Adverse Selektion auf Versicherungsmärkten - Modelltheoretische Fundierung

INHALTSVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung : Abgrenzung des Themas und Gang der Arbeit

2. Grundlagen
2.1. Das Bernoulli-Prinzip als Grundlage zur Entscheidungsfindung
2.2. Risikoeinstellungen
2.3. Der Versicherungsmarkt
2.3.1. Begriff des Versicherungsschutzes
2.3.2. Situation eines Versicherungsnehmers
2.3.3. Der Versicherer
2.4. Informationsverteilung
2.4.1. Bedeutung der Informationsverteilung
2.4.2. symmetrische Informationsverteilung
2.4.3. asymmetrische Informationsverteilung und ihre Erscheinungsformen

3. Der Versicherungsmarkt bei symmetrischer Information
3.1. Prämissen des Grundmodells
3.2. Wahl des individuell optimalen Deckungsgrades
3.3. Angebot und Marktgleichgewicht
3.3.1. Prämiendifferenzierung und Gleichgewichtsbedingung
3.3.2. First-Best-Optimum

4. Der Versicherungsmarkt bei asymmetrischer Information
4.1. Einschränkungen der Informationsannahmen
4.2. Adverse Selektion bei Durchschnittstarifierung
4.3. Gleichgewichtskonzepte unter asymmetrischer Information
4.3.1. Der Versicherungsmarkt als Principal-Agent-Beziehung
4.3.2. Signaling am Versicherungsmarkt
4.3.3. Self-Selection
4.3.4. Definition des Nash-Gleichgewichts
4.4. Modellierung des Second-Best-Optimums
4.4.1. Angebotsstruktur unter self-selection als second-best-optimum
4.4.2. Pareto - Effizienz bei self - selection
4.4.3. Prüfung der Existenz eines trennenden Gleichgewichtes
4.5. Ausblick auf Änderung des Modelles
4.5.1. Interne Subventionierung und Transfer-Gleichgewicht
4.5.2. Versicherungsmarkt ohne informationsmäßige Kooperation
4.6. Ausblick auf weitere Gleichgewichtskonzepte
4.7. staatliche Regulierung am Versicherungsmarkt

5. Zusammenfassung und Bewertung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 2.1: Die Versicherungsgerade

Abb. 2.2: Indifferenzkurven unterschiedlicher Risikoklassen

Abb. 3.1: Optimaler Deckungsgrad bei festem Prämiensatz und unterschiedlicher Schadeneintrittswahrscheinlichkeit

Abb. 3.2: Gleichgewicht am Versicherungsmarkt unter Prämiendifferenzierung

Abb. 4.1: Gleichgewicht am Versicherungsmarkt unter self-selection

Abb. 4.2: Situation am Versicherungsmarkt ohne trennendes Gleichgewicht

Abb. 4.3: Situation am Versicherungsmarkt unter interner Subventionierung

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung : Abgrenzung des Themas und Gang der Arbeit

Durch eine Vielzahl empirischer Studien ist belegt, dass sich die Mehrzahl der Individuen risikoscheu verhält¹. Für diese Individuen ist es wünschenswert, die Betroffenheit von für sie ungünstigen Umweltzuständen zu reduzieren und somit ihr bestehendes Risiko zu verringern. Versicherungsschutz stellt ein geeignetes Instrument zum Risikotransfer vom Versicherungsnehmer auf den Versicherer dar.

Versicherungsnehmer haben in der Praxis im Regelfall unterschiedliche Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten und daraus folgend auch eine variierende Bereitschaft, vom Versicherer vorgegeben Prämien für den Risikotransfer zu zahlen. Kennen die Versicherer ihrerseits die individuellen Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten der jeweiligen Versicherungsnehmer, so können sie dies in der Prämienkalkulation entsprechend berücksichtigen. Es ist aber davon auszugehen, dass die Versicherungsnehmer ihre persönliche Schadenerwartung dem Versicherer gegenüber geringer angeben werden als sie tatsächlich ist, da sie hierdurch hoffen eine günstigere Prämie für ihren Versicherungsvertrag zu erhalten. Ist der Versicherer in Bezug auf die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit schlechter informiert als der VN, so liegt ein Fall von asymmetrischer Informationsverteilung vor².

Die Auswirkungen asymmetrischer Informationsverteilung sind seit einer Arbeit von Akerlof³ in vielen Wirtschaftsbereichen untersucht worden. Wesentliche Erkenntnisse für den Bereich des Versicherungsmarktes gehen dabei auf Rothschild/Stiglitz⁴ zurück. Beide Werke haben den Begriff der Adversen Selektion entscheidend geprägt.

In der vorliegenden Arbeit wird die Adverse Selektion auf dem Versicherungsmarkt modelltheoretisch fundiert.

Im zweiten Kapitel dieser Arbeit werden kurz ein Entscheidungsprinzip und Annahmen zur Risikoeinstellung eingeführt, nach welchen die Akteure nachfolgend handeln sollen. Des Weiteren erfolgt hier eine bewusst einfach gehaltene Modellierung des Versicherungsmarktes und die Betrachtung möglicher Informationsverteilungen wobei der Schwerpunkt auf die verschiedenen Ausprägungen der Informationsasymmetrie gelegt wird. Im dritten Kapitel erfolgt die Modellierung eines Gleichgewichtes am Versicherungsmarkt unter vollkommener Konkurrenz und symmetrischer Informationsverteilung. Es wird gezeigt, dass dieses Gleichgewicht dann auch pareto-optimal⁵ ist.

Die Prämisse der symmetrischen Informationsverteilung wird im vierten Kapitel aufgehoben, um die dadurch entstehenden Auswirkungen auf das Marktgleichgewicht zu analysieren. In diesem Marktumfeld tritt dann Adverse Selektion auf. Für die Versicherungsnehmer bedeutet dies, dass die Existenz von „schlechten“ Risiken⁶ die Versicherungsprämie auch für „gute“ Risiken steigen lässt, bis diese komplett vom Versicherungsmarkt verdrängt werden.

Im allgemeinen Kontext der Principal-Agent-Theorie werden in der Literatur verschiedene Lösungsansätze diskutiert, die die Wohlfahrtsminderung durch asymmetrische Informationsverteilung beheben sollen⁷. Im Abschnitt 4.3. erfolgt daher eine Validierung der Anwendbarkeit dieser Ansätze am Versicherungsmarkt. Ausgangspunkt der weiteren anschließenden Analyse ist dann das Konzept des Nash-Gleichgewichts. Es wird gezeigt, dass ein solches Gleichgewicht unter einer Angebotsstruktur, welche zu self-selection führt, existieren kann. Daraufhin wird geprüft ob ein solches Gleichgewicht pareto-optimal ist und ob es immer existieren muss.

Am Ende des vierten Kapitels erfolgen dann noch ein Ausblick, wie sich das Modell bei Änderung der grundlegenden Prämissen verhält, und ein kurzer Ausblick auf andere Gleichgewichtskonzepte.

Die Arbeit endet im fünften Kapitel mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse, deren Einordnung im Kontext der realen Versicherungswirtschaft.

2. Grundlagen

2.1. Das Bernoulli-Prinzip als Grundlage zur Entscheidungsfindung

Für die Entscheidungssituationen in den folgenden Kapiteln gilt es ein Entscheidungsprinzip festzulegen, nach dem die Akteure die Auswahl zwischen den möglichen Handlungsalternativen treffen.

Bei Entscheidungssituationen unter Risiko liefert jede mögliche Handlungsalternative eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ergebnissen⁸. Der rational handelnde Akteur⁹ wird eine Präferenzordnung dieser wahrscheinlichkeitsverteilten Ergebnisse bilden und nach dieser die Wahl der Handlungsalternative treffen.

Von allen in der entscheidungstheoretischen Literatur vorgeschlagenen Prinzipien kommt dem Bernoulli-Prinzip insbesondere in der Versicherungsökonomie besondere Bedeutung zu^{10 11}. Dieses Prinzip bildet daher nachfolgend die Grundlage in den Entscheidungssituationen.

Nach dem Bernoulli-Prinzip gibt es eine eindeutige Nutzenfunktion (U)¹². Die Präferenzordnung des Akteurs wird dann aus den Nutzenerwartungswerten gebildet¹³. Eine Handlungsalternative a ist einer Alternative b vorzuziehen, wenn der Nutzenerwartungswert E(U(a)) =V (a) der Alternative a größer ist als der Nutzenerwartungswert E(U(b)) =V (b) der Alternative b. Es muss dann folglich gelten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2. Risikoeinstellungen

Akteure sind im unterschiedlichen Maße bereit Risiken¹⁴ einzugehen¹⁵. Es können hierbei mit Risikofreude, Risikoneutralität und Risikoaversion¹⁶ drei Grundtypen der Risikoeinstellung unterschieden werden.

Risikofreudige Akteure werden nur gegen Zahlung eines sicheren Betrages, der größer als der Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse ist, auf die Durchführung des Projektes verzichten. Die Risikonutzenfunktion(U)¹⁷ verläuft in diesem Fall konvex(U′>0, ′ Ein risikoneutraler Akteur ist indifferent zwischen dem Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse und einer sicheren Zahlung in gleicher Höhe. Hier verläuft die Risikonutzenfunktion linear (U′ > 0,U ′′ = 0)

Risikoaversion liegt dann vor, wenn der Akteur eine sichere Zahlung dem Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse in gleicher Höhe vorzieht¹⁸. Die Risikonutzenfunktion hat dann einen konkaven Verlauf[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Grundlage der weiteren Überlegungen ist ein risikoavers handelnder Versicherungsnehmer. Diese Annahme ist insoweit zu rechtfertigen, da die in der Praxis zu beobachtenden Versicherungsprämien regelmäßig über dem Schadenerwartungswert liegen¹⁹. Nur ein risikoscheuer Versicherungsnehmer wird in diesem Fall überhaupt einen Versicherungsvertrag abschließen²⁰. Zudem ist Risikoaversion die nach empirischen Erkenntnissen vorherrschende Risikoeinstellung²¹.

Die Versicherer verhalten sich in der Modellbetrachtung risikoneutral. Die Begründung einer solchen Annahme kann in verschiedener Form erfolgen. Nell greift zur Begründung auf das Arrow-Lind-Theorem²² zurück. Hiernach „verhält sich ein Versicherer gegenüber einem Einzelrisiko approximativ risikoneutral, wenn die Zahl der bei ihm versicherten homogenen und voneinander unabhängigen Risiken gegen unendlich geht“²³.

Rothschild / Stiglitz begründen Risikoneutralität in einer Variante ihrer Überlegungen damit, dass die Anteilseigner einer Versicherungsgesellschaft selbst wiederum Versicherungsnehmer der Gesellschaft sind²⁴. „In this case the insurance company is just a mechanism for risk pooling. Under conditions where diversification is possible, each contract’s contribution to the company’s dividend (or loss) is proportional to its expected value.”²⁵

2.3. Der Versicherungsmarkt

2.3.1. Begriff des Versicherungsschutzes

Versicherungsschutz stellt eine Möglichkeit des Risikotransfers dar. Gegen Zahlung einer Versicherungsprämie übernimmt ein Versicherer²⁶ ein im Einzelnen ungewisses finanzielles Risiko von den Versicherungsnehmern. Versicherungsschutz ist somit ein bedingtes Zahlungsversprechen und kann als der Austausch eines unsicheren und (unbestimmten) großen Verlustes gegen einen kleinen, bestimmten und sicheren Verlust in Höhe der Versicherungsprämie bezeichnet werden²⁷.

Vor dem Hintergrund ansonsten unveränderter Bedingungen kann Versicherungsschutz als ein Mittel charakterisiert werden, mit dem die Unsicherheit der Wirtschaftssubjekte gemindert werden kann²⁸ und - Risikoaversion unterstellt - seine Wohlfahrt vergrößert²⁹.

2.3.2. Situation eines Versicherungsnehmers

Der potentielle Versicherungsnehmer (VN) hat die Möglichkeit, ein Risiko zu versichern, welches sich während der folgenden Periode realisieren kann.

Der VN verfüge zu Periodenbeginn über ein festes Vermögen (W _A )³⁰. Mit einer Wahrscheinlichkeit (p) geht der VN davon aus, dass sich in der folgenden Periode ein Schaden (S )³¹ ereignet, der sein Vermögen reduziert.

Zur Vereinfachung sei angenommen, dass nur Totalschäden (S = W_A auftreten können³².

Das Vermögen des potentiellen VN zu Periodenende nimmt im Schadenfall den Wert (W ) und für den Fall, dass kein Schaden eintritt den Wert (W₁ ) an. Es gilt somit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der VN hat zu Periodenbeginn die Möglichkeit, bei einem Versicherer (VR) einen Versicherungsvertrag abzuschließen. Der VN erhält hierbei gegen die Zahlung der Versicherungsprämie (VP) im Schadensfall einen Anspruch auf Versicherungsleistung (VL). Die Versicherungsleistung bestimmt sich nach der Höhe des eingetretenen Schadens und dem vertraglich vereinbarten Deckungsgrad (d )³³.

(2.2) VL = Sd

Der VN hat im Schadenfall somit eine Selbstbeteiligung (SB) von SB = S (1− d ) zu tragen.

Wenn sich der VN zum Abschluss des Versicherungsvertrages entschließt, so sei V (W₁ V ) das Vermögen am Periodenende wenn kein Schaden eintritt und (W₂V ) das Vermögen am Periodenende im Schadenfall. Für diese beiden Werte gilt dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch den Abschluss des Versicherungsvertrages vermindert sich also das Vermögen des VN um den Wert VP für den Fall das kein Schaden eintritt und es erhöht sich um den Wert (VL-VP) im Schadenfall. Über die Wahl des Deckungsgrades lassen sich eine Vielzahl von möglichen Endvermögensverteilungen darstellen.³⁴ In der Abb. 2.1³⁵ wird dies nochmals verdeutlicht.

W stellt die Endvermögensverteilung ohne Versicherungsschutz dar UV (d=0). Im Punkt W dagegen besteht vollständige Versicherungsdeckung V (d=1). Um die Versicherungsdeckung zu erhalten, muss der Versicherungsnehmer die entsprechende Prämie VP aufwenden. Der Versicherungsnehmer kann neben diesen beiden Punkten auch beliebige Teildeckungen erwerben (0 < d < 1). Diese Deckungen liegen in Abb. 2.1 auf der Strecke zwischen W und W . Die Strecke W wird daher V UV V UVW auch als die Versicherungsgerade bezeichnet³⁶. Wie man in Abb. 2.1 leicht erkennt, steigt die Versicherungsprämie entlang der Versicherungsgerade proportional zum Deckungsgrad.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.1: Die Versicherungsgerade (Vom Verfasser modifiziert übernommen aus: Nell (1993) S.41)

Die Steigung der Versicherungsgeraden wird dabei bestimmt durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Steigung der Versicherungsgeraden gibt somit an, wie viel Vermögen ein VN bei Schadenfreiheit aufgeben muss, um sein Vermögen im Schadenfall um genau eine Einheit zur erhöhen³⁷.

An dieser Stelle soll das für die spätere Modellierung wichtige Instrument der Indifferenzkurve eingeführt werden. Alle Punkte auf einer der Indifferenzkurven[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in Abb. 2.2 stellen jeweils eine für den Versicherungsnehmer mögliche Vermögensposition am Periodenende dar, die als gleich vorteilhaft betrachtet werden³⁸. Anders ausgedrückt kann man unter einer Indifferenzkurve auch „die Gesamtheit der [alternativ möglichen] Verträge mit gleichem Erwartungsnutzen“³⁹ verstehen. Die Indifferenzkurve [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stellt dabei die möglichen Vertragsvarianten dar, wenn H der VN zu einer Risikoklasse mit höherer Schadeneintrittswahrscheinlichkeit gehört und die Indifferenzkurve [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Vertragsalternativen bei niedriger Schadeneintrittswahrscheinlichkeit. Der Verlauf der Indifferenzkurven ist konvex.⁴⁰ Die Steigung der Tangente an einem Punkt der Indifferenzkurve entspricht der Grenzrate der Substitution.

Dieser Wert gibt den Betrag an, auf den ein VN bereit ist in der Vermögensposition[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu verzichten, damit er sein Vermögen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um eine Einheit erhöhen kann. Je größer die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit eines VN ist, umso geringer ist der Anstieg der Tangenten an die Indifferenzkurve. Die Indifferenzkurve selbst verläuft also insgesamt flacher je höher die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit ist. Dieses Ergebnis ist einfach nachzuvollziehen, da ein VN für eine Erhöhung vonWV um eine beliebige Einheit eher bereit ist eine höhere Prämie zu zahlen (und damit sein Vermögen V [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um eben diese Mehrprämie zu reduzieren), je wahrscheinlicher für ihn der Eintritt eines Schadens ist. In Abb. 2.2 wird dies für zwei Risikoklassen verdeutlicht. Um das Vermögen im Schadenfall um den Betrag [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] vom Punkt A aus zu erhöhen, ist bei niedrigerer Schadeneintrittswahrscheinlichkeit die Prämie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aufzuwenden. Die Endvermögensverteilung verschiebt sich von Punkt A nach Punkt B auf der IndifferenzkurveV . Bei hoher Schadeneintrittswahrscheinlichkeit ist eine L Prämie in Höhe von VPH erforderlich, damit die gleiche Erhöhung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erreicht werden kann. Die Verschiebung entlang der Indifferenzkurve [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]erfolgt hier von Punkt A nach Punkt C.

Die Endvermögensverteilung in den Punkten B und C ist noch immer vom eventuellen Schadeneintritt abhängig, da in beiden Punkten das Vermögen für den Fall ohne Schadeneintritt größer ist als im Schadensfall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Es ist für die Individuen gleichfalls möglich die Betroffenheit vom Schadenereignis vollkommen zu verhindern, indem sie eine Endvermögensverteilung anstreben für die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt und somit eine sichere Vermögensposition vorliegt. Solche Endvermögensverteilungen sind in Abb. 2.2 durch die Punkte D und E dargestellt. Alle Punkte, die sichere Vermögenspositionen darstellen, liegen auf der Winkelhalbierenden im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Diagramm. Die Winkelhalbierende wird daher auch als Sicherheitslinie⁴¹ bezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.2: Indifferenzkurven unterschiedlicher Risikoklassen (vom Verfasser modifiziert entnommen aus: Richter (1995) S. 14)

2.3.3. Der Versicherer

Die Versicherer (VR) halten sich bereit, den VN die gewünschten Versicherungsverträge anzubieten.

Der Wettbewerb zwischen verschiedenen VR sei so stark, dass jeder VR bereit ist, Versicherungsverträge mit einem Erwartungsgewinn von null anzubieten.

Es sei zudem angenommen, dass den VR keine weiteren Kosten neben der im Schadenfall zu zahlenden Entschädigung (VL) entstehen⁴².

Unter Zugrundelegen dieser Annahmen und der Risikoneutralität des VR wird dieser dem VN somit Versicherungsschutz anbieten, wenn er dafür eine Prämie (VP) in folgender Höhe erhält⁴³:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter Beachtung von (2.5) und (2.4) lässt sich der Anstieg der Versicherungsgeraden in Abb. 2.1 auch wie folgt berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus (2.6) wird nochmals deutlich, dass der Anstieg der Versicherungsgeraden, und somit die Bereitschaft des VN Vermögen bei Schadenfreiheit gegen Vermögen im Schadenfall aufzugeben, allein von der individuellen Schadeneintrittswahrscheinlichkeit des VN abhängt⁴⁴.

2.4. Informationsverteilung

2.4.1. Bedeutung der Informationsverteilung

Informationen können definiert werden als Nachrichten, die ein Wirtschaftssubjekt veranlassen, sein bestehendes Wahrscheinlichkeitsurteil über entscheidungsrelevante Daten oder Ereignisse zu ändern⁴⁵.

Auf den Versicherungsmarkt bezogen können Informationen die Entscheidung der potentiellen VN für oder gegen den Abschluss eines Versicherungsvertrages beeinflussen.

In dieser Arbeit sind die den Versicherungsnehmern und Versicherern vorliegenden Informationen entscheidend für die Erwartungsbildung der Schadeneintrittswahrscheinlichkeit.

Die Versicherungsnehmer verfügen annahmegemäß über vollständige Informationen. Die aus diesen Informationen gebildete Schadeneintrittswahrscheinlichkeit sei objektiv korrekt und nicht von subjektiven Einschätzungen der Individuen abhängig.

Die hier getroffene Annahme ist nicht in allen Bereichen der Versicherung zwingend. Plausibel erscheint sie zum Beispiel im Bereich der Lebensversicherung, wenn man die unterschiedliche Sterblichkeit von Rauchern und Nichtrauchern betrachtet.

[...]

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¹ Vgl. Bamberg/Coenenberg (1991) S. 83; Genauere Ausführungen zu verschiedenen Formen der Risikoeinstellung erfolgt in Abschnitt 2.2.

² Zur Problematik der Informationsverteilung siehe Abschnitt 2.4.

³ Vgl. Akerlof (1970)

⁴ Vgl. Rothschild/Stiglitz (1976)

⁵ Zum Begriff der Pareto-Optimalität siehe Abschnitt 3.3.2

⁶ Unter „schlechten“ Risiken seien Versicherungsnehmer mit hoher und unter „guten“ Risiken entsprechend Versicherungsnehmer mit niedriger Schadeneintritts- wahrscheinlichkeit verstanden.

⁷ Vgl. hierzu neben vielen anderen Spremann (1990), Hartmann-Wendels (1989), Hartmann-Wendels (1990)

⁸ Vgl. Nell ( 1993) S. 20

⁹ Es wird in dieser Arbeit generell von rational handelnden Versicherungsnehmern und Versicherern ausgegangen. Kritisch hierzu z.B. Farny (1989) S. 325 ff.

¹⁰ Vgl. hierzu u. a. Eisen (1979) S. 30 - 38

¹¹ Es sei angemerkt, dass das Bernoulli-Prinzip in der Literatur nicht unumstritten ist. Eine Auseinandersetzung mit dieser Kritik ist im Rahmen dieser Arbeit leider nicht möglich. Erörterungen zur Kritik finden sich u. a. bei Ellsberg (1961), Kreps (1990) und Schildbach (1989).

¹² Auf den Verlauf der Nutzenfunktion wird im Abschnitt 2.2. näher eingegangen.

¹³ Es wird davon ausgegangen, dass der Akteur im Sinne der Bernoulli-Axiome handelt. Auf eine Darstellung der Axiome muss im Rahmen dieser Arbeit verzichtet werden. Eine ausführliche Darstellung findet sich z.B. in Arrow (1974) und Schneeweiß (1967).

¹⁴ Unter dem Begriff Risiko sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung potentieller Ergebnisse einer Handlungsalternative verstanden. Vgl. Karten (1972) S. 152

¹⁵ Vgl. Nell (1993) S. 24

¹⁶ Gleichbedeutend für Risikoaversion wird auch der Begriff Risikoscheu verwandt.

¹⁷ Die Begriffe Nutzenfunktion und Risikonutzenfunktion werden nachfolgend synonym verwendet.

¹⁸ Vgl. Eisen (1979) S.40

¹⁹ Die reale Versicherungsprämie setzt sich zusammen aus Nettorisikoprämie (diese entspricht der Schadenerwartung) sowie Sicherheits-, Betriebskosten- und Gewinnzuschlag. Vgl. Karten (1993)

²⁰ Der Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse ohne Versicherungsschutz ist in diesem Fall sogar größer als der sichere Projektrückfluss mit Versicherungsdeckung. Aus dem Abschluss eines Versicherungsvertrages wird klar, dass die Versicherungsnehmer dennoch die Alternative mit Versicherungsschutz der Alternative ohne Versicherungsschutz vorziehen.

²¹ Vgl. Nell (1993) S.25

²² Vgl. Arrow / Lind (1970) S. 371

²³ Nell (1993) S.39-40

²⁴ In Deutschland liegt eine solche Konstruktion z.B. bei jedem Versicherungsverein auf Gegenseitigkeit (VVaG) vor.

²⁵ Rothschild / Stiglitz (1976) S. 631

²⁶ In der Praxis kann dies auch ein Konsortium aus mehreren Versicherungsgesellschaften sein.

²⁷ Vgl. Hax 1964

²⁸ Vgl. Zweifel/Eisen 2000

²⁹ Vgl. Nell (1995) S. 1

³⁰ Bei der Betrachtung der alternativ möglichen Vermögenspositionen werden generell keine Zinserträge berücksichtigt. Die gleiche Annahme findet sich auch bei Richter (1995) S. 6.

³¹ Analog der Betrachtungen von Richter (1995) S.5 und Lenz (2006) S.39 sei zur Vereinfachung angenommen, dass pro Vertragsperiode nur ein Schadenereignis auftreten kann.

³² Diese Annahme stellt eine starke Restriktion dar, die in der Praxis nur in wenigen Versicherungszweigen wie z.B. der Risikolebensversicherung auftritt. Hierdurch wird die spätere Analyse aber stark erleichtert. Nell (1993) und Richter (1995) treffen auch diese Annahme.

³³ Diese Annahme entspricht einer prozentualen Selbstbeteiligung. Das Ergebnis ändert sich aber auch bei einer festen Selbstbeteiligung nicht, da für einen Schaden auch mit jeder festen Selbstbeteiligung (SB) ein Deckungsgrad ermittelt werden kann (d=(S-SB) / S).

³⁴ Die Anzahl der alternativ möglichen Deckungsgrade gibt gleichzeitig die Zahl der möglichen Endvermögensverteilungen an.

³⁵ Die Art der Darstellung geht auf Hirshleifer (1964), (1965) zurück.

³⁶ Vgl. z.B. Strassl (1988) S.23 und Nell (1993) S. 41; Rothschild/Stiglitz (1976) verwenden synonym den Begriff „fair-odds line“.

³⁷ Vgl. Nell (1993) S. 41

³⁸ Vgl. Eisen (1979) S.43

³⁹ Richter (1995) S.12

⁴⁰ Vgl. Nell (1993) S. 44

⁴¹ Vgl. Nell (1993) S.41; Hirshleifer (1974) S.232 verwendet synonym auch den Begriff der „Gewißheitsgerade“

⁴² So werden z.B. Kosten für Vertrieb und Verwaltung explizit nicht mit berücksichtigt. Analoge Annahmen finden sich z.B. bei Eisen (1986) S.342.

⁴³ Eine so kalkulierte Prämie wird auch als „fair“ bezeichnet.

⁴⁴ Dies gilt wohlgemerkt nur unter der Annahme einer nach (2.5) „fair“ kalkulierten Prämie.

⁴⁵ vgl. Grichnik,D. / Schwärzel,F. (2002) S. A-4