Clusteranalyse zur Typenbildung von Unternehmen

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis...

Symbolverzeichnis..

1 Einleitung

2 Einordnung der Clusteranalyse
2.1 Definition
2.2 Arten der Clusteranalyse
2.3 Anwendung der Clusteranalyse

3 Deterministische Clusteranalyse
3.1 Grundlagen
3.2 Agglomerative-hierarchische Verfahren
3.2.1 Allgemeiner Ablauf und Varianten
3.2.2 Ähnlichkeitsbestimmung bei nominalen Skalenniveau
3.2.3 Ähnlichkeits- und Distanzbestimmung bei metrischen Skalenniveau
3.2.4 Ausgewählte Clusteralgorithmen

4 Durchführung einer Clusteranalyse
4.1 Historie der ersten Clusteranalyse von Unternehmen
4.2 Datenbasis und Auswahl des Verfahrens
4.3 Ergebnis der beiden Vorgehensweisen
4.4 Typenbildung von Unternehmen

5 Schlussbetrachtung

Anhang

Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Kombinationsmöglichkeiten binärer Variablen

Tabelle 2: Berechnungsformel von drei Koeffizienten der

Ähnlichkeitsbestimmung

Tabelle 3: Typisierung der entstandenen Cluster

Tabellen im Anhang

Tabelle T1: Kennzahlen der einzelnen Clustermitglieder

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Verschiedene Formen von Clustern

Abbildung 2: Fiktives Beispiel einer Rohdatenmatrix

Abbildung 3: Beispiel für ein Dendrogramm

Abbildung 4: Fiktives Beispiel einer Distanzmatrix

Abbildung 5: Darstellung verschiedener Clusterstrukturen

Abbildung 6: Bestimmung der euklidischen Distanz

Abbildung 7: Objektprofile

Abbildung 8: Single-Linkage

Abbildung 9: Complete-Linkage

Abbildung 10: Längliche und verkettete Cluster

Abbildung 11: Dendrogramm nach Durchführung des Ward-Verfahrens

Abbildung 12: Dendrogramm für die Clusteranalyse der Verkehrsbranche

Abbildungen im Anhang

Abbildung A1: Dendrogramm der Zufallsauswahl beim Single-Linkage Verfahren

Abbildung A2: Dendrogramm der Verkehrsbranche bei Anwendung von Single-Linkage

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Bestand noch vor 30 bis 50 Jahren das Problem, dass die Informationsbeschaffung relativ mühsam und zeitaufwendig war, und so eher ein Datendefizit auftrat, ist heute genau das Gegenteil der Fall. Durch das Internet, elektronische Datenbanken, Archivsysteme sowie Massenspeicher ist die Informationsbeschaffung preiswert und schnell geworden. Dabei ist es leicht möglich, den Überblick zu verlieren.

Um Strukturen in großen Datenmengen zu erkennen und die wesentlichen Charakteristika herauszufiltern, stellt die Clusteranalyse mit anschließender Typenbildung ein geeignetes Instrumentarium dar.

Die folgende Arbeit gliedert sich in zwei Abschnitte: Zunächst wird in einem theoretischen Teil eine Einordnung der Clusteranalyse vorgenommen, um dann darauf insbesondere die hierarchische Clusteranalyse darzustellen.

Im zweiten Teil wird dann anhand einer Auswahl von Unternehmen eine solche Analyse mit Typisierung durchgeführt.

2. Einordnung der Clusteranalyse

2.1 Definition

Statistisch ist die Clusteranalyse ein struktur-entdeckendes Verfahren^[1] der multivariaten Analysemethoden, wozu auch noch die Faktorenanalyse und die multidimensionale Skalierung gehören.^[2]

Cluster sind aus dem Englischen übersetzt Gruppen. Diese Gruppen sollen mit Hilfe einer Clusteranalyse erzeugt werden. Dabei wird eine Menge von Objekten so zu Teilmengen zusammengefasst, dass die Mitglieder in einer Gruppe möglichst homogen, die Gruppen untereinander aber heterogen sind.^[3]

In Abbildung 1 sind solche Cluster mit ihren möglichen Formen, auf die später noch vertiefend eingegangen wird, dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Verschiedene Formen von Clustern

Quelle: Everitt (1993), S. 7.

Durch die Clusteranalyse können Aussagen getroffen werden, wie eine Datenmenge strukturiert ist, wobei keine Parameter festgelegt werden müssen und alle Objektvariablen simultan berücksichtigt werden.^[4]

Der Ursprung der Clusteranalyse liegt in verschiedenen Wissenschaften wie der Psychologie, Biologie oder Soziologie. Klassifikation, Typologie oder numerische Taxonomie werden in der Literatur synonym für Clusteranalyse benutzt^[5], so dass Vogel (1975), S.4 von einem „insbesondere in der nicht-statistischen Literatur manchmal babylonisch anmutenden - Begriffswirrwarrs“ spricht.

Die Typisierung ist eine Zuordnung von Objekten zu Typen, wobei ein Typ eine homogene Gruppe darstellt. Eine Typisierung beginnt meist nach einer Clusteranalyse, wobei den vorher herausgefilterten Gruppen Namen gegeben werden. Dadurch soll erreicht werden, dass die wesentlichen Charakteristika einer Gruppe erhalten bleiben, aber die möglicherweise zahlreichen Ausprägungen innerhalb der Rohdaten auf das Wesentliche beschränkt werden.^[6]

2.2 Arten der Clusteranalyse

Drei verschiedene Grundverfahren der Clusteranalyse sind zu unterscheiden:

- Unvollständige Clusteranalyse: Hierbei werden die Ergebnisse nur mit Hilfe einer räumlichen Darstellung präsentiert. Die Zuordnung zu Clustern muss von dem Betrachter selbst vorgenommen werden. Dies ist zwar anschaulich, aber es entsteht ein großer individueller Spielraum. Dieses Verfahren ist sowohl für Cluster, als auch für eine Faktorenanalyse nutzbar: Entweder werden die Ergebnisse zu Gruppen zusammengefasst (clustertypische Anwendung) oder die berechneten Dimensionen werden inhaltlich analysiert (Faktorenanalyse).
- Deterministische Clusteranalyse: Hier werden die Objekte mathematisch aufgrund einer Wahrscheinlichkeit von 1 oder 0 einem bzw. mehreren Clustern direkt zugeordnet, wobei der ausgewählte Algorithmus jeweils mitentscheidet, ob eine Gruppierung in den Rohdaten erkannt wird und welche Formen die Cluster annehmen.
- Prohabilistische Clusteranalyse: Dieses Verfahren stellt eine Verallgemeinerung der deterministischen Analyse dar. Dabei erfolgt eine Zuordnung zu Clustern auch mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1.^[7]

Im Weiteren erfolgt eine nähere Betrachtung der deterministischen Clusteranalyse bei einer Vernachlässigung der anderen beiden Methoden, weil für eine Typisierung eine klare Zuordnung der Klassen erfolgen muss.

2.3 Anwendungen der Clusteranalyse

Schon früh begannen die Menschen, für gewisse Sachverhalte Gruppen zu bilden und so die Komplexität zu reduzieren. Laut Aristoteles nahm Theophrastos eine erste Gruppierung von Pflanzen vor. Darauf aufbauend entwickelte Linne im 18. Jahrhundert eine Klassifikation sowohl für Pflanzen als auch für Tiere und führte durch die Benennung von Oberbegriffen eine Typisierung durch.^[8]

Es gibt zahlreiche Anwendungsbeispiele für Clusteranalysen mit anschließender Typisierung. In der Psychologie werden Menschen mit unterschiedlichen Charaktereigenschaften zu Gruppen zusammengefasst, um z.B. bei selbstmordgefährdeten Personen die Wahrscheinlichkeit einer solchen Tat zu bestimmen. Hier steht die Gruppenbildung im Vordergrund.

In der Ökonomie werden Städte oder Länder als Testmärkte für neue Produkte herausgefiltert, wobei allerdings die Datenreduktionsfunktion der Clusteranalyse wichtiger ist.^[9]

3. Deterministische Clusteranalyse

3.1 Grundlagen

Die Ausgangsbasis einer Clusteranalyse bildet eine zu untersuchende Datenmenge, die aus verschiedenen Objekten (z.B. Länder) besteht. Für jedes dieser Objekte sind gewisse Ausprägungen bzw. Variablen (z.B. Bevölkerung, Arbeitslosenzahl, Bruttonationaleinkommen) bekannt, welche wie in Abbildung 2 in einer Rohdatenmatrix angeordnet werden.^[10]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Fiktives Beispiel einer Rohdatenmatrix

Quelle: In Anlehnung an Backhaus et al. (2000), S. 331.

Bei der deterministischen Clusteranalyse werden hierarchische und partitionierende Verfahren^[11] unterschieden, um für diese Objekte eine Clustereinteilung vornehmen zu können. Bei den partitionierenden Verfahren muss die Anzahl der zu bildenden Cluster vorher bekannt sein. Durch eine Erstzuordnung der zu klassifizierenden Objekte in Gruppen und dem anschließenden Verschieben dieser zwischen den Gruppen wird versucht ein optimales Ergebnis herzustellen.^[12]

Gerade wenn eine Struktur in Daten entdeckt werden soll, ist es nicht möglich eine Gruppenanzahl vorzugeben, sondern erst die Analyse selbst ergibt die Anzahl der Cluster, wofür dann hierarchische Verfahren angewendet werden müssen. Partitionierende Analysen werden manchmal dazu benutzt, die so gefundene Lösung ggf. noch zu verbessern^[13], wobei dieses Verfahren in der Praxis nur sehr begrenzt angewendet wird.^[14]

Bei den hierarchischen Verfahren ist es nicht notwendig, die Anzahl der zu bildenden Gruppen zu kennen. Alle zu klassifizierenden Objekte befinden sich zunächst entweder in einer Gruppe (divisives Verfahren) oder jedes Untersuchungsobjekt bildet ein eigenes Cluster (agglomeratives Verfahren).

Innerhalb des agglomerativen Clusterprozesses werden die Gruppen immer weiter zusammengefasst, wodurch eine hierarchische Anordnung der Cluster entsteht, die durch ein Dendrogramm graphisch dargestellt werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Beispiel für ein Dendrogramm

Quelle: Manly (1994), S. 129.

Das Dendrogramm besteht aus einer Distanzachse (Y) und einer Clusterachse (X), wobei das Schaubild bei den hierarchisch-agglomerativen Verfahren von unten nach oben betrachtet wird. Der Abstand von der Verbindungslinie zwischen zwei Clustern zur X-Achse gibt die Hierarchiestufe an und zeigt, zu welchem Zeitpunkt im Prozess die Objekte vereinigt wurden.^[15]

Die divisive Variante hat sich in der praktischen Anwendung nicht durchgesetzt.^[16]

Daher wird im weiteren Verlauf dieser Arbeit nur die agglomerative-hierarchische Clusteranalyse genauer betrachtet.

3.2 Agglomerative-hierarchische Verfahren

3.2.1 Allgemeiner Ablauf und Varianten

Der Ablauf einer agglomerativen-hierarchischen Clusteranalyse gliedert sich in zwei Abschnitte. Zunächst muss eine Ähnlichkeit bzw. Distanz zwischen den Objekten der Rohdatenmatrix ermittelt werden. Dies geschieht mit Hilfe eines so genannten Proximitätsmaßes, wobei die Art des Maßes durch das vorliegende Skalenniveau (z.B. nominal oder metrisch) bestimmt wird. Die Rohdatenmatrix wird, wie in Abbildung 4, dadurch in eine Ähnlichkeits- bzw. Distanzmatrix überführt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Fiktive Darstellung einer Distanzmatrix

Quelle: In Anlehnung an Backhaus et al. (2000), S. 331.

Im zweiten Abschnitt werden die Objekte durch einen Clusteralgorithmus zu Gruppen zusammengefasst.^[17]

Der verwendete Algorithmus entscheidet darüber, wie homogen die entstandenen Cluster in sich und wie heterogen sie zu den anderen Gruppen sind.

Abbildung 1 machte schon sichtbar, dass unterschiedliche Formen bei den Clustern möglich sind. Dies wird graphisch noch deutlicher in Abbildung 5.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Darstellung verschiedener Clusterstrukturen

Quelle: Bacher (1996), S. 3.

Jeder Clusteralgorithmus erzeugt einen anderen Grad der Homogenität innerhalb einer Gruppe. Bei einem hohen Ähnlichkeitswert entstehen eher kompakte Cluster (siehe C1 in Abbildung 5). Nimmt dieser ab wird das Cluster lang gestreckter (siehe C3 in Abbildung 5). Dabei ist es vom Untersuchungskontext abhängig, ob eine eindeutige Zuordnung zu einem Cluster (disjunktive Verfahren)^[18] erfolgen soll oder ein Objekt auch Mitglied in mehreren Clustern sein darf. Statt einem länglichen bilden sich so überlappende Cluster.^[19]

3.2.2 Ähnlichkeitsbestimmung bei nominalem Skalenniveau

Bei einer Nominalskala können die Ergebnisse weder geordnet noch der Abstand zwischen diesen bestimmt werden, nur die Auszählung der vorkommenden Ausprägungen ist möglich. (z.B. beim Geschlecht mit den Ausprägungen männlich und weiblich liegt ein nominales Skalenniveau vor).

Aus diesem Grund kann nur die Ähnlichkeit zwischen den Objekten bestimmt werden. Zwei Objekte sind sich sehr ähnlich, wenn das Proximitätsmaß einen hohen Wert annimmt. Der Vergleich bei mehreren Ausprägungen wird mit Hilfe einer Binärvariablen, die die Werte 1 (Eigenschaft vorhanden) und 0 (Eigenschaft nicht vorhanden) annehmen kann, vorgenommen, wobei dieser Zusammenhang in Tabelle 1 mit Hilfe der Variablen a, b, c und d dargestellt wird.

Tabelle 1: Kombinationsmöglichkeiten binärer Variablen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an Backhaus et al. (2000), S. 333.

In der Literatur werden etliche Proximilitätsmaße, wobei Tanimoto, Simple-Matching sowie Russel & Rao die drei bekanntesten sind^[20], für die Bestimmung der Ähnlichkeit (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) zwischen den Objekten k und l dargestellt. Alle Koeffizienten bestimmenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltendurch die Formel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1)

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Gewichtungsfaktoren.^[21].

Tabelle 2 zeigt die sich durch die Werte der Gewichtungsfaktoren ergebende Berechnungsformel der drei Koeffizienten.

Tabelle 2: Berechnungsformel von drei Koeffizienten der Ähnlichkeitsbestimmung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an Backhaus et al. (2000), S. 334.

Unterschiede ergeben sich nur durch eine andere Berücksichtigung der Variablen a bis d. Zum einen kann die negative Übereinstimmung (d) im Zähler berücksichtigt oder ausgeschlossen werden und zum anderen können die Übereinstimmungen (a, d) bzw. Nicht-Übereinstimmungen (b, c) unterschiedlich gewichtet werden.^[22]

Sind die zu betrachteten Merkmale nicht bei den beiden Objekten gleichzeitig vorhanden, kommen alle Koeffizienten zu dem gleichen Ergebnis. Sonst muss eine inhaltliche Betrachtung für die Auswahl eines Ähnlichkeitskoeffizienten vorgenommen werden. Entscheidend ist dabei, ob das Vorhandensein einer Eigenschaft gleichwertig mit dem Nichtvorhandensein ist.^[23]

Denn z.B. bei dem Objekt Wohnort mit den Ausprägungen „Hallenser“ bzw. „Nicht-Hallenser“ hat das Vorhandensein der Ausprägung „Hallenser“ eine andere Bedeutung als die Ausprägung „Nicht-Hallenser“. Der Wohnort ist nur bei den Hallensern eindeutig bestimmt.

Bei einem Objekt „Abitur erreicht“ mit den Ausprägungen ja und nein, hat das Vorhandensein der Ausprägung die gleiche Bedeutung wie das Nichtvorhandensein. Das Ergebnis, ob jemand das Abitur erreicht hat, ergibt sich jeweils eindeutig. In einem solchen Fall, wo das Vorhandensein gleichgewichtig mit dem Nichtvorhandensein ist, sollte der M-Koeffizient benutzt werden. Andernfalls eignet sich auch die Verwendung eines der beiden anderen Ähnlichkeitskoeffizienten.^[24]

3.2.3 Ähnlichkeits- und Distanzbestimmung bei metrischen Skalenniveau

Liegt den Untersuchungsobjekten ein metrisches Skalenniveau zu Grunde, so kann sowohl die Anzahl, der Rang als auch der Abstand zwischen den Ausprägungen bestimmt werden. Hierbei ist sowohl die Anwendung eines Ähnlichkeits- als auch eines Distanzmaßes möglich.

Bekannte Proximitätsmaße sind als Distanzmaß die Minkowski-Metrik (L1/L2 Norm) und als Ähnlichkeitsmaß der Q-Korrelationskoeffizient.

Bei einem Distanzmaß sind die zu vergleichenden Objekte dann sehr ähnlich, wenn das Maß einen kleinen Wert annimmt.^[25] Vor der Distanzbestimmung sollte eine Standardisierung der Werte vorgenommen werden, um bei unterschiedlichen Größenordnungen oder abweichenden Maßeinheiten eine Vergleichbarkeit der ermittelten Distanzen zwischen den Objekten herzustellen.

Die z-Transformation mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals normierter Wert des Objektes k wird durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2)

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Ausprägung i des Objektes k, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Mittelwert aller Ausprägungen i des Objektes k und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Standardabweichung der Ausprägungen i bestimmt. In der standardisierten Form haben die Werte einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 und sind unabhängig von den ursprünglichen Maßeinheiten.^[26]

Die Minkowski-Metrik ist die Grundform für die L1 Norm (auch: City-Block-Metrik) sowie die L2 Norm (auch Euklidische Distanz), bei derAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Distanz der Objekte k und 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (3)

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Wert der normierten Ausprägung i von Objekt k und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals standardisierte Ausprägung i von Objekt l sowie der Minkowski-Konstante Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenberechnet wird.^[27]

Die Minkowski-Konstante (r) stellt den Unterschied zwischen den L-Normen dar. Je größer die Wahl für r getroffen wird, desto stärker fallen größere Distanzen ins Gewicht und kleinere beeinflussen kaum noch das Ergebnis.^[28]

Die City-Block-Metrik wird wegen der Vorstellung, dass die Distanz dem zurückgelegten Fahrweg eines Taxis in einem rechtwinkligen Straßennetz entspricht auch Taxi-Driver-Distanz genannt.

Die Distanzen ergeben sich durch Addition der absoluten Werte, wodurch dieses Maß im Vergleich zu anderen Minkowski-Metriken nicht so sensitiv gegenüber Ausreißern ist.^[29] In der praktischen Anwendung wird die City-Block-Metrik bei der Gruppierung von Standorten angewendet.^[30]

Für r = 2 ergibt sich die euklidische Distanz. In einem zweidimensionalen Raum bei metrisch skalierten Merkmalen lässt sich die euklidische Distanz wie in Abbildung 6 als Distanz d zwischen den Punkten P1 und P2 direkt mit dem Satz des Pythagoras berechnen.^[31] Sonst wird die Formel der Minkowski-Metrik benutzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Bestimmung der euklidischen Distanz

Quelle: Eckey et al. (2002), S. 207.

Die euklidische Distanz ist invariant gegenüber Spiegelungen bzw. Drehungen des Koordinatensystems (orthogonale Transformationen), und der Koordinatenursprung ist frei wählbar (translationsinvariant). Wird die euklidische Distanz quadriert, erhält man die quadrierte euklidische Distanz. Dabei ist zu beachten, dass durch das Quadrieren die Eigenschaften der Minkowski-Metriken verloren gehen.^[32] Einige Clusteralgorithmen stützen sich auf dieses Maß^[33].

Sowohl die City-Block Metrik als auch die quadrierte euklidische Distanz weisen das gleiche ähnlichste bzw. unähnlichste Paar aus. Dazwischen ergeben sich andere Reihenfolgen der Objekte aufgrund der unterschiedlichen Behandlung der Differenzen.^[34]

Bei einem metrischen Skalenniveau wird normalerweise die Distanz gemessen, aber mit Hilfe des Korrelationskoeffzienten nach Bravais-Pearson, der in dieser Anwendung Q-Korrelationskoeffizient genannt wird, lässt sich die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten, wobei die Merkmale vorher auch standardisiert werden müssen, messen.

Die Ähnlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbestimmt sich mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (4)

mitAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Eigenschaft i von Objekt (Cluster) k, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Eigenschaft i von Objekt (Cluster) l und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Mittelwerte aller Eigenschaften von Objekt (Cluster) k bzw. l.^[35]

[...]

---

^[1] Daneben gibt es laut Backhaus, S. XXI noch struktur-prüfende Verfahren, wie z.B. die

Regressionsanalyse oder Diskriminanzanalyse.

^[2] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. XXI.

^[3] Vgl. hierzu Kaufmann/Pape (1984), S. 371.

^[4] Vgl. hierzu Forst (1977), S. 161.

^[5] Vgl. hierzu Everitt (1993), S. 4.

^[6] Vgl. hierzu Vogel (1975), S. 5.

^[7] Vgl. hierzu Bacher (1996), S. 4f.

^[8] Vgl. hierzu Everitt (1993), S. 1f.

^[9] Vgl. hierzu Manly (1994), S. 128 sowie Everitt (1993), S. 8f.

^[10] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 331.

^[11] Backhaus et al. (2000), S. 348 erwähnt neben diesen noch das Graphentheoretische- sowie

Optimierungsverfahren. Erläutert diese aber nicht weiter.

^[12] Vgl. hierzu Späth (1977), S. 35f.

^[13] Vgl. hierzu Eckey et al. (2002), S 203f.

^[14] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 351f.

^[15] Vgl. hierzu Vogel (1975), S.239.

^[16] Vgl. hierzu Eckey et al. (2002), S. 229.

^[17] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 329-331.

^[18] Vgl. hierzu Bacher (1996), S. 141.

^[19] Vgl. hierzu Bacher (1996), S.2f.

^[20] Vgl. hierzu Eckey et al. (2002), S. 219.

^[21] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 332f.

^[22] Vgl. hierzu Vogel (1974), S. 94f.

^[23] Vgl. hierzu Eckey et al. (2002), S. 222.

^[24] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 334-339.

^[25] Vgl. hierzu Vogel (1974), S. 82.

^[26] Vgl. hierzu Bacher (1996), S.175-185.

^[27] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 340.

^[28] Vgl. hierzu Eckey et al. (2002), S. 212f.

^[29] Vgl. hierzu Vogel (1974), S. 87.

^[30] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 341.

^[31] Vgl. hierzu Eckey et al. (2002), S. 207.

^[32] Vgl. hierzu Kaufmann/Pape (1984), S.382- 384.

^[33] Vgl. hierzu Eckey et al. (2002), S. 211.

^[34] Vgl. hierzu Backhaus et al. (2000), S. 341f.

^[35] Vgl. hierzu Eckey et al (2002), S. 215.