Anwendung von Derivationen auf Körper. Definitionen, Rechenregeln, Beispiele und Sätze

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Seminarvortrag: Derivationen

Ein Ring R sei immer assoziativ, kommutativ mit Eins. R 0 sei ein Ring, R sei stets eine kommutative R 0 -Algebra und M ein R-Modul. (M kann ber den Strukturhomomorphismus: R 0 ;! R auch als R 0 -Modul betrachtet werden.)

1.1. Deenitionen:

Eine Derivation von R=R 0 nach M ist eine Abbildung d : R ;! M mit folgenden Eigenschaften: (i) d ist R 0 -linear

(ii) 8aa b 2 R : d ( ab) = a d(b) + b d(a) (Produktformel)

Solche Derivationen nennt man auch R 0 -Derivationen. F r R 0 = Z heiien Derivationen von R=Z einfach Derivationen von R (absolute Derivationen!). Da R selbst ein R-Modul ist, kann man auch R 0 -Derivation d : R ;! R betrachten.

FFr eine Algebra R=R 0 und einen R-Modul M bezeichne Der ^R 0 (RRM) die Menge aller R 0 -Derivationen d : R ;! M.

Behauptung: Der ^R 0 (RRM) ist ein R-Modul: z.z. 8 d d ⁰ 2 Der ^R 0 (RRM) und 8r 2 R : (i) d + d ⁰ 2 Der ^R 0 (RRM) (ii) r d 2 Der ^R 0 (RRM) Beweis: Seien 1 2 2 R 0 r 1 r 2 2 R : (i) Linearittt:

(d + d ⁰ )( 1 r 1 + 2 r 2 ) = d ( 1 r 1 + 2 r 2 )+d ⁰ ( 1 r 1 + 2 r 2 ) = 1 d r 1 + 2 d r 2 + 1 d ⁰ r 1 + 2 d ⁰ r 2 = = 1 (d + d ⁰ )(r 1 ) + 2 ( d + d ⁰ )(r 2 ) Produktregel:

(d + d ⁰ )(r 1 r 2 ) = d ( r 1 r 2 ) + d ⁰ (r 1 r 2 ) = r 1 d r 2 + r 2 d r 1 + r 1 d ⁰ r 2 + r 2 d ⁰ r 1 = = r 1 (d + d ⁰ )(r 2 ) + r 2 ( d + d ⁰ )r 1

(ii) Linearittt: ~ d : = r d ~ d( 1 r 1 + 2 r 2 ) = r (d( 1 r 1 + 2 r 2 )) = r ( 1 d r 1 + 2 d r 2 ) = 1 r d r 1 + 2 r d r 2 = = 1 ~ dr 1 + 2 ~ dr ² Produktregel:

~ d(r 2 ) + r 2 ~ d(r 1 r 2 ) = r (d(r 1 r 2 )) = r (r 1 d r 2 + r 2 d r 1 ) = r 1 r d r 2 + r 2 r d r 1 = r 1 ~ d(r 1 )

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1.2. Regeln ffr Derivationen:

Ist R 0 eine Algebra ber einem Ring R ⁰ 0 , dann ist jede R 0 -Algebra (jeder R 0 -Modul) auch

eine R ⁰ 0 -Algebra (ein R ⁰ 0 -Modul). Insbesondere ist jede R 0 -Derivation eine Z-Derivation.

1.3. Beispiele aus der Analysis:

(a) Sei U R ⁿ ooen, U 6 =

R := E(U) die R-Algebra der C ¹ -Funktionen f : U ;! ^{R. @X} i : E(U) ;! E (U)) f 7 ;! ^@f Dann ist der Partialdiierentialoperator: @

^@X i

jeweils eine R-Derivation von E(U)=R ^@ Beweis: klar nach Analysis I: (f) ⁰ = f ⁰ etc. R ⁱ , ! E (U) ;! E (U) @ X i

(b) FFr P 2 U sei R := E p die R-Algebra von Keimen der C ¹ -Funktionen.

Dann ist anschaulich auch klar, daa die induzierte Abbildung:

^@X i : E P ;! E P f] 7 ;! ^@f @

(c) R kann vermmge des Homom.: E P ;! R f] 7 ;! f(P) als E P -Modulbetrachtet werden.

Dann ist i : E P ;! R i f] : = ^{@f @X} i (P ) auch eine R-Derivation.

(d) Analog erhhlt man ber C eine Derivation von R ;! R, wenn R := O(U) die C -Algebra der holomorphen Funktionen von U C nach C bezeichnet.

1.4. Die triviale Derivation:

FFr beliebige Ringe R und R-Moduln M existiert stets die triviale Derivation: d : R ;! M 8r 2 R : d r := 0.

Es ist ooensichtlich, daa man hierdurch eine Derivation erhhlt, da die triviale Derivation das Nullelement d e s R-Moduls Der ^R 0 (RRM) ist (1.1).

1.5. Formale partielle Ableitung in Polynom- und Potenzreihen-Algebren:

R := R 0 X 1 : : : X n ]] bezeichne die R 0 -Algebra der formalen Potenzreihen in den Unbestimmten X 1 : : : X n . Notationen: := ( 1 : : : n ) 2 N ⁿ 0 X := X ¹ 1 : : : X n n jj := 1 + + ⁿ X

R 3 F = % X mit % 2 R ⁰ 2N ⁿ 0

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Sei fdX 1 : : : d X n g eine Menge von Unbestimmten und M := RdX 1 RdX n der freie R-Modul ber der Basis fdX 1 : : : d X n g, der Modul der formalen Diierentialee. Dann wird durch d : R ;! M d F := ^{@F @X} 1 dX 1 + + ^{@F @X} n dX n eine R 0 -Derivation von R nach M gegeben. d F heiit das formale Diierential von F.

Analog erhhlt man ffr F 2 R 0 X 1 : : : X n ] :

M

n

^@X i 2 R 0 X 1 : : : X n ] und d F 2 ^@F R 0 X 1 : : : X n ] d X i i=1

D.h. ^{@ @X} i und d induzieren also R 0 -Derivationen in der Polynomalgebra.

Bemerkung: FFr n = 1 schreibt man F ⁰ anstelle von @F @X ffr alle F 2 R 0 X]]

ACHTUNG: Formelle Integration in R 0 X]] ist nur im Falle Q R 0 mmglich:

X X

% i

^{1 1} i+1 2 R 0 . i + 1 X ⁱ⁺¹ dabei ist ^{% i} % i X ⁱ und F := Sei f := i=0 i=0

Dann ist F ⁰ = f wegen Q R ⁰ X

Gegenbeispiel: Sei f := X ^p;1 2 ^F p X] und F :=

Annahme: f = F ⁰ =

1.6. Die Euler-Derivation eines graduierten Rings:

M X

R n sei ein graduierter Ring und ffr r 2 R sei r = R = r n die Zerlegung in

^n2Z homogene Elemente. Weiterhin sei d : R ;! R d(r) : =

Behauptung: d 2 Der ^R 0 (R)

Beweis: Die R 0 -Linearittt ist klar. X X !! X !

X

r i s j r i j s j + i r i s j = r d(s) + s d(r) d(rs) = d = i+j=n i+j=n n2Z n2Z

Bemerkung: Sei f = P % i X ⁱ 2 RX] ein Polynom.

Dann ergibt die Euler-Derivation fr f:

P % n X ⁿ 6 = f 0

d(f) = Beachte: X @ @X 2 Der ^R 0 (RRR) (1.1)

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Deenitionen, Beispiele, Regeln: 5

1.7. Rechenregeln ffr Derivationen:

d : R ;! M sei eine R 0 -Derivation von einem Ring R in einen R-Modul M.

8n 2 Z : d ( n 1) = 0 (a) d(1) = 0

Beweis: d(1) = d(1 1) = 1 d(1) + 1 d(1) =) d(1) = 0 d(n 1) = n d(1) = 0 8n 2 Z, d a d Z-linear.

X

n

(b) d(x 1 : : : x n ) = x i : : : x n d(x i ) 8x i 2 R x 1 : : : ^ i=1

speziell: d(x ⁿ ) = nx ^n;1 d(x) 8x 2 R Beweis: Induktion mit Produktformel bzw. x 1 = : : : = x n =: x (c) P := ker(d) ist ein Untering von R und d ist eine Derivation von R=P. Das Bild von R 0 in R ist in P enthalten.

Beweis: P ist Untergruppe von (RR+). Die Produktregel zeigt, daa P Unterring und d P-linear ist.

8r 0 2 R 0 : d(r 0 1) = r 0 d(1) = 0 =) %(R 0 ) P % : R 0 ;! R bezeichne den Strukturhomomorphismus! (d) I sei bel. Ideal von R, n > 0 Dann gilt: d(I ⁿ ) I ^n;1 M Beweis: Die Elemente von I ⁿ sind endliche Summen von Produkten der Form: x 1 : : : x n x i 2 I. Behauptung folgt aus (b) (e) (Quotientenformel):

Falls s 2 R eine Einheit ist, gilt: 8r 2 R : d ( rs ^;1 ) = ( s ^;1 ) ² (s d r ; r d s) speziell: d s ^;1 = ;(s ^;1 ) ² d s Beweis: 0 = d(1) = d(ss ^;1 ) = s d s ^;1 + s ^;1 d s =) Beh.

(f) N R 0 sei multiplikativ abgeschlossen und % : R 0 ;! R induziere einen Ringho-momorphismus: : ( R 0 ) N ;! R. d ist in diesem Fall auch Derivation von R=(R 0 ) ^N Beweis: Nach (e) ist im() ker(d), also kann (c) angewendet werden. (g) Derivation von Polynomen:

Sei f 2 R 0 X 1 : : : X n ] ein Polynom, x 1 : : : x n 2 R. Dann gilt: X

ⁿ @f

d(f(x 1 : : : x n )) = (x 1 : : : x n ) d x i

@X i

i=1

Wenn g 1 : : : g n 2 R 0 Y 1 : : : Y m ]] Potenzreihen in Y 1 : : : Y m sind und h := f(g 1 : : : g n ). Dann gilt:

X

ⁿ @h @f (g 1 : : : g n ) @g i

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Oder noch allgemeiner: FFr f 1 : : : f t 2 R 0 X 1 : : : X n ] und h i := f i (g 1 : : : g n ) (i = 1 : : : t ) gilt die Kettenregel ffr Jakobi-Matrizen:

@(h 1 : : : h t ) @(Y 1 : : : Y m ) = @(f 1 : : : f t ) @(X 1 : : : X n ) (g 1 : : : g n ) @(g 1 : : : g n ) @(Y 1 : : : Y m )

Beweis: Sei f = P % X (% 2 R 0 ) P % d(x 1

1 : : : x n n ) Da d R 0 -linear ist, gilt: d f(x 1 : : : x n ) =

1 : : : x n n ) = P n i=1 i x 1

1 : : : x i ^;1 : : : x n n d x i Nach (b) gilt: d(x 1

i

X i % x 1 d x i X

n

Diese Regel kann ooensichtlich n i c ht generell ffr Potenzreihen f i 2 R 0 X 1 : : : X n ]] gelten (Sinn!). Allerdings lllt sie sich,falls h i := f i (g 1 : : : g n ) einen Sinn ergibt auf komplizierterem Wege beweisen, d.h. sie stimmt solange Sinnvolles dastehtt! Begrrndung: Seien g = 1 und f = P X ^k Potenzreihen in R 0 X]] P 1 bedeuten?

Was soll dann f(g) ^? =

(h) Derivation von Determinanten:

Sei : = det(a ik ) die Determinante einer nn-Matrix (a ik ) mit Koeezienten a ik 2 R.

X

n

ik d a ik wobei ik := (;1) ^i+k A ik und A ik den Minor von (a ik ) Dann gilt: d d = iik=1

bezeichnet, den man durch Streichen der i;ten Zeile und k;ten Spalte erhhlt. Beweis: FFr = det(X ik ) mit Unbestimmten als Koeezienten gilt: ^{@ @X} ik = ik ,

nach Entwicklung bzgl. der i;ten Zeile. Beh. folgt dann aus (g)!

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Deenitionen, Beispiele, Regeln: 7

Beispiele ffr Algebren mit nur trivialen Derivationen folgen in den nnchsten beiden SStzen.

Beweis:

Sei x 2 K ⁰ bel. und f 2 K 0 X] das Minimalpolynom von x ber K 0 . Da f separabel ist gilt f ⁰ (x) 6 = 0 (Algebravorlesung!) =) 0 = d(0) = d(f(x)) = f ⁰ (x) d x =) d x = 0 = ) x 2 ker(d)

1.9. Satz:

Sei R ein Ring von Primzahlcharakteristik p. Behauptung: 8 d 2 Der Z (RRM) : R ^p ker(d)

Speziell: Falls K ein vollkommener KKrper der Char(K) = p > 0 ist, so ist jede Derivation d : K ;! M trivial.

Beweis:

Sei r 2 R bel. =) d r ^p = pr ^p;1 d r = 0

Falls K ein vollkommener KKrper mit Char(K) = p > 0 ist, gilt K = K ^p (Algebra!)

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2. ber das Bild von Derivationen:

In diesem Abschnitt geht es um Derivationen auf KKrpern!

Motivation:

Beweis: L ist endlichdim. K-VR und es gilt:

(Dimensionsformel) dim K (L) = d i m K ker(d) + dim K im(d) Da d K-Derivation gilt nach 1.7.c) K ker(d) 2 =) dim K (L) > dim K (im(d)) =) Beh.

Es stellt sich daher die Frage, unter welchen Bedingungen es surjektive K-Derivationen von LjK gibt. Zur Beantwortung dieser Frage beschrrnke ich mich a u f d e n F all Char(K) = 0

Zum Beweis dieses Theorems benntigen wir noch einige Hilfssstze:

2.3. Lemma:

L sei ein KKrper, d : L ;! L eine Derivation. a 2 L := a d Behauptung: d(L) = L () (L) = L

Beweis: ist Derivation nach 1.1 und der Rest ist trivial!

Nun zu einem Spezialfall von Theorem 2.2:

2.4. Satz:

Sei M := K(X 1 : : : X n ) der KKrper der rationalen Funktionen ber einem KKrper K, LjM eine endliche KKrpererweiterung und d 2 Der K (L)

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ber das Bild von Derivationen: 9

Beweis:

Bezeichne s := dim K (L) ; 1 R := KX 1 : : : X n ] Nach (Alg 8.14) dem Satz vom primitiven Element gilt: 9 2 L : L = M] einfache algebraische KKrpererweiterung.

Mt] 3 f = t ^s+1 + a s t ^s + : : : + a 1 t + a 0 sei das Minimalpolynom von ber M.

o.E. f 2 Rt]:

Begrrndung: Sei q := HNfa 0 : : : a s g 2 R

=) 0 = q ^s+1 f() = ( qq) ^s+1 + b s (qq) ^s + : : : + b 1 (qq) + b 0 mit b i 2 R. Auuerdem gilt: Mqq] = M]

Damit ist zugleich gezeigt, daa S := fb 0 + b 1 + : : : + b s ^s jb i 2 Rg ein Unterring von L ( n )

X

b i ⁱ b i 2 RRn 2 N ist (f 2 Rt]). ist, da S ⁽ⁱ⁾ = ⁱ⁼⁰ Annahme: d(L) = L

Falls 8i = 1 : : : n : d ( X i ) = 0 ist, gilt sogar d 2 Der M (L)

=) d 0 = ) L = d ( L) = 0 Widerspruch! (da LjM separabel) ^1:8 =) 9 i 2 1 : : : n : d ( X i ) 6 = 0o.E. i = 1 Der K (L) 3 d 1 := d(X 1 ) ^;1 d (1.1)

=) d 1 (L) = L (2:3)

Da L = M] gilt:

d 1 (X 1 ) = 1

mit geeigneten Elementen A ij B j 2 M.

A := HNfA ij B j ji = 2 : : : n j = 0 : : : s g 6 = 0

Der K (L) 3 := A d 1

(X 1 ) = A

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X

s

mit geeigneten Elementen P ij Q j 2 R.

Auuerdem gilt nach Lemma 2.3: (L) = L, sowie (S) S wegen (i)

Char(K) = 0 = ) j Kj = 1 =) 9 a 2 K : ( X 1 ; a) - A in R y := X 1 ; a

b

z }| {

2S

((w)b ; (b)w) = y (c 0 + c 1 + : : : + c s ^s ) mit c i 2 R =) y j b 2

=) y j b da R faktorieller Ring und y irreduzibel ^{f a k t :} =) y Primelement.

Sei b = y ^m b 1 , mit b 1 2 R y - b 1 m 2 ^N + Dann gilt:

= y ((w)y ^m b 1 ; (y ^m b 1 )w) =

=) 9 v 2 S : yv= mAb 1 w

Sei v = v 0 + v 1 + : : : + v s ^s v i 2 R.

Dann gilt:

(yv 0 ) + ( yv 1 ) + : : : + ( yv s ) ^s = ( mAb 1 w 0 ) + ( mAb 1 w 1 ) + : : : + ( mAb 1 w s ) s

=) Wegen Eindeutigkeit der Darstellung (Koeezientenvergleich!): 8i 2 f 0 : : : s g : y j mAb 1 w i

Da y - A ^ y - b 1 ^ m 2 E(R) gilt:

8i 2 f 0 : : : s g : y j w i und y j b

Widerspruch zu ggTfw 0 : : : w s b g = 1

=) (L) 6 = L 2

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ber das Bild von Derivationen: 11

2.5. Lemma:

Sei LjF eine algebraische KKrpererweiterung d : L ;! L eine Derivation mit d(F ) F := d j F

Behauptung: (F) 6 = F =) d(L) 6 = L

Beweis:

Sei u 2 F n (F), e s gengt zu zeigen u 6 = d ( L) Annahme: 9 2 L : d ( ) = u

Da alg. ber F: 9a 0 : : : a s;1 2 F : ^s + a ^{s;1 s;1} + : : : + a 0 = 0s min!

=) 0 = d(0) =

= d ( ^s + a s;1 ^s;1 + : : : + a 0 ) =

=) f = 0da s min.

=) (s u + (a s;1 )) = 0 ; a s;1 2 (F) Widerspruch! 2

s Beweis von Theorem 2.2:

Sei fX 1 : : : X n g eine Transzendenzbasis von LjK

M := K(X 1 : : : X n ) F := M (d(X 1 ) : : : d(X n )) =) K M F L wobei FjM endlich u n d LjF algebraisch!

8w 2 M : d ( w) = ^{@w @X} n d(X n ) 2 F ^@X 1 d(X 1 ) + : : : + ^@w =) d(M) F

Da FjM endlich: 9 2 F : F = M] einfache algebraische KKrpererweiterung. (Satz vom primitiven Element Alg. 8.14)

Sei f := t ^s + a s;1 t ^s;1 + : : : + a 0 2 Mt] Minimalpolynom von ber M.

()

wobei f ^D := d(a s;1 )t ^s;1 +: : : +d(a 1 )t+d(a 0 ) 2 Mt] und f ⁰ die Ableitung von f bezeichnet.

klar: f ⁰ () 6 = 0 (Algebravorlesung) und f ⁰ () 2 F ^ f ^D () 2 F (da d(M) F)

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=) d() = ; f ^D ()

f ⁰ () 2 F =) d(F ) F ()

Setze := d j F

=) (F) 6 = F 2:4

=) d(L) 6 = L 2 2:5

2.6. Satz:

Sei LjK eine KKrpererweiterung und B = fX g 2 eine Transzendenzbasis. Behauptung: Ist jKj j j Bj, so gibt es eine surjektive K-Derivation d : L ;! L.

Beweis:

Man zeigt jLj = jK(B)j, da LjK(B) algebraisch ist und jK(B)j = jBj, da jKj jBj. Wegen jLj = jBj knnen wir L = fa g 2 schreiben.

Sppter wird gezeigt, daa durch d(X ) : = a eine K-Derivation d : L ;! L deeniert wird. Sie ist ooensichtlich surjektiv. 2

2.7. Korollar:

Sei K ein algebraischer Zahlkrper (d.h. Zwischenkrper von Q j Q ) LjK ein Erweiterungskrper

Behauptung: 9 d 2 Der K (L) : d ( L) = L () trdeg(LjK) = 1

Beweis:

=) : indirekt mit Hilfe von Theorem 2.2 2 (= : K ist abzzhlbar (Vorl.) Behauptung folgt dann nach Satz 2.6

verwendete Literatur:

Kapitel I: Auszzge von: Prof. Dr. E. Kunz: Kommutative Algebra Kapitel II: Bericht von Kazuo Kishimoto/Andrzjei Nowicki: On the image of derivationss Communications in Algebra 23 (1995) page 4557-4562

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