Limitsysteme auf Basis des Value-at-Risk in Banken

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungs- und Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Der Value-at-Risk
2.1 Definition und Aussage des VaR
2.2 Berechnung des VaR

3. Limitsysteme in Banken
3.1 Gestalt und Wirkungsweise von Limitsystemen
3.2 Gründe für die Einführung von Limitsystemen
3.3 Eignung des VaR für Limitsysteme

4. Value-at-Risk Limitsysteme
4.1 Zeitadjustierung der Limite
4.1.1 Die SQRT-Methode
4.1.2 Weitere Ansätze
4.2 Allokation des Gesamtlimits auf die Handelsbereiche
4.2.1 Anforderungen an eine effiziente Risikokapitalallokation
4.2.2 Allokationsmethoden
4.2.2.1 Zentrale Optimierungsansätze
4.2.2.2 Optimierung durch Einführung eines Treasurers
4.2.2.3 Interner Markt für Risikokapital
4.3 Variabilität der Limite
4.3.1 Starre Limite
4.3.2 Verlustbegrenzungslimite
4.3.3. Dynamische Limite
4.3.4 Limitvergleich
4.3.5 Weitere Ansätze

5 Schlussbetrachtungen

Anhang

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 Grafik zur Veranschaulichung des VaR

Abb. 2 Verteilung des Tagesergebnisses ohne Treasurer

Abb. 3 Verteilung des Tagesergebnisses mit Treasurer

Abb. 4 Verteilung der Jahresergebnisse bei Starrem Limit

Abb. 5 Verteilung der Jahresergebnisse bei Verlustbegrenzungslimit

Abb. 6 Verteilung der Jahresergebnisse bei Dynamischem Limit

Tabellenverzeichnis

Tab. 1 Ergebnisse der Simulation mit und ohne Treasurer

Tab. 2 Ergebnisse der Simulation für die Limitarten über 1000 Jahre

Tab. 3: Mittelwerte und Standardabweichungen der Renditen auf Jahresbasis

Tab. 4: Korrelationsmatrix der Renditen

Abkürzungs- und Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

In der Vergangenheit zeigten sich viele Beispiele, in denen ein ungenügendes Risikomanagement zu Finanzkrisen in Unternehmen wie Metallgesellschaft AG (1993), Baring’s (1995)¹etc. geführt hat. Vor diesem Hintergrund und aufgrund aktueller Entwicklungen wie die Liberalisierung der Finanzmärkte, Entwicklung von Finanzinnovationen und vor allem der bankaufsichtsrechtlichen Neuregelungen werden höhere Anforderungen an das bankinterne Erfolgs- und Risikomanagement gestellt.

Sowohl der effiziente Einsatz von Risikokapital als auch die Limitierung von Risiken sind essenziell im Bankgeschäft. Dabei nimmt die Bedeutung des Value-at-Risk (VaR) als Risikomaß zu. Durch die kürzlich eingeführte bankaufsichtsrechtliche Anerkennung des VaR wurde seine breite Akzeptanz entscheidend gesteigert. Dies führte neben einer Anregung zur Messung der Risiken innerhalb der Banken auch zu einer Forderung nach Limitierung von Risiken durch den VaR. Vor allem der Handelsbereich innerhalb einer Bank ist hiervon betroffen.

Ein konsistentes Limitsystem auf Basis des VaR führt zu organisatorischer Vereinfachung und effizienteren Ergebnissen. Bisherige Limitsysteme durch Volumenbeschränkung der Positionen berücksichtigen das Risiko nur unzureichend, weswegen eine Weiterentwicklung den Einsatz des VaR als Basis für ein vorteilhaftes Limitsystem benötigt.²

Trotzdem beschäftigt sich die Forschung hauptsächlich mit der Risikomessung und weniger mit der Risikosteuerung. Diese Arbeit soll den Einsatz von VaR Limitsystemen als Instrumenten der Risikosteuerung darstellen.

Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen, welche Möglichkeiten bestehen, ein schlüssiges VaR-Limitsystem in Banken und dabei vor allem im Eigenhandelsbereich einzurichten. Dazu werden zunächst in Kapitel 2 die Konzeption und Berechnung des VaR dargestellt. Anschließend soll nach einer Erläuterung über die Notwendigkeit und Wirkungsweise von Limitsystemen in Kapitel 4 auf eine genaue Zuteilung von VaR-Limiten für Handelseinheiten eingegangen werden. Hierzu werden an einem simulierten Beispiel die unterschiedlichen Möglichkeiten der Allokation von Risikokapital und deren Ergebnisse gezeigt. In der Literatur diskutierte mögliche Ausgestaltungen der zugeteilten Limite werden in einem letzten Schritt mit einem weiteren Simulationsbeispiel erörtert.

2. Der Value-at-Risk

Im Folgenden soll genauer auf den VaR als Instrument der Risikomessung und -steuerung eingegangen werden. Nach Darstellung des Aussagegehaltes soll kurz auf die Berechnung des VaR eingegangen werden.

2.1 Definition und Aussage des VaR

Der VaR zählt zu den Downside-Risikomaßen. Im Gegensatz zu Risikomaßen wie Standardabweichung, die auch positive Abweichungen in ihrer Berechnung mit einbeziehen, spiegelt der VaR nur Verlustgefahren in den festgelegten Betrachtungszeiträumen wider.

Der Begriff „Value-at-Risk“ wird im allgemeinen verstanden als die erwartete maximale negative Änderung des Marktwertes einer Position oder eines Portfolios in Geldeinheiten innerhalb eines festgelegten Zeitraums (Haltedauer H) aufgrund der Schwankung spezifischer Marktfaktoren bzw. Risikofaktoren. Dabei wird der VaR auf der Basis eines statistischen Modells für die Risikoparameter berechnet. Ein spezifiziertes Konfidenzniveau 1-Į stellt sicher, dass der erwartete Verlustbetrag nur mit einer Wahrscheinlichkeit von Į von den tatsächlichen Verlusten überschritten wird.³

Ein VaR von z.B. 1 Mio EUR bei einem Konfidenzniveau von 1-Į = 99% und einer Haltedauer von H=1 Tag bedeutet damit, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% der Verlust bis zum nächsten Tag unter 1 Mio EUR beträgt Der VaR stellt keinen Maximalverlust, sondern eine Verlustschranke dar. Daher sind nur erwartete und keine unerwarteten Verluste erfasst.⁴

Die festgelegte Haltedauer H entspricht üblicherweise einem Zeitraum von einem Tag, kann aber durch Skalierung des VaR auch auf andere Haltedauern gesetzt werden (Siehe hierzu 4.1).

Der VaR entspricht dem Į-Quantil der Dichtefunktion f der Marktwertänderungen ǻVt (bzw. der Ergebnisverteilung).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1 Grafik zur Veranschaulichung des VaR⁵

Die VaR Berechnung folgt dem „mark to market“ Prinzip, da durch ihn die potentiellen Änderungen des Marktwertes einer Position oder eines Portfolios dargestellt werden. Somit wird, unabhängig davon ob es sich um kurzfristige oder langfristige Anlagepositionen handelt, eine Risikomessung immer auf Grundlage aktueller Marktwerte durchgeführt.⁶

2.2 Berechnung des VaR

Die Berechnung des VaR lässt sich auf drei Berechnungsmethoden zurückführen. Die in der Literatur im Zusammenhang mit Limitsystemen am Häufigsten angeführte Varianz-Kovarianz-Methode wird im Folgenden kurz vorgestellt.

Die Varianz-Kovarianz-Methode ist die einfachste und schnellste VaR- Berechnungsmöglichkeit. Als Prämissen dieses Modells unterstellt man eine iid-Normalverteilung der Renditen und eine konstante Zusammensetzung eines Portfolios während der Haltedauer, für die der VaR berechnet wird.

Durch Bildung der VaR-Formel aus der Verteilungsfunktion der Renditen ergibt sich für den VaR einer Einzelposition:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁷

L(p) ist dabei das Fraktil der Standardnormalverteilung, das dem Konfidenzniveau 1-p entspricht. Falls man den VaR für eine Shortposition berechnen will, wird L(p) durch L(1-p) ersetzt.

Eine Vereinfachung der Berechnung ergibt sich durch Setzen des Erwartungswertes gleich null. Dies bewirkt zwar eine Verzerrung des VaR, mögliche Schätzfehler bei der Bestimmung des Erwartungswertes der Rendite werden jedoch vermieden. Für kurze Haltedauern verursacht diese Vereinfachung keine großen Fehler, da die damit verbundenen erwarteten Renditen in der Regel nahe bei null liegen. Somit ergibt sich in diesem Fall der VaR als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁸

Da bei der VaR-Berechnung für ein Portfolio Korrelationseffekte zwischen den einzelnen Positionen berücksichtigt werden müssen, ergibt sich für den Gesamt-VaR folgender Zusammenhang:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁹

Der VaR des Portfolios berechnet sich somit aus einer Kombination des transponierten VaR-Verktors der Kovarianzmatrix und des VaR-Vektors abzüglich der erwarteten Renditen. Wird ȝ=0 unterstellt, so gilt fürVaR:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹⁰

Neben den Vorteilen der einfachen und schnellen Berechnung des VaR durch die Kovarianz-Methode, lassen sich auch Nachteile anführen. Die in diesem Modell behauptete Stationarität der Parameter Erwartungswert, Volatilität und Korrelationen kann in Extremsituationen nicht mehr eintreten. Außerdem schränkt sich die Eignung bei Einbeziehen von nicht-normalverteilten Renditen, wie z.B. bei Optionspositionen bzw. nicht-linearen Positionen, weiter ein.

Wie in 4.1 dargestellt liegt ein entscheidender Vorteil der Varianz-Kovarianz- Methode in der einfachen Skalierungsmöglichkeit auf verschiedene Haltedauern. Auf die Darstellung der beiden Simulationsmethoden soll daher nicht weiter eingegangen werden.¹¹

3. Limitsysteme in Banken

Limitsysteme werden in Banken als Instrument des passiven Risikomanagements eingesetzt um maximale Risiken zu begrenzen. In folgenden wollen wir kurz darauf eingehen, wie Limitsysteme ausgestaltet sind (Kapitel 3.1) und welche Gründe sich für ihre Einführung in Banken identifizieren lassen (Kapitel 3.2).

3.1 Gestalt und Wirkungsweise von Limitsystemen

Limitsysteme setzen den Handlungsspielräumen dezentraler Entscheidungsträger Grenzen mit dem Ziel, das Gesamtrisiko der Bank auf ein bestimmtes zentral vorgegebenes Limit zu beschränken. Innerhalb des vorgegebenen Rahmens kann der Entscheidungsträger jedoch weiterhin selbständige Entscheidungen treffen. Risikolimite können sich auf verschiedenste Parameter beziehen, z.B. Novinalvolumina oder Risikokennzahlen.¹²

Da Limitsysteme hauptsächlich im Eigenhandelsbereich von Banken eingesetzt werden, sollen sich unsere weiteren Ausführungen vor allen Dingen hierauf beschränken.¹³Die angestellten Überlegungen sind vom Prinzip her jedoch auch auf andere Abteilungen wie z.B. die Kreditabteilung übertragbar.

Limitsysteme auf Basis von Geschäftsvolumina geben Schranken von Nominalwerten vor, die nicht überschritten werden dürfen. Aus der Perspektive des Risikomanagements ist hier problematisch dass versucht wird, das Risiko einer Position lediglich über deren Volumen abzubilden. Weitere, realistischere Risikofaktoren werden nicht berücksichtigt.

Limitsysteme auf Basis des VaR lösen dieses Problem. Nun werden keine Limits für das Gesamtvolumen einer Position mehr vergeben sondern der maximal zulässige VaR. Dadurch entsteht ein direkter Zusammenhang zwischen dem Risiko der Position und dem begrenzenden Faktor. Ein weiterer Vorteil der Limitsetzung auf Basis des VaR ist die bessere Vergleichbarkeit der unterschiedlichen Bankbereiche. Während eine Limitsetzung auf Basis von Volumina Finanztitel mit höherem erwarteten Gewinn aber auch höherer Ergebnisschwankung bevorzugt, lässt sich auf Basis des VaR leicht feststellen, welche Einheit bezogen auf das eingegangene Risiko den meisten Ertrag generiert.

3.2 Gründe für die Einführung von Limitsystemen

Theoretisch könnten sämtliche Handelsentscheidungen der Bank auf zentraler Ebene durch einen Entscheider gefällt werden. Dieser könnte dann sein Portfolio so steuern, dass er lediglich das gewünschte maximale Risiko eingeht. Diese Lösung ermöglicht jedoch nicht die höchstmöglichen Erträge. Ein zentraler Entscheider verfügt nicht über das Spezialwissen und die Marktinformationen von Spezialisten, die sich intensiv mit einem bestimmten Marktsegment beschäftigen. Darüber hinaus ist es nicht möglich sämtlichen Marktänderungen in der nötigen Geschwindigkeit zu folgen und entsprechend zu handeln.¹⁴

Werden Handelentscheidungen nun dezentral von Spezialisten getroffen, so ergibt sich jedoch ein Anreiz- und Kontrollproblem. Bei Entlohnungssystemen die auf dem erwirtschafteten Ertrag basieren, werden die einzelnen Händler versuchen Ihren Ertrag auch auf Kosten überhöhter Risiken zu maximieren.

Wird nun ein Limitsystem implementiert, können die Vorteile der zentralen und der dezentralen Entscheidungen kombiniert werden. Einerseits wird durch das zentral vorgegebene Limit sichergestellt, dass keine ungewollt hohen Risiken eingegangen werden. Andererseits können die einzelnen Spezialisten innerhalb ihres Limits frei entscheiden und somit ihren Informations- und Erfahrungsvorsprung gewinnbringend einsetzen. Zu beachten ist jedoch, dass diese Dezentralisierungsvorteile die mit der Implementierung eines Limitsystems entstehenden Kosten übersteigen müssen.

Auch aufsichtsrechtlich wird die Implementierung von Risikolimiten gefordert.¹⁵

3.3 Eignung des VaR für Limitsysteme

Ziel eines Limitsystems ist es, Risiken so weit zu begrenzen dass der Bestand der Bank nicht gefährdet ist. Die möglicherweise auftretenden Verluste aus den Bankgeschäften sollen also jederzeit vom verfügbaren Risikokapital¹⁶gedeckt werden können. Daher ist der VaR als Basis eines Limitsystems theoretisch gut geeignet. Wird das Gesamt VaR Limit daher so gesetzt, dass es vom Eigenkapital der Bank überdeckt wird, so ist ein fortbestehen der Bank mit sehr hoher Sicherheit gewährleistet.

Die Verwendung des VaR als Basis für Limitsysteme bringt jedoch auch Probleme mit sich. Besonders nachteilig ist, dass eine Überschreitung des VaR Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken nicht quantifizierbar ist. So bedeutet ein VaR von 1.000 mit p=99% dass innerhalb des Berechnungszeitraumes der Verlust lediglich in 1% aller Fälle größer als 1.000 sein wird. Wie groß dieser Verlust dann jedoch ist kann der VaR nicht wiedergeben. Zuletzt kann natürlich noch angeführt werden, dass auch der VaR lediglich einen erwarteten Verlust abbildet. Ein Limitsystem sollte allerdings auch bei unerwarteten Wertentwicklungen des Portfolios richtig funktionieren.

Diese Probleme können dadurch abgeschwächt werden, dass nicht das gesamte Eigenkapital als VaR-Limit allokiert wird, sondern lediglich ein Teil davon. Aufsichtsrechtliche Vorgaben sehen zum Beispiel vor, dass das zu hinterlegende Eigenkapital das Dreifache des VaR des Handelsbereiches betragen muss.¹⁷

4. Value-at-Risk Limitsysteme

Aufsichtsrechtlich wird gefordert, dass für potentielle Verluste aus Handelsgeschäften ein gewisser Betrag an Eigenkapital vorhanden sein muss, mit welchem eventuell auftretende Verluste gedeckt werden können. Die Aufgabe eines Limitsystems ist es nun, das auf Gesamtbankebene vorhandene Eigenkapital so auf die einzelnen Handelseinheiten zu verteilen, dass das Ergebnis der Bank maximiert wird.

Im Folgenden soll nun dargestellt werden, wie im Eigenhandelsbereich einer Bank Eigenkapital auf Basis eines VaR Limitsystems allokiert werden kann. Die Reihenfolge der Darstellung orientiert sich dabei an der Vorgehensweise in welcher der Aufbau eines Limitsystems in einer Bank in der Praxis erfolgen würde. In 4.1 wird zunächst das Problem der zeitlichen Skalierung von VaR- Limiten angesprochen. In 4.2 werden daraufhin verschiedene Methode vorgestellt, das Gesamtlimit auf die einzelnen Handelseinheiten zu verteilen. Mögliche Steuerungsimpulse durch die Ausgestaltung der Variabilität der Limits werden abschließen in 4.3 beleuchtet.

4.1 Zeitadjustierung der Limite

VaR Limite werden durch die Zentraleinheit der Bank normalerweise auf Jahresbasis vorgegeben. Daher ergeben sich Probleme, diesen Betrag für die meist sehr kurzfristig bzw. täglich handelnden Bereiche aufzuteilen. Es muss ein Weg gefunden werden, zu quantifizieren, welches VaR-Limit für eine Teilperiode des Geschäftsjahres bzw. für einen Handelstag den Handelseinheiten zur Verfügung steht.

Eine Lösung des Problems wird nachfolgend durch die „Quadratwurzel-T- Regel“ dargestellt. Neben Berechnungsweise und Besonderheiten wird im Weiteren ein zusätzlicher Ansatz vorgestellt.

4.1.1 Die SQRT-Methode

Durch die SQRT („Square Root of time“ oder „Quadratwurzel T“) Methode können VaR Beträge auf beliebige Zeitdauern heruntergebrochen werden. Ausgehend von der Berechnung des VaR auf der Varianz/Kovarianz Methode, lässt sich folgender Zusammenhang aufzeigen:¹⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹⁹

Die Formel besagt, dass sich ein VaR-Limit für eine kurze Halteperiode durch Division des VaR für eine längere Periode und der Erwartungswertanpassung des kurzfristigen Exposures durch die Quadratwurzel der Haltedauer errechnen lässt.

Approximiert man den Mittelwert auf = 0 tμ ergibt sich die vereinfachte SQRT Regel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten²⁰

Somit errechnet sich der VaR für eine Haltedauer von z.B. 1 Tag aus dem VaR für ein Jahr mit 250 Handelstagen durch Division des Jahres-VaR durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei dieser Berechnungsart für die zeitliche Disaggregation müssen aber gewisse Voraussetzungen gelten:

Um die Anwendbarkeit zu gewährleisten, müssen die Risikofaktorrenditen unabhängig und identisch normalerverteilt sein und eine lineare Verlustfunktion des Portfolios vorliegen.²¹Treffen diese Annahmen nicht zu, wird die Skalierung zu Fehlern führen. Vor allem bei in der Realität oftmals auftretenden positiv autokorrelierten Renditen kann man nicht von einem Varianzskalierung des Faktors T²²ausgehen, was zu einer Unterschätzung des Marktpreisrisikos bei der Umrechnung durch die SQRT Relation führt.

Darüber hinaus darf kein Options-Charakter in einem Portfolio vorhanden sein. Durch das sich zeitlich verändernde Delta von Optionspositionen würde eine SQRT Skalierung zu Ungenauigkeiten führen.²³Für viele Aktienportfolios treffen diese Voraussetzungen selten zu, jedoch kann man behaupten dass sie „fast“ zutreffen. Folglich wäre der erzeugte Fehler vernachlässigbar klein. In diesen Fällen ist die SQRT Regel eine verwendbare Möglichkeit, einfach Zeitadjustierung durchzuführen.

4.1.2 Weitere Ansätze

Ob die Umrechnung des VaR-Limits überhaupt konzeptionell richtig und sinnvoll und das von der Zentralinstanz für eine Periode bereitgestellte Gesamt-VaR-Limit wirklich als VaR-Limit für ein Jahr aufzufassen ist, ist zu hinterfragen.

Geht man im Modell von einer kontinuierlichen Anpassung des VaR-Limits für die kürzeren Haltedauern H aus, so wächst im Jahresverlauf täglich das errechnete Tages-VaR-Limit mit einem Faktor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten²⁴

bis am Ende des Jahres das Gesamt-VaR-Limit erreicht ist. Somit steht ein deutlich niedrigeres Tages-VaR-Limit am Anfang des Jahres einem vollen VaR-Limit am Ende des Jahres gegenüber. Dies würde eine nicht gezielte Risikosteuerung des Eigenhandels bedeuten. Somit wäre es logischer, das Jahres-VaR-Limit unabhängig von der Haltedauer der Portfolios für das Geschäftsjahr als Risikokapital zur Verfügung zu stellen und das Herunterbrechen auf kleinere Limite nur als Ausdruck von Risikoaversion zu sehen.

Dies führt zu einem alternativen Ansatz der zeitlichen Disaggregation, bei dem das Tages-Limit nur einen Anteil a des Gesamt-VaR-Limits darstellt, der durch die Risikoaversion des Zentralbereichs festgelegt wird. Somit folgt die Aufteilung nach:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten²⁵

Die Risikopräferenz des Managements kann sich dabei im Zeitablauf ändern.

Im Folgenden wird jedoch von einer Anwendung der SQRT Regel ausgegangen.

4.2 Allokation des Gesamtlimits auf die Handelsbereiche

In unserer Arbeit soll die Ausgestaltung eines VaR Limitsystems im Mittelpunkt stehen, die Höhe des Limits welches die Bank für den Eigenhandelsbereich vorsieht betrachten wir als exogen gegeben. Die Aufteilung dieses Gesamtlimits auf die einzelnen Handelsbereiche kann auf verschiedene Arten erfolgen. In 4.2.1 diskutieren wir die Anforderungen an ein effizientes Allokationssystem bevor wir in 4.2.2 verschiedene mögliche Methoden zur Eigenkapitalallokation vorstellen.

[...]

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¹Vgl. Wilkens (2004) S.12.

²Vgl. Strassberger (2002), S.260.

³Zur Definition des VaR vgl. Völker (2001), S.69; Dresel (2003), S. 23; Meyer (1999), S.12 f..

⁴Vgl. Dresel (2003), S. 24.

⁵Eigene Darstellung: Verteilung der Renditen einer Position i.H.v. 1000 mit ȝ=7%, ı=24%.

⁶Vgl. Völker (2001), S. 70.

⁷Vgl. Beeck/Johanning/Rudolph (1999), S.264.

⁸Vgl. Dresel (2003), S.29.

⁹Vgl. Dresel (2003), S.30.

¹⁰Vgl. Dresel (2003), S.30.

¹¹Zu den Simulationsmethoden siehe z.B. Jendruschewitz (1997), S. 64-81; Rau-Bredow (2001), S. 318f.; Völker(2001), S. 102-106.

¹²Vgl. Johanning (1998), S. 97.

¹³Vgl. Johanning (1998), S. 98. Zur Definition des Eigenhandelsbereichs vgl. Witt (1994), S. 9-20..

¹⁴Vgl. Dresel (2003), S. 19.

¹⁵Vgl. Anhang I.

¹⁶zur Definition des Risikokapitals vgl. z.B. Straßberger(2002) S. 152-164.

¹⁷Vgl. Bundesaufsichtsamt für das Kreditwesen (Hrsg.; 1997a), S. 64.

¹⁸Zur Herleitung der SQRT-Regel siehe Anhang V.

¹⁹Vgl. Beeck/Johanning/Rudolph (1999), S.265.

²⁰Vgl. Beeck/Johanning/Rudolph (1999), S.265.

²¹Vgl. Straßberger (2002), S.272.

²²siehe Anhang V.

²³Vgl. Iancono/Skeie (1996).

²⁴Vgl. Straßberger (2002), S.273.

²⁵Vgl. Straßberger (2002), S.273.