Komplexe Zahlen. Definition und exemplarische Rechnungen

Résumé ou Introduction

Innerhalb der Erarbeitung dieser Hausarbeit wird die Erweiterung unserer gewohnten Zahlenräume um die Zahlenmenge ℂ eingeführt. Neben der eigentlichen Definition der komplexen Zahlen werden die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene und in der Polarform erläutert. Danach werden exemplarische Rechnungen vollzogen. Abschließend wird in Kürze die Riemannsche Zahlenkugel eingeführt. Zunächst werden jedoch einige historische Zusammenhänge skizziert, um weiter in das Thema einzuführen.

In der Renaissance versuchten Mathematiker wie beispielsweise Scipione del Ferro, Niccolo von Brescia und Girolamo Cardano Gleichungen dritten Grades zu lösen. Dabei wurde "in - zunächst verheimlichten - Nebenrechnungen mit der Wurzel aus -1" gerechnet, die dann im Endergebnis nicht mehr auftauchte. Rafael Bombelli knüpfte im 16. Jahrhundert an die Vorüberlegungen der Vordenker an und entwickelte -1 und - -1 als Vorzeichen. Der französische Mathematiker René Descartes bezeichnete in seinem 1637 erschienenen Werk zur Geometrie die Wurzeln aus negativen Zahlen als imaginäre Zahlen oder falsche Wurzeln. Sie blieben ihm und den nachfolgenden Mathematikern (auch Isaac Newton) noch lange Zeit suspekt.

Gauß hat 1797 den ersten einwandfreien Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra geliefert: "Jede Polynom-Gleichung n-ten Grades besitzt n (komplexe) Lösungen". Er übernahm erst später das Eulersche Symbol i, und 1831 führte er in seiner "Theorie der biquadratischen Reste" den Begriff der "komplexen Zahl" für einen Ausdruck der Form z=x+i y mit reellen Zahlen x und y ein. Neben Gauß und Euler ist es Hamilton zu verdanken, dass das Rechnen mit komplexen Zahlen möglich ist. Er war unzufrieden mit dem Zustand der Algebra zu seiner Zeit, in der mit negativen und imaginären Zahlen gerechnet wurde, weil das half, neue Ergebnisse zu finden, während es - nach Hamiltons Meinung - an jeder wissenschaftlichen Grundlage für ein solches Vorgehen fehlte.