Multivariate Verfahren der Dependenzanalyse, dargestellt anhand der Diskriminanzanalyse und der Regressionsanalyse

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Multivariate Verfahren
2.1 Begriffserklärung
2.2 Erscheinungsformen

3 Diskriminanzanalyse
3.1 Begriffserklärung
3.2 Analyseansätze
3.3 Basisannahmen
3.4 Methodik
3.4.1 Definition der Gruppen
3.4.2 Formulierung der Diskriminanzfunktion
3.4.3 Schätzung der Diskriminantfunktion
3.4.4 Prüfung der Diskriminanzfunktion
3.4.4.1 Prüfung der Klassifikation
3.4.4.2 Prüfung des Diskriminanzkriteriums
3.4.5 Prüfung der Merkmalsvariablen
3.4.6 Klassifikation neuer Elemente

4 Regressionsanalyse
4.1 Zielsetzung
4.2 Mathematisch - statistische Erläuterungen
4.2.1 Formulierung des Modells
4.2.2 Anpassungsgüte
4.2.3 Signifikanzprüfung
4.2.4 Standardisierung der Parameter
4.2.5 Interpretation der Ergebnisse
4.2.6 Prämissen bei der Anwendung der Regressionsanalyse
4.3 Vorgehensweise
4.3.1 Transformation der Variablen
4.3.2 Effizienz der Schätzer
4.3.3 Prüfung auf Multikollinearität
4.3.4 Prüfung auf Autokorrelation
4.3.5 Prüfung auf Heteroskedastizität
4.3.6 Identifizierung von Ausreißern

5 Software

6 Ausblick

Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: wichtige multivariate Verfahren im Überblick

Abbildung 2: Ablaufschritte der Diskriminanzanalyse

Abbildung 3: Typische Fragestellungen der Regressionsanalyse

Abbildung 4: Anwendungsbereiche der Regressionsananlyse

Abbildung 5: Prämissenverletzungen des linearen Regressionsmodells

1 Einleitung

Immer schneller wachsende Märkte und zunehmend komplexere Marktstrukturen haben in den letzten Jahren den Stellenwert der Marktforschung immer weiter nach oben getrieben. Eine Ausweitung der Aufgabenbereiche, ein effizienteres Zusammenarbeiten der empirischen Forschungsaktivitäten und eine Intensivierung und Entwicklung neuer und alter theoretischer Erhebungsverfahren und Auswertungsmethoden waren unter anderem die Folgen. Informationen über das Marktgeschehen werden aufgrund immer kürzerer Produktlebenszyklen, zum Beispiel durch zunehmenden Innovationswettbewerb, unumgänglich. Weiter noch wird der Kunde durch die Angebotsvielfalt immer kritischer in seinen Entscheidungen, da nicht mehr nur die Funktionalität des Produktes sondern in zunehmendem Maße auch die Befriedigung individueller Bedürfnisse in den Vordergrund treten.

Dies, die beachtlichen finanziellen Mittel und die personellen Ressourcen die für die Marktforschung bereitgestellt werden verdeutlichen, wie unumgänglich es im Hinblick auf unternehmerische Ziele und Handlungsoptionen ist über detaillierte und aktuelle Informationen des Marktes zu verfügen.

2 Multivariate Verfahren

2.1 Begriffserklärung

Das „Multivariate Verfahren“ ist eine Auswertungsmöglichkeit für vom Markt eintreffende Informationen. Es ermöglicht Untersuchungen gerichteter und ungerichteter Zusammenhänge und die Unterscheidung zwischen metrischem und nicht metrischem Skalenniveau der Variablen.¹

2.2 Erscheinungsformen

Das „Multivariate Verfahren“ lässt sich in die beiden Hauptgruppen der „Dependenzanalyse“ und der „Interdependenzanalyse“ unterteilen. Während die Interdependenzanalyse nur zwischen metrischen bzw. nicht metrischen Variablen unterscheidet, wird bei der Dependenzanalyse zusätzlich noch zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen unterschieden. Aus diesen beiden Hauptgruppen gehen sämtliche „Multivariate Verfahren“ hervor.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: wichtige multivariate Verfahren im Überblick

Quelle: Herrmann/Homburg (2000), S.114

Zwei sich besonders eignende Analyseverfahren aus dem Bereich der „Dependenzanalyse“ sind die „Regressions- und die Diskriminanzanalyse“.

3 Diskriminanzanalyse

3.1 Begriffserklärung

Die Diskriminanzanalyse ist ein Verfahren um die Zugehörigkeit von Untersuchungsobjekten zu Gruppen zu erklären bzw. vorherzusagen, also eine Analyse von Gruppenunterschieden. Sie lässt sich formal als ein Verfahren charakterisieren, mit dem die „Abhängigkeit einer nominal skalierten Variablen von metrisch skalierten Variablen“ untersucht wird. Beispiele hierfür sind:

- Schneider (1996) „Anhand welcher Kosten-/Nutzenaspekte lassen sich Bagatell- von
Intensivspendern im Rahmen des „Spendenmarketing“ unterscheiden.“
- Müller (1997) „Wie läßt sich die Trennschärfe von Erfolgsfaktoren im Dienstleistungsbereich des Automobilhandels ermitteln.“²

3.2 Analyseansätze

Die Analyseansätze lassen sich in den „diagnostischen“ und den „prognostischen“ Analyseansatz, also Interpretation und Klassifikation, unterteilen.

Im diagnostischen Analyseansatz werden die Unterschiede der Gruppen beispielsweise über die Variablen soziodemographisch und psychographisch ermittelt. Anschließend folgt die Ausarbeitung der Variablen, die für eine Unterscheidung besonders geeignet sind, bzw welche eine optimale Trennung der Gruppen zulassen.

Der prognostische Analyseansatz hingegen untersucht, in wieweit sich die Merkmalsausprägungen eines neuen Untersuchungsobjektes den bereits bestehenden Gruppen zuordnen lassen. Wieso das neue Element gerade dieser Gruppe zuzuordnen ist und was für Kosten in welcher Höhe entstehen, sollte eine falsche Klassifizierung des Elementes vorgenommen worden sein.³

3.3 Basisannahmen

Bei der Diskriminanzanalyse handelt es sich um ein „konfirmatorisches“ Analyseverfahren, also ein bestätigendes, bei dem die Gruppenzugehörigkeiten schon vor Beginn feststehen und nun zu erklären sind.

Fisher erklärte die 1936 von ihm aufgestellten Basisannahmen der „klassischen

Diskriminanzanalyse“ mit folgenden Inhalten:

- mindestens zwei Gruppen (G≥2)
- mit mindestens zwei Mitgliedern
- Anzahl J diskriminierender Variablen 2≤J≤(J-2)
- mindestens intervall - skaliert
- keine Linearkombinationen diskriminierender Variablen möglich
- Kovarianzmatrizen müssen in jeder Gruppe gleich (approximativ) sein
- jede Gruppe stellt eine Stichprobe einer multivariat normalverteilten Grundgesamtheit der Merkmalsvariablen dar.⁴

3.4 Methodik

Die Diskriminanzanalyse läßt sich in sechs Teilschritten durchführen. Hierzu gehören

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Ablaufschritte der Diskriminanzanalyse

Quelle: Backhaus u.a. (1996), S.94

3.4.1 Definition der Gruppen

Zu Beginn der Analyse wird bestimmt, wie viele Gruppen in ihr berücksichtigt werden sollen. Die Definition der hierbei verwendeten Gruppen ergibt sich entweder aus dem Untersuchungskontext oder aus dem Ergebnis vorangegangener Analysen.⁵ Zu beachten ist jedoch, dass die Anzahl der Gruppen nicht größer als die Anzahl der Merkmalsvariablen sein sollte.⁶

3.4.2 Formulierung der Diskriminanzfunktion

Um eine Diskriminanzanalyse durchführen zu können, ist eine Diskriminanzfunktion zu formulieren und zu schätzen. Diese dient der optimalen Trennung zwischen den Gruppen und der Bestimmung der Diskriminierungsfähigkeit der Variablen. Hierzu wird die „kanonische“ Diskriminanzfunktion der allgemeinen Art der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ⁷

„Kanonisch“ bedeutet hierbei: eine Linearkombinaton von Variablen.

Durch Einsetzen der Merkmalsausprägungen Xjgi liefert jedes Element i einer Gruppe g einen Diskriminanzwert Ygi. Aus diesem Wert Ygi lässt sich dann für jede Gruppe ihr „Centroid“, d.h. Schwerpunkt, in der Form⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bestimmen. Hieraus resultiert dann der Gesamtmittelwert in Form von⁹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4.3 Schätzung der Diskriminanzfunktion

Die Schätzung der Diskriminanzfunktion dient der Bestimmung der unbekannten Koeffizienten um eine optimale Trennschärfe zwischen den Gruppen zu erreichen. Diese Unterschiedlichkeit wird durch ein Diskriminanzkriterium dargestellt und für die Schätzung maximiert. Nach Tatsuoka (1988) und Backhaus u.a. (1996) folgt aus diesen Voraussetzungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹⁰

Man kann also auch sagen, dass das Diskriminanzkriterium als Verhältnis von „erklärter und nichterklärter“ Streuung interpretiert wird.

Weiter noch sind die Diskriminanzwerte von den zu bestimmenden Koeffizienten b0 abhängig. bj ist demnach so zu wählen, dass das Diskriminanzkriterium maximal wird. Da hier jedoch nur das Verhältnis der Koeffizienten b2/b1 bestimmt wird, ist eine Normierung für eine eindeutige Lösung erforderlich.¹¹

Das maximale Diskriminanzkriterium wird auch als Eigenwert der Diskriminanzfunktion bezeichnet. Der Eigenwertanteil

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gibt die Streuung an, die durch die Menge K möglicher Diskriminanzfunktionen erklärt wird und zwischen und innerhalb der Gruppen auftritt.¹²

3.4.4 Prüfung der Diskriminanzfunktion

Die Güte einer Diskriminanzfunktion hängt von der Trennkraft ab, mit der sich die Gruppen unterscheiden lassen. Diese Trennkraft kann auf zweierlei Wegen, vergleich geschätzter Gruppenzugehörigkeiten auf Basis der Diskriminanzwerte (Klassifizierung) und Prüfung des Diskriminanzkriteriums ermittelt werden.¹³

3.4.4.1 Prüfung der Klassifikation

Korrekt klassifizierte Elemente der Gruppen müssen in ihrem Gesamtmittel wegen der durchgeführten Normierung den Wert Null annehmen. Die jeweiligen Gruppenzugehörigkeiten lassen sich unter anderem aus der Nähe zu den Gruppenzentroiden bestimmen. Die „MinimumDistanz-Regel“ folgt daraus.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sie besagt „ordne die Beobachtung i derjenigen Gruppe g zu, für die die Distanz dig2 minimal ist“. Die Häufigkeiten der korrekt bzw. falsch ermittelten Ergebnisse werden in einer Klassifikationsmatrix zusammengestellt, woraus die Trefferquote zu bestimmen ist. Sie wird zur korrekten Beurteilung der Klassifikation der Diskriminanzanalyse benötigt, da diese nur Sinn macht, wenn sie höher liegt als bei einer zufälligen Anordnung. Als Beispiele für eine solche statistische Ermittlung der Trefferquote existieren:

- Gleichverteilungskriterium: Diskriminanzanalyse > 1/G
- Gr öß te - Gruppe - Kriterium: Diskriminanzanalyse > Imax/I, wenn Imax die größte Gruppe ist
- Proportional - Kriterium: Bildet einen Kompromiss vorangegangener Verfahren

unter Berücksichtigung tatsächlicher relativer Häufigkeit der Gruppenzugehörigkeiten.¹⁴

Um den hierbei auftretenden Stichprobeneffekt der überhöhten Trefferquote, da meistens die Stichprobe auf der selben Basis wie die Diskriminanzfunktion ermittelt wird, ausgleichen zu können, sollte man die Stichprobe aufteilen. In eine Kalibrierungsmethode zur Bestimmung der Diskriminanzfunktion und eine Validierungsstichprobe zur Ermittlung der Trefferquote.¹⁵

3.4.4.2 Prüfung des Diskriminanzkriteriums

Das Verhältnis von erklärter zu nicht erklärter Streuung wird zur Ermittlung der Diskriminanzfunktion im Rahmen des Diskriminanzkriteriums maximiert. Der Eigenwert kann daher als Gütekriterium der Trennkraft der Diskriminanzfunktion angesehen werden. Diese Trennkraft kann einerseits durch den kanonischen Korrelationskoeffizienten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die so gewonnen Ergebnisse gehen dann in die Diskriminanzfunktion ein, um nach dem vorher festgelegten Gütemaßstab die bestmögliche Trennung der Gruppen zu gewährleisten. Eine weitere Methode zur Ermittlung der Merkmalsvariablen stellt die schrittweise Diskriminanzanalyse dar. Für sehr viele unabhängige Merkmale ist sie eine „einfachere“ Vorgehensweise als die Variablenselektion mittels standardisierter Diskriminanzkoeffizienten. Hierbei können zwei wesentliche Vorgehensweisen unterschieden werden:

- Vorwärtsauswahl
- Rückwärtselimination

Bei diesen wird von einer Diskriminanzfunktion ausgehend, in der entweder alle oder keine der Variablen berücksichtigt werden, bei jedem weiteren Schritt die Variable entfernt bzw. hinzugefügt, die eine der vorgegebenen Größen optimiert. Pro Stufe kann jedoch nur eine Variable hinzugefügt bzw. entfernt werden, was eine von unterschiedlichen Variablen möglicherweise ausgelöste Interaktion verhindern kann. Dies kann geschehen, da Variablen die eine Interaktion mit der anderen hervorrufen würden schon entfernt worden sind bzw. noch nicht mit der in diesem Schritt auftretenden Variablen in Verbindung kommen.¹⁶

3.4.5 Prüfung der Merkmalsvariablen

Eine solche Prüfung ist deshalb wichtig, da man dadurch die Gruppenunterschiede erklären und unwichtige Variable der Diskriminanzfunktion entfernen kann. Weiter kann eine gegenseitige Abhängigkeit der Merkmalsvariablen die Diskriminanz erheblich steigern, was eine zusätzliche Untersuchung derselben für ein Ergebnis mit nur geringer Signifikanz notwendig macht. Die so bestimmten Merkmalsvariablen können dann in das Verfahren der schrittweisen Diskriminanzanalyse übertragen werden. In ihr finden nur solche Merkmalsvariable Beachtung, die signifikant zur Verbesserung der Diskriminanz beitragen.¹⁷

3.4.6 Klassifikation neuer Elemente

Zur Klassifikation neuer Elemente lassen sich grundsätzlich folgende Konzepte unterscheiden:

- Distanzkonzept
- Wahrscheinlichkeitskonzept
- Klassifizierungsfunktionen

Über die Klassifizierungsfunktionen lässt sich die Klassifizierung direkt anhand der Merkmalswerte bestimmen. Durchführbar ist sie jedoch nur, wenn identische Streuung innerhalb der Gruppen unterstellt wird.¹⁸

Zu beachten ist die für die Klassifikation notwendige Unterscheidung der Entscheidungsvariaben. So können - entweder die (kanonischen) Diskriminanzwerte als Entscheidungsvariablen dienen (Klassifikation im Dskriminanzraum),

- oder die Merkmalsvariablen selbst zur Bestimmung der Gruppenzugehörigkeit (Klassifikation im Merkmalsraum) genutzt werden.

Beim Distanzkonzept wird im ersten Fall die Gruppenzugehörigkeit über den Abstand zum Gruppenmittel über die bspw. quadrierten Distanzen ermittelt. Dazu wird ein Element i der Gruppe G zugeordnet, der es am nächsten liegt.

Für Distanzen im J-Dimensionalen Raum ist das verallgemeinerte Maß der von Mahalanobis (1936) bestimmten (quadrierten) Distanz anzuwenden:¹⁹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

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¹ vgl. Herrmann/Homburg (2000), S.113

² vgl. Herrmann/Homburg (2000), S.299

³ vgl. ebenda, S.298ff.

⁴ vgl. ebenda, S.300

⁵ vgl. Herrmann/Homburg (2000), S.302

⁶ vgl. Backhaus u.a. (1996), S.95

⁷ vgl. ebenda, S.96

⁸ vgl. Backhaus u.a. (1996), S.97

⁹ vgl. Herrmann/Homburg (2000), S.303

¹⁰ vgl. ebenda S.303

¹¹ vgl. Backhaus u.a. (1996), S.101

¹² vgl. Backhaus u.a. (1996), S.113

¹³ vgl. ebenda S.115 u. Herrmann/Homburg (2000), S.309

¹⁴ vgl. Herrmann/Homburg (2000), S.309ff.

¹⁵ vgl. Herrmann/Homburg (2000), S.312

¹⁶ vgl. ebenda, S.313ff.

¹⁷ vgl. Backhaus u.a. (1996), S.121ff.

¹⁸ vgl. ebenda, S.125

¹⁹ vgl. Herrmann/Homburg (2000), S.315f.