Wie kommt man auf die Kreiszahl Pi?

Gliederung

I. Einleitung

II. Das Verfahren nach Archimedes

III. Monte Carlo-Verfahren

IV. Gitterpunktverfahren

V. Treppenverfahren

VI. Unendliche Produkte

VII. Unendliche Summen

VIII. Fazit

IX. Quellenangaben

I. Einleitung

Täglich beschäftigen wir uns mit der mathematischen Konstante Pi, sei es bei der Körperberechnung oder bei Algorithmen, wir sehen es unmittelbar auf unserem Taschenrechner. Doch wir haben uns nie gefragt, wie man auf die Zahl 3,14 kommt. Deswegen werde ich hier einige Methoden zeigen, wie man sich auf die Kreiszahl Pi annähert. Unter anderem werde ich das berühmte Verfahren nach Archimedes vorstellen. Hierzu wird die Vorgehensweise und deren Bedeutung erläutert. Außerdem werde ich das Monte Carlo-Verfahren, welches auf Zufallsexperimente und auf Algorithmen basiert, aufzeigen. Des Weiteren werde ich geometrische Verfahren, das Gitterpunktverfahren und das Treppenverfahren, präsentieren. Dies sind einfache Herleitungen der Kreiszahl, die sehr exakte Werte übermitteln. Anschließend werde ich das Verfahren der unendlichen Summen und der unendlichen Produkte näher legen. In dieser Facharbeit sind sehr Anspruchsvolle sowie unkomplizierte Herleitungen über die Kreiszahl Pi vorhanden, die ich versuchen werde, so gut wie möglich wiederzugeben.

Was versteht man unter der Kreiszahl Pi?

Die Kreiszahl Pi ist ein griechischer Buchstabe mit dem Zeichen π und steht für die Zahl 3,1415926... . Pi ist das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser oder der Fläche eines Kreises mit dem Radius 1.

„Der Umfang eines Kreises ist ungefähr 3,14 also „π" mal größer als der Durchmesser vom Kreis."¹. Außerdem kann man mit Pi den Umfang, beziehungsweise die Fläche eines Kreises, berechnen.

II. Das Verfahren nach Archimedes

Der große Mathematiker Archimedes von Syrakus (287-212 v.C.) war der Begründer der π-Numerik. Er nährte sich durch eine damals unbekannte Methode an die Zahl π, welche zwischen 3,1408... und 3,1428 liegt. Hiermit legte er einen „säkularen Meilenstein“ in die Geschichte der Mathematik und gilt somit als der bedeutendster Mathematiker seiner Zeit.².

Die Approximation liegt erstaunlich auf zwei Nachkommastellen genau, doch die Basis der erfolgreichen Näherung geht aus seiner geschickten Berechnungsmethode hervor.

Durch die Verdoppelung der Ecken der Polygone erhielt er als Resultat eine aufsteigende Folge an Umfängen p6 bis p96. Im Gegenzug dazu sind die absteigenden Polygone mit P6 bis P96 benannt. Die Polygone mit den höchsten Ecken nahmen dabei eine immer ähnlichere Kreisform an, sie liefen also auf den Wert π * d zu.3 Diese Zusammensetzung ist in Abbildung 1 dargestellt.

Folgende Beziehungen wurden aus seinen eingezeichneten Polygonen aufgestellt:

Die Gleichungen stellte er folgendermaßen auf: Er startete mit dem Polygon, welches aus sechs Ecken besteht. Hierfür setzte er drei mal den Durchmesser für den aufsteigenden Umfang ein (p6=3d). Für den absteigenden Umfang benutzte er die Gleichung:. Um das Polygon mit den doppelten Ecken, also P12, zu erhalten, setzte er den aufsteigenden Umfang in die Ausgangsgleichung ein und berechnete sich somit den absteigenden Umfang. Umgekehrt berechnete er sich den aufsteigenden Umfang. Diese Schritte wiederholte er so lange, bis er P96 und p96 erhielt. Daraus resultierte Folgende Zusammensetzung:

Hierbei benutze er die äußeren Werte als „Abschluss-Näherungen" und die inneren berechnete er sich aus seiner Rechnung. An dieser Stelle ist anzudeuten, dass Archimedes die Umfangsformeln nur mit Brüchen, statt mit Dezimalzahlen, berechnete³.

Archimedes benutzte die Intervallschachtelung. Er bestimmte die Wurzel aus einer Zahl mit Hilfe von Intervalleinteilung, diese jedoch in zwei ineinander geschachtelt. Er nahm die Zahl π und zwängte zwischen die Umfänge der ein- und umbeschriebenen Polygone und die innere darin, für jede Quadratwurzel benutze er ein Intervall, der innerhalb dessen Wert lag. Archimedes nahm: die Schranken 265/153=1,7320512 und 1351/780=1,7320512.

Infolgedessen führte er die Rechnung der unteren Schranke aus. Anschließend dazu die Rechnung mit der oberen Schranke⁴.

Abbildung 2: Ausschnitt des Einheitskreises mit einem Polygon

In Abbildung 2 sieht man den Einheitskreis als Ausgangslage mit jeweils 6-Ecken die benannt sind mit C,D,E,F,G und H. A sei der Berührungspunkt einer Tangente, O der Mittelpunkt. Ausschnitt des Einheitskreises mit einem Polygon

1. Phase

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Werner Scholz, Die Geschichte der Approximationen der Zahl Pi, 2011, http://www.cwscholz.net/projects/fba

Dann setzen wir ein⁵:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als letztes lassen wir und halbieren den Winkel AOF , sodass sich in G trifft⁶.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Phase

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus resultiert: Jetzt halbiert man den Winkel BAC und trifft an einem Punkt im Kreisumfang. Dies ist der Punkt D. Aus Abbildung 3 kann man entnehmen, dass folgende Beziehungen gelten: BAD=SAC=SBD. Die Winkel bei C und D sind gleich. Es folgt, dass das Dreieck ADB, ACS und BDS gleich sind⁷.

Dem Einheitskreis mit dem Mittelpunkt O wird ein Sechseck eingeschrieben, dessen drei Eckpunkte A, B und C auf dem Halbkreis liegen⁸.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3:Winkelbeziehungen der Polygone mit dem Einheitskreis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Westdeutscher Rundfunk Köln, Zahl Pi oder "π",2016, http://www.wdr.de/tv/wissenmachtah/bibliothek/pi.php5

² Arndt, Haenel, Pi Algorithmen, Computer, Arithmetik, S.117

³ Arndt, Haenel, Pi Algorithmen, Computer, Arithmetik, S.118

⁴ Vgl. Arndt S.119

⁵ Berggren, Borwein, Borwein: Pi: A Source Book, S.94

⁶ Vgl. S.97

⁷ Berggren, Borwein, Borwein: Pi: A Source Book, S.96

⁸ Vgl S.97