Spline-Interpolation. Wie kann ein Achterbahnschienenverlauf mit Hilfe von kubischen Splines beschrieben werden?

Inhaltsverzeichnis

1. Motivation und Einführung

2. Mathematische Modelle
2.1 Approximation
2.2 Interpolation
2.2.1 Polynominterpolation
2.2.2 Spline-Interpolation

3. Splinefunktionen
3.1 Allgemeine Definition
3.2 Splines ersten Grades
3.3 Splines zweiten Grades
3.4 Splines dritten Grades

4. Lösung des Problems

5. Anwendungsbereiche

6. Ausblick

Literaturverzeichnis

1. MotivationundEinführung

Die numerische Mathematik ist heutzutage ein unverzichtbares Gebiet, das sich mit der Entwicklung von Algorithmen für verschiedenste mathematische Probleme befasst. Ein wichtiger Teilbereich beschäftigt sich mit der Ermitt­lung einer stetigen Funktion zu gegebenen Datenpunkten, wie sie sich aus Messungen oder technischen Anwendungen ergeben können. In der Schule sprechen wir anschaulich von „Steckbriefaufgaben“: Gesucht wird meistens eine stetige Funktion, die zu einer Problemstellung passt.

Mit dieser Facharbeit soll beispielhaft der mathematische Hintergrund derarti­ger Methoden gezeigt werden. Welche Funktion passt am besten, um ein Problem mathematisch zu beschreiben? Nicht selten - und das wird im Fol­genden deutlich werden - gibt es mehrere Möglichkeiten, die sich in ihrer Genauigkeit und im Rechenaufwand unterscheiden.

Mögliche Gründe für ein mathematisches Problem sind:

- Man hat den Fall, dass eine vorhandene Funktion f (x) zum Rechnen so ungeeignet ist, dass eine neue und einfache Funktion den Verlauf von f (x) annähernd beschreiben soll.
- Eine weitere Problemstellung könnte sein, dass eine endliche Menge von Punkten (| yj, ...,(xn+, | yn+1) vorliegt und mit Hilfe einer pas­senden Funktion für alle weiteren Argumente x , passende Funktions­werte ermittelt werden sollen.1

Dies ist z.B. bei der mathematischen Modellierung von Verläufen der Fall. Das zentrale Ziel dieser Facharbeit soll die möglichst genaue Modellierung eines Achterbahnschienenverlaufes durch eine stetige Funktion sein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Die zentrale Frage, dieser Facharbeit ist: Durch welches mathematische Modell lässt sich dieser Achterbahnschienenverlaufmöglichst genau beschreiben? Die Achterbahn wurde von mir mit Hilfe eines Computerspiels gebaut.

2. Mathematische Modelle

In diesem Kapitel sollen die Möglichkeiten aufgeführt werden, mit denen eine vorliegende Datentabelle () durch ein Polynom f (x)=axn+bxn~1... ange­nähert werden kann.

2.1 Approximation

Bei der Approximation wird diese Funktion so bestimmt, dass die Differenz zwischen den Werten der gesuchten Funktion f (x) und denen der Datenta­belle möglichst gering wird. Dabei müssen die Datenpunkte jedoch nicht genau getroffen werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieses Verfahren eignet sich sehr gut, wenn eine eine große Menge an Da­tenpunkten vorhanden ist und die gesuchte Funktion in die „Datenwolke“ ge­legt werden soll. Dies ist oft bei empirischen Messungen der Fall, da dort Messfehler auftreten und jeder einzelne Datenpunkt (Messwert) nur eine An­näherung an den „wahren Wert“ darstellt.

Für meine Problemstellung, einen Achterbahnschienenverlauf mit einer Funk­tion zu beschreiben, eignet sich dieses Verfahren nicht, da die Datenpunkte genau getroffen werden müssen.

2.2 Interpolation

Die Interpolation fordert, dass die Stützpunkte von der gesuchten Funktion genau getroffen werden. Auch hier gibt es unterschiedliche Verfahren, von denen sich die folgenden zwei zur Lösung meines Problems anbieten.

2.2.1 Polynominterpolation

Das Verfahren der Polynominterpolation wird benutzt, um ein Polynom zu be­stimmen, welches exakt durch alle gegebenen Stützpunkte läuft. Dabei ist der Grad des Polynoms n , wenn die Zahl der Stützpunkte n+1 beträgt. Dieses Verfahren hat den Nachteil, dass das Interpolationspolynom einen sehr hohen Grad besitzt und Ausschwingungen zwischen den Stützstellen auftreten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Annäherung des Achterbahnausschnittes durch ein Polynom. Die Polynomfunktion trifft zwar die Stützstellen der Achterbahn exakt, schwingt dazwischenjedoch sehr stark aus, sodass der Verlaufder Achterbahn nicht gut wiedergegeben wird.

Abbildung 2 zeigt ein Interpolationspolynom, das mit GeoGebra durch vor­gegebene Stützpunkte berechnet wurde. Auf die mathematische Herleitung der Polynom interpolation gehe ich in dieser Arbeit nicht ein, da dies nicht das Thema ist und das Maß einer Facharbeit überschreiten würde.

Vom Prinzip her berechnet man bei diesem Modell ein Polynom n -ten Gra­des, das durch n+1 Stützpunkte verlaufen muss. Denn ein Polynom n -ten Grades besitzt n+1 Koeffizienten, die mit n+1 Gleichungen bestimmt werden.

Wichtig ist nur, dass das Interpolationspolynom zwischen den Stützstellen so stark ausschwingt, dass der Verlauf der Achterbahn nicht gut wiedergegeben wird. Als mathematisches Modell für meine Problemstellung ist das Interpola­tionspolynom daher unbrauchbar.

2.2.2 Spline-Interpolation

Bei der Spline-Interpolation verabschiedet man sich von dem Gedanken, ein einzelnes Polynom mit hohem Grad durch die gegebenen Datenpunkte zu le­gen.3 Stattdessen verwendet man mehrere Polynome mit niedrigem Grad, sodass jeweils ein Polynom zwischen zwei Datenpunkten definiert ist.

3. Splinefunktionen

Es gibt viele verschiedene Splines, die sich in ihrem Grad und auch in ihren Bedingungen unterscheiden. Einen kleinen Überblick zu den Unterschieden, aber auch zur Berechnung der Splines, soll dieses Kapitel liefern.

3.1 Allgemeine Definition

In der allgemeinen Definition sind Splines k -ten Grades Funktionen, die aus stückweise definierten Polynomen höchstens k -ten Grades zusammenge­setzt sind. Ein Spline erfüllt an seinen Stützpunkten, an denen zwei Polyno­me aufeinander treffen, bestimmte Bedingungen, die abhängig vom Anwen­dungsbereich sind. Zum Beispiel kann mit derartigen Bedingungen erzielt werden, dass der Spline k-1 stetig differenzierbar ist. Eine allgemeine Spli­nefunktion sieht folgendermaßen aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Splines ersten Grades

Das einfachste Verfahren ist die Verbindung der Stützpunkte mit Polynomen ersten Grades der Form (x) = mj-x+bj.

Solche Funktionen sind Geraden: Sie erlauben keine krummlinige Darstel­lung zwischen den Stützstellen und sind deshalb für die Modellierung einer Achterbahn (Abbildung 1) nicht geeignet.

3.3 Splines zweiten Grades

Splines zweiten Grades oder auch quadratische Splines bestehen aus stück­weise definierten Polynomen zweiten Grades (Parabeln) der Form f.(x)=ajx2+bjx+Cj. Es müssen also drei Koeffizienten a,b und c zur Bestim­mung eines Teilpolynoms berechnet werden. Da jedoch pro Teilpolynom nur zwei Punkte (die beiden Randpunkte) festgelegt sind, benötigt man eine zu­sätzliche Bedingung. Sie besteht in der Forderung, dass die Steigungen (1. Ableitungen) der beiden an einem Punkt aufeinander treffenden Parabeln gleich sein müssen.

Mit Parabeln, die in dieser Weise aneinandergesetzt werden, kann man zwar krummlinige Kurven mit knickfreien Übergängen modellieren, im Interpolati­onsbereich zwischen den Stützpunkten ist die Annäherung an den tatsächli­chen Kurvenverlaufjedoch meistens nicht genau genug.

3.4 Splines dritten Grades

Da die Splinefunktion nun auch das Krümmungsverhalten in den Stützpunk­ten angemessen modellieren soll, wenden wir uns den Splines dritten Grades zu. Diese werden als kubische Splines bezeichnet und bestehen aus Polyno­men dritten Grades.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dafür wird gefordert, dass die zweite Ableitung im Intervall [ a,b] stetig sein muss.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir haben also n Polynome, die den Grad k =3 haben und zweimal stetig dif­ferenzierbar sind. Da jedes Teilpolynom k+1 Koeffizienten besitzt, muss man bei den Splines dritten Grades 4n Koeffizienten bestimmen.

Den Forderungen entsprechend werden die allgemeinen Gleichungen aufge­stellt.

Jedes Teilpolynom muss an seiner linken Stützstelle den durch die y -Koor­dinate der Stützstelle gegebenen Wert haben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Bedingung ergibt n Gleichungen. Das Entsprechende gilt für den Wert an der rechten Stützstelle jedes einzelnen Polynoms:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Bedingung ergibt weitere n Gleichungen.

Als nächstes wird die Übereinstimmung der ersten Ableitung zweier benach­barter Polynome an den Stützstellen gefordert, um zu erreichen, dass die Teilfunktionen knickfrei aufeinander treffen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus ergeben sich n-1 Gleichungen. Außerdem wird die Übereinstimmung der Krümmung zweier benachbarter Polynome an den Stützstellen gefordert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dadurch erhält man weitere n-1 Gleichungen. Später werden alle Gleichun­gen in einer Matrix zusammengefasst; damit deren Einheitlichkeit erhalten bleibt, werden die Bedingungen für die Knick- und Krümmungsfreiheit jeweils noch umgeformt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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