Auktionstheorie und Auktionen im Internet

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einführung
1.1 Ziel und Gliederung der Arbeit

2 Grundlagen der Auktionstheorie
2.1 Die Standard-Auktionen
2.1.1 Englische Auktion
2.1.2 Holländische Auktion
2.1.3 Erstpreis-Auktion
2.1.4 Zweitpreis-Auktion
2.2 Die Modellannahmen
2.2.1 Risikobereitschaft
2.2.2 Zahlungsbereitschaft
2.2.3 Unterscheidbarkeit
2.3 Das Äquivalenztheorem
2.3.1 Englische Auktion und Zweitpreis-Auktion
2.3.2 Holländische Auktion und Erstpreis-Auktion
2.4 Literaturhinweis

3 Versteigerung eines einzelnen Objektes
3.1 Das Symmetrische Modell
3.2 Zweitpreis-Auktionen
3.2.1 Rente des Bieters
3.2.2 Bestimmung des optimalen Gebotes
3.2.3 Erwartete Zahlungen
3.3 Erstpreis-Auktionen
3.3.1 Rente des Bieters
3.3.2 Bestimmung des optimalen Gebotes
3.3.3 Das symmetrische Gleichgewicht
3.3.4 Das Trade-Off Problem
3.3.5 Gleichverteilung der Zahlungsbereitschaften
3.4 Erlösvergleich
3.5 Wichtige Ergebnisse
3.6 Modellkritik
3.7 Von der traditionellen Auktion zur Internet-Auktion
3.8 Late Bidding
3.8.1 Auktionen bei eBay und Amazon

4 Versteigerung mehrerer identischer Objekte
4.1 Preisregeln für verdeckte Auktionsformen
4.1.1 Diskriminierende Auktion
4.1.2 Uniforme Auktion
4.1.3 Vickrey Auktion
4.2 Preisregeln für offene Auktionsformen
4.2.1 Holländische Multiunit Auktion
4.2.2 Englische Mulitunit Auktion
4.2.3 Ausubel Auktion
4.3 Bietstrategien in Multiunit Auktionen
4.3.1 Vickrey Auktion
4.3.2 Uniforme Auktion
4.3.3 Nachfragereduzierung
4.3.4 Diskriminierende Auktion
4.4 Wichtige Ergebnisse
4.5 OpenIPO: Eine Uniforme Auktion im Internet
4.6 Die Ausubel Auktion als effiziente Alternative
4.6.1 Beispiel einer Ausubel Auktion

5 Schlussbetrachtung

6 Anhang
6.1 Herleitung der symmetrischen Gleichgewichtsstrategie bei Gleichverteilung der Zahlungsbereitschaften
6.2 Herleitung der zweithöchsten Order Statistic

Literaturverzeichnis

Ehrenwörtliche Erklärung

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 3.1: Verlust durch Über- und Unterbieten bei einer Erstpreisauktion

Abbildung 4.1: Versteigerung von zwei Einheiten in einer Uniform-Preis Auktion

Tabellenverzeichnis

Tabelle 3.1: Zentrale Ergebnisse der Analyse von Erstpreis- und Zweitpreis-Auktion

Tabelle 4.1: Analogien zwischen Standard- und Multiunit Auktionen

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einführung

Im Januar 1797 verfasste Johann Wolfgang von Goethe einen Brief an den Verleger Vieweg^[1]. Darin bot ihm Goethe sein Werk „Hermann und Dorothea“ unter besonderen Bedingungen an. Der Schriftsteller wollte eine versiegelte Notiz mit seiner Preisforderung an eine dritte Person weiterleiten. Sollte das Angebot des Verlegers über Goethes Forderung liegen, würde „Hermann und Dorothea“ zu dem Preis verkauft werden, den der Schriftsteller notiert hatte. Im Falle eines niedrigeren Angebotes, wollte Goethe die Notiz ungeöffnet zurücknehmen und die Verhandlungen beenden.

Auch wenn es in diesem Beispiel nur einen potentiellen Käufer gibt, handelt es sich um den Mechanismus einer verdeckten Zweitpreis-Auktion, deren Vorzüge William Vickrey 1961 als erster analysierte^[2]. Bei dieser Auktionsform geben die beteiligten Bieter verdeckte Gebote für ein Auktionsgut ab. Der Höchstbietende gewinnt die Auktion, zahlt aber nur den Preis des zweithöchsten Gebotes. Die Preisforderung in Goethes versiegelter Notiz stellt in diesem Fall ein zweites Gebot dar.

Neben dem Ziel, einen möglichst hohen Preis für „Hermann und Dorothea“ zu erzielen, war es Goethe ein Anliegen, etwas über den Wert seiner Arbeit zu erfahren. Während der Verleger Auflagenhöhe und Verkaufszahlen einschätzen konnte, fehlten dem Schriftsteller die nötigen Informationen, um seinem Werk einen Preis zu geben^[3].

Diese Situation beschreibt einen der wichtigsten Gründe, aus denen Auktionen durchgeführt werden. Hätte Goethe vollständige Informationen über die Wertschätzungen aller potentiellen Verleger gehabt, hätte er einfach einen Preis in Höhe der höchsten Zahlungsbereitschaft festlegen können^[4]. Er wusste jedoch nur wenig über den Marktpreis seiner Arbeit. Deshalb führte Goethe eine Auktion durch. Er wollte dem Verleger Informationen über seine Zahlungsbereitschaft entlocken und daraufhin bestimmen, ob und zu welchem Preis „Hermann und Dorothea“ verkauft werden sollte.

Mit der Entwicklung von Online-Auktionsplattformen, wie z.B. eBay, Amazon oder Yahoo! haben Auktionen in den letzten Jahren beträchtlich an Aktualität gewonnen. eBay zählt deutschlandweit rund 12 Millionen Nutzer, weltweit sind es mehr als 60 Millionen^[5]. In Deutschland wird über die größte aller Online-Handelsgemeinschaften alle 25 Minuten ein Volkswagen, alle 7 Minuten ein Staubsauger und alle 30 Sekunden ein Handy verkauft.

Große Konzerne, wie DaimlerChrysler oder Bayer nutzen die Vorteile einer Internetauktion durch konzernabhängige Marktplätze. DaimlerChrysler tätigte bereits 2001 Einkäufe für 10 Milliarden Euro per Online-Bietverfahren^[6]. Dadurch konnte der Einkaufsprozess beschleunigt, der Kreis der Anbieter vergrößert und die Materialpreise gesenkt werden.

Aufgrund der rasanten Verbreitung von Internetauktionen entstehen neue Forschungsgebiete innerhalb der Auktionstheorie. Man muss sich fragen, wie sich die Rahmenbedingungen einer Versteigerung durch die Nutzung des Internets geändert haben und wie diesen Veränderungen Rechnung getragen werden kann.

1.1 Ziel und Gliederung der Arbeit

Im Laufe dieser Arbeit sollen wichtige Grundlagen der Auktionstheorie formal dargestellt und interpretiert werden. Dabei wird sowohl auf die Versteigerung eines Objektes, als auch auf die simultane Versteigerung mehrerer identischer Objekte (Multiunit Auktion) eingegangen. In einem weiteren Schritt sollen die gewonnen Erkenntnisse auf ausgewählte Auktionen im Internet angewendet werden. Im Mittelpunkt der Betrachtungen steht die Frage nach der Effizienz der einzelnen Auktionsverfahren. Eine Auktion ist dann effizient, wenn der Bieter mit der höchsten Zahlungsbereitschaft den Zuschlag erhält. Aus volkswirtschaftlicher Sicht ist dies das Ziel einer Versteigerung^[7].

Zu Beginn werden in Abschnitt 2 die vier so genannten Standard-Auktionen betrachtet. Daraufhin werden die nötigen Annahmen für die späteren Modellbetrachtungen erläutert. In Abschnitt 3 folgt die formale Analyse der vier Standard-Auktionen. Die Rente der Bieter, die Bestimmung der optimalen Gebote und die Erlöse des Auktionators werden für Erstpreis- und Zweitpreis-Auktionen verglichen. Eine kritische Betrachtung der Ergebnisse schließt die Analyse ab. Die Unterschiede zwischen traditionellen Versteigerungen und Internet-Auktionen bilden die Überleitung zu Zweitpreis-Auktionen im Internet. Um das Auftreten von late bidding zu erläutern, wird ein Vergleich der Auktionsplattformen eBay und Amazon vorgenommen. In Abschnitt 4 werden Preisregeln und Bietstrategien in Multiunit Auktionen betrachtet. Dabei sollen Analogien zu den Standard-Auktionen herausgearbeitet werden. Im Anschluss wird OpenIPO^[8], eine Multiunit Auktion im Internet, vorgestellt. Bestehende Ineffizienzen werden herausgearbeitet und diskutiert. Daraufhin wird eine effiziente Alternative anhand eines ausführlichen Beispiels erläutert. Die Schlussbetrachtung fasst die gewonnen Erkenntnisse zusammen.

2 Grundlagen der Auktionstheorie

Die Auktionstheorie ist Grundlage wichtiger theoretischer Arbeit, speziell im Bereich der Spieltheorie. Sie hilft ein Verständnis für alternative Methoden der Preisbildung zu entwickeln, abseits von Festpreisen und Verhandlungen^[9]. In einer Auktion wird auf der Basis von Geboten und mittels expliziter Regeln bestimmt, wer ein Gut zu welchem Preis erhält. Durch diese klare Strukturierung eignet sich die Durchführung und Beobachtung von Auktionen als Test für ökonomische Theorien.

Auktionen werden für eine Vielzahl von Transaktionen genutzt. Neben Kunstobjekten und Antiquitäten werden zum Beispiel auch landwirtschaftliche Produkte, Grundstücke und Immobilien, sowie Lizenzen für Bereiche des elektromagnetischen Spektrums versteigert. Auch bei der Vergabe von öffentlichen Aufträgen kommen Auktionen zum Einsatz. In einer solchen Situation wird auf die Gleichbehandlung aller Teilnehmer geachtet^[10]. Diese kann durch eine Versteigerung demonstriert werden.

Eine zentrale Eigenschaft der Auktion ist, dass die Gebote der Teilnehmer, Informationen über deren Zahlungsbereitschaften enthalten^[11]. Mit Hilfe dieser Informationen, sowie dem Wettbewerb zwischen den Bietern, versucht der Auktionator, einen möglichst hohen Verkaufspreis zu erzielen.

2.1 Die Standard-Auktionen

Die vier Auktionsverfahren, die in Theorie und Praxis die größte Beachtung finden, werden auch als Standard-Auktionen bezeichnet. Es handelt sich dabei um:

- Englische Auktionen
- Holländische Auktionen
- Erstpreis-Auktionen
- Zweitpreis-Auktionen

2.1.1 Englische Auktion

Die bekannteste und am häufigsten verwendete Auktionsform ist die Englische Auktion^[12]. Sie wird zum Beispiel für die Versteigerungen von Kunstobjekten und Antiquitäten eingesetzt. Ein zu Beginn niedriger Preis wird sukzessive erhöht, bis nur noch ein Bieter übrig bleibt, der bereit ist, das Auktionsgut zum aktuellen Preis zu kaufen. Der Preis kann vom Auktionator oder von den Bietern selbst durch Ausrufen erhöht werden. In einigen Fällen werden die Gebote auch elektronisch übermittelt. Die besondere Eigenschaft der Englischen Auktion ist, dass die Auktionsteilnehmer das Bietverhalten ihrer Konkurrenten beobachten und davon lernen können. Selten weiß ein Bieter zu Beginn einer Auktion genau, wie viel ihm ein Auktionsgut wert ist. Die Englische Auktion gibt jedem Teilnehmer die Möglichkeit, die eigene Preisvorstellung während des Bietprozesses zu entdecken^[13].

Für Analysen im Rahmen der Auktionstheorie wird eine besondere Form der Englischen Auktion verwendet, die so genannte Japanische Auktion^[14]. Während der Preis sich kontinuierlich erhöht, scheiden nach und nach die Bieter aus der Versteigerung aus, sobald der Preis ihre maximale Zahlungsbereitschaft erreicht hat. Ist ein Auktionsteilnehmer einmal ausgeschieden, gibt es für ihn keine Möglichkeit, wieder in den Auktionsprozess einzusteigen. Für die kommenden theoretischen Betrachtungen wird diese Form der Englischen Auktion angenommen.

2.1.2 Holländische Auktion

Die Holländische Auktion startet mit einem sehr hohen Preis, der dann immer weiter gesenkt wird^[15]. Der erste Bieter der sich mit dem aktuellen Preis einverstanden erklärt, gewinnt die Auktion. Häufig wird diese Auktionsform durch eine elektronische Uhr unterstützt. Sie zeigt an, wie der hohe Startpreis mit jedem Ticken um eine festgelegte Einheit sinkt. In Holland werden Schnittblumen auf diese Weise versteigert, was auch den Namen der Auktion erklärt. Andere Beispiele sind Fisch-Auktionen in Israel, sowie Tabak-Auktionen in Kanada.

2.1.3 Erstpreis-Auktion

In einer Erstpreis-Auktion übermittelt jeder Bieter, unabhängig von den anderen Auktionsteilnehmern, einen verschlossenen Umschlag an den Auktionator^[16]. Der Höchstbietende erhält das Auktionsgut und zahlt einen Preis in Höhe seines Gebotes. Zu den verdeckten Erstpreis-Auktionen gehören öffentliche Ausschreibungen, durch die beispielsweise Abholzungslizenzen erteilt werden. Auch im Rahmen der Vergabe von Beschaffungsaufträgen spielen Erstpreis-Auktionen eine Rolle. Hier erhält den Zuschlag, wer das günstigste Angebot macht.

2.1.4 Zweitpreis-Auktion

In einer Zweitpreis-Auktion, auch Vickrey Auktion genannt, werden ebenfalls verdeckte Gebote an den Auktionator übermittelt^[17]. Wie bei der Erstpreis-Auktion erhält der Höchstbietende das Auktionsgut, zahlt dafür aber nur einen Preis in Höhe des zweithöchsten Gebotes. Diese Auktionsform ist weniger gebräuchlich als die anderen Standard-Auktionen. Aufgrund ihrer interessanten theoretischen Eigenschaften findet sie trotzdem große Beachtung.

2.2 Die Modellannahmen

Den folgenden Modellbetrachtungen liegen Annahmen über die Risikobereitschaft, die Zahlungsbereitschaft und die Unterscheidbarkeit der Bieter zugrunde. Eine Variation dieser Annahmen kann zu verschiedenen Ergebnissen der einzelnen Auktionsverfahren führen. Sie sind deshalb von zentraler Bedeutung.

2.2.1 Risikobereitschaft

Asymmetrische Informationsverteilung ist im Rahmen von Versteigerungen ein wichtiger Aspekt^[18]. Der Verkäufer eines Auktionsgutes weiß nicht, wie hoch die Zahlungsbereitschaften der Auktionsteilnehmer sind. Die Bieter selbst kennen in der Regel auch nur ihre eigene Zahlungsbereitschaft und nicht die ihrer Mitbieter. Wie die Auktionsteilnehmer aufgrund dieser Unsicherheit reagieren, hängt von ihrer Risikoeinstellung ab. Risikoaverse Bieter werden beispielsweise aggressiver bieten, um ihre Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhöhen.

2.2.2 Zahlungsbereitschaft

Die Wertschätzung, die ein Bieter für ein bestimmtes Objekt hat, kann durch verschiedene Faktoren beeinflusst werden. Angenommen, ein Auktionsteilnehmer weiß genau, wie viel ihm ein Gut wert ist. Die Zahlungsbereitschaften der anderen Teilnehmer kennt er nicht, er nimmt aber an, dass es sich dabei um Ziehungen aus einer allgemein bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt^[19]. Das heißt, er kann jeden Auktionsteilnehmer einer bestimmen „Gruppe“ zuordnen, weiß aber nichts über den individuellen Geschmack seiner Mitbieter. Zusammen mit statistisch unabhängigen Wertschätzungen sind diese Voraussetzungen grundlegend für independent-private-values ^[20]. Diese liegen in Situationen vor, in denen die Auktionsteilnehmer nicht den Wiederverkauf eines Objektes beabsichtigen, sondern nur der eigene Bedarf und Geschmack von Bedeutung ist.

Liegen common-values vor, hat ein Gut für jeden Bieter denselben Wert. Dieser ist vor der Auktion aber noch nicht bekannt. Ein Beispiel dafür wäre die Versteigerung eines Manuskriptes^[21]. Erst nach der Auktion wird das Manuskript zum Buch und erst dann stellt sich heraus, wie viel Umsatz sich damit machen lässt. Die Zahlungsbereitschaften der Verleger basieren deshalb auf Informationen, die sie zum Beispiel über den Autor oder aktuelle Trends einholen. Dabei wird jeder Verleger sein eigenes Urteil darüber bilden, wie viel das Manuskript objektiv wert ist. Gewinnt ein Verleger die Auktion, weiß er im selben Moment, dass alle anderen Mitbieter das Manuskript für weniger wertvoll halten und die Nachfrage wahrscheinlich nicht so groß sein wird, wie er angenommen hatte. In einem solchen Fall spricht man vom „Fluch des Gewinners“.

Bemerkenswert ist, dass es bei private-values für einen Bieter keinen Unterschied macht, wie die Konkurrenz bietet. Er will das Gut für sich und weiß genau, was es ihm wert ist. Im Fall von common-values ist es für einen Bieter interessant, das Verhalten der Konkurrenz zu beobachten. Auf diese Weise kann er auf Informationen schließen, die seine Mitbieter über den objektiven Wert des Auktionsgutes haben. Eventuell wird sich seine Wertschätzung daraufhin ändern.

Oft wird die Zahlungsbereitschaft eines Bieters von private - und common-values beeinflusst^[22]. Beim Kauf eines Gemäldes kann ein Auktionsteilnehmer zum Beispiel seine Vorliebe für einen bestimmten Künstler berücksichtigen, aber gleichzeitig an einem hohen Wiederverkaufswert interessiert sein.

2.2.3 Unterscheidbarkeit

Der letzte Aspekt, der berücksichtigt werden muss ist die Unterscheidbarkeit der Bieter^[23]. Gehören alle Bieter zu einer „Gruppe“ bedeutet das, dass ihre Wertschätzungen Ziehungen aus derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung sind. Lassen sich die Bieter zwei verschiedenen „Gruppen“ zuordnen, entsprechen die Zahlungsbereitschaften Ziehungen aus zwei verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Man kann auch sagen, dass die Bieter im ersten Fall symmetrisch, im zweiten Fall asymmetrisch sind. Ein Beispiel dafür wäre eine Auktion für Antiquitäten, an der Sammler, sowie Verkäufer teilnehmen.

Für die folgenden Modellbetrachtungen gilt:

- Die Bieter sind risikoneutral.
- Die Bieter haben independent-private-values.
- Die Bieter sind symmetrisch.

2.3 Das Äquivalenztheorem

Berücksichtigen wir die Modellannahmen lassen sich wichtige Aussagen über das Bietverhalten in den vier Standard-Auktionen herleiten.

2.3.1 Englische Auktion und Zweitpreis-Auktion

In einer Englischen Auktion ist es für jeden Bieter eine dominante Strategie, solange im Bietprozess zu bleiben, bis das aktuelle Gebot seine Zahlungsbereitschaft erreicht hat, das heißt, solange er eine positive Rente realisieren kann^[24]. Hält sich jeder Bieter an diese Strategie, endet die Auktion, sobald der Bieter mit der zweithöchsten Zahlungsbereitschaft aus dem Bietprozess aussteigt. Der Bieter mit der höchsten Zahlungsbereitschaft erhält dann das Auktionsgut zum Preis des zweithöchsten Gebotes.

In einer Zweitpreis-Auktion ist es ebenfalls eine dominante Strategie, gemäß den wahren Wertschätzungen zu bieten, wie im formalen Teil noch bewiesen wird. Deswegen ersteigert auch bei der Zweitpreis-Auktion der Bieter mit der höchsten Zahlungsbereitschaft das Auktionsgut und zahlt, gemäß den Regeln der Zweitpreis-Auktion, einen Preis in Höhe des zweithöchsten Gebotes.

Beide Auktionsformen haben also dieselben dominanten Gleichgewichtsstrategien. Jeder Auktionsteilnehmer bietet gemäß seinen Zahlungsbereitschaften, unabhängig davon, wie die anderen Bieter sich verhalten^[25]. Ebenso sind beide Auktionsformen ergebnisäquivalent, da jeweils der Bieter mit der höchsten Zahlungsbereitschaft das Auktionsgut erhält und dafür den Preis des zweithöchsten Gebotes zahlt. Diese Äquivalenz ist allerdings in hohem Maße abhängig von der Annahme independent-private-values^[26]. Sind die Zahlungsbereitschaften nicht vollständig unabhängig, haben die Bieter in einer offenen Englischen Auktion einen Vorteil. Sie können beobachten, wann ihre Mitbieter aus der Auktion aussteigen und ihr Verhalten darauf abstimmen. In einer verdeckten Zweitpreis-Auktion besteht diese Möglichkeit nicht.

2.3.2 Holländische Auktion und Erstpreis-Auktion

Vergleicht man die Erstpreis-Auktion mit der Holländischen Auktion, lässt sich feststellen, dass auch diese beiden Auktionsformen strategisch äquivalent sind und dasselbe Ergebnis haben^[27]. In beiden Fällen muss ein Bieter sich überlegen, welchen Preis er bereit ist, für das Auktionsgut zu bezahlen. Diesen Preis übermittelt er dann als verdecktes Gebot an den Auktionator oder er stoppt die elektronische Uhr, sobald sie diesen Preis erreicht hat. Er erhält dann das Auktionsgut zum Preis des höchsten Gebotes. Allerdings gibt es für diese beiden Auktionsformen kein dominantes strategisches Gleichgewicht. Stattdessen kommt es zu einem Nash-Gleichgewicht, indem jeder Bieter das Verhalten der anderen Auktionsteilnehmer einschätzt und auf dieser Basis sein optimales Gebot festlegt^[28]. Anders, als bei der Englischen- und bei der Zweitpreis-Auktion ist die strategische Äquivalenz der Holländischen- und der Erstpreis-Auktion nicht durch independent-private-values bedingt, da in beiden Auktionsformen keine Möglichkeit besteht, Informationen über das Verhalten der anderen Bieter zu sammeln^[29].

2.4 Literaturhinweis

Die bisherigen Betrachtungen der Standard-Auktionen sollen nun im formal-theoretischen Rahmen überprüft werden. Dazu wird in den Abschnitten 3.1 - 3.4, wie auch für die Analyse der Multiunit Auktionen in den Abschnitten 4.1 - 4.3, das Buch „Auction Theory“ von Vijay Krishna (2002) als Quelle herangezogen^[30]. Krishna orientiert sich in seinen Ausführungen über die Versteigerung einzelner, sowie mehrer Objekte vor allem an der Arbeit von Vickrey: „ Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders “ (1961). Für die Analyse der Gleichgewichtsstrategien der Uniformen- und Diskriminierenden Auktion folgt er den Ausführungen von Engelbrecht-Wiggans und Kahn (1998a/b). Die Nachfragereduzierung im Fall der Uniformen Auktion orientiert sich an Ausubel und Cramton: „ Demand Reduction and Inefficiency in Multi-Unit Auctions” (1996)^[31].

3 Versteigerung eines einzelnen Objektes

3.1 Das Symmetrische Modell

Es werden nun, in Anlehnung an William Vickrey, Versteigerungen eines einzelnen Objektes betrachtet. Wie gezeigt wurde, haben je zwei Auktionsformen äquivalente Bietstrategien und Ergebnisse. Aufgrund dessen genügt es für die anschließenden Modellbetrachtungen lediglich die verdeckten Auktionsformen zu analysieren. Im Anschluss soll formal hergeleitet werden, welche optimalen Bietstrategien zu einem symmetrischen Gleichgewicht führen und welcher Verkaufspreis daraus resultiert. Dazu wird das so genannte symmetrische Modell herangezogen.

Die Annahmen des Modells lauten:

- Es bieten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] potentielle Käufer für ein einzelnes Verkaufsobjekt.
- Der Bieter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] misst dem Auktionsgut einen Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bei, der seiner maximalen Zahlungsbereitschaft entspricht.
- [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist eine Zufallsvariable, die durch eine Verteilungsfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verteilt ist, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der minimalen und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der maximalen Zahlungsbereitschaft entspricht.
- Bieter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kennt seine eigene Zahlungsbereitschaft, also die Realisation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Zufallsvariable [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und er weiß, dass die voneinander unabhängigen Zahlungsbereitschaften aller anderen Bieter durch dieselbe Verteilungsfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verteilt sind^[32].
- Durch die Ableitung der Verteilungsfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
- Die Bieter sind risikoneutral und wollen ihren erwarteten Gewinn maximieren.
- Es existieren keine Budgetbeschränkungen.
- Die Strategie eines Bieters [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird beschrieben durch eine Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], welche für jede Zahlungsbereitschaft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] das zugehörige Gebot [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt.

3.2 Zweitpreis-Auktionen

3.2.1 Rente des Bieters

In einer Zweitpreis-Auktion übermittelt jeder Bieter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ein versiegeltes Gebot [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und erhält die folgende Rente:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ist das Gebot des Bieters [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] höher, als das maximale Gebot aller anderen Bieter, gewinnt er die Auktion und erhält er das Auktionsgut zum Preis des zweithöchsten Gebotes. Er realisiert dabei eine Rente in der Höhe der Differenz seines eigenen und des zweithöchsten Gebotes. Wird Bieter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] überboten, erhält er das Objekt nicht und realisiert eine Rente von 0. Für den Fall, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] geht das Auktionsgut zu gleichen Wahrscheinlichkeiten an jeden der gewinnenden Bieter.

3.2.2 Bestimmung des optimalen Gebotes

In einer Zweitpreis-Auktion ist es für die Bieter eine dominante Strategie, ein Gebot abzugeben, dass ihrer wahren Zahlungsbereitschaft entspricht, also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Um dies zu verdeutlichen, sollen folgende Zahlenbeispiele dienen:

Beispiel 3.1: Bieter 1 hat die höchste Zahlungsbereitschaft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bieter 1 hat eine maximale Zahlungsbereitschaft von 30. Mit jedem Gebot größer 20, würde er die Auktion gewinnen und eine konstante Rente erhalten. Diese ergibt sich aus seiner Wertschätzung, abzüglich des zweithöchsten Gebotes, also 30 – 20 = 10. Mit einem Gebot unter 20, würde er die Auktion verlieren und müsste auf die Rente von 10 verzichten. Mehr als die maximale Zahlungsbereitschaft zu bieten, bringt also keinen Gewinn, während ein niedrigeres Gebot einen Verlust bedeuten kann.

Beispiel 3.2: Bieter 1 hat nicht die höchste Zahlungsbereitschaft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In diesem Fall hat Bieter 1 eine Zahlungsbereitschaft von 20. Mit jedem Gebot kleiner 30, würde er die Auktion verlieren und eine Rente von 0 erhalten. Bietet er mehr als 30, würde er einen Verlust machen und zwar in Höhe seines Gebotes, abzüglich seiner Wertschätzung. Ein Gebot von 35 würde beispielsweise einen Verlust von 35 – 20 = 15 bedeuten. Weniger als die maximale Zahlungsbereitschaft zu bieten verhilft dem Bieter also zu keinem Gewinn, während ein höheres Gebot zu einem Verlust führen kann.

Da ein Bieter in der Regel nicht weiß, ob er die höchste Zahlungsbereitschaft hat oder nicht, werden alle rationalen Auktionsteilnehmer das Risiko eines Verlustes durch Über- oder Unterbieten vermeiden und in der Höhe ihrer wahren Zahlungsbereitschaft bieten.

3.2.3 Erwartete Zahlungen

Um festzustellen, welchen Preis der Verkäufer realisieren kann, müssen die zu erwartenden Zahlungen der Bieter ermittelt werden. Dazu soll nun ein Bieter 1 mit der Zahlungsbereitschaft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für ein Auktionsgut betrachtet werden. Die Zufallsvariable [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnet die höchste Zahlungsbereitschaft unter den [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verbleibenden Bietern. Mit anderen Worten ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die höchste Ziehung aus [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Verteilungsfunktion von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnet. Für jede realisierte Zahlungsbereitschaft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder anders ausgedrückt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Ist also die höchste Wertschätzung der Konkurrenz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nicht größer als der Wert einer Realisation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], ist es genauso wahrscheinlich, dass alle Zahlungsbereitschaften der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] konkurrierenden Bieter nicht größer als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sind. Von einem Bieter 1 mit einer Zahlungsbereitschaft von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kann also in einer Zweitpreis-Auktion folgende Zahlung erwartet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Erwartungswert des zweithöchsten Gebotes ist gleich dem Erwartungswert der zweithöchsten Zahlungsbereitschaft, da es bei einer Zweitpreis-Auktion eine dominante Strategie ist, die wahre Zahlungsbereitschaft durch das Gebot zu offenbaren. Die Wahrscheinlichkeit, die Auktion zu gewinnen, ergibt sich aus der Verteilungsfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], also der Wahrscheinlichkeit, dass das höchste Gebot der restlichen Bieter unter der Zahlungsbereitschaft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Bieters 1 liegt. Bieter 1 erwartet also eine Zahlung, resultierend aus der Wahrscheinlichkeit eines Gewinns, multipliziert mit dem Erwartungswert des höchsten Gebotes der konkurrierenden Bieter, gegeben das dieses kleiner [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist.

3.3 Erstpreis-Auktionen

3.3.1 Rente des Bieters

Die Rente, die ein Bieter in einer Erstpreis-Auktion erzielen kann, lässt sich wie folgt darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jeder Bieter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] übermittelt ein Gebot [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und gewinnt die Auktion, wenn kein höheres Gebot abgegeben wird. Der Gewinner realisiert eine Rente in Höhe der Differenz seiner Zahlungsbereitschaft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und seines Gebots. Anders als bei der Zweitpreis-Auktion ist die Rente in diesem Fall abhängig vom eigenen Gebot und nicht vom höchsten Gebot der restlichen Bieter. Aus diesem Grund werden die Bieter einer Erstpreis-Auktion ihre Zahlungsbereitschaften nicht offenbaren. Mit dieser Strategie könnten sie keine positive Rente erzielen.

Bei den Überlegungen über optimale Bietstrategien, stehen die Bieter einem Trade-Off gegenüber. Je mehr sich das Gebot der Zahlungsbereitschaft nähert, umso kleiner wird einerseits die erzielbare Rente, andererseits steigt die Wahrscheinlichkeit, die Auktion zu gewinnen.

3.3.2 Bestimmung des optimalen Gebotes

Angenommen alle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bieter folgen der Gleichgewichtsstrategie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Bieter 1 hat eine Zahlungsbereitschaft von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und bietet [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Zuerst ist festzuhalten, dass es nie optimal sein kann, ein Gebot [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abzugeben. In diesem Fall würde der Bieter mit Sicherheit gewinnen, da [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] definitionsgemäß nur Werte im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] annehmen kann. Also müssen nur Gebote [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] betrachtet werden. Zudem wird ein Bieter mit einer Zahlungsbereitschaft von 0 niemals ein positives Gebot abgeben, da er bei Gewinn der Auktion einen Verlust zu verzeichnen hätte, somit gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Bieter 1 gewinnt die Auktion, wenn er das höchste Gebot übermittelt, wenn also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Da das Gebot mit der Zahlungsbereitschaft steigt, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folglich eine steigende Funktion ist, gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nach wie vor für die höchste Zahlungsbereitschaft der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bieter steht. Wenn also das Gebot, das sich aus der höchsten Zahlungsbereitschaft der konkurrierenden Bieter ergibt, kleiner ist, als das Gebot von Bieter 1 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder anders ausgedrückt, wenn die höchste Zahlungsbereitschaft der restlichen Bieter kleiner ist, als die Zahlungsbereitschaft von Bieter 1 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], gewinnt er die Auktion. Seine Rente wird bestimmt durch:

[...]

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^[1] Vgl. Moldovanu/ Tietzel 1998, S.854 f.

^[2] Vgl. Vickrey 1961, S.20 ff.

^[3] Vgl. Moldovanu/ Tietzel 1998, S.856

^[4] Vgl. Wolfstetter 1999, S.182

^[5] Vgl. http://www.stern.de/computer-technik/internet/index.html?id=505444

^[6] Vgl. http://www.stern.de/computer-technik/internet/index.html?id=504244

^[7] Vgl. Feess 2000, S.710

^[8] IPO = Initial Public Offering

^[9] Vgl. Klemperer 1999, S.228

^[10] Vgl. Rothkkopf/ Park 2001, S.84

^[11] Vgl. Moldovanu 1996, S.3

^[12] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.702

^[13] Vgl. Cramton 1998, S.746

^[14] Vgl. Klemperer 1999, S.229

^[15] Vgl. Klemperer 1999, S 229

^[16] Vgl. Moldovanu 1996, S.4

^[17] Vgl. Vickrey 1961, S.20

^[18] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.704

^[19] Vgl. Vickrey 1961, S.15

^[20] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.706

^[21] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.720 f.

^[22] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.714 f.

^[23] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.706 f.

^[24] Vgl. Klemperer 1999, S.230

^[25] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.708 f.

^[26] Vgl. Klemperer 1999, S.230

^[27] Vgl. Moldovanu 1996, S.5

^[28] Vgl. McAfee/ McMillan 1987, S.708 f.

^[29] Vgl. Moldovanu 1996, S.5

^[30] Verwendet wird Abschnitt I.2 (S.13-23) und Abschnitt II.12 (S.165-190), sowie die mathematischen Anhänge: Appendix A und C. Interpretationen und Erläuterungen, die über diese Quellenangaben hinausgehen, beruhen auf eigenen Überlegungen.

^[31] Für diese Arbeit wurde das gleichnamige Working Paper von 2002 verwendet.

^[32] Eine Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable eine Realisation nicht überschreitet. Formal: .