mehr wie bisher Lernziele formuliert; es gibt lediglich die beiden Rubriken „Verbindliche Inhalte“ und „Vorschläge und Hinweise“. Das Thema der vorzustellenden Unterrichtsstunde lautet „Zahlbereichserweiterung durch Bruchteile“ und ist dem Bereich „Bruchteile von Größen“ zuzuordnen. In der vorzustellenden Unterrichtsstunde werden inhaltliche Vorstellungen entwickelt.

2 Analyse des Lernstoffs

Da in der vorzustellenden Unterrichtsstunde Bruchteile propädeutisch eingeführt werden und keine Bruchrechnung betrieben wird, ist es schwierig, hier eine fachwissenschaftliche Analyse des Lernstoffs zu geben. Daher gliedert sich Kapitel 2 in folgende Unterabschnitte:

(1) Historisches
(2) Fachwissenschaftliche Analyse über Grundlagen der gebrochenen oder positiven rationalen Zahlen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
(3) Entwicklung der Bruchrechnung in der Fachdidaktik

2.1 Historisches

Bereits die alten Ägypter kannten Brüche, wie der Papyrus Rhind bezeugt. Dieses Zeugnis enthält eine Abschrift eines schon 100 Jahre früher verfassten Rechenbuchs, das Ahmes zwischen 1800 und 1600 v. Chr. abschrieb. Historisch bezeichnen Brüche Teile eines Ganzen. Dies kommt auch durch die alten babylonischen Zahlzeichen für ½, nämlich ein halber Brotfladen, bzw. ¼, zwei sich kreuzende Schnitte, zum Ausdruck. Auch die Römer verwendeten Brüche, jedoch nur solche mit Nenner 12, was von der Unterteilung des As in 12 Unzen herrührt.[2]

Die Brüche und mit ihnen verbunden die Bruchrechnung, wie wir sie kennen, stammt von den Indern. Im Mittelalter hat sich die Bruchrechnung auch in Deutschland eingebürgert.

Vor ungefähr 2500 Jahren verwendeten indische Mathematiker Bruchstriche. Bei uns wurde der Bruchstrich erst um 1500 üblich. In einem Rechenbuch von 1514 wurde für ½ das römische Zahlzeichen für eins durch einen Halbierungsstrich in der Mitte halbiert.

Erst um 1700 wurde die Bruchrechnung an allgemeinen Schulen unterrichtet. Man rechnete damals ohne Begründungen, aber nach Gedächtnisregeln. Die Dezimalbrüche haben sich erst sehr spät entwickelt. Simon Stevin (1548-1620) ist für deren Durchbruch verantwortlich. Die Dezimalbrüche führten zu dezimal geteilten Münz-, Maß- und Gewichtssystemen.

2.2 Fachwissenschaftliche Analyse

Motivation:

Beim Teilen und Messen wird ein Zahlbereich gefordert, in dem nicht nur die möglichen Operationen der natürlichen Zahlen durchführbar sind, sondern wo auch uneingeschränkt dividiert werden kann. Im allgemeinen besitzt die Gleichung[3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

keine Lösung in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Zur Lösung der Gleichung (*) wird eine Zahlbereichserweiterung durchgeführt, bei der das Problem eine Lösung besitzt. Darüber hinaus sollen die natürlichen Zahlen als Teilbereich in diesem Zahlbereich enthalten sein.

Beispiel:

(1) Will man 3 Tafeln Schokolade auf 3 Kinder aufteilen, so rechnet man 3:3=1, also jedes Kind bekommt eine Tafel Schokolade.
(2) Will man 1 Tafel Schokolade auf 3 Kinder aufteilen, so ist die analoge Divisionsaufgabe 1:3 in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nicht lösbar. Praktisch ist es jedoch möglich, die Tafel Schokolade gleichmäßig auf 3 Kinder aufzuteilen.

Ausweg zu Beispiel (2):

Man nimmt ein Messer und teilt die Schokolade in drei gleich große Teile. Der Anteil eines jeden Kindes aus unserem obigen Problem wird somit durch den Bruch ⅓ gekennzeichnet. Auch ähnliche Fälle führen auf Brüche bzw. Bruchteile.

Idee:

Wir bilden geordnete Paare von natürlichen Zahlen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und schreiben sie in Bruchform [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Definition (Bruch, Nenner, Zähler, Bruchstrich):

Jeder Bruch hat die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder m/n mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Nenner n eines Bruchs gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler m zählt die Teile, die davon berücksichtigt werden. Der Bruchstrich verläuft waagerecht. So lange die Übersichtlichkeit nicht leidet, sind auch schräge Bruchstriche zugelassen.

Bezeichnungen:

(1) Brüche mit Zähler 1 heißen Stammbrüche.
(2) Brüche, deren Zähler kleiner ist als der Nenner, heißen echte Brüche.
(3) Brüche, deren Zähler größer oder gleich ist als der Nenner, heißen unechte Brüche.
(4) Ist der Zähler eines Bruchs gleich dem Nenner eines anderen Bruchs und umgekehrt, so heißen die Brüche zueinander reziprok.
(5) Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamige Brüche. Sonst heißen sie ungleichnamige Brüche.

Konstruktion der neuen Zahlen:

Zwei Brüche [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ]nennen wir quotientengleich, also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wenn gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Beispiel: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], denn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Quotientengleichheit erfüllt alle Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. Alle quotientengleichen Brüche werden zu einer Äquivalenzklasse zusammengefasst. Zum Beispiel ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine solche Äquivalenzklasse von quotientengleichen Brüchen.

Jeder Bruch gehört dann zu genau einer Äquivalenzklasse. Diese Klassen bezeichnen wir als gebrochene oder positive rationale Zahlen. Jede dieser Klassen kann durch einen beliebigen Repräsentanten dargestellt werden. Beispiel: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sind Repräsentanten der gleichen gebrochenen Zahl, nämlich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Als Repräsentant benutzen wir konventionell einen gekürzten Bruch. In unserem Beispiel wäre das also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Klammer benutzen wir hier, um zwischen der Klasse und ihrem Repräsentanten zu unterscheiden.

Definition (Erweitern, Kürzen):

(1) Erweitern heißt: Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] multiplizieren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

(2) Kürzen heißt: Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dividieren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Bemerkung:

Das Kürzen und Erweitern ist keine Trivialität. Hier geht die eindeutige Primfaktorzerlegung in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ein. Hieraus kann man auch die Existenz und Eindeutigkeit der teilerfremden Darstellung herleiten.

Rechenoperationen:

Es seien [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gebrochene Zahlen. Wir legen folgende Rechenoperationen fest:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]


[1] Lehrplan Achtjähriges Gymnasium Mathematik Klassenstufe 5 (Saarbrücken, 2001), S. 18.

[2] Für den historischen Teil wurden folgende Bücher verwendet:
Rainer Maroska, Schnittpunkte 6 (Stuttgart, 1994), S. 35.
Walter Geller, Mathematik Ratgeber (Frankfurt, 1988), S. 28.

[3] Für die fachwissenschaftliche Analyse wurden folgende Bücher verwendet :
Richard Courant und Herbert Robbins, Was ist Mathematik (Berlin, 1992), S. 42-47.
Walter Geller, Mathematik Ratgeber (Frankfurt, 1988), S. 64-65.
Fritz Reinhardt und Heinrich Soeder, dtv-Atlas zur Mathematik. Band 1 (München, 1974), S. 56-57.
Reinhard Strehl, Zahlbereiche (Freiburg, 1972), S. 95-114.

Details

Seiten
31
Jahr
2007
ISBN (eBook)
9783638864282
ISBN (Buch)
9783638864756
Dateigröße
766 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v84781
Note
1,0
Schlagworte
Zahlbereichserweiterung Bruchteile

Autor

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Titel: Zahlbereichserweiterung durch Bruchteile