Additionsverfahren: Algorithmus und Lösbarkeit

Inhaltsverzeichnis

1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe

2. Analyse des Lernstoffs
2.1 Fachwissenschaftliche Analyse
2.2 Alternative Unterrichtsmöglichkeiten
2.3 Didaktische Reduktion

3. Didaktisch-methodische Entscheidungen
3.1 Lernziele
3.1.1 Stundenziel
3.1.2 Feinlernziele
3.2 Lehr- und Sozialformen
3.3 Lernerfolgskontrollen
3.4 Medien
3.5 Hausaufgaben

4. Verlauf der Stunde

5. Arbeitsmaterialien
5.1 Hausaufgaben
5.2 Folie für den Einstieg
5.3 Arbeitsblätter für den Unterricht
5.4 Tafelanschrift

6. Lösbarkeit von Linearen Gleichungssystemen mit CAS
6.1 Lehrplanbezug und Medien
6.2 Didaktisch-methodische Anmerkungen
6.3 Arbeitsblätter
6.4 Hinweise für die Arbeit mit dem TC

7. Literaturverzeichnis
7.1 Lehrplan
7.2 Lehrwerk
7.3 Fachliteratur und fachdidaktische Literatur

8. Lösungen
8.1 Hausaufgabe (5.1)
8.2 Lösungen zu den weiteren Übungen (5.2)
8.3 Lösungen zu den Aufgaben (6.4)

1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe

Im Mathematikunterricht der Klasse 8 werden gemäß Lehrplan Lineare Gleichungssysteme behandelt. Die Unterrichtsreihe schließt an das Kapitel über lineare Funktionen an. Sie greift auf diese und auf die Unterrichtsreihe über Gleichungen und Ungleichungen zurück.^[1]

Die Unterrichtsreihe, die gemäß Lehrplan ca. 20 Stunden umfassen sollte, lässt sich in sechs Abschnitte gliedern:^[2]

(1) Graphisches Lösungsverfahren für Systeme von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen
(2) Einsetzungsverfahren
(3) Gleichsetzungsverfahren
(4) Additionsverfahren
(5) Systeme mit drei Variablen
(6) Gaußscher Algorithmus

Bis zur vorzustellenden Unterrichtsstunde sollen die Abschnitte (1) bis (3) mit den Schülern erarbeitet und geübt werden. Für die vorzustellende Unterrichtsstunde ist Abschnitt (4), also das Additionsverfahren, vorgesehen. Die Verallgemeinerungen in den Abschnitten (5) und (6) ist für die darauf folgenden Stunden vorgesehen. Die Frage der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme wird an passenden Stellen in die sechs Abschnitte integriert.

2. Analyse des Lernstoffs

2.1 Fachwissenschaftliche Analyse

Zunächst wollen wir lineare Gleichungssysteme formulieren:

Definition (Lineares Gleichungssystem):

Die Aussageform Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten heißt lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Die Zahlen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten heißen Koeffizienten des Systems.

Die Zahlen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten heißen Absolutglieder des Systems.

Die Grundmenge ist im Allgemeinen die Produktmenge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Häufig schreibt man für ein lineares Gleichungssystem auch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Es werden also zwei Aussageformen durch „und“ verknüpft. Ziel ist es nun, ein solches lineares Gleichungssystem zu lösen, d. h. seine Lösungsmenge zu finden. Die Lösungsmenge ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der Teilaussageformen, was die „und“-Verknüpfung impliziert, also

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die Lösungsmenge der oberen Aussageform und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltendie Lösungsmenge der unteren Aussageform ist.

Lineare Gleichungssysteme können

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit dem Einsetzungsverfahren

mit dem Gleichsetzungsverfahren Rechenverfahren

mit dem Additionsverfahren

gelöst werden.

Es stellt sich die Frage nach der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Kalkül des Additionsverfahrens

Im folgenden wird vorausgesetzt, dass die Gleichungen in der allgemeinen Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

vorliegen (notfalls müssen die gegeben Gleichungen auf diese Form gebracht werden). Unter dem Additionsverfahren für zwei Gleichungen mit zwei Variablen versteht man den folgenden Algorithmus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Passende Zahlen, mit denen man in Schritt 1 die Gleichungen multipliziert, sind trivialerweise a 2 für die erste Gleichung und –a1 für die zweite Gleichung. Kleinste Zahlen sind die, die das kgV(a 1, a 2) bzw. –kgV(a 1, a 2) als neue Koeffizienten vor einer Variablen bei der Multiplikation erzeugen. Gelegentlich wird das obige Verfahren auch Subtraktionsverfahren genannt, wenn die neuen Koeffizienten aus Schritt 1 gleich sind und somit die Gleichungen subtrahiert werden.

Das Additionsverfahren ist in manchen Fällen praktischer als das Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren. Es lässt sich leichter als das Einsetzungs- bzw. Gleichsetzungsverfahren schematisieren und ist somit einfacher in ein Computerprogramm umsetzbar.

Bemerkungen:

Das Additionsverfahren wurde in Europa 1559 zum ersten Mal von dem französischen Mönch Johannes Buteo beschrieben. Im türkischen heißt das Verfahren yok etme metodu, wörtlich: Auslöschungsverfahren oder Vernichtungsverfahren. Die türkische Bezeichnung veranschaulicht die Entstehung der Dreiecksform beim Additionsverfahren. Ein anderer Ausdruck für Additionsverfahren ist Gauß-Algorithmus.

Die Sonderfälle beim Additionsverfahren:

Für die Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems gibt es drei verschiedene Fälle:

- L enthält genau ein Element
- L enthält kein Element.
- L enthält unendlich viele Elemente.

Ob ein lineares Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat, kann man auch beim Additionsverfahren erkennen. Wenn nach dem ersten Schritt beide Gleichungen gleich sind, so erhält man unendlich viele Lösungen. Die Lösungen können in einer einparametrigen Lösungsmenge dargestellt werden. Wenn nach dem ersten Schritt die beiden linken Terme gleich sind und die rechten Terme verschieden, dann kann es keine Lösung geben. Sonst existiert eine eindeutige Lösung.

2.2 Alternative Unterrichtsmöglichkeiten

Man kann den der vorzustellenden Unterrichtsstunde zu Grunde liegenden Sachverhalt anwendungsorientiert, aber auch innermathematisch motivieren und problematisieren. Für den anwendungsorientierten Zugang bieten sich Einkaufsaufgaben, inverse Probleme oder Aufgaben, bei denen Vektoren addiert werden, z. B. Schifffahrt mit und gegen die Strömung, an. Einen solchen Zugang halte ich für wenig sinnvoll, da dadurch zusätzliche Schwierigkeiten hinzukommen (Verständnis, Zusammenhang, Vektorrechnung). Im Übrigen sind die linearen Gleichungssysteme motiviert und die Schüler wissen bereits, dass wir rechnerische Lösungsverfahren suchen, also uns mit einem innermathematischen Problem beschäftigen. In der vorzustellenden Unterrichtsstunde wird das Verfahren innermathematisch motiviert, problematisiert und erarbeitet.

2.3 Didaktische Reduktion

Schwerpunkt der vorzustellenden Unterrichtsstunde ist die Problematisierung und die Erarbeitung des Additionsverfahrens für zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Da es sich beim Additionsverfahren um ein wichtiges Verfahren handelt und der in dieser Unterrichtsreihe noch zu behandelnde Gaußschen Algorithmus auf diesem aufbaut und in der analytischen Geometrie (Klasse 12) wichtig ist, soll das Verfahren im Unterricht geübt werden.

Auf die Korrektheit des Algorithmus wird nicht eingegangen, da dies anschaulich klar sein müsste. Die Multiplikation mit passenden Zahlen in Schritt 1 wird angesprochen, aber nicht weiter vertieft, da intuitiv passende Zahlen gefunden werden können.

Die Variante mit drei Gleichungen mit drei Variablen sowie die Verfeinerung in Form des Gaußschen Algorithmus wird aus Zeitgründen auf die nachfolgenden Stunden verlegt. Ebenfalls werden keine Lösbarkeitsbetrachtungen durchgeführt, da sie einerseits geometrisch bereits bekannt sind und andererseits ein Zusatzaspekt darstellen, den ich in der Folgestunde behandeln möchte (vgl. Kapitel 6).

3. Didaktisch-methodische Entscheidungen

3.1 Lernziele

3.1.1 Stundenziel

Die Schüler sollen das Additionsverfahren kennen lernen und anwenden.

3.1.2 Feinlernziele

Die Schüler sollen ...

1. angeben können, dass man zwei Gleichgewichtszustände addieren darf, ohne dass eine Waage aus dem Gleichgewicht gerät, und dies mathematisch und verbal formulieren können. (REORGANISATION)
2. ein LGS, bei dem der Koeffizient vor dem y in der zweiten Gleichung die Gegenzahl des Koeffizienten von y in der ersten Gleichung ist, durch Addition und Äquivalenzumformungen lösen können. (REORGANISATION)
3. ein LGS, bei dem der Koeffizient vor dem y in der zweiten Gleichung identisch ist mit dem Koeffizienten von y in der ersten Gleichung, lösen können, indem sie eine Gleichung mit -1 multiplizieren, die Gleichungen anschließend addieren und die gesuchten Komponenten bestimmen. (TRANSFER / REORGANISATION)
4. das Additionsverfahren formulieren können, indem sie die Vorgehensweise des zweiten Beispiels verallgemeinert verbalisieren. (REORGANISATION)
5. das Additionsverfahren anwenden und LGS mit Gleichungen in allgemeiner Form korrekt lösen können. (TRANSFER / REORGANISATION)

3.2 Lehr- und Sozialformen

In den Erarbeitungsphasen werde ich als Sozialform den fragend-entwickelnden Frontalunterricht wählen, da somit durch gezielte Impulse und Fragen im Vergleich zu Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit ein flexibleres Eingehen auf die Schüler möglich ist.

So ist es auch bei eventuell auftretenden Schwierigkeiten möglich die Schüler so zu führen, dass sie die einzelnen Lernziele selbstständig erreichen.

Zudem können auf diese Weise auch weniger aktive Schüler in den Unterricht miteinbezogen werden. Durch gezieltes Ansprechen schwächerer Schüler kann sichergestellt werden, dass diese den Entwicklungen folgen können.

Die Übungsphase wird in Einzelarbeit durchgeführt, wobei ich durch die Reihen gehe und sicherstelle, dass alle Schüler arbeiten. Dabei beantworte ich gegebenenfalls auch Fragen der Schüler. Die Einzelarbeitsphase gewährleistet, dass alle Schüler das Additionsverfahren einüben.

3.3 Lernerfolgskontrollen

Das Erreichen der Lernziele wird während der gesamten Unterrichtsstunde anhand der mündlichen Schülerbeiträge über­prüft. Lernerfolgskontrollen finden unter anderem in Form von Wiederholungen oder der Aufforderung, Aussagen zu erklären oder zu begründen, statt. Das Rekapitulieren und Verbalisieren des Verfahrens ist eine weitere Lernerfolgskontrolle. Weiterhin kann ich mir während der Partner- und Einzelarbeit in der Übungsphase einen Überblick über den Lernerfolg der Schüler verschaffen.

3.4 Medien

Nennung, Beschreibung und methodische Begründung der verwendeten Medien:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.5 Hausaufgaben

Als vorbereitende Hausaufgabe lösen die Schüler folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Ergebnis der Aufgabe wird nach der Erarbeitungsphase 2 besprochen. Die Aufgabe ist identisch mit Aufgabe 3 des Arbeitsblattes. Sie bietet die Möglichkeit das neue Verfahren mit den bereits bekannten zu vergleichen (vgl. 5.1).

Als nachbereitende Hausaufgabe soll das neue Verfahren mit drei Aufgaben geübt und gefestigt werden.

4 Verlauf der Stunde

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Auf die Voraussetzungen wird im Lehrplan ausdrücklich hingewiesen, vgl. Lehrplan für die Klassenstufen 7 und 8 – Gymnasium – Mathematik (Saarbrücken, 1984), S. 34.

^[2] vgl. Lehrplan für die Klassenstufen 7 und 8 – Gymnasium – Mathematik (Saarbrücken, 1984), S. 34-36.