Der Satz von Schönflies

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Der Satz von Schön ies

3 Jordanscher Kurvensatz

4 Ankleben einer D² an das Innere

5 Klassi zierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0

6 Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion

7 Ausweitung der Einbettung zum Di eomorphismus

8 Verallgemeinerung und verwandte Probleme

1 Einleitung

Das Ziel dieser Arbeit ist der Beweis des Satzes von Schön ies, der zunächst vorgestellt wird. Dieser Beweis ist sehr komplex und umfasst zwei - schon an sich sehr wichtige - Sätze, nämlich den Jordanschen Kurvensatz (vgl. Kapitel 3) und den Satz über die Charakterisierung der geschlossenen Flächen (vgl. Kapitel 5). Hierüber entsteht im Laufe der Arbeit der Beweis des Satzes von Schön ies, welcher in Kapitel 7 noch einmal zusammengefasst wird. Abschlieÿend wird im achten Kapitel ein Ansatz zur Verallgemeinerung des Satzes bzw. eine ähnliche Formulierung betrachtet und kurz erläutert.

Vorrausgesetzt sind in dieser Arbeit Grundkenntnisse der Analysis und der Di erentialgeometrie bzw. -topologie. Insbesondere sollte der Begri der Untermannigfaltigkeiten geläu g sein. Zusätzlich werden, obwohl hier eine di e- renzierbare Version des Satzes von Schön ies betrachtet wird, an vielen Stellen Kenntnisse der Topologie benötigt.

Mit diesen Grundkenntnissen sollte es möglich sein, ein Verständnis des Beweises zu erhalten und die Komplexität dieses zunächst recht einfach klingenden Satzes zu verstehen.

2 Der Satz von Schön ies

Der Satz von Schön ies wurde erstmals 1908 in dem Buch Die Entwicklung der Lehre von Punktmannigfaltigkeiten von Arthur Schön ies verö entlicht. Ich möchte den Satz in folgender Formulierung betrachten:

Satz. 2.1. Satz von Schön ies

Eine glatte Einbettung f der S¹ in den R² lässt sich stets zu einem Di eomorphismus [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] : R² → R² erweitern, so dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]|S1 = f .

Hierbei ist

De nition 2.2. Seien X,Y glatte Mannigfaltigkeiten. Eine glatte Einbettung ist eine Einbettung f : X → Y , so dass f ein Di eomorphismus auf sein Bild ist.

Bemerkung 2.3. im Folgenden sollen, soweit es nicht anders erwähnt ist, Einbettungen stets glatt sein.

Betrachtet man den Satz von Schön ies, so erkennt man, dass jeder Di eo- morphismus des R² stets eine Einbettung der S¹ induziert. Der Satz formuliert jedoch gerade die umgekehrte Schlussrichtung, die nicht trivial ist. Um den ge- wünschten Di eomorphismus zu erzeugen ist man versucht, um die entstandene

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Einbettung der S¹ in die Ebene

Kurve weitere Kurven zu legen und so die Abbildung fortzusetzen (s. Abbildung 1). Auch wenn dies anschaulich funktionieren mag, stellt sich doch die Frage, ob ich hierbei auch noch im Ursprung eine di erenzierbare Abbildung scha en kann, usw.. An diesen Überlegungen merkt man schon, dass hier nicht auf einen formalen Beweis verzichtet werden kann.

Der Satz von Schön ies taucht aber auch in anderen Formulierungen auf. So ist zum Beispiel ebenfalls interessant, ob bei einer homöomorphen Einbettung der S¹ immer noch ein Homöomorphismus der Ebene gefunden wird, so dass seine Einschränkung der Einbettung entspricht. Selbst diese scheinbare Vereinfachung ist keinesfalls trivial und ihr Beweis benötigt noch mehr topologische Kenntnisse als hier vorausgesetzt werden. Auch sind Verallgemeinerungen in andere Dimensionen von Interesse. An dieser Verallgemeinerung des Satzes, einer Verschärfung seines Di erenzierbarkeitsargumentes und an einer Vereinfachung des Beweises wird noch immer gearbeitet.

Arthur Moritz Schön ies wurde 1853 in Landsberg an der Warthe geboren. Er studierte an der Friedrich-Wilhelms-Universität in Berlin, wo er unter An- deren von Karl Weierstraÿ unterrichtet wurde. Nach seinem Studium nahm Schön ies 1876 zunächst eine Lehramtstätigkeit im Schuldienst auf. Nach 8 Jahren entschied er sich jedoch für eine Hochschullehrerlaufbahn und habi- litierte sich in Göttingen. Im Jahre 1899 folgte Schön ies einem Ruf an die Königsberger Albertus-Universität, bevor er 1911 zur Gründung des ersten Lehrstuhls für Mathematik an die neu entstehende Frankfurter Universität be- rufen wurde. Mathematisch war Schön ies der Geometrie zuzuordnen, wobei dies die mengentheoretische Topologie einschlieÿt. In der Geometrie befasste er sich mit einem sehr breiten Spektrum, das von rein mathematischen Fragen der synthetischen und analytischen Geometrie, bis hin zu angewandter Mathe- matik reichte. Gröÿte Bekanntheit erzielte Schön ies mit seiner Aufstellung der 230 Raumgruppen, die für die Kristallographie eine groÿe Rolle spielen, aber vor allem mit dem in dieser Arbeit betrachteten Satz von Schön ies, den er in seiner Königsberger Zeit aufstellte (vgl. [Fr]).

Nach diesen Vorbemerkungen will ich mich nun dem Beweis des Satzes von Schön ies widmen.

3 Jordanscher Kurvensatz

Der grundlegende Satz in der Betrachtung von Einbettungen der S¹ in den R² ist der Jordansche Kurvensatz. Er besagt, dass jede Jordankurve [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] : [a, b] → R die Ebene in genau zwei disjunkte Gebiete trennt. Das Trennen der Ebene bedeutet hiebei, dass der Rand beider Gebiete gerade das Bild der Kurve ist und die Vereinigung der Gebiete mit ihrem Rand dem R² entspricht. Auÿerdem ist:

De nition 3.1. Eine Jordankurve oder einfach geschlossene Kurve ist eine stetige Abbildung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] : [a, b] → Rn mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](a) = [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](b) und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](t1) = [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](t2) für alle[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Damit entsprechen Jordankurven gerade homöomorphen Einbettungen der S¹.

Sowohl die Jordan-Kurven als auch der Jordansche Kurvensatz sind nach dem französische Mathematiker Marie Ennemond Camille Jordan benannt. Er wurde 1838 in Lyon geboren und studierte ab 1855 an der École Polytechni- que in Paris. Dann arbeitete er als Ingenieur, betrieb jedoch nebenbei mathe- matische Forschung. Er wurde 1876 Professor für Analysis in Paris und 1916 Präsident an der Académie des Sciences. Jordan beschäftigte sich mit der Ana- lysis, der Gruppentheorie und der Topologie, wobei er fundamentale Beiträge leisten konnte. Daher wurde neben den hier untersuchten Objekten auch die Jordansche Normalform ihm zu Ehren benannt. Camille Jordan starb 1922 in Paris (siehe [Wi]: Marie Ennemond Camille Jordan ).

Ich werde im Folgenden den Beweis des Jordanschen Kurvensatzes für glat- te Einbettungen der S¹ in den R² erbringen. Dieser Beweis kann jedoch oh- ne gewichtige Veränderungen für jede (n − 1)-dimensionale, kompakte, glatte Untermannigfaltigkeit ohne Rand im Rn übernommen werden. Auÿerdem ist hier, wie schon in den Vorbemerkungen erkennbar, ein Beweis mit schwächeren Bedingungen ebenfalls möglich. Der Jordansche Kurvensatz ist mit der von Brouwer gezeigten Erweiterung, dass in diesem Fall ein Gebiet eine kompakte Untermannigfaltigkeit ist, vervollständigt.

Satz. 3.2. Jordanscher Kurvensatz

Jede glatte Einbettung f : S¹ → R² trennt die Ebene in zwei o ene, wegzsh. Teilmengen, das Innere D₁ und das Äuÿere D₀.

Hierbei ist D₁ eine kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rand ² = f (S¹ ).

Versucht man sich diesen Satz anschaulich klar zu machen, so erscheint er trivial. Deshalb wurde er auch lange Zeit ohne Beweis verwendet. Erst 1893 erbrachte Camille Jordan einen ersten noch nicht vollständigen Beweis. Jedoch erkennt man auch schon an noch recht einfachen Beispielen, wie dem in Abbil- dung 2, dass die Trennung von Innerem und Äuÿerem nicht so trivial ist, wie es erscheinen mag.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: nicht-triviale Einbettung der S¹ in die Ebene (aus [GP] S. 86) Beweis. (nach [GP] S. 88-91)

Vorüberlegung:

Da X := f (S¹ )[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] S¹ ist, ist X eine zusammenhängende, kompakte eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R² ohne Rand.

1. Schritt: Es gibt maximal zwei Gebiete.

Sei zunächst z ∈ R² − X ein beliebiger Punkt. Betrachte nun die Menge Mz der Punkte x ∈ X, zu denen es in jeder Umgebung einen Punkt gibt, der mit z verbindbar ist, ohne dass diese Verbindung X schneidet.

Diese Menge ist nicht leer, denn betrachtet man eine Gerade von z zu einem Punkt auf X, die dann ohne Einschränkung X sonst nicht schneidet (ansons- ten wähle Schnittpunkt der z am nächsten ist, ein solcher existiert wegen der Kompaktheit). Diese Gerade läuft dann durch jede Umgebung U des Punk- tes auf X und verbindet somit einen Punkt aus U mit z. Auÿerdem ist die Menge Mz abgeschlossen, da in jeder Umgebung U eines Punktes des Randes ein x aus Mz liegt. Da aber U o en ist, liegt auch eine Umgebung von x in U und ein Punkt in dieser - also in U - ist mit z verbindbar. Auÿerdem ist die Menge o en, denn erfüllt x ∈ X diese Bedingung, so gibt es eine Umgebung, so dass X ∩ U (durch eine Kartenabbildung) als x-Achse des R² aufgefasst werden kann. In dieser Umgebung gibt es nach Voraussetzung einen Punkt y, der mit z verbindbar ist, ohne Einschränkung in der oberen Halbebene. Nun schneidet aber jede Umgebung eines Punktes der x-Achse die obere Halbebene und diese ist wegzusammenhängend, also ndet sich ein Punkt, der mit y und somit mit z verbindbar ist.

Da aber X zusammenhängend und diese Menge nicht leer, o en und abge- schlossen ist, entspricht sie schon X. Also gibt es zu jedem Punkt x ∈ X und jeder seiner Umgebung einen solchen Weg. Damit kann aber R² − X höchs- tens zwei zusammenhängende Komponenten haben, denn sei U eine Umgebung von x aus X, die genügend klein ist, also nur in zwei (wegzusammenhängende) Teile zerfällt, so ist jeder Punkt aus R² − X mit einem Punkt aus einem dieser Gebiete verbindbar.

2.Schritt: Umlaufzahl ist in Gebieten konstant.

Sind zwei Punkte z und z′ nun in einer Komponente und sei w : I → R² − X ein Weg zwischen ihnen, so hat X als Kurve aufgefasst dieselbe Umlaufzahl um z und z′, da

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

eine Homotopie zwischen den - die Umlaufzahl de nierenden - Funktionen ist. Die Umlaufzahl ist eine Homotopieinvariante.

Schritt 3: Es gibt mindestens zwei verschiedene Umlaufzahlen.

Auf Grund der Kompaktheit von X ist X beschränkt, daher wird für |z| groÿ die Umlaufzahl 0. Die Abbildung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ist dann nämlich nicht mehr surjektiv auf die S¹ und damit muss die Umlaufzahl 0 sein.

Sei nun z₀ ∈ R² − X vorgegeben und v ∈ S¹ ein Richtungsvektor, der von z₀ zu einem Punkt x ∈ X zeigt, so lässt sich die Menge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

betrachten. Angenommen r berührt X tangential, dann ist v kritischer Wert der Abbildung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da aber nach dem Theorem von Sard (vgl. [Mi] S. 10 .) die kritischen Werte eine Nullmenge im Bild bilden, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass r die Kurve X transversal schneidet. Sei nun z₁ ein weiterer Punkt auf r und l die Anzahl der Schnittpunkte von r mit X zwischen z₀ und z₁. Dann ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei u1 analog zu u0 de niert ist.

Allgemein gilt damit für die Umlaufzahlen in z₀ und z₁

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Insbesondere können wir aber z₁ so wählen, dass l = 1 ist, dann ist sogar

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach diesen Beobachtungen gibt es aber ohne Einschränkung sowohl Punkte mit Umlaufzahl 0 als auch mit Umlaufzahl 1. Daher besteht R² − X aus maximal zwei Wegekomponentne mit konstanter Umlaufzahl und zerfällt somit in genau zwei Wegekomponenten. Diejenige mit Umlaufzahl 0 nenne ich D₀ und die mit Umlaufzahl 1 im Folgenden D₁.

4.Schritt: Untersuchung des Inneren

Da für Punkte mit groÿem Betrag die Umlaufzahl 0 wird, ist auch D₁ be- schränkt, also D₁ kompakt. Man erkennt, dass D₁ und D₀ ebenfalls o en sind, denn z ∈ Di wird durch o ene Umgebungen Ux von z und Vx von x ∈ X ge- trennt, endlich viele Vx0 überdecken aber X (Kompaktheit) und daher ist ⋂Ux Umgebung von z in R−X. Diese ist jedoch ohne Einschränkung ein Epsilonball um z, dieser ist wegzusammenhängend, die Umlaufzahl von X um z ist also hierin konstant. Damit ist er eine Umgebung von z in Di. Der Rand von D₁ ist gerade X, also eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit. Damit ist aber D₁ zweidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand.

[...]