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Value-at-Risk und Expected Shortfall zur Quantifizierung von Zinsrisiken

Ein exemplarischer Vergleich auf Basis der historischen Simulation

Bachelorarbeit 2019 72 Seiten

BWL - Investition und Finanzierung

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einführung

2 Das Zinsänderungsrisiko 2
2.1 Risikodefinition
2.2 Zinsänderungsrisiko im Marktrisikokontext
2.2.1 Determinanten des Zinsänderungsrisikos
2.2.2 Die Zinsstrukturkurve
2.2.2.1 Bedeutung der Zinsstrukturkurve
2.2.2.2 Konstruktion der Zinsstrukturkurve
2.2.2.3 Ausprägungen und Dynamik der Zinsstruk- turkurve

3 Quantifizierung von Risiken
3.1 Value-at-Risk
3.1.1 Geschichte des Value-at-Risk
3.1.2 Charakteristik des Value-at-Risk
3.1.3 Formale Definition des Value-at-Risk
3.1.4 Qualität des Value-at-Risk als Risikomaß
3.2 Expected Shortfall
3.2.1 Charakteristik des Expected Shortfall
3.2.2 Formale Definition des Expected Shortfall
3.2.3 Qualität des Expected Shortfall als Risikomaß
3.3 Prämissen zur Ermittlung von Value-at-Risk und Expected Shortfall

4 Die historische Simulation
4.1 Einordnung
4.2 Schwächen der historischen Simulation
4.3 Mehrtägige Haltedauern
4.4 Zehntagesrisikomaße auf Basis der historischen Simulation
4.4.1 Systematik
4.4.2 Cashflow-Analyse des Portfolios
4.4.3 Allokation der Zerobondzinssätze
4.4.4 Berechnung der Portfoliobarwerte
4.4.5 Simulation von Zehntagesdifferenzen
4.4.6 Errechnung der Risikomaße
4.4.6.1 Datenaufbereitung
4.4.6.2 Berechnung des Value-at-Risk
4.4.6.3 Berechnung des Expected Shortfall
4.4.6.4 Vergleich der Berechnungsergebnisse

5 Zusammenfassung

Anhang

Literaturverzeichnis

Stichwortverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einordnung des Zinsrisikos im Marktrisikokontext

2 Entwicklung der Zinsstrukturkurve

3 Ausprägungen der Zinsstrukturkurve

4 Dynamik der Zinsstrukturkurve

5 Value-at-Risk als α -Quantil der Wertveränderung

6 Tail-Risiken des Value-at-Risk

7 Expected Shortfall

8 Verfahren zur barwertigen Zinsrisikomessung

9 Zinsstrukturkurve (Svensson-Methode)

10 Histogramm der Barwertänderungen

Tabellenverzeichnis

1 Anleihen zur Extraktion von Nullkuponzinssätzen

2 Visualisierung der Cashflows

3 Umrechnung der Zerobondzinsen in Zerobond-Abzinsungs- faktoren

4 Das Portfolio

5 Zahlungsstromanalyse

6 Zinsdaten nach Svensson-Methode

7 Barwert des Portfolios

8 Portfoliobarwertdifferenzen

9 Simulation der Szenarien

10 Verlustreichste Szenarien zur Ermittlung des Expected Shortfall

11 Historische Nullkuponzinssätze nach Restlaufzeiten

12 Barwerte des Portfolios

13 Berechnung der Portfoliobarwertdifferenzen

14 Zur Berechnung der Risikomaße relevante Szenarien

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einführung

Der Erfolg des Value-at-Risk (VaR) als Methode zur Quantifizierung von Ri- siken ist insbesondere auf seine einfache Anwendbarkeit in der Praxis zu- rückzuführen. Spätestens seit seiner Implementierung in den „Basler Akkord“ (Basel I)1 ist diese Konzeption fester Bestandteil des Risikomanagements von Finanzinstituten.

Kritiken, dass der VaR sogenannte „Fat Tails“ ausblendet – also Risiken, die zwar nur mit geringer Wahrscheinlichkeit eintreten, aber in ihrer Intensität existenzgefährdende Dimensionen erreichen können – versucht das Modell des Expected Shortfall (ES) zu berücksichtigen. Die Finanzkrise 2008 ver- deutlichte das Ausmaß der Gefahren, die die Nichtberücksichtigung von Ex- tremrisiken nach sich zog.2 Vor diesem Hintergrund schlug die Europäische Bankenaufsicht 2013 vor, den VaR durch den ES zu ersetzen.3 Das Bestreben des Basler Komitees, Finanzinstitute zur Berücksichtigung von Extremszena- rien durch die Anwendung des ES zu bewegen, manifestiert sich in seinen Mindestkapitalanforderungen für Marktrisiken.4

Die simple Berechnung beider Risikomaße impliziert vielseitige Anwendungs- möglichkeiten. Insbesondere der VaR erfährt in der Praxis hohen Zuspruch bei der Quantifizierung von Markt-, Kredit-, Liquiditäts- und operationellen Risiken, während der ES als ausgereifte, möglicherweise sogar überlegene Alternative Einzug in das Risikomanagement von Unternehmen hält.

Diese Arbeit vergleicht die beiden populären Risikomaße VaR und ES bei der Quantifizierung des Zinsrisiko eines fiktiven Anleiheportfolios. Dazu wird im Kapitel 2 zunächst das Zinsrisiko definiert und auf seine Spezifik eingegan- gen. In diesem Zusammenhang wird die Bedeutung der Zinsstrukturkurve für die Bewertung eines Portfolios herausgestellt. In Kapitel 3 werden beide Ri- sikomaße charakterisiert sowie deren Stärken und Schwächen ausgearbeitet. Die Datenbasis für die sich anschließende Berechnung der Risikomaße liefert die historische Simulation, der sich Kapital 4 widmet. Auf dieser Grundlage werden die entsprechenden Risikomaße für das Beispielportfolio errechnet. Mit den gewonnenen Erkenntnissen wird in Kapital 5 ein abschließendes Fa- zit aus dem Vergleich der Risikomaße gezogen.

2 Das Zinsänderungsrisiko

2.1 Risikodefinition

Für den Risikoterminus existieren diverse Definition und Beschreibungen, die ursachen- bzw. wirkungsbezogen orientiert sind.5 Allgemein lässt sich Risiko als Streuung der Ergebnisse um einen Erwartungswert beschreiben.6

Abweichungen vom Referenzwert können positiver als auch negativer Natur sein. Diese Arbeit beschränkt sich auf negative Verfehlungen der Zielgröße, weil positive Abweichungen als Chance zu interpretieren sind.7

Können den Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden, liegt eine Risikosituation vor; sind Eintrittswahrscheinlichkeiten nicht determinierbar, befindet man sich in Unsicherheit.8

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Taxonomie der Finanzrisiken und Einordnung des Zinsänderungsrisikos9

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Zinsänderungsrisiken,10 denen insbe- sondere Finanzinstitute eine exponierte Bedeutung zuschreiben, weil sie ihr Geschäftsmodell maßgeblich beeinflussen. Das Management von Finanzrisi- ken umfasst die Kontrolle und Steuerung von Gefahren, die durch das Zu- sammenspiel mit dem Kapitalmarkt entstehen.11 Ziel dieser Aktivitäten sind neben der Sicherung des Unternehmensfortbestandes und -erfolges die Ver- meidung sogenannter Risikokosten.12

2.2 Zinsänderungsrisiko im Marktrisikokontext

2.2.1 Determinanten des Zinsänderungsrisikos

Schierenbeck et al. (2014)13 definieren das Zinsänderungsrisiko als Gefahr ne- gativer Entwicklungen des periodisierten Zinserfolgs oder barwertiger Zins- positionen. Das Zinsrisiko ist damit sowohl von der Bilanzstruktur eines Un- ternehmens als auch von den Veränderungen der Risikofaktoren abhängig, wobei bei Anleihen hierzu das Zinsniveau sowie bei nicht risikolosen Schuld- verschreibungen auch die sogenannten Credit Spreads zählen.14

Abweichend von anderen Marktrisiken wie dem Aktienpreis-, dem Währungs- kurs- oder dem Rohstoffpreisrisiko ist es deutlich anspruchsvoller, das Zinsri- siko zu quantifizieren und zu steuern.15 Ursächlich dafür sind diverse Zinssät- ze in verschiedenen Währungen, die zwar oft dazu tendieren, sich gleichge- richtet zu bewegen, aber nicht vollständig korreliert sind.16 Hinzukommt, dass Zinssätze von Laufzeiten der Geldanlagen bzw. Kreditaufnahmen abhängen. Niedrigere Zinsen bei kurzen Laufzeiten bzw. höhere Zinssätze im Langfrist- segment lassen sich mit der Liquiditätspräferenztheorie begründen.17

Die negative Differenz zwischen den Barwerten vor und nach einer Bewe- gung der Zinsstrukturkurve wird als barwertiges Zinsrisiko bezeichnet.18

Betz (2005)19 beschreibt folgende drei Einflussfaktoren, von denen bei An- leihen das Zinsrisiko abhängt:

1. Kupon: Anleihen, die mit einem höheren Kupon als vergleichbare Titel ausgestattet sind, reagieren weniger empfindlich auf Zinsänderungen. Damit begründet sich auch die höhere Volatilität von Nullkupon- ge- genüber Kuponanleihen.
2. Optionsrechte: Sind Anleihen mit Kündigungsrechten auf Seite der In- vestoren ausgestattet, ist bei steigenden Zinsen mit einer Ausübung des Optionsrechtes zu rechnen, weil der Anleger attraktivere Alternativen am Markt vorfindet. Für den Emittenten bedeutet diese Entwicklung ein Refinanzierungsrisiko, weil er seinen Kapitalbedarf nur zu höheren Konditionen decken kann. Im umgekehrten Fall steht dem Emittenten ein Kündigungsrecht zu, das er nutzen wird, sobald die Zinsen unter ein kritisches Niveau sinken. Für den Investor wird eine vergleichbare Anlagealternative nur zu einer niedrigeren Verzinsung möglich.
3. Restlaufzeit: Mit steigender Restlaufzeit einer Anleihe wächst die rela- tive Preissensitivität gegenüber Zinsänderungen. Bei gleichem Anstieg der Yield to Maturity (YTM) einer kurzfristigen und einer langfristigen, risikolosen Anleihe äußert sich dies in einem stärkeren Kursrückgang der Langfristanleihe gegenüber dem Kurzfristtitel.

Den zuletzt erwähnten Zusammenhang zwischen Laufzeit und entsprechen- dem Zinssatz stellen Zinsstrukturkurven dar, auf die im nächsten Abschnitt eingegangen wird.

2.2.2 Die Zinsstrukturkurve

2.2.2.1 Bedeutung der Zinsstrukturkur v e

Die aus dem Portfolio zufließenden Zahlungen in Form von Zinsen und der Kapitalrückzahlung sind auf den Bewertungszeitpunkt zu diskontieren, um mit Hilfe von Barwertdifferenzen die Auswirkungen von Zinsänderungen auf ein Anleiheportfolio quantifizieren zu können. Die dazu erforderlichen Zins- sätze sind aber nicht am Geld- und Kapitalmarkt ablesbar, sondern müssen aus gehandelten Wertpapieren extrahiert werden.20 Ergebnis dieses Prozesses ist die Zinsstrukturkurve.

Die Zinsstruktur wird als Beziehung zwischen Laufzeit und Zinssatz von Nullkuponanleihen ohne Kreditausfallrisiko definiert.21 Da die Anzahl von Nullkuponanleihen mit insignifikantem Bonitätsrisiko, entsprechenden Fris- tigkeiten und Laufzeiten am Rentenmarkt limitiert ist, lässt sich aus deren Preisen nur eine geringfügige Anzahl von Punkten isolieren, die in der Regel nicht ausreichend ist, um eine Zinsstrukturkurve mit kontinuierlichem Ver- lauf zu konstruieren. Die Bestimmung des Kurvenverlaufs wird dadurch er- schwert, dass Marktaktivitäten überwiegend auf Kuponanleihen beschränkt sind.

Die Lösung der Problematik wird anhand eines Beispiels erörtert, für das am Markt gehandelte Kuponanleihen mit jeweils jährlicher Zinszahlung herange- zogen werden, die über die folgende Ausstattungsmerkmale verfügen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Extraktion von Nullkuponzinssätzen aus vier Anleihen.

2.2.2.2 Konstruktion der Zinsstrukturkur v e

Charakteristisch für eine Nullkuponanleihe ist, dass nur zwei Zahlungszeit- punkte existieren, die Investition selbst als Zahlungsabfluss und der Rückfluss am Ende der Laufzeit. Periodische Zinszahlungen während der Laufzeit fin- den nicht statt. Diese Eigenschaft unterscheidet Nullkuponanleihen von Ku- ponanleihen wie sie in Tabelle 1 beispielhaft dargestellt wurden.

Wenn sich der Preis P für den Bonds b mit dem Nominalbetrag N aus den abgezinsten zukünftigen Cashflows C F ergibt, kann für jede Anleihe mit der Laufzeit m (mit m = 1, 2, ... M Jahren) eine Rendite r b errechnet werden:22

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Anleihe A würde sich folgender Wert ergeben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Rendite für Anleihe B errechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Während die Renditen für die Anleihen A und B noch analytisch berech- net werden können, sind für Laufzeiten länger als zwei Jahre nur iterative Lösungswege möglich.23 Abgesehen davon handelt es sich bei diesen anlei- hespezifischen Renditen um die Yield to Maturity, die unterstellt, dass die Anleihe bis zum Laufzeitende im Portfolio des Investors verbleibt und Zins- erträge zur selben Rendite reinvestiert werden.24 Die YTM ist also über die gesamte Laufzeit konstant, differiert aber zwischen den jeweiligen Anleihen.

Benötigt wird aber ein periodenspezifischer Zinssatz z, der universell zur Be- wertung sämtlicher Anleihen appliziert werden kann. Die Formel 1 auf Seite 5 ist daher wie folgt zu modifizieren:25

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Möglichkeit, die einzelnen Zinssätze aus dem Gleichungssystem zu ex- trahieren, bietet das Bootstrapping-Verfahren.26 Dazu ist zunächst eine Visua- lisierung der zu erwartenden Cashflows hilfreich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Zu erwartende Cashflows der Anleihen A bis D in den Jahren 1 bis 4

Unter Anwendung der nachstehenden Formel27 lassen sich die Zerobondzins- sätze der jeweiligen Periode isolieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Kalkulation des Zinssatzes z 1 für die erste Periode stimmt mit Berech- nung 2 auf Seite 5 überein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Zinssatz z 2 der zweiten Periode wird das Ergebnis für z 1 aus Berech- nung 6 herangezogen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der dritten Periode ist auf die Zinssätze z 1 und z 2 der vorangegangenen Perioden zurückzugreifen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Vollständigkeit halber sei auch die Kalkulation des vierten Zinssatz z 4

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die so errechneten Werte werden als Nullkuponzinssätze bezeichnet und sind exakt die für die Erstellung der Zinsstrukturkurve, die in Abbildung 2 visua- lisiert ist, erforderlichen Zinssätze. Mit ihnen ist eine direkte Transformation von beliebigen, in der Zukunft liegenden, ganzjährigen Zahlungen auf den heutigen Zeitpunkt möglich.28

Abbildung 2: Die Zinsstrukturkurve spiegelt den funktionalen Zusammenhang zwischen der Restlaufzeit einer Zahlung und der Höhe des zugehörigen Nullkuponzinssatzes wider, mit dem diese Zahlung auf den aktuellen Zeitpunkt diskontiert wird.29

Die anleihespezifischen Summen-Cashflows aus Tabelle 2 auf Seite 6 sind mit den zugehörigen, oben errechneten Zerobond-Zinssätzen (ZBZ) zu diskontie- ren oder mit periodenspezifischen Zerobond-Abzinsungsfaktoren (ZBAF)30 zu multiplizieren, um Barwerte künftiger Zahlungsströme zu ermitteln.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um zwischen ZBZ und ZBAF zu wechseln, stehen die folgenden allgemeinen Formeln zur Verfügung:31

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3: Umrechnung der Zerobondzinsen in Zerobond-Abzinsungsfaktoren

Derselbe Barwert ergibt sich bei Nutzung der ZBAF, wobei die Ergebnisab- weichung zwischen den Berechnungen 10 und 12 durch Rundungsdifferenzen zu erklären ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.2.3 Ausprägungen und Dynamik der Zinsstrukturkurve

Grundsätzlich lassen sich drei Formen der Zinsstrukturkurve unterscheiden. Am häufigsten sind normale Zinsstrukturkurven anzutreffen. Dass Zinssätze für längere Laufzeiten ansteigen, lässt sich mit der im Abschnitt 2.2.1 auf Sei- te 3 genannten Liquiditätspräferenz begründen.

In etwa einem Viertel der Beobachtungen zwischen den Jahren 1972 bis 2009 traten sogenannte flache Zinsstrukturkurven auf.32 Hierbei ist sowohl im kurz- fristigen Bereich als auch im Langfristsegment ein ähnliches Zinsniveau fest- zustellen.

Bei der dritten vorkommenden Struktur übersteigen die kurzfristigen Zinsen das langfristige Niveau. Dieses Phänomen wird als inverse Zinsstruktur be- zeichnet und ist dann anzutreffen, wenn Anleger langfristig sinkende Zinsen erwarten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Auspriigungen der Zinsstrukturkurve

Zinsstrukturkurven bewegen sich in Abhangigkeit vom Konjunkturverlaufund den Erwartungen der Geld- und Kapitalmarktteilnehmer.

Die am haufigsten vorkommende Modifikation ist die Parallelverschiebung (,Shift") des Zinsniveaus, bei der sich die Zinsen in allen Laufzeitbandern urn einen annahernd gleichen Betrag andern; bei einer Drehung der Zinskurve (,Twist") variiert deren Steigung, so dass sinkende bzw. steigende Zinsen im kurzfristigen Geldmarktsegment und gleichzeitig ein Anstieg bzw. Rtickgang der langfristigen Kapitalmarktzinsen zu beobachten sind.33 Zinsschwankun­ gen nur im mittleren Zinssegment sind auf veranderte Volatilitatserwartungen des Marktes oder Ungleichgewichte zwischen Angebot und Nachfrage zu­ rtickzuftihren und resultieren in einer buckligen Zinsstrukturkurve ( ,Hump" ) , bei der sich der mittlere Teil unter bzw. tiber das an den Randern der Struk­ turkurve beobachtete Zinsniveau bewegt.34

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Dynamik der Zinsstrukturkurve

Aus der Zinsstrukturkurve konnen Signale fUr bevorstehende Anderungen von Zinssatzen oder Inftationsraten abgelesen werden.35

Die Dynamik der Zinsstrukturkurve stellt einen wesentlichen Risikofaktor in­ nerhalb eines Anleiheportfolios dar. Im Folgekapitel werden zwei Instrumente charakterisiert, mit denen eine Kalkulation des Risikos realisiert werden kann.

3 Quantifizierung von Risiken

3.1 Value-at-Risk

3.1.1 Geschichte des Value-at-Risk

Der Ursprung des Value-at-Risk reicht bis in die 1920er Jahre zurück und basiert auf den Anfängen der Portfoliotheorie sowie ersten Mindestkapitalan- forderungen der New York Stock Exchange.36 Harry M. Markowitz veröffent- lichte 1959 Kalkulationsmethoden,37 deren Anwendbarkeit in der Praxis aber zunächst am hohen Rechenaufwand scheiterte, dem damals zur Verfügung stehende Computer nicht gewachsen waren.38 Der technische Fortschritt und die wachsende Volatilität der Märkte forcierten die Entwicklung anspruchs- vollerer Methoden zur VaR-Ermittlung; die Verfügbarkeit und Verarbeitbar- keit großer historischer Datenbestände stützte diesen Trend.39

Bis in die 1980er Jahre kursierten Bezeichnungen wie „Dollar at Risk“, „Ca- pital at Risk“ (CaR), „Income at Risk“ (IaR) oder „Earnings at Risk“ (EaR).40 Den eigentlichen Begriff „Value-at-Risk“ etablierte Till Guldimann, damals verantwortlich für das Ressort Global Research der US-amerikanische Invest- mentbank J. P. Morgan.41 Er ersetzte 1990 die lange Zeit aufwändig erstellten Risikoberichte durch den täglichen „4:15 PM“-VaR-Report an den damaligen CEO Sir Dennis Weatherstone.42

Guldimann präsentierte die von ihm maßgeblich mitentwickelte Konzeption 1993 im Rahmen einer Konferenz institutionellen Investoren und stieß auf breites Interesse. Dem Wunsch ihrer Klienten, die notwendige Kovarianzma- trix zu veröffentlichen, entsprach die Bank, indem sie RiskMetricsTM entwi- ckelte und 1994 ihren Kunden damit ermöglichte, das VaR-Modell in eigene Systeme zu implementieren.43

3.1.2 Charakteristik des Value-at-Risk

„How bad can things get?“

John C. Hull44

Die Bedeutung des Value-at-Risk liegt in seinem Potenzial, mögliche nega- tive Wertänderungen eines Portfolios in einer einzigen, leicht verständlichen Zahl zu quantifizieren.45 Das Risiko kann also unmittelbar in Geldeinheiten abgebildet werden und ist somit auch für den Nichtfachmann leicht nachvoll- ziehbar.46 Neben der Ermittlung des absoluten VaR ist ebenso eine Relation zu einem Referenzwert wie z. B. dem Erwartungswert der Verteilung oder einem maximalen Wert zulässig.47 Die Volatilität des Portfoliowertes wird dabei von variablen Marktparametern bestimmt.48 Zu diesen Marktrisikofaktoren zählen z. B. Rohstoffpreise, Aktien- und Wechselkurse oder Marktzinssätze.

In der Literatur wird der VaR als maximaler Verlust beschrieben, der über einen festen Zeithorizont innerhalb eines vorgegebenen Konfidenzintervalls nicht überschritten wird.49

Das Vorzeichen des VaR wie auch die Notation des Konfidenzniveaus sind davon abhängig, ob die Variable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung kon- struiert wird, ausschließlich Verluste, die dann über ein positives Vorzeichen verfügen, oder Gewinne und Verluste symbolisiert, wobei Verluste in dieser Konstellation mit einem negativen Vorzeichen markiert sind.50 In dieser Ar- beit wird die zweite Variante übernommen.51

Basierend auf der oben genannten Interpretation lassen sich für den Value- at-Risk folgende äquivalente Deskriptionen formulieren:

1. Der VaR ist die Verlustgrenze des Portfolios, die innerhalb eines Zeit- raumes nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit α überschritten werden kann.52
2. Der Verlust wird den VaR innerhalb der vorgegebenen Haltedauer mit einer Wahrscheinlichkeit α übersteigen.53

Die Definition weist darauf hin, dass der VaR auf das Verlustrisiko fokus- siert.54 Auch Jorion (2007)55 stellt heraus, dass es sich beim VaR um ein so- genanntes Downside-Risikomaß handelt.

3.1.3 Formale Definition des Value-at-Risk

In Anlehnung an die Ausführungen von Völker (2001)56 und die in diesem Abschnitt übernommenen Notationen von Winter (2004)57 sowie Cremers (1999)58 ist der Value-at-Risk bei einem Konfidenzniveau 1 − α eine Ver- lustschranke, die nur mit einer Wahrscheinlichkeit von α überschritten wird. Für ein Finanzportfolio i mit einem Referenzwert V t, der den gegenwärtigen Markt- oder den Erwartungswert am Ende der Haltedauer h beschreibt, er- mittelt sich die Wertänderung am Ende des betrachteten Zeitraumes (t; t + h) aus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Verluste tragen in dieser Berechnung ein negatives Vorzeichen; Gewinne er- scheinen als positive Zahlen. Per definitionem treten Portfoliowertänderungen kleiner als der Value-at-Risk VaR h, (1 − α) nur mit einer Wahrscheinlichkeit p gleich α auf.59

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit entspricht der VaR dem α -Quantil der Verteilung F der Marktwertän- derungen. ∆ V h.60 Den Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion F und der Dichtefunktion f für eine stetige61 Zufallsvariable spiegelt nachste- hende Gleichung wider:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten62

Da Verteilungen von Wertveränderungen untersucht werden, deren α -Quantile negativ sind, ist eine Transformation in einen positiven Wert üblich. Völker (2001)63 arbeitet hierzu verschiedene mathematische Methoden heraus, wobei im Folgenden sein Vorschlag zur Multiplikation mit dem Faktor 1 übernom- men wird.

Der Value-at-Risk wird aus dem α -Quantil der Renditeverteilung abgeleitet.64 Das α -Quantil einer stetigen Verteilung ist die Wertänderung ∆ V h, für die gilt, dass die Größe der Fläche oberhalb der Abszisse und unterhalb der Dich- tefunktion f (x) von −∞ bis ∆ V h gerade α ist.65 Der VaR ist damit exakt die Wertänderung, bei der die Wahrscheinlichkeit für größere Verluste α und für kleinere 1 − α beträgt.66

Die nachstehende Abbildung 5 verdeutlicht diese Zusammenhänge.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f.67

Auf der Ordinaten der oben dargestellten Verteilungsfunktion F (∆ V h) lässt sich die Wahrscheinlichkeit α ablesen, dass die Wertveränderung ∆ V h klei- ner ausfällt als das gewählte Argument. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht exakt der Fläche zwischen der darunter abgebildeten Dichtefunktion f (∆ V h) und der Abszisse im Intervall von −∞ bis zum jeweils gewählten Argument. Für ein vorgegebenes Konfidenzintervall 1 − α korrespondiert der Value-at- Risk mit dem entsprechenden α -Quantil der Dichtefunktion f (∆ V h). Die In- terdependenz resultiert daraus, dass die Dichtefunktion der ersten Ableitung der Verteilungsfunktion entspricht und sich vice versa die Verteilungsfunktion aus der Integration der Dichtefunktion ergibt.

3.1.4 Qualität des Value-at-Risk als Risikomaß

Die vielseitige Adaptabilität des VaR ist mit einigen Schwächen verbunden.

Wie in diesem Absatz dargestellt, argumentieren Artzner et al. (1999),68 dass das Risiko einer Position oder eines Portfolios in der Veränderlichkeit des Zu- kunftswertes liegt, der durch Marktveränderungen und andere Unsicherheiten beeinflusst wird. Die Entscheidung, ob ein Risiko zur Teilmenge der akzep- tablen Risken zählt oder nicht, treffen beispielsweise Regulierungsbehörden oder das Management eines Unternehmens. Ein Maßstab für die Akzeptanz des Risikos könnten die Kosten sein, um mit allgemein anerkannten Instru- menten ein akzeptables Risiko zu erreichen. Derartige Kosten drücken sich im Preis von Hedging-Instrumenten oder in zusätzlich vorzuhaltenden Eigen- kapitalreserven aus.

Zur Beurteilung der Qualität eines Risikomaßes proponieren Artzner et al. (1999)69 Axiome, die für jede Risikomessung mit dem Ziel der effektiven Regulierung oder Steuerung von Risiken gelten sollten. Entspricht ein Risi- komaß diesen vier Axiomen, wird es als kohärent bezeichnet:

a) Monotonie ρ (Y) ≤ ρ (X)70

Erfüllt ein Risikomaß das Axiom der Monotonie, so kann Y nicht ris- kanter sein als X, wenn ein Portfolio Y stets einen höheren Wert auf- weist als X.71 Dieses Axiom stellt die Vereinbarkeit des Risikomaßes mit der stochastischen Dominanz sicher.72

b) Translationsinvarianz ρ (X + γ · r f) = ρ (X) − γ

Erfüllt das Risikomaß das Axiom der Translationsinvarianz, so redu- ziert sich das Risiko um γ, wenn zum vorhandenen Portfolio ein zusätz- licher Betrag γ zu einer risikofreien Rendite r f investiert wird.73 Damit stützt dieses Axiom die Interpretation eines Risikomaßes als Mindest- kapitalbetrag, der zu investieren ist, um die Differenz zwischen einem akzeptablen und einem nicht akzeptablen Risiko zu kompensieren.74

c) Positive Homogenität ρ (λX) = λρ (X)

Das Axiom der positiven Homogenität unterstellt, dass für ein positi- ves λ -faches von X das entsprechende λ -fache des Sicherungskapitals ρ (X) benötigt wird, wenn für eine Auszahlung X ein Sicherungskapi- tal ρ (X) erforderlich ist.75 Das Risiko verändert sich also proportional zum positiven Faktor λ.

d) Subadditivität ρ (X 1 + X 2) = ρ (X 1) + ρ (X 2)

Die Subadditivität fordert für ein Risikomaß, dass das Risiko zweier Positionen ρ (X 1 + X 2) in einem Portfolio stets kleiner oder gleich der Summe der Einzelrisiken beider Positionen ρ (X 1) und ρ (X 2) ist. Hier wird der Diversifikationseffekt deutlich, der regelmäßig mit einer Risi- kosenkung verbunden ist, weil mit der Aufnahme einer einzelnen Posi- tion X 2 in ein Portfolio das Gesamtrisiko um maximal das Einzelrisiko ρ (X 2) ansteigen kann.76

Kremer (2018)77 weist nach, dass der VaR im Allgemeinen nicht subadditiv ist, weil er lediglich die drei Eigenschaften Monotonie, positive Homogenität und Translationsinvarianz besitzt. Er zählt daher nicht zu den kohärenten Ri- sikomaßen.

Die Schwachpunkte des Value-at-Risk wurden von Autoren wie Daníellson et al. (2001)78 oder Szegö (2005)79 ausgearbeitet. Erstere kritisieren die Ent- scheidung des Basler Komitees für die Anwendung des VaR zur Ermittlung der Kapitalanrechnung heftig und warnen vor einer Destabilisierung der Wirt- schaft und der Verursachung von Crashs:

1. Das VaR-Modell basiert auf der Annahme einer elliptischen Vertei- lung;80 Auswertungen zeigen aber, dass Marktrisiken über sogenannte ,heavy tails" verftigen, tiber deren Form der VaR aber keine Informa­ tionen liefert; diese Segmente jenseits der VaR-Grenze sind ftir die Ri­ sikoschatzungen aber von entscheidender Relevanz.81

[...]


1 Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (1996), S. 4

2 Weitere schwerwiegende Ereignisse schildert Jorion (2007), S. 36–42

3 Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2013), S. 3

4 Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2016), S. 1

5 Vgl. Doege (2013), S. 9; eine umfassende semantische Analyse des Risikobegriffs bietet Jonen (2007), S. 1–107

6 Vgl. Francis/Archer (1971), S. 28

7 Vgl. Eller/Heinrich (2010), S. 28

8 Vgl. Nguyen (2008), S. 7

9 Entworfen nach Mitschele (2009), S. 13; Stagl/Lauffer-Köpplinger (2004), S. 279

10 Die Begriffe Zinsrisiko und Zinsänderungsrisiko werden im weiteren Verlauf synonym verwendet.

11 Vgl. Stagl/Lauffer-Köpplinger (2004), S. 279

12 Vgl. Diederichs (2018), S. 12

13 Vgl. Schierenbeck/Lister/Kirmße (2014), S. 475

14 Vgl. Betz (2005), S. 5

15 Vgl. Kahlert (2008), S. 4

16 Vgl. Hull (2018), S. 185

17 Vgl. Hull (2018), S. 185

18 Vgl Wiedemann/Wiechers (2013), S. 56

19 Vgl. Betz (2005), S. 136–138

20 Vgl. Wiedemann (2018), S. 5–6

21 Vgl. auch für die folgenden Aussagen des Absatzes Schich (1997), S. 2

22 Vgl. Schich (1997), S. 4 f.; Notation in Anlehnung an Wiedemann (2018), S. 12 f.

23 r C = 1 , 706 % und r D = 2 % (Die Rendite r D ist wegen des Kurses von 100 % identisch mit dem Kupon von 2 %)

24 Vgl. Wiedemann (2018), S. 12

25 Vgl. Schich (1997), S. 4 f.

26 Vgl. Heidorn/Schäffler (2017), S. 49–53

27 Vgl. Odermann/Cremers (2013), S. 28

28 Vgl. Wiedemann (2018), S. 18

29 Vgl. Wiedemann (2018), S. 7

30 Diese können alternativ durch Duplikation der Zahlungsströme ermittelt werden; vgl. Wie- demann (2018), S. 60–64

31 Vgl. Hölscher (2010), S. 103

32 Vgl. Wiedemann (2018), S. 7

33 Vgl. Deutsch/Beinker (2014), S. 623

34 Vgl. Phoa (2000), S. 181

35 Vgl. Deutsche Bundesbank (1997), S. 61

36 Vgl. Holton (2002), S. 2

37 Vgl. Markowitz (1996)

38 Vgl. Holton (2002), S. 3

39 Vgl. Holton (2002), S. 25

40 Vgl. Holton (2002), S. 22

41 Vgl. Jorion (2007), S. 18

42 Vgl. Holton (2003), S. 18

43 Für diesen Absatz vgl. Holton (2003), S. 19

44 Vgl. Hull (2018), S. 274

45 Vgl. Jorion (2007), S. 105

46 Vgl. Rau-Bredow (2001), S. 315

47 Vgl. Völker (2001), S. 69

48 Vgl. Kahlert (2008), S. 14

49 Vgl. Jorion (2007), S. 17; Dowd (1998), S. 39

50 Vgl. Sarykalin/Serraino/Uryasev (2008), S. 272

51 Während z. B. Hull (2018), S. 271; Jorion (2007), S. 17; Sarykalin/Serraino/Uryasev (2008), S. 272 Verluste mit positivem Vorzeichen versehen und deshalb einen positiven VaR mit einem Konfidenzniveau α berechnen, nutzen z. B. Diederichs (2010), S. 166; Völker (2001), S. 69; Yamai/Yoshiba (2002), S. 2 den umgekehrten Weg und weisen einen negativen VaR mit einem Konfidenzniveau 1 − α im linken Teil der Verteilung aus.

52 Vgl. Cremers (1999), S. 1

53 Vgl. Boka (2018), S. 29

54 Vgl. Diederichs (2010), S. 175

55 Vgl. Jorion (2007), S. 20–21

56 Vgl. Völker (2001), S. 69–73

57 Vgl. Winter (2004), S. 289

58 Vgl. Cremers (1999), S. 1

59 Vgl. Cremers (1999), S. 1

60 Vgl. Yamai/Yoshiba (2002), S. 2

61 Einen Vergleich der Eigenschaften stetiger und diskreter Zufallsvariablen liefert Bärtl (2017), S. 121–134

62 Vgl. Winter (2004), S. 289

63 Vgl. Völker (2001), S. 71

64 Vgl. Cremers (1999), S. 1

65 Vgl. Meyer (1999), S. 26

66 Vgl. Meyer (1999), S. 27

67 Entworfen nach Yamai/Yoshiba (2002), S. 3 und Mittag (2017), S. 191

68 Vgl. zu diesem Abschnitt Artzner/Delbaen/Eber et al. (1999), S. 205–206

69 Vgl. Artzner/Delbaen/Eber et al. (1999), S. 204–211

70 Die Variable ρ steht hier für das einer Position inhärente Risiko.

71 Vgl. Denault (2001), S. 4

72 Vgl. Baule (2004), S. 21; Oehler/Unser (2002), S. 23

73 Vgl. Theiler (2002), S. 73 f.

74 Vgl. Artzner/Delbaen/Eber et al. (1999), S. 205

75 Vgl. Kremer (2018), S. 126

76 Vgl. Daldrup (2005), S. 10

77 Vgl. Kremer (2018), S. 129

78 Vgl. Daníelsson/Embrechts/Goodhart et al. (2001), S. 8–11

79 Vgl. Szegö (2005), S. 10–12

80 Die Normalverteilung gehört als Spezialfall zu den elliptischen Verteilungen. Vgl. Breu- er/Gürtler (2010), S. 144

81 Vgl. Danfelsson/Embrechts/Goodhart et al. (2001), S. 9

Details

Seiten
72
Jahr
2019
ISBN (eBook)
9783668990951
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v493141
Institution / Hochschule
FernUniversität Hagen – Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Bank- und Finanzwirtschaft
Note
2,0
Schlagworte
Zinsänderungsrisiko Zinsstrukturkurve Marktrisiko Value-at-Risk Expected Shortfall Haltedauer Historische Simulation Zerobondzinssätze Portfoliobarwert Risikomaß Tail-Risiko alpha-Quantil Svensson-Methode Zahlungsstromanalyse Nullkuponzinssätze Zerobond-Abzinsungsfaktoren

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Titel: Value-at-Risk und Expected Shortfall zur Quantifizierung von Zinsrisiken