Entwicklung von Simulationssoftware zur Bestimmung der Gewichtsfunktion idealisierter Tiefpässe mit modifizierten nichtidealen Phasenspektren

Inhaltsverzeichnis:

1. Verzeichnis der Abkürzungen und Formelzeichen

2. Einleitung

3. Analytik
3.1 Berechnung für typische Phasenverzerrungen
3.1.1 Lineare Phasenverzerrungen
3.1.2 Nichtlineare Phasenverzerrungen
3.2 Berechnung für manuelle Eingabe der Phasenverzerrungen

4. Softwaredokumentation
4.1 Buttonbelegung
4.2 Allgemeine Informationen
4.3 Manuelle Phasenwinkeleingabe

5. Zusammenfassung

6. Literaturverzeichnis

7. Anlagenverzeichnis

8. Anlagen

9. Thesen

1. Verzeichnis der Abkürzungen und Formelzeichen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Einleitung

Die gerade in der Nachrichtentechnik notwendige Filterung von Signalen erfordert eine genaue Analyse dieses Vorgangs im Zeit- und im Spektralbereich.

Obwohl sich hier hauptsächlich die Dämpfungsverzerrungen durch Frequenzbandbeschränkung auf das Empfangssignal auswirken, können auch Phasenverzerrungen einen wesentlichen Einfluss darauf haben.

Da die Verzerrungen Nebenechos bei der Gewichtsfunktion verursachen und damit den Einschwingvorgang verlängern, wird mit verschiedenen Methoden versucht, diese zu minimieren.

So nutzt man beispielsweise Tiefpässe mit cos²-Flanken, die auftretende Überschwinger optimal dämpfen. Außerdem werden oft Netzwerke zur Phasenvorverzerrung eingesetzt, um den durch die Filter verursachten Phasenverzerrungen entgegenzuwirken. Dazu müssen aber die Auswirkungen dieser Verzerrungen genau analysiert werden.

Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Phasenspektren auf die Gewichtsfunktion wurde deshalb in dieser Belegarbeit ein entsprechendes

HP VEE Programm entwickelt, mit dem das Systemverhalten für idealisierte Rechteck- und Trapeztiefpässe nachgebildet werden kann.

Um die Zusammenhänge des Systemverhaltens im Spektral- und im Zeitbereich zu verdeutlichen, werden Amplitudengang, Phasengang, Gruppenlaufzeit und Gewichtsfunktion gleichzeitig graphisch dargestellt. Außerdem besteht die Möglichkeit, ein zusätzliches Fenster für die Darstellung der Sprungfunktion zu öffnen.

Da die Software hauptsächlich als Lehrmaterial genutzt werden soll, wurden Beispiele typischer Phasenverzerrungen zusammengestellt, die für idealen Rechtecktiefpass und Trapeztiefpass einstellbar sind.

Die Nyquistfrequenz beider Tiefpässe und der Roll-off-Factor des Trapeztiefpasses sind variabel, um den Einfluss von Bandbreite und Dämpfung im Spektralbereich auf das Zeitverhalten sichtbar zu machen.

Für die Realisierung beliebiger Phasenverzerrungen ist ein Unterprogramm implementiert worden, das eine manuelle Eingabe der Phasenwinkel ermöglicht.

3. Analytik

Da die Berechnung eines Integrals der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

unter HP VEE aufgrund der zweiten Variable t nicht ohne weiteres möglich ist, wurde die Gewichtsfunktion auf zwei Arten ermittelt.

Während für den Programmteil mit den wählbaren typischen Phasenverzerrungen die einzelnen Integrale schriftlich berechnet und nur die Endergebnisse verwendet wurden, erfolgte die Berechnung der Gewichtsfunktion bei manueller Eingabe der Phasenverzerrungen über eine Fourierreihe.

Die genaue Vorgehensweise wird nachfolgend noch näher erläutert.

Um die Sprungfunktion zu ermitteln wurde die Gewichtsfunktion g(t) über t integriert. Da g(t) nur noch die Variable t enthält, konnte dazu die in HP VEE implementierte Integralfunktion verwendet werden.

3.1 Berechnung für typische Phasenverzerrungen

Die typischen Beispiele für Phasenverzerrungen wurden zusammengestellt, um das Systemverhalten für die interessantesten Fälle zu verdeutlichen.

3.1.1 Lineare Phasenverzerrungen

Der einfachste Fall ist die in Anlage Nr. 1 dargestellte lineare Phasenverschiebung.

Hier ist die Gruppenlaufzeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gr konstant. Das heißt, alle Frequenzen werden gleich stark verzögert.

Die Gewichtsfunktion für den Rechtecktiefpass wird folgendermaßen berechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dieser Berechnung wurde einmal ausführlich gezeigt, dass die Rechteckfunktion mit Phasenverschiebung im Frequenzbereich mit einer verschobenen Spaltfunktion im Zeitbereich korrespondiert. Im Folgenden wird nur noch mit Korrespondenzen gearbeitet.

Die Trapezfunktion setzt sich aus Rechteckfunktion und Dreieckfunktion zusammen, wobei die Dreieckfunktion im Frequenzbereich mit einer quadratischen Spaltfunktion im Zeitbereich korrespondiert. Für kleiner werdenden Roll-off-Factor r werden die Trapezflanken steiler und der Einfluss der Dreieckfunktion nimmt ab. Wenn im Extremfall r=0 ist handelt es sich nur noch um eine reine Rechteckfunktion bzw. bei r=1 um eine reine Dreieckfunktion.

Daraus ergibt sich für die Gewichtsfunktion folgender Zusammenhang.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man erkennt, dass auch hier bei abnehmendem Roll-off-Factor r der Einfluss der Dreieckfunktion abnimmt. Das bedeutet, die Vor- und Nachschwinger der Gewichtsfunktion werden immer weniger stark gedämpft.

Im Extremfall bei r=0 ist g(t) eine Spaltfunktion, wie beim Rechtecktrapeztiefpass und bei r=1 ergibt sich für g(t) eine quadratische Spaltfunktion.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei linearer Phasenverschiebung und konstanter Gruppenlaufzeit ergibt sich für Rechteck- und Trapeztiefpass eine um T verschobene Gewichtsfunktion.

Für die Darstellung in Anlage Nr.1 wurde eine Verschiebung von T=0,2s gewählt.

Die Berechnung der Gewichtsfunktion und der Sprungfunktion für negative Gruppenlaufzeiten stellt analytisch kein Problem dar. Beispielsweise wären für T=-1s beide Funktionen um 1s nach links verschoben. Dies ist allerdings in der Realität unmöglich, denn bei einer negativen Gruppenlaufzeit würde das Signal nach dem Filter schon vor dem Senden empfangen werden.

Vergleicht man die Sprungfunktion h(t) mit der Gewichtsfunktion g(t), dann stellt man fest, dass zum Zeitpunkt Null ohne Phasenverschiebung oder zum Zeitpunkt T bei linearer Phasenverschiebung in dem g(t) ihr Maximum hat, h(t) immer den Wert 0,5 hat, weil zu diesem Zeitpunkt genau bis zur ersten Hälfte der Gewichtsfunktion integriert wurde. Ein weiterer Effekt der durch die Integration auftritt ist der Zusammenhang zwischen den Überschwingern von g(t) und h(t). Genau zu den Zeitpunkten an denen die Vor- bzw. Nachschwinger von g(t) ihre Nullstellen haben, treten bei h(t) die Maxima der Vor- bzw. Nachschwinger auf.

Da ansonsten zur Berechnung der Sprungfunktion lediglich die Gewichtsfunktion nach t integriert werden muss und dieses durch die Integralfunktion unter HP VEE realisiert werden konnte, wird hier nicht näher darauf eingegangen.

3.1.2 Nichtlineare Phasenverzerrungen

Ein weiteres typisches Beispiel ist die in Anlage Nr. 2 dargestellte nichtlineare Phasenverzerrung. Hier ergibt sich für die Gruppenlaufzeit eine x2-ähnliche Funktion. Das heißt, die niedrigen Frequenzen werden gering und die hohen stark verzögert.

In der Empfangsfunktion erscheinen also beginnend mit den niedrigsten nacheinander alle durchgelassenen Frequenzen. Jede Frequenz tritt zu dem Zeitpunkt auf, der gleich der Gruppenlaufzeit für diese Frequenz ist.

Zur Berechnung der Sprungfunktion wurde ein in [1] genauer beschriebenes elegantes Verfahren verwendet.

Hier wurde zur linearen Verschiebung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]T eine Sinusfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] addiert, so dass sich nach Integration das gewünschte Gruppenlaufzeitverhalten ergibt.

Deshalb gilt für den Rechtecktiefpass

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist Db[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Abweichung von der linearen Phasenverschiebung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]T.

Für eine hinreichend kleine Abweichung gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]