Discontinuous Galerkin Methods

Diplomarbeit

Discontinuous Galerkin Methoden

Universität Stuttgart

29. November 2004

von

Stefanie Winter

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung ... 5

2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden  ... 6

3 Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme ...  7
3.1 Ausgangsproblem  ... . 7
3.2 Fluss-Formulierung  ... 9
3.3 Primale Formulierung  ... 11
3.4 Beispiele ... 14
3.4.1 Die Methode von Bassi und Rebay [5]  ...  17
3.4.2 Die LDG-Methode [17]  ...  18
3.4.3 Die klassische IP-Methode [18] ... 19
3.4.4 Die Methode von Baumann und Oden [7] ...  20
3.4.5 Die Methode von Brezzi et al. [13]  ... 20
3.4.6 Die Methode von Bassi et al. [6] ... 21
3.4.7 Methode von Babuska-Zlamal [4]  ... 22
3.5 Konsistenz  ...  23
3.6 Beschränktheit, Stabilität und Approximationseigenschaften  ... 26
3.6.1 Beschränktheit ...  26
3.6.2 Stabilität ...  31
3.6.3 Approximationseigenschaften ...  35
3.7 Fehlerabschätzung  ...  37
3.7.1 Unterscheidung für stabile, vollständig konsistente Methoden ... 37
3.7.2 Untersuchung für inkonsistente Methoden und verschärfte Strafterme ... 39
3.7.3 Untersuchung für schwach-stabile Methoden ... 42

4 Discontinuous Galerkin Methoden für hyperbolische Probleme  ... 50
4.1 Ausgangsproblem und Variationsformulierung  ... 50
4.2 Konsistenz und Stabilität  ...  53
4.3 A priori Fehlerabschätzung ... 57

5 Die DG- Methode für Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung  ... 60
5.1 Einführung  ... 60
5.2 Ausgangsproblem ...  61
5.3 Schwache Formulierung  ... 62
5.4 Existenz und Eindeutigkeit  ... . 67
5.4.1 Stabilität ... 67
5.4.2 Inf-Sup-Bedingung ...  69
5.5 Fehlerabschätzung  ... . 72

6 Appendix  ... 74

7 Zusammenfassung ... 76

8 Notation  ... 78

1 Einführung

In hyperbolischen Differentialgleichungen, wie etwa bei den Erhaltungsgleichungen, enthalten Lösungen oft sogenannte shocks, zu deutsch etwa mit \Sprünge"übersetzbar. Wünschenswert war und ist daher, eine Methode zur numerischen Berechnung von Lösungen zu finden, die mit diesen Unstetigkeiten umzugehen vermag. Die spezielle Art der Problemformulierung in der Discontinuous Galerkin Methode erlaubt Unstetigkeiten entlang einzelner Elementkanten und sie unterstützt damit die Verwendung allgemeiner, unstrukturierter Gitter.

Man kann wohl sagen, dass sich die Motivation und daher auch die Anfänge und Schwerpunktsgebiete der Discontinuous Galerkin Methode in Arbeiten zur numerischen Untersuchung von Lösungen hyperbolischer Probleme wiederfinden.

Mittlerweile ist es aber auch üblich, Forschungen für elliptische sowie parabolische Problemstellungen zu betreiben.

In dieser Arbeit wollen wir unser Augenmerk speziell auf die Theorie der Discontinuous Galerkin Methode für elliptische Dierentialgleichungen lenken. Dabei orientiert sich die Ausarbeitung hauptsächlich an Arnold, Brezzi, Cockburn, Marini [3], Castillo, Perugia, Schötzau [14], Brezzi, Manzini, Marini, Pietra und Russo [10] . Einige der im Literaurverzeichnis aufgeführten Quellen behandeln nur ausgewählte Spezialfälle der einzelnen Unterarten der Discontinuous Galerkin Methoden und bieten keinen umfassenden überblick über die gesamte Methode beziehungsweise die Grundideen, die hinter der neuen Art der Methode stehen.

Ziel dieser Arbeit soll jedoch sein, einen allgemein gültigen Rahmen der gesamten Discontinuous Galerkin Methoden angeben zu können. Auf die jeweiligen Unterarten wird, nach ausführlicher, allgemeiner Theorieabhandlung, in einem späteren Abschnitt zu den Beispiele eingegangen. Es folgen Fehlerabschätzungen, die einen Bezug zu jeder aufgelisteten Unterart nehmen und somit gemeingültige Aussagen über Fehlerordnungen der Discontinuous Galerkin Methoden ermöglichen.

Als kleiner Rückblick auf die eigentlichen Ursprünge der Methode soll im Anschluss an die umfassende Behandlung der Discontinuous Galerkin Methode für elliptische Differentialgleichungen die übertragung der Idee auf hyperbolische Methoden anhand der Advektion-Diffusions-Gleichung erfolgen. Motiviert wurden diese Ausarbeitungen hauptsächlich durch die Arbeit von Brezzi, Marini und Süli [11].

Vergleiche der Methode bezüglich ihres jeweiligen Anwendungsgebietes, also welche Besonderheiten jeweils etwa in elliptischen beziehungsweise hyperbolischen Problemen beachtet werden müssen, welche unterschiedlichen Zusatzbedingungen erforderlich sind, damit sich die Methode bewährt, können daher zusammenfassend getroffen werden. Als weiteren Ausblick wollen wir die Discontinuous Galerkin Methode in der Sattelpunktformulierung, am Beispiel der Elastizitätsgleichung, darstellen. Dabei orientieren wir uns hauptsächlich an den zweiten Teil der Arbeit [21] von P. Hansbo und M. Larson. 

2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden

Die Liste der Vorteile bei der Verwendung von Discontinuous Galerkin Methoden ist groß. Sie erlaubt beispielsweise die Wahl beliebiger Gitter, das heisst, dass man nichtkonforme Gitter, also willkürliche Netze, die hängende Knoten und Elementen unterschiedlicher Form aufweisen, benutzen darf.

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