Leben und Werk des Nobelpreisträgers Myron S. Scholes

Inhaltsverzeichnis

1 Abbildungsverzeichnis

2 Zeichen und Symbole

3 Einleitung

4 Begründung der Jury und Relevanz des Werkes

5 Leben und Werk

6 Überblick Optionsbewertung

7 Das Black-Scholes-Modell zur Optionsbewertung
7.1 Modellannahmen
7.1.1 Zinsen
7.1.2 Kursverlauf der Aktien
7.1.3 Auszahlungen des Basispapiers
7.1.4 Optionstyp
7.1.5 Marktvollkommenheit
7.1.6 Spekulation
7.2 Herleitung der Black-Scholes-Formel
7.3 Interpretation des Modells
7.4 Reaktion des Modells auf Parameteränderungen
7.4.1 Verhalten bei Zeitvariation
7.4.2 Verhalten bei Zinsvariation
7.4.3 Verhalten bei Volatilitätsvariation

8 Kritik am Black-Scholes-Modell
8.1 Kritik an der Bestimmung des Zinses
8.2 Kritik an der Annahme der unterstellten Aktienkursverlaufs
8.3 Kritik an der Annahme eines vollkommenen Marktes

9 Résumé

10 Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Welthandel mit Derivaten (Mrd. US-$)

Abbildung 2: Systematik Optionswertmodelle

Abbildung 3: Variation von t und K

Abbildung 4: Variation von r und K

Abbildung 5: Variation von v und K

Abbildung 6: Aktienkursverlauf

2 Zeichen und Symbole

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3 Einleitung

Die vorliegende Arbeit wurde im Rahmen des Seminars zur Wirtschaftstheorie über Leben und Werk der Nobelpreisträger der Wirtschaftswissenschaften seit dem Jahr 1991 des Instituts für Allgemeine Wirtschafts- forschung an der Albert-Ludwigs-Universtität Freiburg im Wintersemester 2000/2001 angefertigt. Thema dieser Arbeit ist in diesem Sinne das Werk von Myron S. Scholes, welcher im Jahre 1997 zu- sammen mit dem des Wissenschaftler Robert C. Merton von der Jury der Königlich Schwedischen Aka- demie der Wissenschaften durch die Verleihung des Preises gewürdigt wurde. Der Nobelpreis für Wirt- schaftswissenschaften genießt hohes Ansehen und einen hohen Grad an Anerkennung, die rich- tungweisende Wirkung einer Verleihung in Wissenschaft, Gesellschaft und Wirtschaft hinein ist beachtlich. Jedoch kann eine Untersuchung der bei dieser Preisverleihung gewürdigten Thematik im engen Rahmen dieser Seminararbeit nicht über eine nach didaktischen Gesichtspunkten aufgebaute Darstellung hinausgehen. Eine wissenschaftlich- und mathematisch korrekte und thematisch r- schöpfende Untersuchung der zugrundeliegenden Theorien ist in diesem Rahmen nicht möglich.

4 Begründung der Jury und Relevanz des Werkes

Das Nobelpreiskommitee begründete Ihre Preisverleihung u. a. mit folgenden Worten:

"[...] in Zusammenarbeit mit Fischer Black, der leider vor zwei Jahren verstorben ist, haben Sie eine neue Methode entwickelt, um den Wert von Derivaten zu bestimmen. Ihre Methode hat den Weg für wirtschaftliche Bewertungen in vielen Bereichen geebnet. Sie hat auch neue Finanzierungsinstrumente geschaffen und wirksameres Risikomanagement in der Gesellschaft ermöglicht. " [Rede des Nobelpreiskommitees am 14.10.97]

Der Nobelpreis im Jahre 1997 wurde an Robert C. Merton und Myron M. Scholes für ihre Beiträge zur modernen Finanzmathematik verliehen, eine Leistung, deren zentrale Publikation mittlerweile

25 Jahre zurückliegt. Im Jahre 1973 erschien im Journal of Political Economy ein Beitrag von Fischer Black und Myron Scholes zur Bewertung von Opti- onsscheinen, in welchem es um die Herleitung der sog. Black-Scholes-Formel geht¹. Im selben Jahr ver- öffentlichte Robert Merton, der mit den beiden an- deren Wissenschaftlern vorher am Massachusetts Institute of Techonology (MIT) zusammenarbeitete, im Bell Journal of Economics and Management Science, einen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Welthandel mit Derivaten (Mrd. US-$)

Artikel zum selben Thema. Robert Merton und Myron Scholes erhielten beide für Ihre Leistungen den Nobelpreis, Fischer Black ist bereits im Jahre 1995 verstorben und konnte somit nicht mehr geehrt werden¹.

Terminkontrakte sind seit Jahrhunderten bekannt. Bereits im 17. Jahrhundert wurden in Holland Optionsscheine auf noch noch nicht aufgegangene Tulpen gehandelt, bereits Aristoteles beschrieb optionsähnliche Verträge. Der organisierte und börsenmäßige Handel wird jedoch erst seit 1973² betrieben. Seit dem wächst die Produktpalette kontinuierlich und auch das Handelsvolumen vergrößert sich ständig. Allein in Deutschland hat sich der Handel mit Optionen seit Eröffnung er Deutschen Terminbörse im Jahr 1990 verzehnfacht.³ Der Wert derivativer Finanzinstrumente für institutionelle Kapitalanleger liegt einerseits in der sich eröffnenden Möglichkeit des gezielten Risikomanagements sowie in den vielfältigen Kombinationsmöglichkeiten.

Das Hauptproblem beim Handel mit Derivaten ist jedoch deren korrekte Bewertung. Die explo- sive Zunahme des Welthandelsvolumens⁴ mit Derivaten wird daher auch den drei Wissenschaftlern zugerechnet, die den Einzug anspruchsvoller Mathematik in das internationale Börsengeschehen forciert haben.

5 Leben und Werk

Myron S. Scholes wurde am 1. Juli 1941 in Timminis im Bundesstaat Ontario, U.S.A. als Sohn eines Zahnarztes und einer Geschäftsfrau geboren. Durch seine Eltern und Verwandten interessierte er sich früh für Finanzen und Wirtschaft und investierte daher schon während seiner High-School- Zeit in Aktien. Er studierte an der McMaster-Universität Geisteswissenschaften mit Schwerpunkt Ökonomie und interessierte sich früh für die Schriften Milton Friedmans und George Stiglers. Daher absolvierte er sein Graduiertenstudium an der Univestität Chicago. Dort arbeitete er mit den damaligen Doktoranden der damals jungen Finanzwirtschaft Michael Jensen und Richard Roll zusammen und schärfte dadurch sein Verständnis für das Finanzwesen.

In Chicago beschäftigte er sich lange hauptsächlich mit der Entwicklung von Computerpro- grammen zu Forschungszwecken, u. a. für Merton Miller und Gene Fama. In seiner Dissertation ver- suchte er, die Nachfragekurve gehandelter Wertpapiere zu bestimmen. Später beschäftigte er sich mit Problemen wie den Auswirkungen von Differentialrisiken auf Wertpapiererträge oder der Be- stimmung der Zusammenhänge zwischen buchhalterischen und marktbestimmenden Risikomaßen.

Im Jahre 1968 wurde er Assistenzprofessor für Finanzwirtschaft an der Sloan School of Management des MIT, seine neuen Kollegen waren z. B. Paul Coolner und Franco Modigliani. Hier hatte er seinen ersten Kontakt mit Fischer Black. Mit ihm zusammen arbeitete er an der Überprüfung des Capital- Asset-Pricing-Modells. Im Jahre 1973 erschien im Journal of Political Economy ein Beitrag von Fischer Black und Myron Scholes zur Bewertung von Optionsscheinen, in welchem die beiden Wissenschaft- ler eine neue Möglichkeit der Bewertung von Optionsscheinen aufzeigen. Ergebnis dieser Veröf- fentlichung ist die später so genannte Black-Scholes-Formel¹. Die beiden Kollegen wechselten 1973 wieder zur Universität Chicago. Scholes untersuchte hier in der Folgezeit die Auswirkungen der Be- steuerung auf die Anlagepreise und engagierte sich am Forschungszentrum für Wertpapierkurse an der Universität Chicago, bis er 1981 seine Arbeit an der juristischen und wirtschaftlichen Fakultät der Stanford Universität aufnahm. In dieser Zeit publizierte er u. a. Werke über Rentenplanung und die Theorie der Steuerplanung bei Unsicherheit und asymmetrischer Information. So erschien im Jahre 1992 das Buch Taxes and Business Strategy: A Planning Approach, welches er mit Mark Wolfson verfaßte.

Der privaten Wirtschaft wandte sich Scholes im Jahre 1990 als Sonderberater und Abteilungslei- ter der Investmentbank Salomon Brothers zu, 1994 gründete er zusammen mit anderen Wirtschafts- wissenschaftlern die Firma Long-Term Capital Management und wirkte dort als Geschäftsführer.

Drei Universitäten ehrten Myron S. Scholes mit der Ehrendoktorwürde, 1997 erhielt er schließlich den Nobelpreis.

6 Überblick Optionsbewertung

Optionswertmodelle können grundsätzlich unterschieden wer- den in statistische- bzw. ökono- metrische Modelle und in Gleich- gewichtsmodelle. Bei der letzten Gruppe kann weiter zwischen partiellen- und in vollständigen Gleichgewichtsmodelle unterschieden werden. Statistisch- ökono- metrische Modelle versuchen, em- pirische Größen in die Zukunft zu extrapolieren, erheben also nicht den Anspruch, einen theoretisch 'richtigen Wert' für Optionsscheine

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Systematik Optionswertmodelle

berechnen zu können. Genau darauf zielen hingegen die Gleichgewichtsmodelle ab. Bei den voll- ständigen Gleichgewichtsmodellen, zu welchen auch das von Myron S. Scholes mitentwickelte Modell zählt, wird von der Möglichkeit eines durch Kombination von Optionsscheinen und Aktien aufzu- bauendem risikolosen Portfolio ausgegangen. Eine solche (risikolose) Anlageform soll sich dann im vorausgesetzten Kapitalmarktgleichgewicht, in der Höhe des marktüblichen risikolosen Zinssatzes verzinsen. Aus dieser Äquivalenzannahme wird dann, unter Unterstellung eines spezifischen sto- chastischen Prozesses für den Verlauf des Aktienkurses, ein theoretischer Wert für den Options- schein abgeleitet. Bei den partiellen Gleichgewichtsmodellen wird der entsprechende Zinssatz nicht aus einem Kapitalmarktgleichgewicht abgeleitet, sondern mehr oder weniger willkürlich angenom- men.²

7 Das Black-Scholes-Modell zur Optionsbewertung

Das Modell von Fischer Black und Myron S. Scholes zur Bewertung derivativer Finanzinstrumente betrachtet, wie das schon zuvor von Samuelson und Robert Merton entwickelte Modell aus dem Jahre 19691, den Preis des zu betrachteten Instruments als Funktion des zugrundeliegenden Basispapiers. Da sich die Laureaten im Gegensatz zu den statistisch-ökonometrischen-Methoden der Optionspreisbestimmung eines deduktiven Ansatzes, also eines typisch neoklassichen Denkansatzes bedienten, ist die Berücksichtigung der Modellannahmen bei der Herleitung sowie Anwendung des Modells von großer Wichtigkeit. Bei der kritischen Würdigung des Modells fällt der Betrachtung dieser idealisierten Ausgangslage später bedeutendes Gewicht zu.

In der Systematik der Optionsbewertungsmodelle kann das Black-Scholes-Modell als Spezialfall des Binomialmodells angesehen werden, und zwar wenn die Periodenzahl in diesem Modell gegen unendlich geht.

7.1 Modellannahmen

Die von Black und Scholes zugrundegelegten Modellannahmen sind im Einzelnen:

7.1.1 Zinsen

Wie bei allen vollständigen Gleichgewichtsmodellen werden die kurzfristigen Zinsen als bekannt und als im Zeitablauf konstante Größe angesehen. Diese Modellannahme wird in verfeinerten Modellen, auf die hier nicht eingegangen wird, zugunsten von sich dynamisch im Zeitablauf entwickelnden Zinsen aufgegeben.

7.1.2 Kursverlauf der Aktien

Der Aktienkurs folgt einem stetigen Zufallspfad², wobei ein kontinuierlicher Aktienhandel unter-[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stellt wird. Die Varianz des Kurses verhält sich proportional zu seiner Quad- =CONST ratwurzel³, seine Änderungen sind log-normalverteilt mit der Varianz σ² t. ⁴

Das Black-Scholes-Modell unterstellt als Kursbewegung des Basiswertes einen bestimmten sto- chastischen Prozeß, der in vielerlei Zusammenhängen bekannt ist. Diese Form der Bewegung ist unter den Namen Wiener Prozeß, Braunes Rauschen oder Brownsche Molekularbewegung bekannt. Schon im Jahre 1900 wurde von Louis Bachelier⁵ eine Dissertation⁶ vorgelegt, in der Aktienverläufe über diese Bewegungsannahme modelliert werden sollte. Albert Einstein bezog diese Form der Bewe- gung als Brownsche Molekularbewegung⁷ auf Teilchen. Norbert Wiener⁸ etablierte 1923 dieses Modell als stochastischen Prozeß. Die ursprüngliche Arbeit von Louis Bachelier erschien erst im Jahre 1964, also neun Jahre vor dem Erscheinen vor der Veröffentlichung von Fischer Black und Myron S. Scholes im Journal of Political Economy, in englischer Übersetzung.¹

7.1.3 Auszahlungen des Basispapiers

Die zugrundeliegenden Wertpapiere erbringen keine Auszahlungen wie z. B. Dividenden. Auch diese Annahme wird in neueren Verfeinerungen des Basismodells zugunsten der Berücksichtigung von Dividendenzahlungen fallengelassen.²

7.1.4 Optionstyp

Die betrachteten Optionen können nur am Verfalltag eingelöst werden. Es handelt sich also um Optionsscheine europäischen Typs, im Gegensatz zu den amerikanischen Typen. Diese können während der gesamten Laufzeit eingelöst werden.

7.1.5 Marktvollkommenheit

Das Black-Scholes-Modell geht von einem vollkommenen Kapitalmarkt aus, in dem also alle Marktteilnehmer vollständig informiert sind, keine Transaktionskosten existieren und alle Marktteilnehmer unendlich schnell auf Umwelt-, insbesondere Preisveränderungen reagieren. Auch wird jeder Marktteilnehmer als auf Nutzenmaximierung bedachter homo oeconomicus betrachtet.

Implizit wird mit der Marktvollkommenheit auch die Arbitragefreiheitsanname unterstellt, also die Annahme, daß durch kostenlose Markttransaktionen auch keine Gewinne erzielt werden können. Man nimmt an, daß in einem vollkommenen Markt solche Arbitragemöglichkeiten durch andere Marktteilnehmer, die ja ebenso perfekt informiert sind, ausgeschöpft sind.

Die Homogenitätsbedingung kann hinsichtlich der Teilbarkeit uminterpretiert werden: Jegliches Wertpapier ist zu beliebigen Anteilen zum angenommenen kurzfristigen Zinssatz erwerb- und ver- kaufbar.

7.1.6 Spekulation

Spekulationsgeschäfte sind möglich und werden nicht bestraft. Wertpapiere können also nach beliebig kurzen Fristen wieder abgestoßen werden. Für vorhandene Verkaufswünsche stehen immer Käufer bereit, die bereit sind, sich auf die Zukunftskontrakte einzulassen.

7.2 Herleitung der Black-Scholes-Formel

Die hier vorgestellte Herleitung der Black-Scholes-Formel ist mathematisch unvollständig und nur eine grobe Beschreibung der exakten Vorgänge. Insbesondere auf die spezifischen Eigenschaf- ten der Brownschen Molekularbewegung wird hier nicht eingegangen³. Darüber hinaus bezieht sie sich nur auf Call-Optionen europäischen Typs ohne Dividendenauszahlungen. Bewertungsformeln für Optionen anderen Typs oder optionsähnliche Wertpapiere sind mit modifizierten Herleitungen auf

[...]

¹ Der Artikel erschien erst, nachdem sich bereits renomierte Wissenschaftler für ihn eingesetzt hatten in dieser für diese Thematik oh- nehin ungewöhnlichen Zeitschrift. Zunächst wurden entsprechende Publikationsgesuche von verschiedenen Redaktionn abgelehnt.

¹ Der Nobelpreis wird grundsätzlich nicht posthum verliehen.

² Gründung der Chicag o Board Options Exchange (CBOE).

³ vgl. Rolfes/Dartsch (1997).

⁴ Weltweit stieg das Handelsvolumen derivativer Finanzinstrumente zwischen 1986 und 1996 von 618,3 Mrd. US-$ auf 9881,6 Mrd. US-$, also um das 16-fache.

¹ Der Artikel erschien erst nachdem sich andere Wissenschaftler für seine Publikation eingesetzt hatten. Zuvor waren Black und Scholes mit Ihrer Publikation von mehreren Zeitschriften abgelehnt. worden.

² vgl. Perridon/Steiner (1997).

¹ Merton/Samuelson (1969).

² Geometrische Brownsche Bewegung.

³ Black/Scholes (1973).

⁴ Black/Scholes (1972).

⁵ Namensgeber der 'Bachelier Finance Society', in der mathematisch-stochastisch orientierte Finanzwissenschaftler organisiert sind.

⁶ Bacheliér (1900).

⁷ Einstein (1905).

⁸ Wiener (1923).

¹ in: Cootner (Hrsg.): The Random Character of Stock Market Prices, (1964).

² An diesen Erweiterungen des Modells war Robert C. Merton maßgeblich beteiligt.

³ Für detaillierte Informationen siehe Hull (1997) oder Duffie (1996).