Statistische Verfahren für Diffusionsprozesse mit Anwendung auf stochastische Zinsmodelle der Finanzmathematik

Johannes-Gutenberg-Universität Mainz
Fachbereich Mathematik

Statistische Verfahren für Diffusionsprozesse mit Anwendung auf stochastische Zinsmodelle der Finanzmathematik

Marcus Schulmerich

Inhaltsverzeichnis

Einleitung ... iii

I Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen ... 1

1 Diffusionsprozesse in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie ... 3

2 Einführung in die stochastische Analysis ... 15

3 Finanzmathematische Modelle ... 29

Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß ... 30
Vasicek-Modell ... 32
Cox-Ingersoll-Ross-Modell ... 34
Verallgemeinertes Cox-Ingersoll-Ross-Modell ... 35

II Statistische Schätzverfahren für Diffusionsprozesse ... 45

4 Schätzverfahren für Volatilität und Drift bei Diffusionsprozessen ... 47

Die Volatilitätsschätzung ... 48
Maximum-Likelihood-Schätzer basierend auf dem kontinuierlichen Ansatz ... 51
Maximum-Likelihood-Schätzer basierend auf Übergangsdichten ... 57

5 Approximationsverfahren für Übergangsdichten ... 61

Diffusionsapproximation ... 61
Kalman-Bucy Filter ... 67

6 Martingalschätzfunktionen ... 75

Einfache Martingalschätzfunktionen ... 79
Optimale Martingalschätzfunktionen ... 83

III Anwendung der statistischen Verfahren ... 91

7 Verbindung von Theorie und Praxis ... 93

Modellkontrolle mittels Diskretisierung der SDE ... 93
Modellkontrollverfahren von Pedersen ... 94
Programmbeschreibung ... 99

8 Untersuchung simulierter Datensätze ... 103

Schätzergebnisse beim Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß ... 104
Schätzergebnisse beim Vasicek-Modell ... 107
Schätzergebnisse beim CIR-Modell ... 109
Schätzergebnisse beim verallgemeinerten CIR-Modell ... 112
Simultane σ-γ-Schätzung im verallgemeinerten CIR-Modell ... 115

9 Untersuchung finanzwirtschaftlicher Datensätze ... 119

Die Bedeutung des Beobachtungshorizonts T ... 120
Vergleiche zwischen Vasicek- und CIR-Modell ... 125
    Renditewerte des REX bei 5-jährigen Anleihen ... 125
    6-Monats-LIBOR ... 129
    Swap-Satz für 7-jährige Anleihen ... 132

Zusammenfassung und Ausblick ... 135

A Stationaritätsrechnungen zu Mean-Reverting-Prozessen ... 139

B Simulationsverfahren für Ito-Prozesse ... 143
    Euler-Schema ... 144
    Milstein-Schema ... 144
    Taylor-1.5-Schema ... 145

C Tabellen aller Ergebnisse beim Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß ... 147

D Tabellen aller Ergebnisse beim Vasicek-Modell ... 155

E Tabellen aller Ergebnisse beim Cox-Ingersoll-Ross-Modell ... 161

F Tabellen aller Ergebnisse beim verallgemeinerten CIR-Modell ... 169

G Tabellen aller Ergebnisse bei der simultanen σ-γ-Schätzung im verallgemeinerten CIR-Modell ... 169

H Schätzwerte für finanzwirtschaftliche Datensätze ... 185

Symbole und Abkürzungen ... 189

Abbildungsverzeichnis ... 191

Tabellenverzeichnis ... 193

Literaturverzeichnis ... 195

Stichwortverzeichnis ... 197

Einleitung

Statistische Verfahren für finanzmathematische Modelle sind eines der zur Zeit am intensivsten bearbeiteten Gebiete der angewandten Mathematik. Dies resultiert insbesondere daraus, daß die Mathematisierung der Finanzwelt immer stärker voranschreitet und die Anwendung der Mathematik in der Praxis neue Fragen aufwirft, mit denen sich die Mathematiker in der Forschung dann wiederum beschäftigen.

Dieser Zusammenhang wird insbesondere deutlich bei der vorliegenden Diplomarbeit, die stochastische Zinsmodelle behandelt. Die grundlegenden theoretischen Arbeiten auf diesem Gebiet fanden in den siebziger und achtziger Jahren statt, wobei die Resultate seit Ende der achtziger Jahre in der finanzwirtschaftlichen Praxis verwendet werden. Es stellte sich dabei sehr schnell die Frage, wie man konkret Parameter in den theoretischen Modellen anhand des vorhandenen Datenmaterials schätzen kann.
Mit dieser Thematik befaßten sich seit Anfang der neunziger Jahre vor allem Michael Sörensen, Michael Bibby und Asger Roer Pedersen an der Fakultät für theoretische Statistik des Instituts fur Mathematik der Universität von Aarhus Dänemark. Einige ihrer Arbeiten sind Grundlage dieser Diplomarbeit.

Entstehungsgeschichte der Diplomarbeit

Ausgangspunkt der Entstehung dieser Diplomarbeit war ein dreimonatiges Praktikum, das ich im Sommer bei der ADIG - Allgemeine Deutsche Investment Gesellschaft, Frankfurt/Main - absolviert habe. In dieser Zeit beschäftigte ich mich mit der theoretischen Analyse und der anschließenden Simulation von Portfoliomanagementstrategien im Bereich Renten sowie mit ersten Untersuchungen zu dem Verlauf von Kurswerten des Rentenbereichs über die letzten Jahre. Ein in der Finanzwirtschaft bisher nicht eingehend untersuchter Effekt hat dabei mein besonderes Interesse geweckt: Der Effekt der Mean-Reversion in Rentenmärkten, d.h. das Schwanken von verschiedenen Kurs- und Renditewerten um ein Mittel. Das Interesse innerhalb der Abteilung Renten an eben dieser Fragestellung führte nach Abschluß meiner Praktikantenzeit zu einem Angebot von Herrn Hallacker, Abteilungsleiter des Bereichs Renten bei der ADIG, mich bei einer Diplomarbeit in Finanzmathematik über dieses Thema zu begleiten. Diese Idee wurde auch von Frau Prof. Dr. Klüppelberg, der Betreuerin meiner Diplomarbeit, gerne aufgegriffen. so daß die vorliegende Arbeit zustande kommen konnte.

Ziele der Diplomarbeit

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es, die neuesten Schätzverfahren für bestimmte Klassen von Diffusionsprozessen zu testen. Dabei geht es erstens um einen grundlegenden und systematischen Vergleich diverser Verfahren für simulierte Prozesse und die Abhängigkeit der Verfahren von vorgegebenen prozeßunabhängigen Parametern.
Zweitens wurden diese Verfahren so miteinander kombiniert, daß es möglich ist, alle gesuchten Parameter von Diffusionsprozessen einer bestimmten Klasse zu schätzen.
Dieses wurde in einem C-Programm realisiert, das ich für die Diplomarbeit erstellt habe. Der dritte und letzte Zielaspekt - zugleich der wichtigste - ist die Anwendung dieser neuen Schätzverfahren auf reale Datensätze der Finanzwelt, was in den bisher veröffentlichten Arbeiten nicht gemacht wurde.

Aufbau der Diplomarbeit

Die Diplomarbeit besteht aus drei Teilen, wobei jeder Teil wiederum von drei Kapiteln gebildet wird. Im folgenden ist eine inhaltliche Beschreibung jedes der drei Teile gegeben. Der genaue Inhalt des jeweiligen Kapitels und seine Einordnung in den Zusammenhang der Diplomarbeit befindet sich am Anfang jeden Kapitels.

Teil I

Der erste Teil dieser Diplomarbeit widmet sich den stochastischen Grundlagen der Diffusionsprozesse. Spezielle Diffusionsprozesse, sogenannte Mean-Reverting-Prozesse, sind geeignet, Datensätze zu modellieren, bei denen Mean-Reversion auftritt. Kapitel 1 dient dabei der Einführung grundlegender Begriffe für Diffusionsprozesse mit Mitteln der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. In Kapitel wird danach der Ito-Kalkül eingeführt. Durch die stochastische Analysis ist ein tieferer Einblick in die Struktur der Diffusionsprozesse möglich. Insbesondere basieren alle statistischen Verfahren auf der Beschreibung solcher Prozesse durch eine stochastische Differentialgleichung. In Kapitel schließlich werden die Mean-Reverting-Prozesse vorgestellt, die in dieser Diplomarbeit für die Beschreibung des Effekts der Mean-Reversion in Rentenmärkten verwendet werden.

Teil II

Teil II wendet sich den Schätzverfahren für diejenigen Parameter zu, durch die ein Diffusionsprozeß eindeutig determiniert ist. Somit basiert Teil II auf Teil I der Diplomarbeit. Es werden verschiedene Ansätze betrachtet und die statistischen Methoden systematisch hergeleitet, so daß schließlich alle gesuchten Größen bestimmt werden können. Insbesondere wird dabei ein neues Schätzverfahren vorgestellt, welches das Schätzen eines Parameters erlaubt, der bisher stets vorgegeben werden mußte. In Kapitel 4 widmen wir uns zuerst den Volatilitätsparametern eines Diffusionsprozesses und nach dessen Schätzung der Drift des Prozesses. Dabei spielt die Maximum-Likelihood-Schätzung eine besondere Rolle, wobei wir zwei verschiedene Ansätze untersuchen werden. Kapitel 5 dient der Schätzung von Übergangsdichten bei Diffusionsprozessen. Solche Dichten sind für die Maximum-Likelihood-Schätzung von großer Bedeutung. In Kapitel 6 werden dann die von Michael Sörensen und Michael Bibby 1995 entwickelten Verfahren der Martingalschätzfunktionen untersucht, die für die praktische Anwendung sehr wichtig sind.

Teil III

Der letzte Teil der Diplomarbeit dient ausschließlich der Praxis, d.h., es werden nun die in Teil II entwickelten statistischen Verfahren auf simulierte Diffusionsprozesse angewendet sowie auf Datensätze der Finanzwirtschaft. Um Nachweismöglichkeiten zu haben, daß das einem finanzwirtschaftlichen Datensatz zugrundegelegte Modell tatsächlich richtig ist, werden zuerst Modellkontrollverfahren dargestellt. Dies geschieht in Kapitel 7. Im selben Kapitel wird anschließend das C-Programm, welches ich für die Diplomarbeit geschrieben habe, ausführlich in seinen Funktionsweisen erklärt. Es ermöglicht die Simulation von Mean-Reverting-Prozessen sowie die Parameterschätzung für Datensätze aus der Praxis und mit simulierten Daten. Die ausführliche Untersuchung der Schätzwerte für Simulationen ist Gegenstand von Kapitel 8. Das letzte Kapitel der Diplomarbeit ist dann dem wichtigsten Ziel gewidmet, der Analyse von Daten der finanzwirtschaftlichen Praxis.

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