Berechnung des Cross-Default Risikos der Landesregierungen in der Euro Zone

Inhaltsverzeichnis

Executive Summary

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Notationsverzeichnis

1 Einleitung

2 Das Modell
2.1 Das Black-Scholes-Merton-Modell
2.2 Das Modell Kreis/Leisen

3 Kalibrierung der Parameter
3.1 Kalibrierung der Parameter m und o
3.2 Kalibrierung der Schranke KM auf Basis des KMV-Ansatzes
3.3 Kalibrierung der Schranke KM auf Basis des Ratings

4 Krisenszenario und externer Schock
4.1 Krisenszenario
4.2 Direkte Effekte
4.3 Indirekte Effekte
4.4 Auswertung und Wurdigung

5 Fazit

6 Anhang

Literaturverzeichnis

Executive Summary

Ziel der vorliegenden Bachelorarbeit war es, die Auswirkungen eines externen finanziellen Schocks auf die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Landes aufzuzeigen. Die Betrachtung in der Analyse wird explizit auf zwei Staaten, hier Frankreich und Portugal, beschrankt.

Aufgrund der engen und weitreichenden Finanzbeziehungen zwischen den Euro-Landern kon- nen finanzielle Schwierigkeiten eines Landes ahnliche Auswirkungen in einem anderen hervor- rufen.

Auf Basis bereits vorhandener Modelle aus dem Bereich der Finanzmathematik zur Optionsbe- wertung und Kreditrisikomessung, speziell dem Black-Scholes-Merton-Modell, wird das in der Analyse verwendete Modell Kreis/Leisen hergeleitet.

Eine Abwandlung ermoglicht es, eine Betrachtung von Staaten vorzunehmen und deren Aus- fallwahrscheinlichkeit berechnen zu konnen.

Im Anschluss an eine umfangreiche Datenrecherche gilt es, dieses Material entsprechend auf- zubereiten. Im nachsten Schritt werden die darauf basierenden Parameter kalibriert, um diese in das Modell implementieren zu konnen. Aufgrund verschiedener Verfahren der Kalibrierung ergeben sich drei unterschiedliche Kombinationen und Ausfallwahrscheinlichkeiten.

Die Ergebnisse werden im Zuge der Analyse in tabellarischer Form dargestellt.

Die Prioritat liegt bei Betrachtung und Interpretation der Ergebnisse auf der Ausfallwahrschein­lichkeit.

Im Fall eines Ausfalls Frankreichs verschlechtern sich diese Wahrscheinlichkeiten, wenn auch gering, bei allen drei Varianten im Vergleich zur Ausgangssituation. Dank einer Unterteilung nach den Teilbereichen Staat und Banken konnen hier die Ursachen der Verschlechterung ge- nauestens nachvollzogen werden.

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Ausfallwahrscheinlichkeiten ohne externen Schock

Tabelle 2: Ausfallwahrscheinlichkeiten mit externem Schock (direkte Effekte)

Tabelle 3: Ausfallwahrscheinlichkeiten mit externem Schock (indirekte Effekte)

Tabelle 4: Ausfallwahrscheinlichkeiten mit externem Schock (Gesamtergebnis)

Tabelle 5: Haushaltsdaten Portugal 1999-2014

Tabelle 6: Zahlenmaterial kritische Schranke

Tabelle 7: Ratings und deren Ausfallwahrscheinlichkeiten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Schaubild Modell Kreis/Leisen

Notationsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Die Messung von Kreditrisiken und den dazugehorigen Ausfallwahrscheinlichkeiten ist in der Finanzmathematik seit jeher ein aktuelles Thema. Bedingt durch die Wirtschafts- und Finanz- krise 2008, standen und stehen drohende Ausfalle in Bezug auf Staaten, vor allem in der Euro Zone, standig im Fokus der Presse.

Das Szenario einer Staatspleite hat durch die finanziellen Verknupfungen der Lander weitrei- chende Folgen, wie es die Finanzkrise bereits offengelegt hat.

Die Hohe der Ausfallwahrscheinlichkeiten von Staaten und deren Veranderung hangt somit neben der eigenen Wirtschaftsleistung auch von den finanziellen Verbindungen zu anderen Staaten ab.

Um die Bedeutsamkeit und den Einfluss dieser Finanzbeziehungen herauszustellen, wird im Zuge dieser Bachelorarbeit ein Ausfall Frankreichs angenommen und simuliert, sowie die dar- aus resultierenden Auswirkungen auf Portugal aufgezeigt.

Einleitend wird mittels einer Beschreibung bereits vorhandener Modelle aus dem Bereich der Optionspreistheorie und der Kreditrisikomessung das in der Analyse verwendete Modell naher erklart und hergeleitet (vgl. Kapitel 2).

Im Anschluss an diese Herleitung, knupft in Kapitel 3, auf Basis einer umfangreichen Daten- recherche die Aufbereitung und Kalibrierung der zu implementierenden Parameter an. Auf- grund der verschiedenen Moglichkeiten der Berechnung und Zusammensetzung ergeben sich die drei unterschiedlichen Varianten A, B und C.

In Verlauf des vierten Kapitels folgt die Implementierung des Zahlenmaterials in das Modell, um zunachst eine Ausfallwahrscheinlichkeit ohne externen Schock beziffern zu konnen. AnschlieBend wird ein Krisenszenario, basierend auf dem finanziellen Ausfall Frankreichs, si­muliert und die Auswirkungen untergliedert nach Staats- und Bankensektor berechnet und auf- gefuhrt.

Im Anschluss gilt es, die gewonnenen Ergebnisse in tabellarischer Form darzustellen und zu analysieren.

2 Das Modell

2.1 Das Black-Scholes-Merton-ModeH

Der folgende Abschnitt soil einleitend einen Uberblick uber das Black-Scholes-Merton-Modell geben, welches die Grundlage fur das in der Analyse verwendete Modell Kreis/Leisen darstellt. Zunachst steht das Modell von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton im Fokus. Das Modell stammt aus der Finanzmathematik, speziell aus dem Bereich Optionspreistheorie. Man verwendet es, um die Bewertung von Finanzinstrumenten durchzufuhren (vgl. Martin et al., 2006, S. 57). Hierbei gilt die Annahme, dass der Preis einer geometrischen Bewegung folgt (vgl. Martin et al., 2006,S.58).

Von besonderer Relevanz fur das weitere Vorgehen und dem Verstandnis des Zusammenhangs zwischen dem Black-Scholes-Merton-Modell und dessen Modifikation in Kapitel 2.2, ist eine Betrachtung der europaischen Call-Option. Mittels einer umfangreichen Herleitung, die auf- grund des Umfangs ausgelassen wird, ergibt sich die Black/Scholes-Formel (vgl. Merk, An­dreas, 2011, S. 52):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die im Modell enthaltenen Parameter sind wie folgt definiert:

St = Aktienpreis; K = Ausubungspreis; T = Zeithorizont; r = risikoloser Zins; o = Volatilitat

Wesentlicher Inhalt der Black/Scholes-Formel und des Black-Scholes-Merton-Modells fur die weitere Analyse ist der Ausdruck d2, dessen Betrachtung im folgenden Abschnitt bezuglich der Unternehmenswertmodelle im Fokus steht.

Das Black-Scholes-Merton-Modell stellt die Grundlage der Unternehmenswertmodelle (Asset- Wert-Modelle) dar (vgl. Martin et al., 2006, S. 88).

Dies ist eine modifizierte Version der Modelle aus der Optionspreistheorie, um neben der Be- wertung von Optionen auch Prognosen bezuglich des Insolvenzrisikos von Unternehmen abge- ben zu konnen.

„Daher kann St als der Wert einer Call-Option auf den Firmenwert interpretiert werden - dies ist die Kernidee des Merton-Modells.“ (Martin et al., 2006, S. 90).

An dieser Stelle entsteht der Bezug zur europaischen Call-Option und somit zu dem Modell von Black, Scholes und Merton.

Im Gegensatz zu der Call-Option, betrachten Asset-Wert-Modelle den Firmenwert und die Ver- bindlichkeiten eines Unternehmens, um auf Grundlage dessen eine Ausfallwahrscheinlichkeit fur das Unternehmen zu berechnen (vgl. Martin et al., 2006, S. 88).

Der Unternehmenswert (engl. Firm Value) stellt den beobachteten Asset dar. Die Ermittlung der kritischen Schranke erfolgt anhand der Verbindlichkeiten des Unternehmens.

„Ein Ausfall findet statt, wenn der Firmenwert unter die Grenze des Fremdkapitals absinkt und damit das Eigenkapital negativ wird. Die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls ist umso kleiner, je hoher der Wert von FVt im Vergleich zum Fremdkapital ist, [ ].“ (Martin et al., 2006, S. 88).

Der Abstand lasst sich als „Distanz zum Ausfallereignis“ (Henking et al., 2006, S. 202) oder auch „Distance-to-Default“ (Crosbie & Bohn, 2003, S. 13) bezeichnen. Diese Distanz ist im Black-Scholes-Merton-Modell durch den Term d2 beziffert und wird durch die Division der Standardabweichung o in Standardabweichungen ausgedruckt.

Um die Hohe der Wahrscheinlichkeit des Ausfalls beziffern zu konnen, ist es in der Praxis ublich, mit den logarithmierten Werten der Vermogenswertrenditen anstelle des Vermogens- werts zu argumentieren. Die Betrachtung des kritischen Werts findet ebenfalls im Log-Rendi- ten-Raum statt (vgl. Henking et al., 2006, S. 202).

Aufgrund der Simulation der Vermogenswerte auf Basis einer geometrischen Brownschen Be- wegung sind die Log-Vermogensrenditen normalverteilt (vgl. Henking et al., 2006, S. 202). Durch Anwendung der Inversen der Standardnormalverteilung auf d2 erhalten wir eine aus der Kurve abzuleitende Ausfallwahrscheinlichkeit fur den festgelegten Zeithorizont T (vgl. Henking et al., 2006, S. 203).

2.2 Das Modell Kreis/Leisen

Basierend auf der Grundlage der strukturellen Modelle baut das in der Analyse verwendete Modell Kreis/Leisen auf. Die grundlegende Abgrenzung vom Black-Scholes-Merton-Modell liegt darin, dass der Fokus auf Staaten statt Unternehmen liegt.

Ziel des Modells ist es, mit Hilfe einer entsprechenden Datenerhebung und von statistischen Methoden, die Hohe des Ausfallrisikos eines Landes, ausgedruckt in Wahrscheinlichkeiten, be- ziffern zu konnen.

Unter Berucksichtigung dieser Anderung sind die enthaltenen Parameter neu zu definieren.

Als Asset wird der Staatshaushalt eines Landes, durch It gekennzeichnet, festgelegt.

Die Betrachtung erfolgt uber den Zeithorizont von einer Periode. Der Vermogenswert folgt, analog zu den vorangegangenen Modellen, einer geometrischen Brownschen Bewegung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beschrankung des Zeithorizontes wird auf eine Periode festgesetzt, um mittels der jahrlich veroffentlichten Finanzstatistiken der Staaten und Banken benotigtes Datenmaterial aufarbeiten zu konnen. Um Zahlenwerte der Parameter zu ermitteln, sind entsprechende Daten bezuglich der Staatseinnahmen und -ausgaben zu recherchieren. Die Betrachtung auf eine Periode zu be- grenzen, spiegelt sich zudem in den im weiteren Verlauf der Analyse betrachteten Ratings wi­der, da diese Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmen und Landern auf Jahre beziffern. Prognostizieren wir auf Basis der Formel 1.1 einen Wert des Staatshaushalts in der folgenden Periode t+1 und setzen den Wert der Zufallsvariable Zt gleich Null, erhalten wir folgenden Ausdruck:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ahnlich zu den Asset-Wert-Modellen werden an dieser Stelle ebenfalls die logarithmierten Renditen des Vermogenswerts betrachtet. Bei der Berechnung ist die Gewichtung von ln (j1) mit - (T=Anzahl der Perioden) zu beachten (Methode entnommen aus Hull, 2009, S. 348 ff.).

Aus der Formel 1.2 geht hervor, dass die relative Veranderung des Staatshaushalts zwischen den Perioden mit Hilfe des Parameters m beschrieben werden kann. Dieser setzt sich wie folgt zusammen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Variable m lasst sich auf Basis des Datenmaterials bezuglich der Staatseinnahmen und - ausgaben berechnen. Eine detailliertere Beschreibung der Berechnung folgt im nachsten Kapi- tel.

Der Parameter o (Standardabweichung), auch als Volatilitat bezeichnet, ist ein MaB fur Unsi- cherheiten, sprich Schwankungen hinsichtlich der mit dem Asset verbundenen Renditen (vgl. Hull, 2009, S. 353). Aufgrund der Zusammensetzung des Parameters m kann dieser als Erwar- tungswert mit einem Risikofaktor verstanden werden.

Eine weitere Modifikation des Modells ist aufgrund des beobachteten Assets vorzunehmen. Die durch den Staatshaushalt gegebene Datengrundlage ist negativ (vgl. Eurostat 2015 1.).

In Anlehnung an das Black-Scholes-Merton-Modell wird das Datenmaterial vor der Implemen- tierung in das Modell Kreis/Leisen aufbereitet und in den positiven Bereich ubersetzt.

Ein Vorzeichenwechsel bewerkstelligt diese Umkehr (siehe Anhang Tabelle 5).

Bedingt durch diesen Wechsel ist die gesamte Betrachtung des Modells, speziell die der kriti- schen Schranke KM, neu zu uberdenken. Wahrend innerhalb der Asset-Wert-Modelle eine Un- terschreitung der kritischen Schranke zum Ausfall fuhrt, tritt dieser in diesem Modell bei einer Uberschreitung der Grenze ein.

Analog kann der Ausdruck 1.1, unter Annahme der multiplikativen Version des zentralen Grenzwertsatzes, als eine konvergierende Verteilung des Staatshaushalts It gegen die Log- Normalverteilung geschrieben werden (vgl. Merk, Andreas, 2011, S. 49).

Durch Einbezug der Schranke ergibt sich folgende Gleichung (Methode entnommen aus Merk, 2011, S. 49ff.):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Umformung der Gleichung nach der Zufallsvariable Zt ergibt den Ausdruck:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier lasst sich der Bezug zu dem Modell von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton herstellen. In dieser Formel ist die Distanz zum Ausfallereignis, ausgedruckt durch ln (“), der Erwartungswert m und die Standardabweichung o enthalten. Diese Formel ist, abgesehen von den enthaltenen Parametern, analog zu dem im ersten Kapitel beschriebenen Term d2.

Ist eine entsprechende Datenerhebung abgeschlossen und alle notwendigen Parameter m, p, o sowie die kritische Grenze KM ermittelt, kann mittels der angegebenen Formel eine Ausfall- wahrscheinlichkeit berechnet werden¹.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Folgende Abbildung 1 illustriert die Funktionsweise des Modells. Die Betrachtung richtet sich auf den Staatshaushalt in Periode t (/t) und dessen Verlauf bis hin zur Periode t+1 (Zt+1). Die Berechnungen sind im folgenden Kapitel einzusehen.

Der Abstand zwischen dem Staatshaushalt und der kritischen Schranke wird, wie oben bereits beschrieben, als Distanz zum Ausfallereignis bezeichnet.

Kommt es zu einem negativen finanziellen Schock, sprich dem Ausfall eines Landes, ist eine Veranderung der Werte KM und somit ln (~f-) die Folge. Bedingt durch dieses Ereignis verrin- gert sich die Distanz zum Ausfallereignis und die Flache der Ausfallwahrscheinlichkeit vergro- Bert sich. Daraus lasst sich ableiten: Je groBer dieser Abstand zwischen It und KM, umso un- wahrscheinlicher ist ein finanzieller Ausfall und vice versa.

Abbildung 1: Schaubild Model! Kreis/Leisen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Innerhalb der Analyse folgt, gemaB der Annahme, die Simulation eines finanziellen Ausfalls fur Frankreich. Die daraus resultierenden Folgen fur Portugal werden aufgezeigt und mit ent- sprechendem Zahlenmaterial belegt.

3 Kalibrierung der Parameter

3.1 Kalibrierung der Parameter m und o

Bevor mit Hilfe des zu Beginn vorgestellten Modells eine geeignete Analyse und Prognose fur die Ausfallwahrscheinlichkeit Portugals abgegeben werden kann, muss eine Berechnung der im Modell enthaltenen Parameter o (Standardabweichung), m (Erwartungswert) und der kriti- schen Schranke KM auf Basis einer umfangreichen Datenrecherche erfolgen.

[...]

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¹ Aufgrund des Vorzeichenwechsels wird in diesem Modell die Gegenwahrscheinlichkeit betrachtet.