Markov-perfekte Gleichgewichte bei dynamischem Preis- und Mengenwettbewerb

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Einleitung

1 Ein Basismodell für sequenziellen Wettbewerb mit unendlichem Horizont

2 Mengenwettbewerb
2.1 Simultaner und einfach sequenzieller Mengenwettbewerb
2.2 Dynamischer Mengenwettbewerb
2.3 Dynamischer Mengenwettbewerb mit Anpassungskosten
2.4 Konvergenz von endlichem und unendlichem Spiel

3 Preiswettbewerb
3.1 Simultaner und einfach sequenzieller Preiswettbewerb
3.2 Dynamischer Preiswettbewerb

4 Zusammenfassung und kritische Würdigung

Appendix A
Appendix B
Appendix C
Appendix D
Appendix E
Appendix F
Appendix G

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 4.1: Anpassungspfad Mengenwettbewerb 37

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einleitung

In der noch jungen Geschichte der wirtschaftswissenschaftlichen Forschung gibt es nur wenige modelltheoretische Ansätze, die so tief greifende und lang anhaltende Spuren hinterlassen haben wie die Modelle von Antoine Cournot und Joseph Bertrand. 1838 veröffentlichte Cournot seinen Ansatz eines Oligopols mit Unternehmen, die ihren Gewinn über die Wahl der Produktionsmenge maximieren. Der cournotsche Mengenwettbewerb liefert bis heute eine einfache Beschreibung für das in Oligopolen typische Marktergebnis: hohe Produktpreise und somit hohe Gewinne für die wenigen konkurrierenden Unternehmen. Etwa 40 Jahre später setzte Joseph Bertrand am Hauptkritikpunkt gegenüber dem Cournot-Modell an. Sein Modellansatz ging von Unternehmen aus, die nicht durch die Wahl der Produktionsmenge, sondern durch die Wahl des Produktpreises den Gewinn maximieren. Aus methodischer Sicht ist Bertrands Ansatz sicherlich vorzuziehen, da sich Unternehmen in der Realität meist über Preisentscheidungen im Markt positionieren. Die viel plausiblere Annahme von preissetzenden Unternehmen führt jedoch zu einem kontraintuitiven Ergebnis. Schon bei zwei Unternehmen liefert das Bertrand-Modell das Marktergebnis des perfekten Wettbewerbs: Die Preise gleichen den Grenzkosten, die Unternehmen erwirtschaften keine Gewinne.

Eine Variante der einfachen Marktmodelle entwickelte Mitte der 1930er Jahre Heinrich von Stackelberg. Anstelle der simultanen Spielstruktur der klassischen Modelle nahm Stackelberg an, dass die Unternehmen ihre Entscheidungen sequenziell treffen. Diese Spielstruktur ermöglicht es dem Stackelbergführer, im Mengenwettbewerb gegenüber dem simultanen Spiel höhere Gewinne zu erwirtschaften. Wegen des höheren Gesamtoutputs ergeben sich höhere Preise und dadurch ein höheres Wohlfahrtsniveau.

Ein beachtlicher Teil der mikroökonomischen bzw. industrieökonomischen Forschung beschäftigt sich seitdem mit der Erweiterung dieser drei grundlegenden Modelle zur Erklärung von Märkten.

Ein wichtiger Fokus liegt dabei auf dem Gesichtspunkt der Dynamisierung des Wettbewerbs. Im Wesentlichen lassen sich zwei grundlegende Ansätze unterscheiden (vgl. Fudenberg und Tirole 1986). Innerhalb der Superspieltheorie wird ein einperiodiges Basisspiel unendlich oft wiederholt. Dieses einfache Prinzip ermöglicht es beispielsweise auch im Preiswettbewerb, bei ausreichend hohem Diskontierungsfaktor hohe gleichgewichtige Preise zu erklären. Insbesondere in den 70er und 80er Jahren des letzten Jahrhunderts bildete die Superspieltheorie den Ausgangspunkt für zahlreiche Veröffentlichungen.

Eine andere Klasse von dynamischen Spielen macht von der so genannten state-space Annahme Gebrauch (vgl. Fudenberg und Tirole, S. 5). Diese besagt, dass Firmen bei ihren Entscheidungen nur diejenigen Faktoren berücksichtigen, welche direkt in ihre jeweilige Gewinnfunktion einfließen. Eine solche Beschränkung erleichtert zum einen die modelltheoretische Analyse, zum anderen entziehen sich die Ergebnisse den wesentlichen Kritikpunkten, die gegen die Superspieltheorie vorgebracht werden.

Dieser Dynamisierungsansatz sowie die klassischen Beiträge von Cournot, Bertrand und Stackelberg bilden den konzeptionellen Ausgangspunkt der vorliegenden Diplomarbeit. Vor diesem Hintergrund werden in der Diplomarbeit zwei neuere Ansätze kritisch diskutiert, nämlich zum einen der von Eric Maskin und Jean Tirole (1987) entwickelte sequenzielle Mengenwettbewerb à la Stackelberg mit unendlich vielen Perioden und zum anderen die daran anknüpfende Analyse eines Preiswettbewerbs mit heterogenem Gütermarkt von Michael Baye und Shyh-Fang Ueng (1999).

Der erste Entwurf eines mehrperiodigen aber endlichen Stackelberg-Modells findet sich bei Cyert und DeGroot (1970). Die Autoren lösen ein sequenzielles Spiel durch Rekursion und ermitteln die für die jeweilige Periode optimale Reaktionsfunktion. Dabei werden die Koeffizienten der Reaktionsfunktionen unter Verwendung einer linearen Nachfragefunktion bestimmt. Zwar ist die Modellierung der strategischen Effekte im mehrperiodigen sequenziellen Spiel als wichtige Pionierleistung anzusehen. Das unschöne Ergebnis einer zeitabhängigen Reaktionsfunktion gab Maskin und Tirole jedoch den Anstoß zur Modellierung eines sequenziellen Spiels mit unendlich vielen Perioden.

Ziel dieser Diplomarbeit ist es, der ökonomischen und mathematischen Argumentation in den Beiträgen von Maskin und Tirole sowie Baye und Ueng detailliert zu folgen und kritisch Stellung zu beziehen.

In Abschnitt 1 wird zunächst ein Basismodell des sequenziellen Wettbewerbs entwickelt, das als Ausgangspunkt für die weitere Analyse dient. In Abschnitt 2.1 wird der klassische sequenzielle bzw. simultane Mengenwettbewerb kurz dargestellt. Die Abschnitte 2.2 und 2.3 behandeln den dynamischen Mengenwettbewerb mit unendlich vielen Perioden und unter Berücksichtigung der Kosten für Produktionsmengenänderungen. Die Konvergenz der Ergebnisse des endlichen und unendlichen sequenziellen Wettbewerbs wird anschließend in Abschnitt 2.4 näher erläutert. In den Abschnitten 3.1 und 3.2 wird die Analyse des Preiswettbewerbs entwickelt.

Die Darstellungen in den einzelnen Abschnitten orientieren sich in Methodik und Symbolik an der zugrunde liegenden Literatur. Längere, rein mathematische Darstellungen werden aus Gründen der Lesbarkeit im Anhang abgehandelt. Eine Ausnahme bildet lediglich Abschnitt 2.4, denn die von Maskin und Tirole gewählten, teilweise recht exotischen Methoden lassen eine ausführlichere Kommentierung ratsam erscheinen.

1 Ein Basismodell für sequenziellen Wettbewerb mit unendlichem Horizont

Ziel dieses Abschnitts ist die Entwicklung eines Ansatzes zur Analyse von Duopolen mit sequenzieller Spielstruktur und unendlich vielen Spielperioden. Hierzu werden zunächst Wertfunktionen der Unternehmen aufgestellt. Die resultierenden Optimalitätsbedingungen liefern die Steigung der Markov-perfekten Reaktionsfunktionen in Abhängigkeit von der Gewinnfunktion und deren Derivaten.

Das vorgestellte Basismodell ist angelehnt an die Ausführungen von Maskin und Tirole (1987) und wird in den Abschnitten zwei und drei durch Modellierung eines Mengen- bzw. Preiswettbewerbs spezifiziert.

Zwei Firmen (i=1,2) competitieren auf einem Gütermarkt in einem unendlichen Spiel. Die Konkurrenten setzen sequenziell die strategische Variable Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für jeweils zwei Perioden. Unternehmen Eins wählt in ungeraden Perioden die Ausprägung der Variablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Unternehmen Zwei wählt in geraden Perioden die Ausprägung der Variablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Wegen des zweiperiodigen Commitments gilt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die Gewinngleichung des Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten-ten Unternehmens in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist gemäß der Annahme von Markov-Strategien abhängig vom eigenen Handeln und dem Verhalten des Konkurrenten. Somit gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Wegen des zweiperiodigen Commitments der Entscheidung über Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (1.1)

Die rational handelnden Spieler maximieren ihren intertemporalen Gewinn

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

wobei der Diskontierungsfaktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die Unternehmen identisch ist.

Wesentlich für den von Maskin und Tirole eingeschlagenen Lösungsweg ist die Annahme von Markov-Reaktionsfunktionen bzw. Markov-Strategien. Verfolgen die Unternehmen Markov-Strategien, so hängt ihr Handeln zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ausschließlich von den Variablen ab, die direkt in die Gewinnfunktion einfließen. Der Verlauf des Spiels bis zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beeinflusst die strategische Entscheidung eines Unternehmens, insofern er sich in den zahlungsrelevanten Variablen zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten widerspiegelt. Es wird somit unterstellt, dass die Unternehmen nur eine Teilmenge der ihnen zur Verfügung stehenden Informationen nutzen.

Gleichung (1.1) macht deutlich, dass, gemäß den Annahmen, der Gewinn der Zugperiode lediglich durch die eigene Wahl von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sowie durch die Entscheidung des Konkurrenten in der Vorperiode beeinflusst wird. Die Reaktionsfunktion des Unternehmens Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten hängt somit nur von der Variablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ab. Für die dynamischen Reaktionsfunktionen gilt somit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die gewinnoptimale Antwort von Unternehmen Eins in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf das aus Periode Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bekannte Verhalten des Unternehmens Zwei ist.

Die Bezeichnung „dynamische Reaktionsfunktion“ dient zur Unterscheidung zwischen obigen Reaktionsfunktionen und den Reaktionsfunktionen aus den Modellen mit einfachem simultanen bzw. sequenziellen Preis- und Mengenwettbewerb. Die Reaktionsfunktionen selbst sind im Markov-perfekten Gleichgewicht nicht dynamisch. Im Gegensatz zu endlichen Spielen unterscheiden sich die Entscheidungsknoten zu unterschiedlichen Zeitpunkten aus strategischer Sicht nicht, da die Anzahl der noch zu spielenden Perioden immer unendlich ist. Die Reaktionsfunktionen sind daher nicht abhängig von der Zeit.

Die Markov-Strategien der Unternehmen bilden genau dann ein Markov-perfektes Gleichgewicht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wenn die Reaktionsfunktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, gegeben Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, den intertemporalen Gewinn maximiert.

Da die Markov-perfekten Reaktionsfunktionen per definitionem in jeder Zugperiode die gewinnoptimale Reaktion sind, lauten die notwendigen Bedingungen für deren Existenz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.2)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , (1.3)

wobei die Reaktionsfunktion mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

das Maximum in(1.2) darstellt.

Die Wertfunktion in (1.2) gibt den intertemporalen Gewinn des Unternehmens Eins in einer ungeraden Periode, d.h. in einer Zugperiode, an. Er setzt sich zusammen aus dem Gewinn der aktuellen Periode und den diskontierten zukünftigen Gewinnen. Unternehmen Eins maximiert den intertemporalen Gewinn in der Zugperiode durch Wahl seiner strategischen Variablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Gleichung (1.3) gibt den intertemporalen Gewinn von Unternehmen Eins in geraden Perioden an. Analoge Bedingungen gelten für Unternehmen Zwei.

Zunächst soll gezeigt werden, dass unter Annahme quadratischer Gewinnfunktionen die Steigung der Reaktionsfunktion abhängig von der strategischen Rolle der Variablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist. Wenn die Reaktionsfunktion die gewinnoptimale Antwort auf das Verhalten des Konkurrenten in der Vorperiode darstellt, gilt für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und insbesondere für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

sowie

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Durch Subtraktion der Gleichungen ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die Intergralschreibweise verrät, dass diese Bedingung vom Vorzeichen der Kreuzableitung der Gewinnfunktion abhängt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.4)

Da nach Voraussetzung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt, muss das innere Integral aus Gleichung (1.4) positiv sein.

Für den Fall des Mengenwettbewerbs ist die Kreuzableitung der quadratischen Gewinnfunktion (2.2) negativ. Das innere Integral in (1.4) ist folglich nur dann positiv, wenn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt. Da die Reaktion auf die größere Outputmenge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten geringer ist als die Reaktion auf Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, weist die Reaktionsfunktion eine negative Steigung auf.

Im Preiswettbewerb mit quadratischer Gewinnfunktion ist die Kreuzableitung von (3.2) positiv. Bedingung (1.4) impliziert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Da Unternehmen Zwei auf einen höheren Preis der Konkurrenz seinerseits mit einem höheren Preis reagiert, weist die Reaktionsfunktion eine positive Steigung auf.

Für die Existenz eines Maximums in Gleichung (1.2) muss die Funktion konkav, d.h. die zweite Ableitung der Funktion negativ sein.

Die notwendige Bedingung für ein Maximum in Gleichung (1.2) lautet

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (1.5)

Durch totales Differenzieren ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und somit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Der geklammerte Term stellt die zweite Ableitung von (1.2) dar. Da die Kreuzableitung des Gewinns und die Steigung der Reaktionsfunktion bei quadratischer Gewinnfunktion immer das gleiche Vorzeichen aufweisen, ist der geklammerte Term strikt negativ und die Wertfunktion damit konkav.

Durch Substitution mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich aus der Optimalitätsbedingung (1.5)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.6)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (1.7)

Aus den Gleichungen (1.2) und (1.3) erhält man durch Substitution der Reaktionsfunktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (1.8)

In Gleichung (1.8) ist sehr gut der strukturelle Periodenverbund zwischen den einzelnen Spielperioden zu erkennen. Term A bezeichnet den Gewinn von Unternehmen Eins in der Periode Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, welcher von der in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gewählten Variablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sowie der Wahl von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bestimmt wird. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ihrerseits ist eine Funktion des Verhaltens von Unternehmen Eins in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die von Unternehmen Eins in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gefällte Entscheidung schlägt also auf die Gewinnfunktion der Folgeperiode Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten durch. Dies gilt natürlich auch für die Zukunft. Term B beziffert den Gewinn von Unternehmen Eins in der Periode Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Dieser Gewinn ist abhängig von der Entscheidung über Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und der von Unternehmen Zwei in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gefällten Entscheidung über Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die Wahl von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wurde jedoch, wie oben erwähnt, durch die Wahl des Unternehmens Eins in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten determiniert. Das zweiperiodige Commitment bezüglich der strategischen Variablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten führt wegen der sequenziellen Zugfolge dazu, dass die Entscheidungen der Unternehmen sämtliche zukünftigen Gewinne beeinflussen. Deswegen müssen sämtliche zukünftigen Gewinne auch über die Wertfunktion in das Entscheidungskalkül jeder einzelnen Periode einbezogen werden.

Gleichung (1.8) lässt auch erkennen, dass das Ausmaß der Wirkung einer Entscheidung auf zukünftige Perioden vom Diskontierungsfaktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten abhängt. Ein sehr niedriger Diskontierungsfaktor schwächt den Periodenverbund und damit das Gewicht aktueller Entscheidungen auf zukünftige Perioden. Dieser Effekt wird in den nachfolgenden Abschnitten noch genauer behandelt. Zunächst ist jedoch der Steigungskoeffizient der Reaktionsfunktionen aus der Optimalitätsbedingung (1.8) herauszuschälen.

Durch Differentiation erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (1.9)

Nach Substitution mit Gleichung (1.5) und Gleichung (1.6) ergibt sich zunächst

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Durch einfache Umformungen und unter Verwendung der Symmetrie erhält man die Steigungen der Reaktionsfunktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und (1.10)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (1.11)

Die Steigungsparameter der Reaktionsfunktionen geben an, wie sensitiv ein Unternehmen auf Änderungen im Preis bzw. der Produktionsmenge seines Konkurrenten reagiert.

Gleichungen (1.10) und (1.11) stellen die Ausgangspunkte für die Modellierung des dynamischen Preis- bzw. Mengenwettbewerbs dar und werden in den Abschnitten 2 und 3 mit den jeweiligen Gewinngleichungen unterfüttert.

2 Mengenwettbewerb

2.1 Simultaner und einfach sequenzieller Mengenwettbewerb

Bevor die Ergebnisse des letzen Abschnitts für die Modellierung eines dynamischen Mengenwettbewerbs verwendet werden, soll zunächst ein einfaches Modell des simultanen bzw. sequenziellen Mengenwettbewerbs entwickelt werden. Das vorgestellte Modell wird zur Weiterentwicklung des oben entwickelten Basismodells verwendet. Darüber hinaus dienen die abgeleiteten Ergebnisse als Referenzpunkt zur Beurteilung des dynamischen Mengenwettbewerbs.

Das klassische Cournot-Duopol besteht aus zwei simultan mengensetzenden Firmen (i=1,2), die sich mit ihren perfekt substitutiven Gütern der inversen Nachfragefunktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.1)

gegenüber sehen. Der Nachfrageparameter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kann als Marktgröße interpretiert werden, die Grenzkosten sind null. Auf die Ableitung der inversen Nachfragefunktion aus einer quadratischen Nutzenfunktion soll an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden.

Unter Berücksichtigung der linearen Nachfragefunktion lautet die quadratische Gewinnfunktion der Unternehmen Eins und Zwei

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.2)

Die Maximierung der Gewinne liefert die linearen Reaktionsfunktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.3)

und damit deren Steigung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Mengen sind im Fall von substitutiven Gütern folglich strategische Substitute. Einer Änderung der Produktionsmenge eines Unternehmens folgt eine im halben Umfang gegenläufige Änderung der Produktionsmenge seines Konkurrenten. Aus den Reaktionsfunktionen lassen sich die gleichgewichtigen Produktionsmengen und Gewinne

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und (2.4)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.5)

ableiten.

Das Marktergebnis des Cournot-Wettbewerbs beschert beiden Unternehmen hohe Gewinne, die deutlich über den Gewinnen des vollkommenen Wettbewerbs liegen.

In der Stackelberg-Variante des einfachen Cournot-Duopols setzt Unternehmen Eins als first mover seine Produktionsmenge unabhängig von Unternehmen Zwei fest. Wegen der sequenziellen Zugfolge nimmt Unternehmen Zwei die von Unternehmen Eins gewählte Produktionsmenge als gegeben hin und wählt seine gewinnoptimale Produktionsmenge. Unternehmen Eins löst das Maximierungsproblem

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

woraus die optimale Produktionsmenge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.6)

resultiert. Nach Einsetzen in die Gewinnfunktion von Unternehmen Zwei und anschließender Optimierung ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.7)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.8)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die einfache Dynamik des Stackelberg-Modells führt zu zwei wesentlichen Konsequenzen. Zum einen verursacht die sequenzielle Zugfolge eine asymmetrische Verteilung der Gewinne an die symmetrischen Unternehmen, wobei sich der first mover gegenüber dem simultanen Spiel besser stellt. Zum anderen profitieren die Konsumenten durch einen höheren Gesamtoutput und infolgedessen durch niedrigere Preise.

Die Ursache für dieses Ergebnis liegt im strategisch substitutiven Charakter der Mengensetzung. Unternehmen Eins berücksichtigt bei der Mengensetzung die Tatsache, dass Unternehmen Zwei als follower seine Produktionsmenge an die vorgefundenen und von Unternehmen Eins bestimmten Bedingungen anpassen muss. Unternehmen Eins ist in der Lage, durch die glaubhafte Bindung an eine hohe Produktionsmenge einen Großteil der Nachfrage zu bedienen, während Unternehmen Zwei nur wenige Güter produziert und absetzt.

2.2 Dynamischer Mengenwettbewerb

Ziel dieses Abschnitts ist die Herleitung der Reaktionsfunktionen im Markov-perfekten Gleichgewicht bei dynamischem Mengenwettbewerb. Anschließend werden die Ergebnisse des klassischen Cournot-Wettbewerbs mit den Ergebnissen der dynamischen Variante verglichen.

Ausgangspunkt der Überlegungen ist das Basismodell aus Abschnitt 1 sowie der in Abschnitt 2.1 vorgestellte Analyserahmen. Die strategische Variable Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten aus Abschnitt 1 ist im Folgenden als Produktionsmenge des Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten-ten Unternehmens zu interpretieren. Die gesuchte Markov-perfekte Strategie besteht, wegen der in Abschnitt 2.1 verwendeten quadratischen Gewinnfunktionen bzw. der dadurch implizierten linearen Ableitungen, aus Reaktionsfunktionen der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Zunächst wird die Steigung der Reaktionsfunktionen bestimmt. Im Anschluss daran lässt sich leicht der Achsenabschnitt ermitteln.

Aus den Gleichungen (1.10) und (1.11) ergeben sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und (2.9)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.10)

Die für die Lösung von (2.9) und (2.10) erforderlichen Terme folgen aus den Gleichungen (2.1) bis (2.3) und sind in Appendix A zusammengestellt.

Nach Einsetzen dieser Terme ergibt sich für Gleichung (2.10) zunächst

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.11)

Gilt die Gleichung für alle Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, so ergeben sich aus (2.9) und (2.10) die Nullbedingungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und (2.12)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.13)

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und somit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Dieses Ergebnis ist keineswegs trivial. Die Unternehmen sind bezüglich ihrer Produkte und Grenzkosten zwar symmetrisch, jedoch starten sie nicht gleichzeitig in den Wettbewerb, da Unternehmen Zwei in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zuerst seine Produktionsmenge für zwei Perioden festlegt. Da sich die Unternehmen in ihrer Rolle als Stackelberg leader und follower abwechseln, verschwindet der first mover advantage. Die Reaktionsfunktionen der beiden Unternehmen weisen die gleiche Steigung auf.

Gleichung (2.13) vereinfacht sich mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.14)

Die in Appendix B erläuterte Lösung dieser Gleichung lautet

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.15)

Gleichung (2.15) liefert zwei mögliche Steigungskoeffizienten. Im Folgenden wird daher untersucht, ob beide Lösungen zu stabilen gleichgewichtigen Reaktionsfunktionen führen, oder ob eine Lösung möglicherweise eine instabile Lösung darstellt.

Um den Steigungsparameter der Reaktionsfunktion genauer zu charakterisieren, werden zunächst die Grenzwerte und die zweite Ableitung der Funktion (2.14) betrachtet. Da es sich um ein einfaches Polynom vierten Grades handelt, besitzt die Funktion keine finiten Grenzwerte, wenn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gegen plus oder minus unendlich strebt. Außerdem ist die zweite Ableitung der Funktion mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten strikt positiv, d.h. die Steigung der Funktion nimmt stets zu. Da (2.14) für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten einen positiven Wert und für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten einen negativen Wert annimmt und die zweite Ableitung stets positiv ist, besitzt die Funktion genau zwei Nullstellen. Eine der Nullstellen muss folglich im Intervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten liegen. Mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich aus (2.14)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Da Gleichung (2.14) für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten negativ und für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten positiv ist, liegt die zweite Nullstelle im Intervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Für einen Diskontierungsfaktor zwischen null und eins sind alle Elemente dieses Intervalls größer als eins. Für die zweite Lösung gilt folglich Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. In Abschnitt 3.2 bzw. dem zugehörigen Appendix G wird gezeigt, dass Reaktionsfunktionen mit einem Steigungskoeffizient Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nicht zu gleichgewichtigen Lösungen führen.

Gleichung (2.15) liefert also nur einen Steigungskoeffizienten, der für die gleichgewichtigen Markov-perfekten Reaktionsfunktionen in Frage kommt.

Neben dem Steigungskoeffizienten wird noch der Achsenabschnitt der Reaktionsfunktionen benötigt. Um diesen zu ermitteln, multipliziert man Term A aus Gleichung (2.11)Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und sein symmetrisches Pendant mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Es folgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.16)

Durch Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Für die Erfüllung dieser Bedingung muss entweder der erste oder der zweite Term der multiplikativen Verknüpfung null ergeben. Aus den vorhergegangenen Überlegungen ist jedoch bekannt, dass der Steigungskoeffizient der Markov-perfekten Reaktionsfunktionen im Intervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten liegt. Für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich für die Grenzen dieses Intervalls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Da die Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die Grenzen des Intervalls Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kleiner null und unter der Bedingung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten offensichtlich streng monoton steigend ist, gilt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Dies impliziert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und damit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Unter Verwendung dieses Ergebnisses erhält man aus (2.14) und (2.16)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.17)

Der zuvor ermittelte Steigungskoeffizient Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sowie der Achsenabschnitt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bilden die linearen Reaktionsfunktionen, welche die Markov-perfekte Strategie des Spiels darstellen. Aus den Reaktionsfunktionen lässt sich nun das Marktergebnis ermitteln. Da sich die Produktionsmenge im Gleichgewicht nicht mehr ändert, kann sie mit Hilfe der Reaktionsfunktion bestimmt werden. Wegen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich durch Substitution mit (2.17)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und (2.18)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (2.19)

In Appendix C wird gezeigt, dass die Ableitung der Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten positiv ist. Dies impliziert, dass die gleichgewichtige Produktionsmenge aus (2.18) mit höherem Diskontierungsfaktor ansteigt. Werden zukünftige Gewinne vollständig vernachlässigt, stellt sich die Cournot-Produktionsmenge ein.

Die gleichgewichtigen Mengen und Gewinne zeigen, dass ein wesentliches Merkmal des einfachen Stackelberg-Modells der Dynamisierung zum Opfer fällt. Der first mover kann aus dem Zugvorteil zu Beginn des Spiels gegenüber dem follower keinen Vorteil in Form eines dauerhaft höheren Periodengewinns mehr erzielen. Intuititv lässt sich dieses Ergebnis dadurch erklären, dass die strategische Position in der sich ein Unternehmen in der Zugperiode befindet identisch mit der strategischen Position des Konkurrenten in dessen Zugperiode ist, da der Spielhorizont zu jedem Zeitpunkt des Spiels gleich lang ist.

Um zu verstehen, warum die Produktionsmenge mit sehr kleinem Diskontierungsfaktor gegen das Cournot-Ergebnis konvergiert, soll noch einmal ein kurzer Blick auf das einfache Stackelberg-Modell geworfen werden. Im einfachen sequenziellen Wettbewerb ist Unternehmen Eins in der Lage, sich glaubhaft an ein, gegenüber dem simultanen Spiel, vorteilhaftes Produktionsniveau zu binden. Unternehmen Zwei sieht sich vor vollendete Tatsachen gestellt und produziert, für eine um die Produktionsmenge von Unternehmen Eins verringerte Nachfrage, die Monopolmenge. Im dynamischen Spiel erhält die Entscheidung von Unternehmen Zwei jedoch eine zusätzliche Dimension. Einerseits stellt die Entscheidung über die Produktionsmenge die Reaktion auf das Verhalten des Konkurrenten in der Vorperiode dar und bestimmt dadurch den aktuellen Periodengewinn. Andererseits beeinflusst die Entscheidung auch die zukünftigen Gewinne. Unternehmen Zwei befindet sich in seiner Zugperiode auch in der first mover Rolle.

Wird angenommen, dass die Unternehmen zukünftigen Gewinnen keine Bedeutung schenken, löst sich der strukturelle Periodenverbund des Spiels auf, da die zukünftigen Auswirkungen der Entscheidungen nicht mehr berücksichtigt werden. Insbesondere versuchen die Unternehmen nicht mehr, in der Zugperiode ihre first mover Vorteile durch ein höheres Outputniveau auszunutzen. Das Verhalten der Unternehmen orientiert sich ausschließlich an dem kurzfristigen Gewinn der Zugperiode. Bei gegebener Produktionsmenge des Konkurrenten führt die Maximierung des Periodengewinns letztendlich zum Cournot-Ergebnis.

Die Situation ändert sich, sobald die Oligopolisten zukünftige Gewinne berücksichtigen. Jedes der beiden Unternehmen versucht nun, in seiner Zugperiode seinen first mover Vorteil wahrzunehmen und setzt die Produktionsmenge über das Cournot-Niveau. Die angebotene Gesamtmenge steigt, der gleichgewichtige Preis sinkt und der Markt wird mit zunehmendem Diskontierungsfaktor kompetitiver.

Die asymmetrischen Ergebnisse des einfachen Stackelberg-Modells können nur für die Erklärung kurzfristiger wirtschaftlicher Phänomene herangezogen werden. Wie schon das Zwei-Perioden-Modell erkennen lässt, verschwinden die Unterschiede zwischen first mover und follower in der Unendlichkeit.

Darüber hinaus führt der dynamische Mengenwettbewerb zu einem wettbewerbsintensiveren Ergebnis als der einfache simultane Mengenwettbewerb. Der wechselseitige Versuch, durch höhere Produktionsmengen einen first mover Vorteil à la Stackelberg zu realisieren, führt letztlich zu einem hohen Gesamtoutput, also einem schärferen Wettbewerb.

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