Analytische versus synthetische Konzeption der Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Kant und Mathematik
2.1 Terminologie
2.1.1 Urteile
2.1.2 Anschauung
2.1.3 Raum und Zeit
2.2. Geometrie
2.3 Arithmetik

3. Frege und Mathematik
3.1 Frege und Kant
3.1.1 Geometrie
3.1.2 Arithmetik
3.2 Freges Ideen

4. Schluss

1. Einleitung

Die folgende Arbeit beschaftigt sich mit einem Themengebiet innerhalb der Philosophic der Mathematik: Dem Vergleich zwei entgegengesetzter Konzeptionen der Mathematik - zwischen Immanuel Kant und Gottlob Frege. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf Kants Werk Kritik der reinen Vemunft und Freges Grundlagen der Arithmetik. Fur eine ausfuhrliche Analyse ist es natiirlich notwendig, sich mit der geschichtlichen Basis der entgegengesetzten Analysen zu befassen und auf weitere Punkte der Philosophic der Mathematik einzugehen. Diese kurze Seminararbeit soli jedoch nur einen kurzen Uberblick und Vergleich Kants und Freges Ansichten darstellen.

Kant spricht sich fiir eine synthetisch apriorische Auffassung der Geometrie und Arithmetik aus. Das bedeutet, dass Mathematik keinen empirischen Charakter hat, sondem sich vor der Erfahrung, notwendig und intuitiv ergibt. Additionen, wie „3 + 4 = 7“, ergeben sich also nicht durch Zerlegung, weil weder die Drei noch die Zahl Vier das Konzept der Sieben enthalt. Das Ergebnis entsteht eher durch ein Zusammenlegen der Zahlen Drei und Vier. Obwohl Frege Kant zustimmt, dass Satze der Geometrie synthetisch a priori sind, halt er diesen Anspruch fiir die Arithmetik unzureichend. Diese besitzt laut ihm einen analytischen Charakter und ist demnach riickfiihrbar auf Logik oder wie Frege sagt: „Urwahrheiten“.

2. Kant und Mathematik

Kant beschaftigte sich zu seinen Lebzeiten viel mit Mathematik: Er studierte, lehrte und schrieb, vor allem in seinem bekannten Werk Kritik der reinen Vemunft und dem Prolegomena zu einer jeden kunftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten konnen, welches als eine Einleitung fur ersteres dienen sollte, liber seine Auffassung der Mathematik.

Kant definiert Mathematik als eine Wissenschaft „ohne empirische Behiilfe“, also als eine Wissenschaft, die synthetisch a priori gilt, notwendig und intuitiv ist. Im Folgenden Kapitel soil diese Behauptung nahergebracht werden und Kants Frage „Wie ist reine Mathematik?" beantwortet werden.

2.1 Terminologie

2.1.1 Urteile

In Kants Terminologie, findet sich die Unterscheidung von Urteilen in analytische und synthetische, welche wiederum in „a priori" und „a posteriori" (=vor und nach der Erfahrung) unterteilt werden konnen.¹ Analytische Satze sind „Erlauterungssatze“, weil sie keinen neuen Inhalt liber die Welt vermitteln. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass ihr Pradikat bereits im Subjekt enthalten ist. Ein Beispiel, das Kant nennt, lautet: „Alle Korper sind ausgedehnt." Im Begriff „Korper“ ist namlich die Ausdehnung implizit enthalten. Ein Korper ware kein Korper, wenn er nicht ausgedehnt ware. Demnach konnen analytische Urteile nur a priori sein und gehorchen dem Prinzip der Widerspruchsfreiheit.²

Wahrend man also die Wahrheit der analytischen Satze durch Zerlegung ihrer Begriffe erhalt, erschlieBt sich die Wahrheit synthetischer Satze durch Zusammenlegung. Diese entspringt entweder aus der Empirie, weshalb jene Satze a posteriori sein konnen oder aus der reinen Anschauung, die synthetische Urteile a priori bildet. Ein Beispiel fur einen synthetischen Satz ware: „Alle Korper sind schwer." Dieser Satz ist synthetisch a posteriori, weil er erst eine empirische Untersuchung benotigt und daher auch „Erweiterungsurteil“ genannt werden kann.³ Synthetische Urteile a priori sind Satze der Mathematik, wie „5+7=12“.⁴

2.1.2 Anschauung

Laut Kant sind synthetische Urteile a priori moglich, weil sie auf reiner Anschauung beruhen. In diesem Unterkapitel, soil pragnant erklart werden, was Kant sich unter „Anschauung“ vorstellt.

Kant ist der Meinung, dass unsere Wahmehmungen und Erfahrungen durch unseren Verstand geordnet werden. Betrachtet man beispielsweise einen Tisch, dann wird diese Wahmehmung dem Begriff „Tisch“ zugeordnet. Die Voraussetzungen fur unseren Verstand, einen Tisch als Tisch wahrzunehmen, werden durch die Anschauungsformen „Raum und Zeit“ ermoglicht, welche in einem Korrespondenzverhaltnis zum Begriff („Tisch“) stehen. Raum und Zeit gehen damit der Erfahrung voraus, sie sind a priori, stammen aus unserem Inneren und werden von auBen nicht beeinflusst.⁵

In der Kritik der reinen Vemunft, unterscheidet Kant zwischen empirischen Anschauungen, die uns durch unsere Sinne gegeben sind und den reinen Anschauungen, die, a priori sind. Wie oben erwahnt, handelt es sich bei den reinen Anschauungsformen um Raum und Zeit. Diese sind zwar frei von sinnlicher Wahmehmung, konnen aber auf sie bezogen werden, weil man beispielsweise den Tisch sehen und beriihren kann. Eine Anschauung ist rein, wenn ihr keine Empfindung beigemischt wird.⁶

2.1.3 Raum und Zeit

Raum und Zeit gelten als die reinen Anschauungsformen, das heiBt, sie sind a priori. Im Folgenden soil die Aprioritat der beiden Formen aufgezeigt werden.

Raum

1) Die Vorstellung vom Raum muss bereits gegeben sein, damit Empfindungen sich auf etwas beziehen konnen.
2) Der Raum ist die Bedingung der Moglichkeit aller Erscheinungen. Man kann sich nicht vorstellen, dass es keinen Raum gibt, er ist notwendig.

[...]

¹ Vgl. Kant, Immanuel: Kritik der reinen Vemunft. Werkausgabe HI. Hg. v. Wilhelm Weischedel. Frankfurt am Main: Suhrkamp 1958. S. 52-55.

² Vgl. Ebd. S. 52-55.

³ Vgl. Ebd. S. 52-55.

⁴ Vgl. Ebd. S. 55-58.

⁵ Vgl. Ebd. S. 69 ff.

⁶ Vgl. Ebd. S.71.