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Eine mathematische Modellierung des Brettspiels Risiko

Wie können günstige Spielstrategien gefunden werden?

Seminararbeit 2012 23 Seiten

Mathematik - Angewandte Mathematik

Leseprobe

Inhalt

1 Einführung

2 Spielprinzip und zentrale Spielregeln

3 DerAngriff
3.1 Ablauf
3.2 MathematischeBetrachtung
3.2.1 Einstieg in die mathematische Betrachtung
3.2.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ereignis: „höchste Zahl bei ...Würfeln"
3.2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ereignis „zweithöchste Zahl bei... Würfeln"
3.2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ereignis „höchste und zweithöchste Zahl bei.. Würfeln"
3.2.5 Chancenverteilung beim Angriff
3.2.6 Wahrscheinlichkeitsverteilung nach mehreren Angriffen im Modus 3v2
3.3 WeitereAngriffsvarianten
3.3.1 MitEntscheidungdesVerteidigers: einoderzweiVerteidiger
3.3.2 Frühere Regel: 3v3

4 Exkurs:Länderverteilung

5 Spielstrategie

1 Einführung

„Risiko" ist seit Jahrzehnten ein Klassiker unter den Brettspielen. Es wurde von dem Filmregisseur Albert Lamorisse erfunden und ist bereits 1955 erstmals erschienen. Im Laufe der Zeit haben sich zahlreiche unterschiedliche Spielvarianten entwickelt, bei denen jedoch stets das Prinzip, so viele Länder wie möglich zu erobern, erhalten bleibt. „Risiko" wurde immer wieder wegen seiner kriegerisch-militärischen Ausrichtung kritisiert, was dazu führte, dass bestimmte Begrifflichkeiten verändert wurden. Beispielsweise werden in der heutigen Spielvariante Länder nicht mehr „erobert" sondern „befreit".

Wie bei zahlreichen anderen Spielen, treffen die Spieler auch bei Risiko viele Entscheidungen nach Gefühl, ohne zu wissen, ob die Entscheidung richtig ist oder vielleicht ein anderer Spielzug geschickter wäre. Im Rahmen des Seminars „Modellierung" wurden Fragen dieser Art auf den Grund gegangen. Zunächst wurden die wesentlichen Elemente und Spielzüge mathematisch abgebildet um anschließend auf dieser Basis Handlungsempfehlungen für bestimmte Spielsituationen geben zu können. Die vorliegende Arbeit fasst die Ansätze und Ergebnisse der mathematischen Betrachtung von „Risiko" zusammen.

2 Spielprinzip und zentrale Spielregeln

Das Spiel besteht aus einem Spielfeld, Armee-Figuren in sechs verschiedenen Farben, 42 Länderkarten, fünf Würfeln und einem Stapel Auftragskarten. Das Spielfeld zeigt eine Weltkarte und ist in 42, teils fiktive, Länder unterteilt, welche wiederum zu sechs Kontinenten gruppiert sind. Es können zwei bis sechs Spieler teilnehmen. Vor Beginn müssen sich die Mitspieler einigen, ob jeder das Ziel verfolgt die ganze Welt zu befreien oder jeder eine gezogene Auftragskarte erfüllt (z.B. Befreie die Kontinente Asien und Australien). Nun werden die 42 Länderkarten an die Mitspieler verteilt, die dann auf jedes erhaltene Land eine Armee setzen. Nach der Verteilung beginnt das eigentliche Spiel, bei dem die Spieler reihum immer einen dreigliedrigen Spielzug durchführen:

a) ErhaltenzusätzlicherArmeen

Zu Beginn jedes Spielzugs erhält derjeweilige Spieler zusätzliche Armeen. Die Anzahl richtet sich nach der Anzahl der Länder die sich in seinem Besitz befinden und berechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weitere Einheiten erhalten Spieler, die einen gesamten Kontinent besitzen. Die genaue Anzahl variiert je nach Größe des Kontinents und ist auf dem Spielfeld vermerkt. Die erhaltenen Armeen können beliebig auf die eigenen Länder verteilt werden.

b) Befreien von Ländern

Das Befreien von Ländern durch einen Angriff ist das wichtigste Element des Spiels und wird im Folgenden eingehend erläutert.

c) UmstellungvonArmeen

Am Ende des Spielzuges hat der Spieler noch die Möglichkeit Armeen umzugruppieren. Dabei dürfen aber nur Armeen, die am aktuellen Angriff nicht beteiligt waren, in ein benachbartes Land, das dem Spieler auch gehört, verschoben werden.

Die Reihenfolge ist zwingend einzuhalten, die Aktionen b) und c) müssen allerdings nicht durchgeführt werden. Wie im weiteren Verlauf noch herausgestellt wird, können insbesondere taktische Erwägungen für den Verzicht auf einen Angriff in bestimmten Spielsituationen sprechen.

3 Der Angriff 3.1 Ablauf

Es kann stets nur ein benachbartes Land angegriffen werden, bzw. über die Ozeane entlang der eingezeichneten Linien. Hat der Angreifer n Armeen in einem Land, kann er mit maximal n-1 Armeen angreifen, da immer eine Armee zum Sichern im Angriffsland verbleiben muss. Wir sprechen hier von n-1 „echten" Angreifern. In einem normalen Angriffszug greift der Angreifer mit drei Armeen an und der Verteidiger verteidigt mit zwei Armeen. In diesem Fall würfelt der Angreifer mit drei Würfeln und der Verteidiger mit zwei. Nach dem Wurf werden die Ergebnisse von Angreifer und Verteidiger jeweils der Größe nach sortiert. Anschließend werden der höchste und der zweithöchste Wurf beider verglichen. Bei höherer Augenzahl des Angreifers verliert der Verteidiger eine Armee, bei geringerer Augenzahl oder Gleichstand der Angreifer. Besitzt der Angreifer weniger als drei echte Angreifer, bzw. der Verteidiger weniger als zwei Verteidiger, wird die Würfelzahl des jeweiligen Spielers auf die Anzahl der verbliebenen Einheiten reduziert. Die Angriffshandlung wiederholt sich so lange, bis der Angreifer den Angriff abbricht, der Verteidiger keine Einheiten mehr besitzt oder der Angreifer nur noch eine Einheit, also null echte Angreifer, besitzt. Im ersten und letzten Fall ändert sich nichts an der Länderverteilung, im Fall des Sieges des Angreifers muss dieser mit den verbliebenen Angriffseinheiten in das befreite Land einmarschieren und kann, sofern er nicht mit allen Einheiten angegriffen hat, weitere aus dem angreifenden Land nachziehen. Das nachfolgende Beispiel verdeutlicht das Angriffsprinzip.

Bsp.: Der Angreifer A hat fünf Einheiten auf Südafrika, der Verteidiger V drei Einheiten auf Madagaskar. A greift mit allen vier „echten" Angreifern an. Demnach würfelt A mit drei Würfeln und V mit zwei.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Mathematische Betrachtung

3.2.1 Einstieg in die mathematische Betrachtung

Wie wahrscheinlich ist es einen Angriff zu gewinnen? Mit wie vielen Einheiten sollte ich Angreifen? Ist der Angreifer oder der Verteidiger im Vorteil? Diese Fragen stellen sich unter anderen, wenn man sich Gedanken über sinnvolle Spielstrategien macht. Die mathematischen Grundlagen für die Beantwortung derartiger Fragen sollen in diesem Abschnitt erläutert werden.

Da der Angriff grundsätzlich vom Würfeln bestimmt ist, ist der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsbegriff die Laplace-Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A berechnet sich danach wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Frage, wie wahrscheinlich es ist mit zwei/drei Würfeln eine 6 zu werfen dient der beispielhaften Veranschaulichung.

a) Wie wahrscheinlich ist es mit zwei Würfeln (mindestens) eine 6 zu werfen?

Die Wurfergebnisse (6;1), (6;2), (6;3), (6;4) und (6;5) müssen doppelt gezählt werden, da auch die umgekehrte Reihenfolge zum gewünschten Ergebnis führt, das Ergebnis (6,6) zählt einfach. Es ergeben sich also 5-2 + 1 = 11 günstige Wurfergebnisse. Insgesamt kann man mit zwei Würfeln 62=36 unterschiedliche Wurfergebnisse erhalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

b) Wie wahrscheinlich ist es mit drei Würfeln (mindestens) eine 6 zu werfen?

Hier bedarf es schon einer gewissen Systematisierung, um alle günstigen Ergebnisse zu erfassen. Zudem müssen auch hier wieder Vertauschungen in der Zählung berücksichtigt werden.

- Tripel mit drei unterschiedlichen Zahlen zählen sechsfach (3! = 6)
- Tripel mit zwei unterschiedlichen Zahlen zählen dreifach(^jj = 3)
- Tripel mit drei gleichen Zahlen zählen einfach

Die nachstehende Tabelle gibt einen Überblick über die günstigen Wurfergebnisse und die entsprechende Gewichtung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Wurfergebnisse mit mindestens einer 6

Insgesamt ergeben sich so 91 günstige bei 63=216 möglichen Ergebnissen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Entscheidend bei der Frage nach dem Gewinner beim ersten Vergleich eines Angriffs ist die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten höchsten Zahl bei einem Wurf mit zwei oder drei Würfeln. Analog zum oben angeführten Beispiel zur Zahl 6, lässt sich die Berechnung auch für alle anderen höchsten Zahlen eines Wurfes durchführen.

3.2.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ereignis: „Höchste Zahl bei ...Würfeln"

Fasst man die ersten Überlegungen des Ereignisses „Höchste Zahl" zusammen, ergibt sich grundsätzlich in beiden Fällen, sowohl beim Werfen von zwei als auch von drei Würfeln, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der mit steigender Augenzahl auch die Wahrscheinlichkeit zunimmt.

Wie bereits erwähnt resultiert diese Verteilung aus Laplace- Wahrscheinlichkeiten, einem Mittel aus der Kombinatorik. Hierbei sind mehrere grundlegende Voraussetzungen zu beachten. Bei einem derartigen Würfelspiel stellen zum Einen dieselben Wurfergebnisse keine unterscheidbaren Objekte dar. Zum Anderen wird an dieser Stelle eine geordnete Reihenfolge unterstellt, das besagt, die Reihenfolge der einzelnen Würfe wird beachtet, so sind beispielsweise die Ereignisse (1,2) und (2,1) zwei mögliche Ergebnisse für das Ereignis „Höchste Zahl ist die 2".

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Verteilung "Höchste Zahl bei...Würfeln"

Betrachtet man die in Abbildung 2 veranschaulichten Wahrscheinlichkeitsverteilungen für zwei und drei Würfel etwas genauer, lässt sich erkennen, dass bei den Augenzahlen 1 bis 4 die Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfeln größer ist, sich dies aber für die Augenzahlen 5 und 6 umkehrt. Dieser Sachverhalt ist auf die höhere Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten bei drei Würfeln zurückzuführen. Werden beispielsweise an dieser Stelle die Augenzahlen 2 und 6 zum Vergleich herangezogen, zeigt sich im Überblick, dass die Zahl 6 mit allen Zahlen, die Zahl 2 nur mit zwei Zahlen, nämlich mit 2 und 1, kombiniert werden kann, um jeweils die geforderte Zahl als höchste auftretende Zahl zu erhalten. Zudem muss noch hinzugefügt werden, dass aufgrund der Tatsache, dass die Reihenfolge beachtet wird, die Anzahl der Vertauschungen bei drei Würfeln viel größer ist. Somit ergibt sich beim Werfen von drei Würfeln eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 42,1% eine Sechs als höchste Zahl zu erhalten. Vergleichsweise liegt die Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfeln eine Sechs zu würfeln nur bei 30,5%.

Zusammengefasst zeigt sich an dieser Stelle schon, dass ein Angreifer mit drei Würfeln gegenüber einem Verteidiger, der nur höchstens zwei Würfel zur Verfügung hat, mit einer größeren Wahrscheinlichkeit eine hohe Augenzahl würfeln wird und man ihm somit eine Vorteil einräumen kann.

3.2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ereignis „Zweithöchste Zahl bei... Würfeln“

Der Angreifer im Spiel Risiko hat bei Betrachtung des Normalfalls bei seinem Angriff aber sogar immer die Möglichkeit zwei Armeen des Gegners gleichzeitig bei einem Wurf zu besiegen. Er würfelt also an dieser Stelle mit drei Würfeln und greift sozusagen mit den beiden höchsten geworfenen Augenzahlen an. Um nun seine Chancen bei diesem Angriffsspiel zu verdeutlichen, soll im Folgenden zunächst näher auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ereignisses „Zweithöchste Zahl bei... Würfeln" eingegangen werden.

Um diese Verteilung genauer erklären zu können, müssen weitere Überlegungen zu den bereits angesprochenen Möglichkeiten der Vertauschung, vor allem bei der Verwendung von drei Würfeln, angesprochen werden. Da die Reihenfolge der Wurfergebnisse beim Würfelspiel des Risikos beachtet wird, können zwei hier auftretende Fälle unterschieden werden.

Ausgangssituation bei der ersten Variante sind drei verschieden Augenzahlen beim Wurf. Nun soll nach allen Möglichkeiten gesucht werden diese drei Zahlen anzuordnen. Dies erfolgt nach dem Prinzip der Permutation, was bedeutet, dass die Anordnung einer Menge durch Vertauschung ihrer unterschiedlichen Elemente verändert wird. So können auf der ersten Position alle drei Zahlen auftreten, für die zweite Position bleiben nur noch die zwei zu diesem Zeitpunkt noch nicht aufgetretenen Zahlen übrig und auf der dritten und letzten Position dementsprechend nur noch eine Zahl. Es ergeben sich somit 3-2-1 = 3! = 6 Möglichkeiten der Anordnung. Anhand eines Beispiels kann dies anschaulich gezeigt werden. Angenommen es sollen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Es werden bei einem Angriff die Zahlen 6,3,1 geworfen" bestimmt werden. Zunächst einmal stellt sich die Frage, wie viele Kombinationsmöglichkeiten sind hierfür möglich? Auch durch Abzählen oder mithilfe eines Baumdiagrammes erhält man die Möglichkeiten (6,3,1) (6,1,3) (3,6,1) (3,1,6) (1,6,3) und (1,3,6), also insgesamt 6 mögliche Ergebnisse.

Bei der zweiten Variante, die auftreten kann und zu beachten ist, werden bei einem Wurf mit drei Würfel nur zwei verschieden Augenzahlen geworfen, sprich eine Zahl wird nun doppelt gewürfelt. Die hier zu erhaltenden Kombinationsmöglichkeiten sollen wiederum anhand eines Beispiels verdeutlicht werden, bei dem die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B: „Es werden bei einem Angriff die Zahlen 5,5,1 geworfen" bestimmt werden soll. Als mögliche Ergebnisse können die Kombinationen (5,5,1) (5,1,5) und (1,5,5) auftreten. In diesem Fall lassen sich die drei Möglichkeiten dadurch erklären, dass bei der Permutation die Wiederholung der Zahl 5 beachtet werden muss. Veranschaulicht bedeutet das, es sind nur zwei Elemente vorhanden, die an dieser Stelle vertauscht werden müssen. Die Vertauschungen der Zahl 5 untereinander führen zu keinen neuen Ergebnismöglichkeiten.

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Details

Seiten
23
Jahr
2012
ISBN (eBook)
9783346103888
ISBN (Buch)
9783346103895
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v512992
Institution / Hochschule
Universität Bayreuth
Note
1,7
Schlagworte
Risiko Modellierung Brettspiel Spiel Stochastik angewandte Mathematik Programm Strategie

Autor

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