Geraden und Ebenen im Imaginärraum der Quaternionen

RWTH Aachen

Geraden und Ebenen im Imaginärraum der Quaternionen

Examensarbeit von

Daniela Dossing

30.5.2002

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
    1.1 Allgemeines
    1.2 Erklärung
    1.3 Impressum

2 Historisches

3 Der Hamiltonsche Quaternionenschiefkörper
    3.1 Konstruktion mit Hilfe von Matrizen
    3.2 Algebraische Eigenschaften der Quaternionen
    3.3 Der Imaginärraum - Definition und Eigenschaften

4 Mathematische Grundlagen
    4.1 Das Skalarprodukt
    4.2 Das Vektorprodukt
    4.3 Das Spatprodukt
    4.4 Die Determinantenfunktion

5 Betrag und Abstand

6 Winkel

7 Anschauliche Deutung
    7.1 Anschauliche Deutung des Skalarproduktes
    7.2 Anschauliche Deutung des Vektorproduktes
    7.3 Anschauliche Deutung des Spatproduktes

8 Geraden
    8.1 Geraden in Parameterform
    8.2 Geraden in Plücker-Form

9 Ebenen
    9.1 Ebenen in Parameterform
    9.2 Ebenen in Hesse-Form

10 Geraden und Ebenen

11 Schnittpunkte und Schnittgeraden
    11.1 Schnittpunkt zweier Geraden
    11.2 Schnitte einer Geraden mit einer Ebene
    11.3 Schnittgerade zweier Ebenen

12 Winkel zwischen Geraden, Geraden und Ebenen und Ebenen
    12.1 Der Winkel zwischen zwei Geraden
    12.2 Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
    12.3 Der Winkel zwischen zwei Ebenen

13 Abstand eines Punktes zu einer Geraden bzw. zu einer Ebene
    13.1 Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden
    13.2 Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene

14 Die orthogonale Gruppe
    14.1 Allgemeines
    14.2 Die Gruppe O(ImIH)
    14.3 Drehungen
        14.3.1 Drehungen mit Quaternionen
        14.3.2 Beispiele
        14.3.3 Vor- und Nachteile der Quaternionendrehung
    14.4 Spiegelungen

15 Die affine Gruppe

16 Die Bewegungsgruppe
    16.1 Fixpunkte und Bewegungen mit Fixpunkten

A Fraktale und Quaternionen
    A.1 Grundlagen
        A.1.1 Definition eines Fraktals
        A.1.2 Berechnung von Fraktalen
        A.1.3 Zusammenhang Quaternionen - Fraktale
    A.2 Quat-3D Fraktalgenerator

B Das Analemma
    B.1 Einführung in die Notation
    B.2 Mathematischer Hintergrund - Definition der Rotationsfolgen
    B.3 Zusammenfassung
    B.4 Graphische Darstellung - Das Analemma
    B.5 Der Sonnenaufgang

C Sphärische Trigonometrie
    C.1 Sphärische Dreiecke
    C.2 Herleitung bekannter Sätze

Kapitel 1
Einleitung
1.1 Allgemeines
Die Arbeit ist aus der Idee entstanden, in wieweit sich die Geometrie der Geraden und Ebenen sowie die Bewegungen des IR3 auf die Geometrie der Geraden und Ebenen sowie auf die Bewegungen des Imaginärraums der Quaternionen übertragen lässt, und an welchen Stellen man von diesem Konzept abweichen und neue Wege verfolgen muss.

In der folgenden Arbeit wird zunächst, nach einer kurzen Übersicht zur Biographie Hamiltons und der Entdeckung der Quaternionen, auf ihre Definition und einige ihrer wesentlichen Eigenschaften eingegangen, wobei ein separater Abschnitt der Definition des Imaginärraums und den Eigenschaften seiner Elemente gewidmet ist. Der sich anschließende Teil lässt sich dann in drei Blöcke unterteilen: Zunächst werden die allgemeinen Grundlagen erläutert, die schon als Besonderheiten des IR3 bekannt sind. Anschließend werden die Geraden und Ebenen und ihr Zusammenhang behandelt. Zuletzt gehe ich noch auf die Bewegungen ein, wobei ich zu ihrer Beschreibung die orthogonalen Matrizen mit ihren Besonderheiten ausführlich behandeln werde, da Bewegungen besondere affine Abbildungen sind. An einigen Stellen wird sowohl von den affinen als auch von den orthogonalen Abbildungen und den Bewegungen ein Rückbezug zu den Geraden und Ebenen hergestellt.

1.2 Erklärung
Ich versichere, dass ich die schriftliche Hausarbeit - einschließlich beigefügter Zeichnungen, Kartenskizzen und Darstellungen - selbst verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Alle Stellen der Arbeit, die dem Wortlaut oder dem Sinne nach anderen Werken entnommen sind, habe ich in jedem einzelnen Fall unter Angabe der Quelle deutlich als Entlehnung kenntlich gemacht.

Kapitel 2
Historisches
Die nun im folgenden aufgeführten Daten zum Leben und Wirken Hamiltons sind [3] S. 155 - 158 und [11] entnommen.

!! Abbildung in dieser Vorschau nicht verfügbar !!
Abbildung 2.1: Sir William Rowan Hamilton

Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865) wurde am 4. August 1805 in Dublin als viertes von neun Kindern seiner Eltern geboren, wuchs jedoch bei seinem Onkel James auf, da seine Eltern schon früh die Begabung ihres Kindes feststellten und sich selbst nicht in der Lage sahen, den Wissensdurst ihres Sohnes zu stillen. So konnte Hamilton mit der Unterstützung seines Onkels bereits im Alter von 5 Jahren spielend Latein, Griechisch und Hebräisch lesen. Im Jahre 1823 schrieb er sich als Student am Trinity College in Dublin ein. Schon im April 1827 veröffentlichte er einen Artikel, der ihm, zusammen mit späteren Ergänzungen, im Jahre 1835 die Royal Medal der Royal Society einbrachte. Schließlich wurde er im Juni 1827 als Undergraduate Student zum Royal Astronomer of Ireland, zum Leiter der Sternwarte in Dunsink und zum Professor für Astronomie an der Universität Dublin ernannt. Wenige Tage nach seinem 30. Geburtstag wurde er geadelt.

Im Jahre 1833 veröffentlichte er eine Arbeit, in der er die imaginäre Einheit i aus der Schreibweise für komplexe Zahlen eliminierte, indem er diese als Paare reeller Zahlen schrieb. Dadurch hat er das Rechnen mit komplexen Zahlen u+iv gerecht- fertigt als ein Rechnen mit geordneten reellen Zahlenpaaren (u, v) nach vorgeschriebenen Rechenregeln. Viele Jahre suchte er vergeblich nach einer Erweiterung der Multiplikation solcher Paare für Zahlentripel, für die ähnliche Rechenregeln gelten sollten. Der Durchbruch gelang Hamilton am 16. Oktober 1843 auf dem Weg zur Sitzung der Royal Irish Academy. Es kam ihm die Idee, Quadrupel reeller Zahlen zu verwenden und auf die Kommutativität der Multiplikation zu verzichten, wodurch er, etwas salopp formuliert, die Quaternionen erfunden hatte. Sein weiteres wissenschaftliches Leben widmete er fast ausschließlich den Quaternionen und schrieb zahlreiche Arbeiten, um deren Nutzen bei der Behandlung physikalischer Probleme zu zeigen. Hamilton, der seine Entdeckung der Quaternionen mit der Schöpfung der Infinitesimalrechnung gleichsetzte und mit missionarischem Eifer ihre Verbreitung in der mathematischen Welt betrieb, hat jedoch Zeit seines Lebens die Bedeutung der Quaternionen überschätzt. Zwar wurde Hamilton noch zu Lebzeiten in Irland und England zur Galionsfigur einer Schule von Quaternionisten, allerdings geriet die Quaternionentheorie zu Beginn des 20. Jahrhunderts nahezu völlig in Vergessenheit und gewinnt erst wieder seit allerjüngster Zeit an Bedeutung, beispielsweise für Graphikprogramme.

Hamilton starb am 25. September 1865 an der Gicht. In der Linearen Algebra ist sein Name mit dem berühmten Satz von Cayley-Hamilton, in der Physik mit dem Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung verbunden. Somit gilt er wegen seiner mathematischen und physikalischen Leistungen als größter Mathematiker und Naturwissenschaftler, den Irland je hervorgebracht hat.

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