Optimierung von Rückversicherung

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungs- und Variablenverzeichnis

1. Einleitung

2. Problemstellung
a. Arten der Optimierung von Rückversicherung
b. Ziele von Rückversicherung als Grundlage der Optimierung

3. Messung der statistischen Schwankungen des Gesamtjahresschadens
a. Die Einflussgrößen der Schwankungen des Gesamtjahresschadens
b. Aggregation mehrerer Schaden-Portefeuilles

4. Die Reduzierung der statistischen Schwankungen des Gesamtjahresschadens durch Rückversicherung
a. Betrachtung eines Portefeuilles ohne Rückversicherung
b. Betrachtung eines Portefeuilles mit Quoten RV (proportionale Rückversicherung)
c. Betrachtung eines Portefeuilles mit Schadenexzedenten-Rückversicherung (nicht proportionale Rückversicherung)

5. Der optimale Selbstbehalt
a. Bedeutung des optimalen Selbstbehalts
b. Anwendung bei proportionalen Rückversicherungen
i. Quotenrückversicherung
ii. Summenexzedenten-Rückversicherung
c. Anwendung bei nicht-proportionalen Rückversicherungen
d. Kombination von proportionalen Rückversicherungen und Schadenexzedenten-Rückversicherungen

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 Portefeuille A

Abb. 2 Portefeuille B

Abb. 3 Portefeuille A und Portefeuille B aggregiert

Abb. 4 Darstellung des Schadengleichgewichts in einem aggregierten Schadens-Portefeuille

Abb. 5 Darstellung der Schadenvolatilitäten eines einzelnen Schadens

Abb. 6 Portefeuille ohne Rückversicherung

Abb. 7 Portefeuille mit Rückversicherung 1

Abb. 8 Portefeuille mit Rückversicherung 2

Abb. 9 Schadensverteilung A

Abb. 10 Schadensverteilung B

Abb. 11 Schadensverteilung C

Abb. 12 Kombination aus einer Schadenexzedenten-Rückversicherung und einer Quoten- Rückversicherung

Abkürzungs- und Variablenverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Mit dem Kauf von Rückversicherungsschutz will der Erstversicherer das Risiko mindern, dass er durch den Verkauf von Versicherung übernommen hat¹. Die Funktionen der Rückversicherung für den Erstversicherer bestehen u. a. darin, die Zeichnungskapazität zu erhöhen sowie den Eigenkapitalbedarf in Grenzen zu halten. Die Rückversicherung kann auch als Eigenkapitalersatz angesehen werden.²

Der Rückversicherer auf der anderen kann durch die Hereinnahme von Risiken ein Kollektiv bilden, in dem das Gesetz der großen Zahlen gilt, so dass er das eingegangene Risiko handhaben kann.³ D. h. die Rückversicherung führt insgesamt zu einer breiteren Risikostreuung und damit zu einem Risikoausgleich in der Versicherungsbranche.

Die Rückversicherungsformen können zum einen unterschieden werden in vertragsrechtliche Formen und zum anderen in versicherungstechnische Formen, unter die u. a. die Begriffe der proportionalen und nicht proportionalen Rückversicherung zu subsumieren sind. Ferner sind noch zu nennen der alternative Risikotransfer sowie Financial Reinsurance, die ebenfalls unter die Begrifflichkeit der versicherungstechnischen Formen einzuordnen sind. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden wir uns ausschließlich mit der Optimierung der proportionalen und nicht proportionalen Rückversicherung beschäftigen, weil es sich bei diesen traditionellen Formen der Rückversicherung, im Gegensatz zu den neueren Formen der Rückversicherung, die primär finanz- und erfolgswirtschaftliche Funktionen erfüllen, um primär risikopolitische Funktionen handelt.

Unsere mathematischen Ausführungen in den Kapiteln 3 bis 5 basieren auf dem Modell von Schmitter⁴.

2. Problemstellung

Die ultimative Optimierung von Rückversicherung gibt es nicht, da es sich bei der Rückversicherungsnahme aufgrund der zahlreichen vertragsrechtlichen und versicherungstechnischen Möglichkeiten um eine sehr komplexe Problematik handelt, die auf der versicherungstechnischen mittels mathematischer Modelle, wie sie in dieser Arbeit exemplarisch dargestellt werden, nur näherungsweise gelöst werden kann. Man kann sich also mit Hilfe mathematischer Modelle nur von einer an eine optimale Rückversicherungsnahme annähern.⁵

a. Ansätze zur Optimierung von Rückversicherung

Für die Optimierung von Rückversicherung gibt es in der Theorie mehrere Ansätze. Man unterscheidet den klassischen Ansatz⁶, der darauf beruht, eine Risikonutzenfunktion zu konstruieren, um daraus Entscheidungen abzuleiten. Der klassische Ansatz hat sich jedoch in der Praxis nicht durchgesetzt⁷, und wird deshalb im weiteren Verlauf dieser Ausarbeitung nicht diskutiert. Daneben gibt es risikotheoretische Modelle, die mit Hilfe mathematischer Methoden versuchen, die Höhe eines angemessenen Selbstbehalts zu bestimmen. Jedoch können diese Modelle dem Praktiker nur Einblick in die grundsätzliche Mechanik zur Bemessung des optimalen Selbstbehalts geben, um daraus Entscheidungen abzuleiten.⁸

b. Ziele von Rückversicherung als Grundlage der Optimierung

Vor dem Beginn einer jeden Optimierung müssen die Ziele für diese festgelegt werden, da dies die notwendige Bedingung für eine Optimierung ist. Im Bereich der Rückversicherungsnahme haben insbesondere Helten und Schenk⁹ empirische Untersuchungen über Ziele durchgeführt, die später von Graumann¹⁰ aufgegriffen wurden. Die Quintessenz daraus ist, dass die Hauptziele sich mit dem Risikoaspekt befassen¹¹. Die dort genannten Ziele sind jedoch global formuliert, so dass sie sich für ein mathematisches Optimierungsmodell nicht eignen.

Ein operationales Ziel hingegen, welches auch unter dem Risikoaspekt zu subsumieren ist und damit zu den Zielen von Helten und Schenk zielharmonisch ist, beschreibt Dienst¹²:

„Die wohl wichtigste Zielvorstellung, die sich für den Praktiker mit der Rückversicherung verbindet, ist die Stabilisierung der Jahresergebnisse, d.h. die Reduzierung der statistischen Schwankungen des Gesamtjahresschadens. Dieses Ziel kann allerdings nicht absolut angegangen werden; denn dann würde sich als Optimum sofort die 100 prozentige Rückversicherung anbieten, die die Schadenschwankungen im Selbstbehalt zwangsläufig auf Null reduziert. Mit der Schwankungsreduzierung muss sich also noch ein zweites praktisches Ziel verbinden, und das ist im Allgemeinen der günstigste Rückversicherungspreis.“

3. Messen der Schwankungsanfälligkeit ( Volatilität)

Die Jahresverlust-Last ist als die Summe aller Einzelschäden in einem Jahr zu verstehen. Sie ist abhängig von der vorhergesagten Schadensanzahl sowie dem vorhergesagten durchschnittlichen Wert eines einzelnen Schadens. Das Ergebnis (bzw. der Jahresschaden) eines Gesamtschaden-Portefeuilles ist volatil (schwankungsanfällig), wenn die tatsächliche Verlust-Last weit von der prognostizierten Verlust-Last abweicht.

a. Die Einflussgrößen der Schwankungen des Gesamtjahresschadens

Die Determinanten der Volatilität des Gesamtschadensportefeuilles sind:

(1) Die Anzahl der erwarteten Schadensfälle, d. h. steigt die Schadensanzahl, so steigt auch das Spektrum der Beträge der Schadensfälle.

Beispiel 1:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(2) Der Wert des einzelnen Schadens, d. h. befinden sich die einzelnen Schadensbeträge auf einem relativ hohen betragsmäßigen Niveau, umso anfälliger ist dieses Portefeuille für Schwankungen.

Beispiel 2:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3) Unterschied der einzelnen Schadensbeträge, d. h. je größer der Unterschied der einzelnen Schadenswerte, desto höher ist die Jahresschadenvolatilität des Schadenportefeuilles.

Beispiel 3:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2

Die Determinante E ist der durchschnittlich erwartete Schaden. E ist für beide Portefeuilles identisch. (E=8)

Die Determinante s ist das Gleichgewicht der Schadenverteilung.

s für Portefeuille A = 5,625

s für Portefeuille B = 4

Beim Portefeuille B ist s halb so groß wie E. (E = 2s)

Wenn alle Schadenswerte ( siehe Portefeuille B ) gleich groß sind, kann s in Relation zu E nicht kleiner werden. Die Schadensverteilung ist für die Jahresschadenvolatilität optimal.

[...]

¹ Vgl. Graumann, M., Warum versichern sich Versicherungsunternehmen? in: WiSt, Wirtschaftswissenschaftliches Studium,30 Jg. Heft 6 Juni 2001, 305

² Vgl. Koch, P. (Hrsg.), Gabler Versicherungslexikon, Wiesbaden 1994, 717

³ Vgl. Koch, P. (Hrsg.), Gabler Versicherungslexikon, Wiesbaden 1994, 717

⁴ Schmitter, H., Setting optimal reinsurance retentions, http://www.swissre.com/INTERNET/pwsfilpr.nsf/vwFilebyIDKEYLu/SBAT-544EBS/$FILE/Download_en_pdf.pdf Zugriff am 17.11.2003

⁵ Vgl. Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik, Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik, Mathematische Verfahren der Rückversicherung, Heft 19, Karlsruhe 1988 19

⁶ Vgl. Graf von der Schulenburg, J. M.,Neuere Ansätze der Versicherungstheorie, in: WiSt, Wirtschaftswissenschaftliches Studium, 21. Jg., Heft 8, 92, 400

⁷. Graumann, M., Warum versichern sich Versicherungsunternehmen? in: WiSt, Wirtschaftswissenschaftliches Studium,30 Jg. Heft 6 Juni 2001, 306

⁸ Vgl. Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik, Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik, Heft 19, Karlsruhe 1988, 19

⁹ Helten, E.: Vom Nutzen der Rückversicherung aus Sicht der Erstversicherer. In Rückversicherung- Anspruch und Selbstverständnis, Festschrift zum Einzug in das Verwaltungsgebäude der Eisen und Stahl und der Hannover Rück, hrsg. Von Eisen und Stahl Rückversicherungs-AG u. a. Karlsruhe 1985, S. 53 ff. und Schenk, P: Rückversicherungsentscheidungen von Schaden- und Unfallversicherungsunternehmen, in: VW 6/1995, S. 363 ff.

¹⁰ Graumann, M., Ziele der Rückversicherungsnahme, in: Zeitschrift für Versicherungswirtschaft, 1997, 52. JG, Heft 6, S. 367-369

¹¹ Vgl. Graumann, M., Warum versichern sich Versicherungsunternehmen? in: WiSt, Wirtschaftswissenschaftliches Studium,30 Jg. Heft 6 Juni 2001, 305

¹² Gerathewohl, K., Schinzler ,H.-J., Conrad ,K., Ficker ,R., Göbel ,D., Lukas ,E., Nonhoff ,D., Raffler ,H., Roth ,R., Sellschopp ,H.-D., Dienst ,H.-R., Beiträge zur Rückversicherung, Horst K. Jannott zum 60. Geburtstag, Karlsruhe 1988, 530