Verschiedene Möglichkeiten der Einführung von Ähnlichkeitslehre (9. Klasse) und Integralrechnung (12. Klasse)

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Aufbau der Ähnlichkeitslehre
2.1 Strahlensätze – Zentrische Streckung
2.2 Zentrische Streckung – Strahlensätze

3 Integralrechnung
3.1 Stammfunktion – Integralfunktion/Flächeninhalt
3.2 Integralfunktion/Flächeninhalt - Stammfunktion

4 Literaturliste

1 Einleitung

Für mein Referatsthema "Vergleich alternativer Wege zur Einführung klassischer Themen" habe ich mich mit der Reihenfolge der Einführung beim Aufbau der Ähnlichkeitslehre: Zentrische Streckung – Strahlensätze (Klasse 9) und der Integralrechnung: Integralfunktion/Flächeninhalt – Stammfunktion (Klasse 12) beschäftigt.

Da im Rahmenplan bei diesen Themen die Reihenfolge der Einführung freigestellt ist, muss sich der Lehrer bzw. die Lehrerin^[1] für einen Weg entscheiden. Dazu sollte er mögliche Wege kennen und bewusst einen von ihnen auswählen.

Ich werde für beide Themen je zwei Wege darstellen und darüber reflektieren.

2 Aufbau der Ähnlichkeitslehre

Die Ähnlichkeitslehre ist Thema der 9. Klasse. In Hauptschulen und Grundkursen der Gesamtschulen stehen für die Strahlensätze 15 Stunden, in Realschulen und Erweiterungskursen der Gesamtschulen, Gymnasien und Fortgeschrittenenkursen der Gesamtschulen 18 Stunden zur Verfügung.

Zuvor werden u.a. Wurzeln und die Satzgruppe des Pythagoras im Unterricht behandelt.

Für die Einführung in die Ähnlichkeitslehre gibt es verschiedene Möglichkeiten. Hauptsächlich besteht die Alternative, mit den Strahlensätzen oder der zentrischen Streckung zu beginnen.

Meistens wird die zentrische Streckung zwischen Strahlensätzen und Ähnlichkeitssätzen eingefügt, da die Strahlensätze einen einfachen Zugang zu den Eigenschaften der Abbildung und eine Beweismöglichkeit für die Sätze über zentrische Streckung verschaffen. Des Weiteren ist der Ablauf flüssiger, da nach den Strahlensätzen, die zentrische Streckung und darauf die Ähnlichkeitsabbildung und Ähnlichkeitssätze folgen, die wiederum über die zentrische Streckung definiert sind. Im didaktischen Sinne wäre es allerdings konsequent, den Abbildungsbegriff an den Anfang zu stellen. Die Strahlensätze sind dann integrierter Bestandteil in der Behandlung der zentrischen Streckung. Allerdings muss der 1. Strahlensatz oder die Eigenschaften der zentrischen Streckung in den Anfang eingebaut werden, um Streckenmultiplikation nicht nur rechnerisch zu ermitteln, sondern zentrische Streckung auch ausführen zu können. Das Problem der Irrationalität wird überschaubarer und aus dem Zusammenhang mit der Abbildung herausgelöst (H. Meschkowski 1972, S. 256) . Für den Beginn mit der zentrischen Streckung sprechen ihr dynamischer Charakter sowie die Kontinuität des Gesamtaufbaus der Geometrie, die es nahe legt, auf die Kongruenzabbildungen eine Ähnlichkeitsabbildung folgen zu lassen. Dagegen spricht, dass sich die Eigenschaften der Streckung dann nicht ohne eine Grundannahme, z.B. der Geradentreue, begründen lassen, so dass man im Unterricht empirisch vorgehen muss.

( http://blk.mat.uni-bayreuth.de/~thomas/geosem/zentr/seite2.htm )

Im Folgenden stelle ich zunächst den Weg über die Strahlensätze zur zentrischen Streckung und anschließend die umgekehrte Richtung dar.

2.1 Strahlensätze – Zentrische Streckung

Als Einstieg könnte man den Schülern und Schülerinnen ^[2] die Aufgabe stellen, eine Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (oder Zuckerstange), ohne zu messen, in drei kongruente Teilstrecken zu zerlegen. Eine Strecke zu halbieren, ist den Schülern geläufig, aber die Zerlegung in drei kongruente Teilstrecken ist zunächst ein Problem. Vielleicht hat aber der eine oder andere Schüler eine Idee. Der Lehrer kann die Schüler lenken, indem er fragt, ob man eine Strecke kennt, die aus drei kongruenten Teilstrecken (Einheitsstrecken) besteht. An die Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird vom Punkt A ausgehend ein Strahl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenangetragen, der aus drei kongruenten Teilstrecken besteht. Der Punkt B wird mit dem Punkt H verbunden und diese Strecke parallel verschoben, so dass die Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mithilfe des angetragenen Strahls in drei kongruente Teilstrecken zerlegt wird. Dies wird an dieser Stelle mithilfe des Kongruenzsatzes WSW (Stufenwinkel an Parallelen) und der Definition des Parallelogramms bewiesen.

Mit dieser Methode können die Schüler nun Strecken im Verhältnis 1:4; 2:3; 5:2; 1,5; 0,6; usw. teilen. Dabei ist das Streckenverhältnis der Quotient der Maßzahlen der Streckenlängen (bei gleicher Maßeinheit). Anschließend können Aufgaben gestellt werden, die auf die Lösung der Gleichung der Form 9:6 = 5:x führen.

Nun folgt die Strahlensatzfigur:

Zwei Strahlen, die vom selben Punkt S ausgehen, werden von zwei parallelen Geraden geschnitten (nicht in S).

Im Einstiegsproblem verstecken sich bereits der 1. und 2. Strahlensatz. An dieser Stelle können sie nun formuliert werden:

1. Strahlensatz:

In einer Strahlensatzfigur haben die Abschnitte auf dem einen Strahl

und die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl das gleiche

Streckenverhältnis.

2. Strahlensatz:

In einer Strahlensatzfigur haben die von S aus gemessenen Abschnitte

auf einem Strahl und die entsprechenden Abschnitte auf den Parallelen

das gleiche Streckenverhältnis.

Der Beweis des 2. Strahlensatzes kann als Anwendung des 1. Strahlensatzes erfolgen. Der 1. Strahlensatz kann durch Suchen eines gemeinsamen Maßes für je zwei Strecken bewiesen werden, was auf das Einstiegsproblem der n-Teilung zurückführt. Dabei wird die Aussage: Wenn Parallelen aus einer Geraden g gleich lange Strecken herausschneiden, dann schneiden sie aus jeder anderen Geraden h ebenfalls gleich lange Strecken heraus (Anwendung der Kongruenzsätze) benutzt (Hahn/Dzewas 1991, S. 11f).

Die Frage an dieser Stelle ist, ob zwei Strecken immer ein gemeinsames Maß haben, also der Strahlensatz auch für irrationale Verhältnisse gilt. Der Beweis kann mithilfe einer Intervallschachtelung geführt werden.

These: Es ist nicht notwendig, in der Schule Beweise für die Sätze über zentrische Streckung und für die Strahlensätze für irrationale Verhältnisse zu betrachten, da diese sehr kompliziert sind und die Sätze auch für irrationale Verhältnisse gültig bleiben.

Im Seminar gab es keine Reaktion auf diese These. Laut Rahmenplan ist es wirklich möglich, die Flächeninhaltsformel für Rechtecke mit irrationalem Seitenverhältnis im Lernabschnitt "Reelle Zahlen und Wurzeln" oder im Lernabschnitt "Satzgruppe des Pythagoras" zu erörtern. Man muss dies also nicht im Zusammenhang mit den Strahlensätzen behandeln. Den Schülern sollte aber klar sein, dass inkommensurable Strecken zwar nicht messbar, aber konstruierbar sind (mithilfe der Satzgruppe des Pythagoras) und die Strahlensätze dennoch gelten.

These: Da das Erkennen gleicher Streckenverhältnisse durch das Anwenden der Strahlensätze im Vordergrund steht, nicht das Umformen von Verhältnisgleichungen oder gar das schriftliche Rechnen mit Dezimalbrüchen, kann man die Schüler mit relativ einfachem Zahlenmaterial die entstehenden Verhältnisse im Kopf lösen lassen.

Auch auf diese These gab es keine Rückmeldung im Seminar. Ich selbst stimme dieser These nicht ganz zu. Ich denke, dass man mit etwas schwierigerem Zahlenmaterial erreichen kann, dass die Verhältnisse nicht sofort ablesbar sind. Dadurch können das Umformen und schriftliche Rechnen weiter geübt und angewendet werden.

Nach einer Übungsphase zu den beiden Strahlensätzen sollte die Frage nach der Umkehrbarkeit beider Sätze gestellt werden. Zur Beweismotivation der Umkehrung des 1. Strahlensatzes wird die Nichtumkehrbarkeit des 2. Strahlensatzes gezeigt. Der Beweis der Umkehrung des 1. Strahlensatzes ist zudem wichtig für die zentrische Streckung (Geraden- und Parallelentreue).

Umkehrung des 1. Strahlensatzes:

Zwei Strahlen, die von einem Punkt S ausgehen, werden von zwei Geraden g und g' geschnitten. Wenn die Abschnitte auf dem einen Strahl und die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl das gleiche Streckenverhältnis haben, dann sind g und g' parallel.

These: Durch die Umkehrbarkeit des 1. Strahlensatzes, aber Nicht-umkehrbarkeit des 2. Strahlensatzes wird bei den Schülern die Überzeugung gefestigt, dass alle mathematischen Aussagen bewiesen werden müssen, bevor man von ihrer Wahrheit überzeugt sein kann.

Zu dieser These gab es die Anmerkung, dass sie sehr schön sei, da man eine Aussage auch ohne konkretes Gegenbeispiel widerlegen kann. Des Weiteren zeigt die Nichtumkehrbarkeit des 2. Strahlensatzes und Umkehrbarkeit des 1. Strahlensatzes, dass es nötig ist, Vermutungen zu beweisen, um von der Gültigkeit überzeugt sein zu können.

[...]

^[1] Im Folgenden werde ich ausschließlich die maskuline Form verwenden, meine aber beide Geschlechter.

^[2] Im Folgenden werde ich ausschließlich die maskuline Form verwenden, meine aber beide Geschlechter.