Lösungsstrategien von Kindern bei Aufgaben zum „Logischen Schließen“

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1 Theoretischer Hintergrund
1.1 Was sind „Aufgaben zum ‚Logischen Schließen’“?
1.1.1 Begriffsklärung „Logik“ und „Schluss“
1.1.2 Problemlösen
1.1.3 Problemaufgaben
1.2 Aspekte des Lösens von Aufgaben zum „Logischen Schließen“
1.2.1 Textverstehen
1.2.2 Lösungsstrategien
1.2.3 Mathematisieren und Darstellen
1.2.4 Argumentieren

2 Die Aufgaben
2.1 Begründung für die Auswahl der Aufgaben
2.2 Analyse der Aufgaben
2.2.1 Die Aufgabe “Ruderboot”
2.2.2 Die Aufgabe “Spielfiguren”
2.2.3 Die Aufgabe “Murmeln”
2.3 Kritik an den Aufgaben

3 Interviewvorüberlegungen
3.1 Auswahl der Kinder
3.1.1 Durchführung des Wettbewerbs mit der gesamten Klasse
3.1.2 Auswahl der Kinder für die Einzelinterviews
3.2 Aufbau und Ablauf der Interviews

4 Auswertung der Interviews
4.1 Aspekte der Auswertung/ Forschungsfragen
4.2 Auswertung der Interviews zur Aufgabe „Ruderboot“
4.2.1 Textverstehen
4.2.2 Lösungsstrategien
4.2.3 Mathematisieren und Darstellen
4.2.4 Argumentieren
4.2.5 Zusammenfassung der Auswertung der Aufgabe „Ruderboot“
4.3 Auswertung der Interviews zur Aufgabe „Spielfiguren“
4.3.1 Textverstehen
4.3.2 Lösungsstrategien
4.3.3 Mathematisieren und Darstellen
4.3.4 Argumentieren
4.3.5 Zusammenfassung der Auswertung der Aufgabe „Spielfiguren“
4.4 Auswertung der Interviews zur Aufgabe „Murmeln“
4.4.1 Textverstehen
4.4.2 Lösungsstrategien
4.4.3 Mathematisieren und Darstellen
4.4.4 Argumentieren
4.4.5 Zusammenfassung der Auswertung der Aufgabe „Murmeln“

5 Reflexion und Ausblick
5.1 Reflexion: Mein Lerngewinn aus den Ergebnissen der Interviews
5.2 Reflexion: Mein Interviewverhalten

Literatur

Anhang
I. Der Mathematikwettbewerb Känguruh 2001
Ergebnisse der Durchführung des Känguru-Wettbewerbs mit der 4. Klasse
Interviews
a. Erläuterungen zu den Transkripten
b. Aufgabe „Ruderboot“
c. Aufgabe „Spielfiguren“
d. Aufgabe „Murmeln“

Einleitung

In dieser schriftlichen Hausarbeit beschäftige ich mich mit der Untersuchung von Lösungsstrategien von Grundschulkindern einer 4. Klasse bei Aufgaben, die „Logisches Schließen“ erfordern. Ich habe mich zu diesem Thema entschieden, da ich im Laufe meines Studiums und diverser Schulpraktika immer wieder darauf gestoßen bin, auf welch vielfältige und kreative Weise Kinder mit mathematischen Problemen^[1] umgehen. Manche Lösungsansätze, die die Kinder finden, würden uns Erwachsenen niemals einfallen. Besonders im Mathematikunterricht haben wir als „Experten“ unseres Faches feste Formeln und gelernte Vorgehensweisen im Kopf. Kinder dagegen können viel unvoreingenommener an mathematische Problemsituationen herangehen und entwickeln so oftmals kreative Lösungsstrategien, die Erwachsene überraschen.

Daher möchte ich in dieser Examensarbeit untersuchen, welche Lösungsstrategien Kinder entwickeln. Dabei habe ich mich zu Aufgaben zum „Logischen Schließen“^[2] entschieden, da hier besonders das Schlussfolgern und Vorgehen in Teilschritten einen Einblick in das Strategiedenken der Kinder ermöglicht. Für die Untersuchung habe ich sieben Einzelinterviews mit Kindern einer 4. Klasse in Bremen durchgeführt. Darauf gehe ich in Kapitel 3 genauer ein.

Meine Examensarbeit gliedert sich in fünf Teile. Zu Beginn der vorliegenden Arbeit stelle ich den notwendigen theoretischen Hintergrund meiner Untersuchung dar. Dazu definiere ich, was „Logisches Schließen“ beinhaltet und gehe auf Problemlösen und Problemaufgaben ein. Außerdem stelle ich vier Aspekte für das Lösen von Aufgaben zum „Logischen Schließen“ dar.

Im zweiten Teil stelle ich die Aufgaben, die die Grundlage meiner Untersuchung darstellen, vor. Ich begründe meine Auswahl und analysiere die Aufgaben auf der mathematischen Ebene. Dieses Kapitel schließt mit einer Kritik an den Aufgaben ab.

Im dritten Teil gehe ich auf die Vorüberlegungen zu meiner Untersuchung ein. Dies beinhaltet die Auswahl der Kinder sowie die Planung und Durchführung der Interviews. Hierbei erläutere ich, wieso ich mich für die Durchführung der Interviews in der dargestellten Form entschieden habe.

Danach werte ich im vierten Teil die Untersuchung anhand der vier Aspekte des Lösens von Aufgaben zum „Logischen Schließen“ aus und stelle die Ergebnisse meiner Interviews dar.

Abschließend reflektiere ich die gewonnen Ergebnisse der Untersuchung hinsichtlich der Lösungsstrategien der Kinder. Ich hinterfrage mein eigenes Verhalten während der Interviews, um daraus Schlüsse zu ziehen, was ich in solchen Situationen verbessern könnte und was mir gut gelungen ist. Schließlich stelle ich mir die Frage, wie die Aufgaben sinnvoll in den Unterricht eingebunden werden können und was dieses für mich als künftige Lehrerin bedeutet.

Während meiner Arbeit spreche ich von „Kindern“. Damit meine ich sowohl Schülerinnen als auch Schüler. Ich wähle diese geschlechtsneutrale Bezeichnung aus Gründen der besseren Lesbarkeit. Aus dem gleichen Grund verwende ich bei anderen Personenbezeichnungen ausschließlich die maskuline Form.

1 Theoretischer Hintergrund

Im ersten Teil meiner Examensarbeit möchte ich die theoretischen Hintergründe zu meiner Untersuchung darstellen. Zuerst werde ich deutlich machen, was für mich Aufgaben zum „Logischen Schließen“ darstellen. Dieses beinhaltet Begriffsklärungen von „Logik“ und „Schluss“, sowie Definitionen von Problemlösen und von Problemaufgaben. Weiter werde ich auf Aspekte eingehen, die ich für das Lösen von Aufgaben zum „Logischen Schließen“ als erforderlich erachte und die ich für die Auswertung meiner Interviews herangezogen habe. Dafür werde ich ihre Verknüpfung mit den theoretischen Grundlagen der Mathematikdidaktik aufzeigen.

1.1 Was sind „Aufgaben zum ‚Logischen Schließen’“?

1.1.1 Begriffsklärung „Logik“ und „Schluss“

In diesem Kapitel möchte ich den Begriff „Logisches Schließen“ definieren und daraus folgern, was Aufgaben zum „Logischen Schließen“ darstellen.

Das Adjektiv „logisch“ meint umgangssprachlich „nachvollziehbar“ und drückt speziell den Bezug zur Logik als Eigenschaft aus. Der Begriff „Logik“ wird in der Philosophie als Lehre vom vernünftigen Denken und Schließen definiert. Dabei werden gegebene Aussagen als wahr angenommen und in Beziehung zueinander gesetzt. Aus diesen Beziehungen werden Folgerungen abgeleitet. Ein bekanntes Beispiel dafür ist der logische Schluss „Sokrates ist sterblich“, der aus den wahren Aussagen „Alle Menschen sind sterblich“ und „Sokrates ist eine Mensch“ folgt (vgl. Wörterbuch der philosophischen Begriffe 1998, S. 383). „Schließen“ stellt eine Folge von Sätzen, die zum Teil aus Annahmen bzw. Bedingungen (Prämissen) bestehen und zum anderen aus Folgerungen (Konklusionen), die aus den Prämissen abgeleitet werden, dar. Ein Schluss wird als logisch bezeichnet, wenn die Gültigkeit der Folgerung durch die Bedeutung und die Anordnung der Bedingungen in den Annahmen bestimmt wird. Ein Beispiel hierfür sind die Aussagen „Es regnet“ und „Wenn es regnet, wird die Erde nass“. Unter den Vorrausetzungen, dass beide Aussagen wahr sind und dass die Reihenfolge „wenn…, dann…“ beachtet wird, kann aus diesen Prämissen „Die Erde ist nass“ gefolgert werden (vgl. Wörterbuch der philosophischen Begriffe 1998, S. 583-584).

Aufgaben zum „Logischen Schließen“ müssen also Aussagen anbieten, die als wahre Prämissen erkannt und übernommen werden können, und es dem Bearbeiter so ermöglichen, richtige Folgerungen abzuleiten und diese zu einem Ergebnis zu führen. Deshalb sollten diese Aufgaben so konstruiert sein, dass der Lösungsweg nicht klar ersichtlich ist, sondern durch gegebene Aussagen und Informationen das eigenständige Entwickeln von logischen Schlüssen zur Findung eines Lösungsweges erforderlich machen. Mit andern Worten müssen die Aufgaben ein Problem darstellen.

1.1.2 Problemlösen

In diesem Abschnitt definiere ich den Begriff „Problem“ und lege dar, was das Problemlösen von Schülern erfordert.

Büchter und Leuders definieren ein Problem als „Aufforderung eine Lösung zu finden, ohne dass ein passendes Lösungsverfahren auf der Hand liegt.“ (Büchter/ Leuders 2005, S. 28). So muss der Problemlöser neue Lösungsansätze entwickeln oder zumindest bekannte Verfahren abwandeln und auf die neue Situation übertragen. Deshalb sei Problemlösen „ein kreativer Akt, mindestens aber mit Transferleistungen verbunden.“ (Büchter/ Leuders 2005, S. 28). Um ein mathematisches Problem zu lösen, muss der Problemlöser einen mehrstufigen Prozess durchlaufen: Er muss aus der Ausgangssituation heraus einen Ansatz aufstellen und diesen bearbeiten. Dabei ist eine Orientierung an allgemeinen Problemlösestrategien (Heuristiken) erforderlich. Die Lösung, die sich aus der Bearbeitung ergibt, muss auf die anfängliche Situation rückinterpretiert werden. Dieser Prozess gleicht dem des Modellierens von außermathematischen Kontexten, wobei sich nach Büchter und Leuders das Problemlösen im Gegensatz zum Modellieren auf innermathematische Situationen (s. Kapitel 1.2.3) bezieht (vgl. Büchter/ Leuders 2005, S. 30-31).

In den Bildungsstandards für das Fach Mathematik für den Primarbereich gehört Problemlösen zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen, in Abgrenzung zu den inhaltsbezogenen Kompetenzen. Die allgemeinen Kompetenzen zielen dabei auf die „Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte“ als „Teil der mathematischen Grundbildung“ (KMK 2005, S. 6) ab. Folgende Punkte werden in den Bildungsstandards als Problemlösen dargestellt:

- „Mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden,
- Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z. B. systematisch Probieren),
- Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen.“

(KMK 2005, S. 7).

Die notwendigen Schritte zum Finden der Lösung eines mathematischen Problems hat der Mathematiker George Polya 1949 in vier Phasen eingeteilt. Dabei hat er eine Tabelle erstellt, die mit Fragen und Anregungen zu jeder Phase, Lehrer und Schüler beim Problemlösen unterstützen soll (Polya 1995, S.11). Die Tabelle erscheint in seinem Werk „How to solve it“ (deutscher Titel: Schule des Denkens) auf den Innenseiten des Buchdeckels. Im Folgenden stelle ich die vier Phasen von Polya vor:

- Verstehen der Aufgabe:

Polya begründet diese erste Phase damit, dass es unsinnig sei, eine Frage beantworten zu wollen, die man nicht verstanden habe. Das Verstehen der Aufgabe sei ebenso wie das Interesse an der Lösung eine Voraussetzung für das erfolgreiche Bearbeiten des Problems. Dabei sieht er auch den Lehrer in der Verantwortung, den Schülern für sie interessante und angemessene Probleme bereitzustellen:

„Der Schüler soll die Aufgabe verstehen. Aber er sollte sie nicht nur verstehen, er sollte sie auch herbeisehnen. Wenn es dem Schüler an Verständnis oder an Interesse fehlt, ist es nicht immer seine Schuld; die Aufgabe muss auch gut gewählt sein, nicht zu schwer und nicht zu leicht, natürlich und fesselnd … “ (Polya 1995, S. 19-20).

Als Leitfragen für das Verstehen der Aufgabe nennt Polya Fragen nach dem Unbekannten, Gegebenen und den Bedingungen in der Aufgabe.

- Ausdenken eines Plans:

In dieser Phase geht es darum einen Lösungsweg zu entwickeln. Dieses stellt für Polya die größte Herausforderung im Problemlöseprozess dar: „Die eigentliche Leistung bei der Lösung einer Aufgabe ist es allerdings, die Idee des Planes auszudenken.“ (Polya 1995, S. 22) Um eine „solche erleuchtende Idee hervorzurufen“ (Polya 1995, S. 22), gibt die Tabelle dem Lehrer mögliche Fragen an die Hand, die den Schülern als Hilfestellung gestellt werden können. Hier geht es darum, die Aufgabe hinsichtlich bereits bekannter Lösungsverfahren und –schritte zu betrachten, um einen Transfer auf das vorliegende Problem zu ermöglichen und eine geeignete Darstellungsweise für das Problem zu entwickeln.

- Ausführen des Plans:

Die dritte Phase stellt die Durchführung des Plans dar, also die Ausführung des Lösungsweges. Dabei müssen die Schüler schrittweise vorgehen und jeden Schritt auf seine Richtigkeit hin überprüfen.

- Rückschau:

Die letzte Phase des Problemlösens nach Polya besteht in der Reflexion der Lösung und des Lösungsweges. Polya bezeichnet den Rückblick auf die vorangegangene Bearbeitung als „wichtige und lehrreiche Phase“ (Polya 1995, S. 28), denn durch

„Rückschau auf die vollendete Lösung, durch nochmaliges Erwägen und Überprüfen des Resultats und des Weges, der dazu führte, könnten sie [die Schüler, d. Verf.] ihr Wissen festigen und ihre Fähigkeiten, Aufgaben zu lösen, entwickeln.“ (Polya 1995, S. 28)

Um diesen Lerngewinn zu erreichen, stellt Polya die abschließende Frage: „Kannst Du das Resultat oder die Methode der Lösung für irgendeine andere Aufgabe gebrauchen?“(Polya 1995, S. 29).

Vergleichbar mit Polya sind die Lösungshilfen von Radatz und Schipper. Sie teilen die Lösungsschritte für Textaufgaben in drei Hauptphasen ein (vgl. Radatz/ Schipper 1983, S. 131-132):

1) Verstehen der Aufgabe; Erfassen des Gegebenen und des Gesuchten

Hierunter verstehen die Autoren auch das Anfertigen einer Skizze als Veranschaulichung der Fragestellung.

2) Untersuchen von Lösungswegen; Planung und Finden eines Lösungsweges

An dieser Stelle geben die Autoren die Lösungsstrategie betreffende Hilfsimpulse. Die Kinder sollen überprüfen, ob sie bereits eine ähnliche Aufgabe lösen konnten und in welchen Zusammenhang die gegebenen Informationen mit der Fragestellung stehen.

3) Durchführen des Lösungsweges und Aufgabenkontrolle

Dieser Punkt beschreibt Kontrolle des Lösungsweges hinsichtlich richtiger Rechnungen und Teilergebnisse. Weiter soll das Ergebnis auf Plausibilität hin überprüft werden. Dabei wird das Reflektieren des Lösungsweges hinsichtlich seiner Übertragbarkeit auf andere Probleme nicht erwähnt.

Dieser Abschnitt hat gezeigt, dass das Lösen von mathematischen Problemen aus mehreren Teilschritten besteht. Diese Phasen können nicht als eigenständige, voneinander abgetrennte Schritte betrachtet werden. Problemlösen ist ein Prozess, in dem die einzelnen Phasen fließend ineinander übergehen.

1.1.3 Problemaufgaben

Im vorangegangen Kapitel habe ich gezeigt, dass Aufgaben zum „Logischen Schließen“ Problemlösen erfordern. An dieser Stelle definiere ich nun den Begriff „Problemaufgaben“, damit ich später die Aufgaben in meiner Untersuchung einordnen kann.

Heinrich Winter unterscheidet Textaufgaben in Routineaufgaben und Problemaufgaben. Routineaufgaben bestehen aus bekannten Aufgabenmustern und geben oft eindeutig das benötigte Lösungsverfahren vor. Aufgaben, die dagegen eine weniger einsichtige Situation darstellen, aus der die für das Lösen benötigten Informationen entnommen und notwendige Teilschritte für den Lösungsweg entwickelt werden müssen, nennt Winter Problemaufgaben (vgl. Winter 1992, S. 7). Renate Rasch definiert problemhaltige Textaufgaben als Aufgaben, denen

„in der Regel anspruchsvolle mathematische Strukturen zugrunde liegen, die mitunter so in Sachsituationen eingebettet sind, dass die den Kindern vertrauten Grundmodelle der Rechenoperationen nicht ohne weiteres sichtbar bzw. nicht ohne Transformationsleistung anzuwenden ist.“ (Rasch 2001, S. 26).

Weitere Merkmale für diese Aufgabenart sind

- unübliche mathematische Beziehungen, die in alltägliche Lebensbereiche der Kinder eingebettet werden, so dass die Kinder über die Zusammenhänge häufig zum ersten Mal nachdenken.
- sprachlich anspruchsvolle Formulierungen.
- mehrere voneinander abhängige Bedingungen, die gleichzeitig in die Entwicklung eines Lösungsansatzes miteinbezogen werden müssen.
- Offenheit hinsichtlich - der Fragestellung,
- der gegeben Daten/ Informationen,
- der Anzahl der möglichen Lösungen.

(vgl. Rasch 2001, S. 26-27).

Ob ein mathematisches Problem bzw. eine Problemaufgabe vorliegt, ist vollständig abhängig von dem Vorwissen und den Kompetenzen des Bearbeiters (vgl. Rasch 2001, S. 27, Büchter/ Leuders 2005, S. 29).

In Kapitel 2.3 überprüfe ich, ob die Aufgaben, die ich für meine Untersuchung herangezogen habe, Problemaufgaben im Sinne der hier genannten Kriterien darstellen.

1.2 Aspekte des Lösens von Aufgaben zum „Logischen Schließen“

Für die Auswertung meiner Interviews habe ich überlegt, welche Aspekte den Lösungsprozess von Aufgaben zum „Logischen Schließen“ bestimmen. Auf der Grundlage von Polyas Phasen des Problemlösens habe ich daraufhin vier Aspekte aufgestellt, die ich für das Lösen der Aufgaben in meiner Untersuchung als notwendig erachte:

- Textverstehen
- Lösungsstrategien
- Mathematisieren und Darstellen
- Argumentieren

In diesem Kapitel stelle ich die Aspekte und ihre theoretischen Grundlagen dar.

1.2.1 Textverstehen

Die erste Vorraussetzung für das Lösen der Aufgaben zum „Logischen Schließen“ besteht ähnlich wie bei Polya sowie Radatz und Schipper in dem Verstehen des Aufgabentextes. Das Textverstehen ist notwendig, um die Fragestellung zu erfassen oder entwickeln zu können, sowie das Gegebene und das Gesuchte zu identifizieren.

Friedel Thiesemann definiert den Begriff Textverstehen als „integrative Verarbeitung“ (Thiesemann 1988, S. 21) von Informationen aus dem Kontext der Aufgabe, dem Vorwissen des Lesers und der Kommunikationssituation (zum Beispiel Motivation, Formulierung, Unterrichtssituation). Thiesemann nennt vier Teilfähigkeiten des Textverstehens^[3] bei Anwendungsaufgaben^[4] (vgl. Thiesemann 1988, S. 22-23):

-Kenntnis von Wortbedeutungen auf der Wort- und Satzebene:

Da Sätze aus einzelnen Wörtern bestehen, müssen für das Verständnis eines ganzen Satzes die Bedeutungen der einzelnen Wörter bekannt sein, denn sie werden zu einem Satz (einer Bedeutungseinheit) zusammengefasst.

- Schlussfolgerungen innerhalb des Lesens qua Sinnverstehen (Inferenzen):

Der Sinn der Textinformationen kann nur erschlossen werden, indem subjektives Wissen außerhalb der Textvorlage mit den Informationen des Textes verknüpft wird. Dabei spielen Vorwissen und Allgemeinwissen eine wichtige Rolle.

- Nachvollzug der Textstruktur und –gliederung:

Um wichtige Textteile von weniger wichtigen unterscheiden zu können, muss der Text vom Leser durch Unter- und Überordnen von einzelnen Textteilen strukturiert werden. Dies geschieht durch das Auslassen von unbedeutenden Informationen, das Selektieren nach der Wichtigkeit einzelner bestehender Bedeutungseinheiten, dem Generalisieren und Abstrahieren der wichtigsten Elemente und schließlich dem Konstruieren und Integrieren der herausgearbeiteten Elemente zu einer gesamten Bedeutungseinheit.

- Identifizierung der Textintention:

Als letzten Schritt zum Textverstehen muss dem Leser klar werden, welche Absicht der Text verfolgt. Thiesemann sieht die Intentionen von mathematischen Anwendungstexten im „Beantworten von Fragen bzw. Lösen von Problemen … die Vermittlung, Verbesserung und Übung heuristischer Verfahren und Methoden des Problemlösens“ (Thiesemann 1988, S. 23).

Diese Teilfähigkeiten zum Verstehen eines Textes werden unbewusst angewendet und dürfen nicht isoliert betrachtet werden, da sie in der Anwendung miteinander verknüpft sind. Thiesemann betont außerdem, dass „der Übergang von den Aktivitäten des optimalen Leseverstehens zu denen des Problemlösens fließend ist.“ (Thiesemann 1988, S. 23).

1.2.2 Lösungsstrategien

Um eine problemhaltige Textaufgabe bearbeiten zu können, muss das Kind die Problemsituation und das damit verbundene zu erreichende Ziel der Aufgabe erkennen. Wie bereits Thiesemann erwähnt, ist dieser Punkt stark mit dem Textverstehen verknüpft. Nach dem Erkennen des Problems und seines Kontextes muss das Kind sich überlegen, wie es sein Ziel am besten erreicht und einen Lösungsweg entwickeln. Hierzu müssen mehrere Teilschritte vollzogen und eine günstige Strategie gefunden werden. Dieser Aspekt orientiert sich an Polyas Phase „Ausdenken eines Plans“, mit andern Worten, dem Entwickeln einer geeigneten Lösungsstrategie unter Berücksichtigung der Informationen des Aufgabentextes. Die Bildungsstandards nennen die Fähigkeit, Lösungsstrategien zu entwickeln und zu nutzen als eine Teilkompetenz des Problemlösens (vgl. KMK 2005).

Für die Entwicklung eines Lösungsweges sollen Kinder auf bekannte allgemeine Problemlösestrategien, so genannte Heuristiken, zurückgreifen können. Diese Heuristiken müssen flexibel sein und an die jeweilige Problemsituation angepasst werden. Büchter und Leuders schlagen wie Polya vor, nach der Phase der Problemlösung den Lösungsweg hinsichtlich seiner Allgemeingültigkeit zu reflektieren und so eine Sensibilität gegenüber generellen Strategien zu fördern (vgl. Büchter/ Leuders 2005, S. 36). Die Autoren nennen weiterhin mögliche allgemeine Strategien:

- „Vorwärts arbeiten
- Rückwärts arbeiten
- Beispiele betrachten
- Ungerichtetes und systematisches Probieren
- Darstellen, Analogien nutzen oder Veranschaulichen“

(Büchter/ Leuders 2005, S. 36).

Heinrich Winter nennt speziell hinsichtlich des Lösens von Sachaufgaben diverse Heuristiken für die Entwicklung eines Lösungsweges, die den Leitfragen Polyas ähnlich sind:

- Bekanntes und Unbekanntes gegenüberstellen,
- Skizzen anfertigen,
- auf bekannte Probleme und Lösungswege zurückgreifen,
- die Frage umformulieren,
- die Lösung reflektieren und überprüfen.

(vgl. Winter 1992, S. 10-11).

Für meine Untersuchung interessiere ich mich bei diesem Aspekt dafür, ob die Kinder bei den Aufgaben, die ich ausgewählt habe (s. Kapitel 2), bestimmte vorherrschende Strategien anwenden und welche das ggf. sind.

1.2.3 Mathematisieren und Darstellen

Mathematisieren wird als ein Teilschritt des Modellierens betrachtet. Unter Modellieren verstehen Büchter und Leuders einen mathematischen Prozess, bei dem „reale Situationen mit mathematischen Mitteln beschrieben werden“ (Büchter/ Leuders 2005, S. 17). Das Modellieren besteht aus den Teilprozessen Mathematisieren – Interpretieren – Validieren. Beim Mathematisieren wird die Realsituation (z. B. in einer Sachaufgabe) in eine mathematische Sprache übersetzt. Anschließend wird das Ergebnis bezüglich der Realsituation interpretiert und auf seine Gültigkeit und Plausibilität hin überprüft (validiert) (vgl. Büchter/ Leuders 2005, S. 19-20). Es ist aber auch möglich, den gesamten Modellierungsprozess als Mathematisieren zu bezeichnen. Nach Berger ist Mathematisieren nämlich die „Fähigkeit, reale Situationen in die Sprache der Mathematik zu übersetzen, mathematisch zu lösen und das Ergebnis für die reale Situation zu interpretieren“ (zit. n. Radatz 1996, S. 7)^[5]. Ich habe mich für den Begriff „Mathematisieren“ entschieden, da ich damit zwar die Übersetzung der (Problem-)Aufgabe in eine mathematische Sprache bzw. das Finden eines mathematischen Ansatzes meine, Büchter und Leuders aber Modellieren von Problemlösen unterscheiden. Modellieren beziehe sich auf außermathematische Kontexte, während Problemlösen in inner-mathematischen Situationen stattfinde (vgl. Büchter/ Leuders 2005, S, 30-31).

Der Begriff Darstellen drückt Unterschiedliches aus. Während Berger mit Darstellen die „Fähigkeit, Beobachtungen, Überlegungen, Begründungen, Einschätzungen zu mathematischen Sachverhalten mündlich und schriftlich auszudrücken“ (zit. n. Radatz 1996, S. 7; s. Fußnote 3) meint, erweitert Krauthausen den Begriff auf die „Fähigkeit der mündlichen und schriftsprachlichen Ausdrucksfähigkeit, aber auch Notationen wie z. B. Skizzen, Tabellen, Graphen, Diagramme usw. – also jegliche Art der ‚Veräußerung’ des Denkens“ (Krauthausen 1998, S. 56). Letzteres bezeichnet er als „Datenkompetenz“, die von allgemeiner Bedeutung auch außerhalb des Mathematikunterrichts sei (vgl. Krauthausen 1998, S. 57). In den Bildungsstandards wird Darstellen als allgemeine mathematische Kompetenz aufgeführt. Sie beinhaltet folgende Teilkompetenzen:

- „für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen,
- eine Darstellung in eine andere Übertragen,
- Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten.“

(KMK 2005, S. 8)

Der Aspekt des Darstellens in Bezug auf Datenverarbeitung und des ersten Gesichtspunktes in den Bildungsstandards steht für mich in diesem Punkt im Vordergrund. Dabei habe ich die Kompetenzen Mathematisieren und Darstellen zusammengefasst, da ich in Anlehnung an Polyas dritte Phase, dem Ausführen des Plans, ermitteln möchte, welche mathematischen Ansätze die Kinder bei meiner Untersuchung finden und wie sie ihren Lösungsweg notieren, zum Beispiel anhand von Skizzen, Tabellen, alternativen Darstellungsweisen oder flüchtigen Gedankenaufzeichnungen wie Teilrechnungen oder -ergebnisse.

1.2.4 Argumentieren

Dieser vierte Aspekt für das Lösen von Aufgaben zum „Logischen Schließen“ greift über die letzte Phase des Problemlösens von Polya, dem Reflektieren des Ergebnisses und des Lösungsweges, hinaus. Zwar möchte ich in diesem Punkt zum einen die Darstellung und Beschreibung des Lösungsweges der Kinder und den damit verknüpften Anlass zur Reflexion dessen, hinzuzählen. Wichtiger ist jedoch noch, die Begründungen für den gewählten Weg zu untersuchen. Diese „Fähigkeit, mathematische Sachverhalte zu begründen“ (zit. n. Radatz 1996, S. 7) bezeichnet Berger als Argumentieren. Krauthausen sieht im Argumentieren eine besondere Form des Verbalisierens, welche aus Beschreiben, Begründen und Beweisen bestehe (vgl. Krauthausen 1998, S. 57). Durch Argumentieren kann der Prozess des logischen Schließens formal (z. B. durch mathematische Beweise) oder verbal (durch mündliche Begründungen) ausgedrückt werden. In der Definition des Argumentierens von Hefendehl-Hebeker wird dies besonders deutlich:

„eine Rede für oder gegen die Wahrheit einer Aussage … mit dem Ziel, die Zustimmung wirklicher oder fiktiver Gesprächspartner … zu erlangen. Dabei wird schrittweise und möglichst lückenlos auf bereits gemeinsam anerkannte Aussagen … zurückgegriffen. Eine Argumentation heißt schlüssig, wenn niemand, der ihren Ausgangssätzen … zugestimmt hat, irgendeinem dieser Schritte die Zustimmung verweigern kann, ohne sich in Widersprüche zu verwickeln.“ (zit. n. Büchter/ Leuders 2005, S. 45)^[6].

Schlüssiges Argumentieren bedient sich also an wahren Prämissen (anerkannte Aussagen, Ausgangssätze) die folgerichtig, schrittweise, lückenlos und ohne Widersprüche zu einer Konklusion geführt werden. Der Gegenüber desjenigen, der argumentiert, soll die Schlüsse nachvollziehen können. Dies geschieht, wenn das Kind in meinen Interviews darlegen soll, wieso es diese Lösung gefunden hat und warum es diesen Lösungsweg gegangen ist.

Argumentieren erfordert dabei das Strukturieren des Lösungsweges und ermöglicht das Reflektieren der Ergebnisse und des Lösungsprozesses (vgl. Krauthausen 1998, S. 58).

In meinen Interviews möchte ich folgende Teilaspekte des Argumentierens untersuchen: das Beschreiben des Lösungsweges und das Begründen des Weges und der Lösung. Diese Komponenten werden in den Bildungsstandards für das Fach Mathematik unter zwei verschiedenen allgemeinen mathematischen Kompetenzen aufgeführt. Das Beschreiben der eigenen Vorgehensweisen und das gemeinsame Reflektieren über Lösungswege ist Teil der Kompetenz „Kommunizieren“, während hier „Argumentieren“ wie im Folgenden konkretisiert wird:

- „mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen,
- mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln,
- Begründungen suchen und nachvollziehen“

(KMK 2005, S. 8).

2 Die Aufgaben

2.1 Begründung für die Auswahl der Aufgaben

In meiner Untersuchung habe ich den Kindern drei Aufgaben vorgelegt, deren Bearbeitung “Logisches Schließen” erfordert. In diesem Kapitel möchte ich die Aufgaben vorstellen und näher darauf eingehen, wieso ich gerade diese ausgewählt habe.

Alle drei Aufgaben habe ich aus dem Mathematikwettbewerb Känguru von 2001 entnommen. Ich habe meine Aufgaben aus dem Wettbewerbsdurchgang im Jahr 2001 gewählt, da ich diese Aufgaben im Seminar „Problemlösen in Multiple-Choice-Tests. Analysen zum Känguru-Wettbewerb“ im Wintersemester 2005/ 2006 bei Prof. Dr. Halverscheid kennen gelernt habe. Der Wettbewerb, der von der Humboldt-Universität Berlin organisiert wird, ist “ein multiple-choice-Wettbewerb mit vielfältigen Aufgaben zum Knobeln, zum Grübeln, zum Rechnen und zum Schätzen” (http://www.mathe-kaenguru.de/start.htm, Stand: 04.03.06). Der Wettbewerb für die Klassenstufen 3 und 4 besteht aus 21 Aufgaben. Den Kindern werden zu jeder Aufgabe je fünf Lösungsmöglichkeiten angeboten. Durch das Multiple-Choice-Format wird bei der Auswertung jedoch nur die angekreuzte Lösung berücksichtigt, nicht der Lösungsweg. Meine Intention bei der Auswahl der Aufgaben aus diesem Wettbewerb war es dabei nicht, herauszufinden, ob die Kinder die Aufgaben lösen können, sondern wie sie dies tun und ob das Multiple-Choice-Format dabei die Lösungsfindung beeinflusst.

Die Aufgaben des Känguru- Wettbewerbs werden in drei Schwierigkeitsstufen eingeteilt. Sie werden differenziert nach 3-Punkte-, 4-Punkte- und 5-Punkte-Aufgaben:

“Die Aufgaben sind so aufgebaut, dass für einen Teil der Lösungen bereits Grundkenntnisse aus dem Schulunterricht ausreichend sind, bei einem weiteren Teil ein tieferes Verständnis des in der Schule Gelernten und der kreative Umgang damit benötigt werden; hinzu kommen eine Reihe von Aufgaben, die mit etwas Pfiffigkeit oder gesundem Menschenverstand allein zu bewältigen sind und die sich sehr gut eignen, mathematische Arbeitsweisen - unterhaltsam - zu trainieren.” (http://www.mathe-kaenguru.de/ziele/ziele.htm)

Für meine Untersuchung habe ich drei Aufgaben ausgewählt, die jeweils einer dieser Schwierigkeitsstufen entnommen wurden. Im Folgenden stelle ich diese Aufgaben näher vor und werde sie mathematisch analysieren.

2.2 Analyse der Aufgaben

2.2.1 Die Aufgabe “Ruderboot”

Familie Plansch (Vater, Mutter und Tochter) mietet ein Ruderboot, in dem drei Ruderer hintereinander sitzen können. Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es für die Drei, sich hintereinander zu setzen?

(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12

Diese Aufgabe ist die 4. Aufgabe im Känguru-Wettbewerb 2001. Sie wurde als 3 – Punkte – Aufgabe und damit auf der geringsten Schwierigkeitsstufe eingeordnet.

Diese Aufgabe stellt ein kombinatorisches Anordnungsproblem dar, bei dem alle Elemente einer Grundmenge geordnet werden sollen:

“Eine Anordnung von n Elementen einer Menge M in einer bestimmten Reihenfolge nennt man Permutation dieser n Elemente.” (Müller-Fonfara 1991, S. 42)

Demzufolge stellt in dieser Aufgabe die Anzahl der Personen die Grundmenge M = {Mutter, Vater, Tochter} dar. Die einzelnen Personen sind Elemente dieser Menge M. Da alle drei Personen angeordnet werden sollen, gilt n = 3. Die gesuchte Anzahl P der möglichen Permutationen erhält man aus

P = n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (n – 1) ∙ n .

Damit gilt für n = 3

3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Der Lösungshinweis des Mathematikwettbewerbs Känguru e. V. sieht eine systematische Darstellung aller Möglichkeiten vor (vgl. Mathematikwettbewerb Känguru e. V. 2001, S. 4). Wenn eine bestimmte Person vorne sitzt, gibt es zwei Möglichkeiten, die beiden anderen hinter ihr anzuordnen. Da es sich insgesamt um drei Personen handelt, von denen jede vorne sitzen kann, ergeben sich 3∙ 2 = 6 Möglichkeiten. Eine weitere Möglichkeit der Lösungsfindung besteht darin, alle Möglichkeiten aufzulisten und deren Anzahl abzuzählen. Dabei muss eine Ordnungsstrategie angewendet werden, um sicherzustellen, dass alle Möglichkeiten gefunden wurden.

2.2.2 Die Aufgabe “Spielfiguren”

Für ein Spiel sind Spielfiguren zu verteilen, und zwar so, dass jeder Spieler mindestens eine erhält und je zwei Spieler eine unterschiedliche Zahl von Spielfiguren bekommen. Wie viele Spieler können höchstens mitspielen, wenn man insgesamt 20 Spielfiguren zum Verteilen hat?

(A) 20 (B) 10 (C) 7 (D) 6 (E) 5

Diese Aufgabe ist die 10. Aufgabe im Wettbewerb. Sie wurde als 4 – Punkte – Aufgabe und damit als mittlerer Schwierigkeitsgrad eingestuft.

Bei dieser Aufgabe besteht die Wahl zwischen zwei mathematischen Fragen: Können höchstens 20 Spielfiguren verteilt werden, oder sollen genau 20 Figuren auf die Spieler aufgeteilt werden? Für die richtige Lösung der Aufgabe ist diese Frage zwar irrelevant, aber für die Entwicklung eines Lösungsweges kann sie entscheidend sein.

Der Lösungshinweis der Herausgeber des Känguru-Wettbewerbs zeigt, dass die Autoren der Aufgabe davon ausgegangen sind, dass höchstens 20 Figuren verteilt werden müssen. Der Lösungsweg wird wie folgt beschrieben:

“Da jeder Mitspieler mindestens eine Figur bekommen muss, nehmen wir an, dass einer der Spieler genau eine Figur bekommt. Der nächste muss mindestens 2 Figuren erhalten, wir nehmen an, dass er genau 2 bekommt. Der dritte Spieler möge dann genau 3 Figuren bekommen usw. Dann müssen wir die Summe 1+2+3+4+… bilden und gucken, wie viele immer um Eins größere Summanden wir hinzufügen können, ohne die Zahl 20 zu überschreiten. Es ist 1 + 2 + 3 + 4 = 10; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, aber 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Also können 5 Spieler mitspielen.” (Mathematikwettbewerb Känguru e. V. 2001, S. 6)

Mit diesem Lösungsansatz beschreiben die Autoren als Lösungsstrategie die Umkehrung der Fragestellung: wie viele Spielfiguren werden für eine gegebene Spielerzahl mindestens benötigt? Ausgehend von diesem Ansatz, zu untersuchen, wie viele Spielfiguren für eine gewisse Anzahl an Spielern mindestens benötigt werden, wird angenommen, dass der erste Spieler eine Figur erhält und der n-te Spieler n Figuren. Damit wird eine arithmetische Reihe dargestellt, die die Summe der ersten n natürlichen Zahlen wiedergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die größtmögliche Anzahl der Spieler mit 20 Spielfiguren zu ermitteln, gilt sn = 20.

Ich stelle die Formel der arithmetischen Reihe nach n um

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und setze für sn = 20 ein

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

n1 = -6,84428877 und

n2 = 5,84428877

Da n1 < 1 ungültig ist, zeigt n2 = 5,84428877, dass höchstens 5 Spieler mitspielen können.

Diese Lösung kann auch durch systematisches Ausprobieren von Additionen gefunden werden.

2.2.3 Die Aufgabe “Murmeln”

Grit hat 3 Schälchen mit jeweils 11 Glasmurmeln. Aus den Schälchen nimmt sie Murmeln in folgender Reihenfolge heraus: 1 Murmel aus dem linken Schälchen, 1 aus dem mittleren, 1 aus dem rechten, 1 aus dem mittleren, 1 aus dem linken, 1 aus dem mittleren usw. Als sie aus dem mittleren Schälchen die letzte Murmel herausgenommen hat, zählt sie die im linken und rechten Schälchen verbliebenen. Wie viele sind das?

(A) 1 (B) 2 (C) 9 (D) 10 (E) 11

Diese Aufgabe ist die 15. Aufgabe in der Aufgabensammlung des Wettbewerbs von 2001. Sie wurde als 5 – Punkte – Aufgabe und damit auf dem höchsten Schwierigkeitsgrad eingestuft.

Die Reihenfolge der Murmel-Entnahme gibt vor, dass zu jeder Murmel, die aus dem mittleren Schälchen entfernt wird, eine Murmel entweder aus dem linken oder aus dem rechten Schälchen entnommen wird. Ich bezeichne jede Entnahme dieser zwei Murmeln als Durchgang. Da aus dem mittleren Schälchen alle elf Murmeln entnommen werden, gibt es also elf solcher Durchgänge. Damit ergeben sich folgende Lösungsetappen:

1) Drei Schälchen mit jeweils elf Murmeln: 3 ∙ 11 = 33.

33 Murmeln sind insgesamt vorhanden.

2) In elf Durchgängen werden jeweils zwei Murmeln entnommen:

11 ∙ 2 = 22. 22 Murmeln werden insgesamt entfernt.

3) Daraus ergibt sich die Differenz: 33 – 22 = 11.

Es verbleiben insgesamt elf Murmeln in den Schälchen.

Diesen Lösungsweg sehen auch die Herausgeber der Wettbewerbsaufgaben vor (vgl. Mathematikwettbewerb Känguru e. V. 2001, S. 8) Eine andere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, kann die zeichnerische Darstellung der Murmel-Entnahme sein.

2.3 Kritik an den Aufgaben

Ich bezeichne die eben vorgestellten Aufgaben als Aufgaben zum „Logischen Schließen“, denn die Aufgabentexte gehen von gegebenen Ausgangssituationen aus und sind so konstruiert, dass ein Lösungsweg nicht klar ersichtlich ist, sondern ein Problem bietet und damit das Entwickeln von logischen Schlüssen zur Findung eines Lösungsweges erforderlich ist. Bekannte Verfahren zum Lösen dieser Aufgaben sind aus dem Aufgabentext nicht erkennbar.

Die Probleme stellen keine reale außermathematische Situation dar, da sie im Alltag in dieser Form nicht vorkommen. Keine Familie rechnet bei einem Ausflug aus, wie viele Möglichkeiten sie haben, sich hintereinander in ein Boot zu setzten, die Verteilungsregeln für die Spielfiguren erscheinen eher unrealistisch und welches Kind füllt schon 33 Murmeln in drei Schälchen, nur um sie anschließend in einer bestimmten Reihenfolge wieder herauszunehmen?

Die Aufgaben des Mathematikwettbewerbs Känguru stellen innermathematische Probleme dar, die in zum Teil erheblich anspruchsvolle Texte eingebettet sind. Dennoch handelt es sich bei den Känguru-Aufgaben nur eingeschränkt um Problemaufgaben, da ihnen eines der wichtigsten Merkmale von Problemaufgaben fehlt: die Offenheit. Die vorformulierte Fragestellung und die gegebenen Daten in den Aufgabentexten lassen keine Interpretation des mathematischen Problems zu. Durch das Multiple-Choice-Format ist bereits nicht nur die Anzahl der möglichen Lösungen vorgegeben, sondern sogar die Ergebnisse selbst auf fünf Möglichkeiten beschränkt. Zudem suggeriert die

Existenz einer einzigen richtigen Lösung^[7] bei diesen Wettbewerbsaufgaben, dass Mathematikaufgaben immer lösbar sind und es immer nur eine Lösung dabei gäbe.

3 Interviewvorüberlegungen

3.1 Auswahl der Kinder

3.1.1 Durchführung des Wettbewerbs mit der gesamten Klasse

Ich habe meine Untersuchung mit Kindern einer 4. Klasse Anfang Dezember 2005 durchgeführt. Da ich die gesamte Klasse nicht kannte, habe ich im Vorfeld der Interviews den Mathematikwettbewerb Känguru aus dem Jahr 2001 mit der ganzen Klasse (22 Kinder) durchgeführt. Die Kinder hatten für die 21 Aufgaben 75 Minuten Zeit. Die Aufgaben und Ergebnisse gebe ich im Anhang (S. 1-7) wieder. Bei der Punktevergabe habe ich mich an die des Original- Wettbewerbs gehalten:

„Jeder Teilnehmer erhält vorab 21 Punkte in den Klassenstufen 3 und 4. Die Aufgaben sind in drei Gruppen eingeteilt: für die ersten 7 richtig gelösten Aufgaben gibt es je Aufgabe 3 Punkte, für die nächsten 7 richtig gelösten Aufgaben gibt es je Aufgabe 4 Punkte, für die letzten 7 richtig gelösten Aufgaben gibt es je Aufgabe 5 Punkte. Wird eine Aufgabe nicht gelöst und erscheint kein Kreuz auf dem Ankreuzzettel, so gibt es für die entsprechende Aufgabe 0 Punkte. Wird eine Aufgabe falsch gelöst oder sind auf dem Ankreuzzettel bei dieser Aufgabe mehr als ein Kreuz, so wird ein Viertel der für diese Aufgabe möglichen Punkte, also entweder 0,75 oder 1 oder 1,25 abgezogen. Dadurch, dass jeder zu Beginn. 21 Punkte ‚Stammkapital’ hat, sind Punktzahlen von 0 (wenn alles falsch angekreuzt wurde) bis 105 (wenn alles richtig ist) möglich.“ (www.mathe-kaenguru.de/auswertung/auswertung.htm, Stand: 04.03.06)

Das Ergebnis zeigte mir eine große Spannbreite der Punkte an. Die niedrigste Punktzahl erreichte ein Mädchen mit 8,75 Punkten. Die höchste wurde mit 81,25 Punkten von ebenfalls einem Mädchen erreicht. Im Klassendurchschnitt wurden 41, 64 Punkte erreicht.

Die richtige Lösung der Aufgabe „Ruderboot“ kreuzten 18 Kinder an, zwei Kinder kreuzen eine falsche Antwort an und zwei Kinder setzten kein Kreuz. Bei der Aufgabe „Spielfiguren“ kreuzten nur fünf Kinder die richtige Lösung an. Genauso viele Kinder setzten kein Kreuz bei dieser Aufgabe. Ein ähnliches Bild bei der Aufgabe „Murmeln“ zeigt, dass auch bei dieser nur fünf Kinder dass Kreuz an der richtigen Stelle setzten, sechs Kinder kreuzten kein Ergebnis an.

Die durchschnittliche Bearbeitungszeit betrug 52 Minuten.

3.1.2 Auswahl der Kinder für die Einzelinterviews

Im Gespräch mit der Klassenlehrerin habe ich sieben Kinder (vier Mädchen und drei Jungen) ausgewählt. Dabei habe ich versucht, mit meiner Auswahl das ganze Spektrum der erreichten Punkte im Wettbewerb der Klasse abzudecken. Bei falschen Antworten im Wettbewerb interessierte mich, ob die Kinder im Interview wieder die gleichen Lösungen finden und wie sie diese begründen. Die Einzelinterviews fanden eine Woche nach der Durchführung des Wettbewerbs mit der ganzen Klasse statt.

Nach Aussage der Lehrerin ist den Kindern das Bearbeiten von problemhaltigen Sachaufgaben bekannt. Dabei wurden kombinatorische Probleme nur wenig behandelt. Im Folgenden stelle ich die Kinder näher vor und erläutere, wieso ich diese Kinder für die Einzelinterviews ausgewählt habe. Die Namen der Kinder wurden aus Gründen des Datenschutzes geändert. Hinter dem Namen gebe ich das Geschlecht jedes Kindes an. Die Altersangabe bezieht sich auf den Zeitpunkt meiner Untersuchung.

Carla (w):

Carla ist 9 Jahre alt. Sie erreichte die niedrigste Punktzahl (8,75). Dieses Ergebnis überraschte ihre Klassenlehrerin sehr, da sie ihren Leistungstand im Mathematikunterricht als „obere Hälfte“ beschreibt. Dies war ein Grund für mich, sie für meine Interviews auszuwählen. Ein weiterer Grund war, dass sie bei der Durchführung des Wettbewerbs bei zwei Aufgaben mehrere Antworten angekreuzt hatte, u. a. bei der Aufgabe „Ruderboot“. Bei der Aufgabe „Spielfiguren“ kreuzte sie Antwort B) 10 an und bei „Murmeln“ B) 2.

Mona (w):

Mona ist 8 Jahre alt und hat die dritte Klasse übersprungen. Ihre Lehrerin siedelt ihre Mathematikleistungen „im oberen Viertel“ an. Sie erreichte die höchste Punktzahl (81,25) in ihrer Klasse. Im Wettbewerb kreuzte sie alle drei Aufgaben, die ich für meine Untersuchung ausgewählt habe, richtig an.

David (m):

David ist 10 Jahre alt. Auch sein Stand im Mathematikunterricht sei „im oberen Viertel“ anzusiedeln. David sei nach Aussage seiner Lehrerin sehr genau und durchdenke alles. Er erreichte die zweithöchste Punktzahl (63,75). Als er die Aufgaben nach 75 Minuten abgeben musste, gab er an, nicht ganz fertig geworden zu sein. Er habe noch Ideen, wie er einige Aufgaben lösen könne. David löste im Wettbewerb die Aufgaben „Ruderboot“ und „Spielfiguren“ richtig. Bei „Murmeln“ kreuzte er Antwort A) 1 an.

Heike (w):

Heike ist 9 Jahre alt. Sie erreichte 57,5 Punkte. Nach Angeben ihrer Lehrerin befindet sich ihr Leistungsstand im Mathematikunterricht „im oberen Drittel“. Sie brauche Zeit, um Probleme zu durchdringen. Heike benötigte 66 Minuten für die Bearbeitung der Aufgaben, dabei gab sie bei den von mir ausgewählten Aufgaben jeweils die richtige Lösung an.

Lars (m):

Lars ist 10 Jahre alt. Er erreichte 47,5 Punkte und gab die Aufgaben nach 35 Minuten ab. Die Lehrerin beschreibt ihn dahingehend, dass er „Lust“ an allen mathematischen Fragestellungen habe und stuft seinen Leistungsstand als „Spitze“ ein. Lars kreuzte die richtigen Lösungen der Aufgaben „Ruderboot“ und „Murmeln“ an. Bei „Spielfiguren“ gab er Lösung B) 10 an.

Nadine (w):

Nadine ist 9 Jahre alt. Ihre Leistungen in Mathematik befänden sich in der „oberen Hälfte“. Nadine erreichte 37,5 Punkte. Bei den Aufgaben „Ruderboot“ und „Spielfiguren“ gab sie jeweils die richtigen Lösungen an, bei „Murmeln“ setzte sie kein Kreuz. Da sie die Aufgaben nach 57 Minuten abgeben hatte, schließe ich daraus, dass sie keine Lösung für diese Aufgabe gefunden hat.

Niklas (m):

Niklas ist 9 Jahre alt. Er ist neu in der Klasse. Die Klassenlehrerin beschreibt seine Probleme als „schwer zu motivieren, motorisch ungelenk,

ungenau und langsam“. Bei Niklas liegt ein starkes Konzentrationsproblem vor. Niklas erreichte die zweit niedrigste Punktzahl (21,5). Er gab die Aufgaben bereits nach 18 Minuten ab. Dabei ließ er die Aufgabe „Ruderboot“ unbeantwortet, bei „Spielfiguren“ kreuzte er A) 20 an. Die Aufgabe „Murmeln“ löste er richtig. Mich interessierte sein Verhalten im Interview, wenn er die Aufgaben allein in meinem Beisein bearbeiten soll.

3.2 Aufbau und Ablauf der Interviews

Ich habe mich entschieden, die Interviews als Einzelgespräche durchzuführen, da bei meiner Untersuchung die individuellen Lösungsstrategien der einzelnen Kinder im Mittelpunkt stehen.

Ich habe die Gespräche selbst an zwei Tagen im Dezember 2005 durchgeführt und mit einer Videokamera aufgezeichnet. Die Interviews fanden eine Woche nach der Durchführung des Känguru-Wettbewerb mit der ganzen Klasse statt. Zeitlich waren sie unbegrenzt angelegt. Ich habe jedoch damit gerechnet, dass ich für jedes Kind ca. eine Schulstunde einplanen musste, was sich auch bestätigt hat. Am ersten Tag habe ich in den vier ersten Schulstunden fünf Kinder interviewen können, was daran lag, dass ich zu Beginn drei der besten Kinder des Wettbewerbs ausgewählt hatte. Sie haben die Aufgaben schneller als erwartet bearbeitet. Am zweiten Tag habe ich zwei Kinder in den ersten beiden Schulstunden interviewt.

Dabei saß das Kind an einem Tisch. Seitlich des Tisches habe ich gesessen. Die Kamera wurde von Dritten bedient. Sie wurde so platziert, dass das Kind frontal gezeigt wurde. Ich habe diese Perspektive gewählt, da so die Mimik des Kindes am besten zu erkennen war.

Ich habe jedem Kind nacheinander mit steigendem Schwierigkeitsgrad die drei Aufgaben vorgelegt, zuerst die Aufgabe „Ruderboot“, dann „Spielfiguren“ und schließlich „Murmeln“. Die Aufgaben befanden sich einzeln auf einem DIN A4- Blatt. Diese Aufgabenblätter mit den Aufzeichnungen der Kinder habe ich im Anhang jedem Interview zu den einzelnen Aufgaben beigefügt. Die Untersuchung war so aufgebaut, dass ich dem Kind zuerst völligen Freiraum gewährt habe, um den Aufgabentext zu lesen und die Aufgabe soweit zu bearbeiten, wie es konnte. Dem Kind war es jederzeit möglich, Fragen zu stellen oder das Interview abzubrechen. Die meisten Transkripte setzen an den Stellen ein, an denen die Kinder selbst das Gespräch beginnen. So gibt es Transkripte, die nach wenigen Sekunden anfangen und welche, die erst nach etlichen Minuten einsetzen.

Im Vorfeld der Interviews habe ich mir überlegt, welche Lösungswege die Kinder entwickeln könnten und wie die teilweise falschen Ergebnisse bei der Durchführung des Wettbewerbs entstanden sein könnten. Daraufhin habe ich mir einen Interviewleitfaden erstellt, in dem ich mir Fragen für das Gespräch und Hilfestellungen bei möglichen Problemen notiert habe. Als eine mögliche Hilfe hielt ich je 11 gelbe, rote und blaue Plastikplättchen bereit, die je nach Aufgabe eingesetzt werden konnten. Dies sollte den Kindern ermöglichen, die Aufgaben enaktiv zu bearbeiten. Im Folgenden gebe ich meine Vorüberlegungen zu den einzelnen Aufgaben wieder:

Aufgabe „Ruderboot“:

Mögl. Lösungsansätze:

- Alle Kombinationen aufzählen (im Kopf, aufmalen/ -schreiben)
- Wie kannst du dir sicher sein, alle Möglichkeiten gefunden zu haben? Wie kann man das sehen? (Ordnen)
- Falls nicht alle gefunden werden: Welche Möglichkeiten kennst du schon? Wie oft kann eine Person vorne sitzen? Was passiert dann mit den anderen?
- Rechnen: 3 mal 2 = 6, denn jede der drei Personen sitzt 2 Mal vorne.

Hilfestellung:

- Was steht denn in der Aufgabe, was man da machen soll? (Textverstehen)
- Welche Möglichkeiten kennst du schon?
- Material: Plättchen in drei Farben zum Legen

Aufgabe „Spielfiguren“:

Mögl. Lösungsansätze:

- Richtig:
- Jeder Spieler muss mindestens eine Figur haben, aber kein Spieler darf genauso viele Figuren haben, wie ein anderer. Also 1 + 2 + 3 + …
- Geraten: wieso diese Antwort geraten, wieso nicht eine andere? Hast du eine Idee, wie man die Aufgabe lösen kann ohne zu raten?
- B = 10
- Verteilungsregel nicht beachtet bzw. anders verstanden: jeder Spieler erhält 2 Figuren, also 20 : 2 = 10: Wie werden die Figuren denn verteilt?
- A = 20
- Jeder Spieler erhält eine Spielfigur. Verteilungsregel nicht beachtet bzw. nur „jeder Spieler erhält mindestens eine Spielfigur“: Was bedeutet denn „mindestens“?

Hilfestellung:

- Was ist denn die Aufgabe? Was wollen die wissen?
- Was verstehst du am Text nicht? (mindestens/ höchstens, je zwei Spieler…)
- Wie werden die Figuren verteilt? Nach welchen Regeln?
- Material: 20 Plättchen zum Legen und Aufteilen

Aufgabe „Murmeln“:

Mögl. Lösungsansätze:

- Richtig:
- Aufzeichnen und durchprobieren
- Raten: Hast du eine Idee wie man die Aufgabe sicher lösen kann?
- 22 – 11 = 11, denn immer wenn aus dem mittleren eine Murmel genommen wird, wird auch eine aus einer seitlichen Schale (insgesamt 22) genommen
- C = 9:
- Rechenfehler bei der Murmel-Entnahme
- A = 1:
- Rechenfehler bei der Murmel-Entnahme
- Verteilungsregel anders verstanden bzw. Runden anders definiert: in der ersten Runde werden 11 – 1 = 10, in der zweiten 10 – 1 = 9 usw. für jedes Schälchen

Hilfestellung:

- Was ist denn die Aufgabe? Was wollen die wissen?
- Was weißt du denn schon?
- Wie nimmt Grit die Murmeln? In welcher Reihenfolge?
- Material: je 11 Plättchen in drei verschiedenen Farben zum Legen

4 Auswertung der Interviews

4.1 Aspekte der Auswertung/ Forschungsfragen

Im folgenden Teil meiner Examensarbeit werte ich die Interviews gegliedert nach den einzelnen Aufgaben aus und fasse diese jeweils am Ende eines Abschnitts zusammen.

Bei der Auswertung der Interviews orientiere ich mich an den vier Aspekten für das Lösen von Aufgaben zum „Logischen Schließen, die ich in Kapitel 1.2 entwickelt habe. Im Folgenden wiederhole ich diese kurz und konkretisiere sie durch die Forschungsfragen, die ich untersucht habe.

- Textverstehen

Haben die Kinder Probleme mit dem Verstehen der Aufgabentexte? Wo genau liegen ihre Schwierigkeiten?

- Lösungsstrategien

Welche Strategien entwickeln die Kinder? Gibt es Gemeinsamkeiten? Kann man Hauptstrategien/ Heuristiken erkennen?

- Mathematisieren und Darstellen

Welche mathematischen Lösungsansätze finden die Kinder? Wie bearbeiten sie die Aufgaben mathematisch? Was schreiben sie dabei auf? Welche Funktion haben ihre Aufzeichnungen? Gibt es vorherrschende Darstellungsformen? Verwenden sie Abkürzungen? Abstrahieren sie?

- Argumentieren

Wie beschreiben die Kinder ihren Lösungsweg? Begründen sie? Wie argumentieren sie ? Wie begründen sie ihr Ergebnis?

4.2 Auswertung der Interviews zur Aufgabe „Ruderboot“

4.2.1 Textverstehen

Carla:

Bei Carla zeigt sich zu Beginn, dass sie den Inhalt der Aufgabe nicht verinnerlicht hatte. Sie begründet ihre Lösung damit, dass das Ruderboot über sechs Sitze verfügt, statt über drei, wie der Text vorgibt. Dies bezieht sie auf ihre eigene Erfahrung mit dem Ruderbootfahren (Anhang S. 12, Zeile 2-3). Auf die Frage, was in dem Text stehe, liest sie den Aufgabentext laut vor, statt ihn in eigenen Worten wiederzugeben (Anhang S. 12, Zeile 4-5). Erst als ich mit anderen Worten hervorhebe, dass das Boot nur drei Sitze habe, reagiert Carla mit „Ach so!“ (Anhang S. 12, Zeile 6-7) und geht richtig vor. Auch zeigt sie ein anderes Verständnis der Bedeutung des Wortes „Möglichkeiten“. Sie bezieht „Möglichkeiten“ auf die einzelnen Personen innerhalb einer Reihenfolge. Drei gefundene Möglichkeiten á drei Personen bezeichnet sie so als neun Möglichkeiten (Anhang S. 12, Zeile 19-22). Nachdem ich ihr die Bedeutung von „Möglichkeiten“ erklärt habe, findet sie alle Möglichkeiten problemlos.

Wie die Transkripte der Interviews zeigen, hatten die sechs anderen Kinder keine derartigen Probleme mit der Erschließung des Textes. Dies ist daran erkennbar, dass sich der Inhalt der Gespräche direkt auf die Lösungsansätze der Kinder bezieht.

4.2.2 Lösungsstrategien

Carla:

Wie unter dem Punkt „Textverstehen“ bereits beschrieben, hat Carla Probleme mit dem Verständnis des Begriffes „Möglichkeiten“, der für das Erkennen des Problems elementar ist, und den Informationen des Textes, die sie in ihrem ersten Lösungsansatz auch nicht weiter beachtet hatte.

So bezieht sie ihre eigene Erfahrung in die Lösung mit ein: „wir war´n auch schon mal Ruderboot fahren, und da war´n auch 6 Sitze“ (Anhang). Nachdem diese Verständnisschwierigkeiten ausgeräumt wurden, erkennt sie das mathematische Problem der Aufgabe und kann eine Lösungsstrategie entwickeln. Diese besteht aus dem ungeordneten Aufzählen aller Möglichkeiten, die sie findet.

Als Carla ihre Kombinationen so ordnen soll, dass man schneller erkennt, ob sie alle gefunden hat, entwickelt sie die Idee, Paare zu bilden mit den Möglichkeiten, die einmal von vorne und einmal von hinten gelesen die gleiche Reihenfolge darstellen (Anhang). So erhält sie automatisch zu einer Kombination das rückwärtige Gegenstück. Dabei tauschen bei einem Paar immer der erste und letzte Buchstabe die Plätze und der mittlere Buchstabe bleibt gleich.

Mona:

Mona schreibt alle Möglichkeit sofort in zwei Päckchen auf:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sie geht von Beginn an strukturiert vor, denn sie wendet nach eigenen Aussagen ein Ausschlussverfahren an: „Weil hier (zeigt auf das 2. Päckchen) geht nicht Tochter, Vater, Mutter oder Vater, Tochter, Mutter, weil das hier (zeigt auf das 1. Päckchen) schon steht.“ (Anhang). Auf meine Frage, wie man die Kombinationen zur besseren Übersichtlichkeit sortieren könne, hat Mona die Idee, in drei Päckchen á zwei Zeilen jeweils eine Person vorne und die beiden anderen im Wechsel dahinter zu notieren (Anhang). Beide Darstellungen zeigen, dass Mona sehr strukturiert arbeitet.

David:

David wendet ein systematisches Vorgehen an, in dem er zuerst zweimal Mutter wählt und dann Vater und Tochter im Wechsel ergänzt und genau so mit den anderen Möglichkeiten verfährt: „Jetzt hatte ich jeden Buchstaben zweimal oben.“ (Anhang).

[...]

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^[1] Der Begriff des „Problems“ wird in Kapitel 1.1.2 genauer definiert.

^[2] Der Begriff des „Logischen Schließens“ wird in Kapitel 1.1.1 genauer definiert.

^[3] Thiesemann entnimmt diese Teilfähigkeiten aus: Groeben, N.: Textverständnis – Textverständlichkeit. Münster 1982.

^[4] Unter Anwendungsaufgaben versteht Thiesemann „innermathematische Problem-stellungen, Sachaufgaben, Vorhaben, ‚Oasen’, Projekte“ (Thiesemann 1988, S. 21).

^[5] Die Originale der Zitate von Berger stammen aus: Berger, A. u. a. (1994): Das Zahlenbuch 1. Stuttgart: Klett. S. 6.

^[6] Das Original des Zitates stammt aus: Hefendehl-Hebeker, L./ Hußmann, St. (2003): Beweisen – Argumentieren. In: Leuders, T. (Hrsg.): Mathematik-Didaktik. Ein Praxishandbuch für die Sekundarstufe I & II. Berlin: Cornelsen Scriptor.

^[7] „In ganz Europa gleichzeitig werden an diesem Tag Schülerinnen und Schüler der 3.-13. Klasse versuchen, bei 30 (bzw. in der Klassenstufe 3 und 4 bei 21) mathematischen Aufgaben aus fünf vorgegebenen Lösungsmöglichkeiten die eine - einzig richtige - herauszufinden.“ zitiert von http://www.mathe-kaenguru.de/start.htm, Stand: 04.03.06.