Risikomaße und Kohärenzeigenschaften


Hausarbeit (Hauptseminar), 2006

27 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe


Inhaltsübersicht

1 Einleitung

2 Risikomaße
2.1 Definition Risiko
2.2 Varianz und Standardabweichung
2.3 Value at Risk
2.4 Conditional Value at Risk
2.5 Expected Shortfall
2.6 Tail Mean
2.7 Tail Conditional Expectation
2.8 Worst Conditional Expectation
2.9 Lower Partial Moments

3 Kohärenz
3.1 Definition
3.2 Axiome
3.3 Weitere Eigenschaften
3.4 Kohärente Risikomaße

4 Abschließende Betrachtungen
4.1 Warum Kohärenz ?
4.2 Vergleich der Risikomaße

5 Zusammenfassung

I Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Die heutige Finanzwelt wird täglich von einer Vielfalt von Risikofaktoren bestimmt. Eine wichtige Maßnahme zur nachhaltigen Sicherung von Vermögenswerten stellt daher die Messung der einwirkenden Risiken dar. Entscheidend ist hierbei die Frage, welche Merkmale in einem Verfahren zur quantitativ und qualitativ sinnvollen Messung von Risiken vorhanden sein sollten. Es bietet sich ein breites Spektrum an Risikomaßen an, die alle, auf unterschiedliche Arten, „Risiko“ messen. In dieser Arbeit soll dargelegt werden, was man unter dem Begriff Risiko zu verstehen hat und welche alternativen Maße zur Erfassung und Bewertung dieses Risikos zur Verfü­ gung stehen. Weiterhin soll geklärt werden, ob alle Risikomaße dieselbe Aussage­ kraft besitzen und sich für den Einsatz in der Praxis eignen. Zur Klärung, ob man Risikomaße in einheitliche Qualitätskategorien einteilen kann, werden die vorgestell­ ten Risikomaße anhand eines Axiomensystems auf bestimmte Eigenschaften geprüft.

Aus Gründen der Vereinfachung und des Umfangs dieser Arbeit wird, falls nicht aus­ drücklich anders benannt, bei verteilungsbasierten Risikomaßen von einer stetigen Verteilung ausgegangen, da die Betrachtungen diskreter Verteilungen den Rahmen der Arbeit sprengen würde.

2 Risikomaße

2.1 Definition Risiko

Um eine Aussage über Risiko treffen zu können, muss der Begriff Risiko erst einmal definiert werden. Hierfür wird ein Modell benötigt, das eine quantitative und qualita­ tive Messung des Risikos möglich macht. Ein möglicher Umweltzustand sei durch die Variable [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beschrieben. Die begrenzte Menge aller möglichen Umweltzu­ stände nennen wir [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Es besteht zudem eine Zufallsvariable X, die für jeden möglichen Zustand [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einen Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]annimmt. G sei die Menge aller Funktionen auf[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], für deren Zufallsvariablen X gilt, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Ebenso wie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sei G eine endliche Menge, deren nicht-negative Elemente durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , sowie alle negativen Elemente durch L − beschrieben werden. Das Risikomaß [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stellt in diesem Fall die Abbildung von G nach [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dar. Interpretieren lässt sich der Wert

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für den Fall, dass dieser positiv ist, als zusätzliches Risikokapital, das einer riskanten Anlage bzw. einem Portfolio hinzugefügt werden müsste, um mit großer Wahrscheinlichkeit einen Verlust zu vermeiden. Im Falle eines negativen Wertes könnte eine Finanzposition um den Betrag[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] vermindert werden, ohne dass ein Verlust droht1.

2.2 Varianz und Standardabweichung

Die Varianz wird statistisch als ein „Streumaß für die Verteilung einer Zufallsvaria­ blen X2 definiert und stellt damit die mittlere quadratische Abweichung einer Zu­ fallsvariablen X vom Erwartungswert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 3 4 5

Wesentlicher Vorteil der Varianz als Risikomaß stellt ihre einfache Handhabung dar. So lässt sich beispielsweise die Portfoliovarianz leicht als Summe der Einzelva­ rianzen (und Kovarianzen) berechnen. Dennoch gibt es einen entscheidenden Kritik­ punkt an der Varianz und damit auch an der Standardabweichung. Sowohl Varianz als auch Standardabweichung erfassen jede Abweichung vom Erwartungswert, was bedeutet, dass nicht nur eine Unter- sondern auch eine Überschreitung die Varianz

(bzw. die Standardabweichung) erhöhen. Dies hat bei der Messung des Risikos zur Folge, dass auch ein positives Risiko berücksichtigt wird. Ein weiterer Kritikpunkt bezieht sich auf die mangelnde Abbildung von Asymmetrien zugrunde liegender Verteilungsfunktionen6. Zusätzlich stellt sich die Frage der Anwendbarkeit der beiden Maße. Wie oben beschrieben misst die Varianz die quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Will man nun die Varianz für die Messung monetärer Größen verwenden, entsteht die Problematik der Interpretierbarkeit von Geldeinheiten zum Quadrat als Einheit7.

2.3 Value at Risk

Bei der Betrachtung quantilbasierter Risikomaße zählt der „Value at Risk“(VaR) zu den meist genutzten Risikomaßen in der Praxis. Beim VaR handelt es sich um ein Downside-Risikomaß, was bedeutet, dass lediglich das Verlustrisiko, nicht jedoch das Chancenrisiko betrachtet wird8. Um den VaR zu bestimmen, wird zunächst das Konfidenzniveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und der Betrachtungszeitraum festgelegt. Für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] lässt sich der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgendermaßen ausdrücken:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten9

Nach Formel (4) entspricht der Value at Risk dem größten Wert x, bei dem die Zu­ fallsvariable X, die der Verlusthöhe entspricht, mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Wert x gerade nicht übersteigt. Man kann den VaR auch als ma­ ximalen Verlust zum gegebenen Konfidenzniveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnen, welcher mit einer Wahrscheinlichkeit von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nicht überschritten wird. Ein entscheidender Punkt zur Messung des VaR ist die Wahl der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Gleichzeitig ist dieser Aspekt auch einer der häufigsten Kritikpunkte. So ist nicht eindeutig, ob eine auf realen Werten basierte Schätzung einer subjektiv sorgfältig ausgewählten Wahr­ scheinlichkeitsverteilung vorzuziehen ist.10 In den meisten Fällen wird diesbezüglich davon ausgegangen, dass die Zufallsvariable X normalverteilt ist11. Der VaR[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zum Konfidenzniveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entspricht in diesem Fall gerade dem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Quantil der Verteilung potentieller Verluste12. Ein Vorteil der Nutzung des VaR als Risikomaß ist die flexible Anwendbarkeit auf unterschiedliche Bereiche. So können beispielsweise VaR ´ s unterschiedlich gestalteter Portfolios, aufgrund der einheitlichen Risikoquanti­ fizierung, leichter verglichen werden. Dies kann zur Erstellung von Ratingtabellen herangezogen werden, indem man das Konfidenzniveau in direkten Zusammenhnag mit einer Ratingnote setzt13. Unflexibel ist der VaR jedoch bei der Berechnung des Portfoliorisikos. Aufgrund der Nicht-Additivität lassen sich komplexe Portfolios nur im Gesamten berechnen, da der Portfolio- VaR nicht der Summe der VaRs ´ der ein­ zelnen Bestandteile entspricht14. Einen Zusammenhang zu anderen Risikomaßen stellt Rau-Bredow (2002) her. Geht man von einer Normalverteilung aus, so ent­ spricht der VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einem Vielfachen der Standardabweichung. Rau-Bredow stellt hierbei das Beispiel des VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu einem gegebenem Konfidenzniveau von 99% her­ aus, bei dem der VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Standardabweichung von 2,33 entspricht. Besonders be­ tont Rau-Bredow die Tatsache, dass dieser Zusammenhang nicht nur für die Normal­ verteilung sondern im Allgemeinen für alle elliptischen Verteilungen gültig ist15.

2.4 Conditional Value at Risk

Mit Hilfe des VaR kann unter bestimmten Annahmen das Verlustrisiko zu einem be­ stimmten Niveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eingegrenzt werden. Mit welchem Verlust jedoch zu rechnen ist, wenn der VaR überschritten wird, kann das Risikomaß des VaR nicht sagen. Um diesen Faktor in die Risikomessung mit einzubeziehen, wird das Modell auf den „Conditional Value at Risk“ (CVaR) erweitert. Der CVaR berücksichtigt die mittlere Höhe aller VaRs, die sich bei einem höheren Konfidenzniveau als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten16

Folgt man der Interpretation von Albrecht/Koryciorz so lässt sich folgender Zusammenhang zwischen den Maßen VaR und CVaR herstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten17

Interpretieren kann man diesen Zusammenhang folgendermaßen: Der CVaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] setzt sich aus dem begrenzten Maximalverlust VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu gegebenem Niveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und dem Erwartungswert aus der Differenz des Verlustes und des bereits berücksichtigten Teilverlustes VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle Zufallsvariablen X, die mindestens so groß sind wie VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]zusammen. Einen entscheidenden Vorteil des CVaR stellt die Möglich­ keit der Vereinfachung dar. So kann der CVaR in einfacher Form als Minimierungs­ funktion dargestellt und leicht für Optimierungsprobleme herangezogen werden, ohne dass wesentliche Merkmale wie beispielsweise das Merkmal der Konvexität verloren gehen18.

2.5 Expected Shortfall

Als „Expected Shortfall“ (ES) wird der Erwartungswert des Verlustes bei Un­ terschreiten einer bestimmten Zielgröße bezeichnet. Gehen wir von einer stetigen Verlustfunktion aus, so ergibt sich der Expected Shortfall bei Überschreiten der vor­ her durch das Konfidenzniveau bestimmten Verlusthöhe VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Mittelwert der möglichen Verluste.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten19

Im Gegensatz zu Risikomaßen wie dem VaR, TCE oder auch WCE bietet der ES den Vorteil, besonders bei der Annahme einer diskreten Verteilung, auf geringfügige

Änderungen des Konfidenzniveaus [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nicht mit starken Schwankungen zu reagieren, was man auch als Stetigkeit hinsichtlich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnen kann. Der ES deckt sich mit dem CVaR im Falle, dass die zugrunde liegende Verteilungsfunktion eine Dichte besitzt20.

2.6 Tail Mean

Der „Tail Mean“ (TM) stellt für ein gegebenes Konfidenzniveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den erwarteten Verlust innerhalb des [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -Quantils dar21. Diese Definition lässt die Aussage zu, einen Zusammenhang zwischen ES und TM in der Form herzustellen, dass Tail Mean dem negativen Wert des ES entspricht22.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.7 Tail Conditional Expectation

Als „Tail Conditional Expectation“ (TCE) bezeichnet für eine stetigen Verteilungs­ funktion den Erwartungswert des Verlustes, falls ein vorgegebenes Ziel z unterbzw. überschritten wird. Allgemein gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten23

Als Spezialfall ergibt sich aus Formel 10 der CVaR, sofern angenommen wird, dass z = VaR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist24. Für eine stetige Funktion entspricht die TCE sowohl dem CVaR als auch dem ES25.

2.8 Worst Conditional Expectation

Der „Worst Conditional Expectation“ (WCE) kann als eine Form des TCE betrachtet werden. Der Unterschied besteht jedoch darin, dass der betrachtete Bereich der Zu­ fallsvariablen X für bestimmte Betrachtungen vordefiniert ist. Diese Betrachtungen

können sich auf Worst-Case-Szenarien beziehen, die den Erwarteten Verlust in Abhängigkeit des angenommen Ereignisses und des Konfidenzniveaus[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wieder­ geben26. Mathematisch gesehen bedeutet dies, dass die Zufallsvariable X Element der Menge A ist und die Wahrscheinlichkeit für das eintreten des Ereignisses, das durch die Menge A beschrieben wird, größer dem Konfidenzniveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten27

Wird eine stetige Verteilung angenommen, so weist Acerbi nach, dass sich unter be­ stimmten Voraussetzungen der Zusammenhang [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nachweisen lässt28. Die sinnvolle Verwendung dieses Risikomaßes beschränkt sich jedoch hauptsächlich auf die theoretische Anwendung, da zur Benutzung der WCE alle zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten bekannt sein müssen.

2.9 Lower Partial Moments

Die Lower Partial Moments (LPM) stellen eine Klasse von Risikomaßen dar, die sich alle auf ein Basiskonstrukt zurückführen lassen. Formal lässt sich die Klasse der LPM der Ordnung k [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgendermaßen beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Bestimmung eines Risikomaßes der Klasse der LPM k ist das Festlegen einer Schranke z als Referenzwert notwendig. Im Allgemeinen messen alle LPM vom Grad k die Unterschreitung der Referenzgröße. Betrachtet werden aus Gründen der guten Interpretierbarkeit für gewöhnlich die entstehenden Risikomaße für

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für k =0 ergibt sich als LPM 0 die sogenannte Shortfallwahrscheinlichkeit (SW):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei wird die Wahrscheinlich gemessen, den Referenwert z zu unterschreiten. Dies könnte z.B. für z = Break Even bedeuten, dass ein Verlust größer Null

[...]


1 Vgl. Artzner et al. (1998), Seite 4 f

2 Bamberg/Bauer (2002), Seite 122

3 Quelle: Bamberg/Bauer (2002), Seite 122

4 Quelle: Bamberg/Bauer (2002), Seite 122

5 Quelle: Bamberg/Bauer (2002), Seite 122

6 Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 108

7 Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 92

8 Vgl. Dalrup (2005), Seite 15

9 Quelle: Balbás et al. (2002), Seite 2

10 Siehe z.B. Artzner et al. (1998), Seite 13 oder Acerbi et al. (2001), Seite 3

11 Anderer Meinung: Rockafellar/Uryasev (2002), Seite 1444

12 Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 115

13 Vgl. Acerbi/Tasche (2001), Seite 1

14 Vgl. Acerbi et al. (2001), Seite 2 ff

15 Vgl. Rau-Bredow (2002), Seite 2

16 Quelle: Tasche (2002a), Seite 21 Kapitel 2-9

17 Quelle: Albrecht/Koryciorz (2003), Seite 2

18 Vgl. Rockafellar/Uryasev (2002), Seite 1444

19 Vgl. Frey/McNeil (2002), Seite 1320

20 Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 10

21 Vgl. Acerbi et al. (2001), Seite 8

22 Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 2

23 Quelle: Acerbi/Tasche (2002), Seite 12

24 Vgl. Albrecht/Koryciorz (2003), Seite 2

25 Vgl. Balbás et al. (2002), Seite 20

26 Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 117

27 Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 4

28 Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 13

Ende der Leseprobe aus 27 Seiten

Details

Titel
Risikomaße und Kohärenzeigenschaften
Hochschule
Universität Augsburg  (Lehrstuhl für Finanz- und Bankwirtschaft)
Veranstaltung
Hauptseminar
Note
1,3
Autor
Jahr
2006
Seiten
27
Katalognummer
V55837
ISBN (eBook)
9783638506908
ISBN (Buch)
9783638664141
Dateigröße
558 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Risikomaße, Kohärenzeigenschaften, Hauptseminar
Arbeit zitieren
Jan Ajster (Autor:in), 2006, Risikomaße und Kohärenzeigenschaften, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/55837

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