Bestimmung der Zähigkeit von Flüssigkeiten

Inhaltsverzeichnis

1. Physikalische Grundlagen
1.1. Auftriebskraft und hydrostatischer Druck
1.2. Innere Reibung
1.3. Dynamische Viskosität
1.4. Laminare und turbulente Strömung, Reynoldsche Zahl
1.5. Hagen-Poiseuillesches Gesetz
1.6. Stokesches Gesetz
1.6.1. Ladenburg-Korrektur

2. Versuchsdurchführung und Messwertermittlung
2.1. Ermittlung der dynamischen Viskosität nach Hagen-Poiseuille
2.1.1. Versuchsaufbau
2.1.2. Messung
2.1.2.1. der Kapillarradien und -längen
2.1.2.2. des Gefässvolumens
2.1.2.3. der Höhe der Flüssigkeitsoberfläche
2.1.2.4. der Durchlaufzeiten
2.1.3. Auswertung
2.1.4. Fehlerrechnung
2.2.2. Messung
2.2.2.1. des Radius und der Länge des Gefässes
2.2.2.2. des mittleren Gewichts jeder Kugelart
2.2.2.3. der Kugelradien
2.2.2.4. der Fallzeiten
2.2.3. Auswertung
2.2.4. Graph der Viskosität mit und ohne Ladenburg-Korrektur, Extrapolation
2.2.5. Ermittlung der Reynolds-Zahlen und der kritischen Geschwindigkeit
2.2.6. Fehlerrechnung

3. Fazit
3.1. Zusammenfassung
3.1.1. des Versuchs nach Hagen-Poiseuille
3.1.2. des Versuchs nach Stokes
3.2. Verwendete Literatur

1. Physikalische Grundlagen

1.1. Auftriebskraft und hydrostatischer Druck

Die Auftriebskraft (FK ) eines Körpers K innerhalb eines Mediums M entspricht der entgegengesetzten Gewichtskraft ( G Mediums, also: M ) des Volumens (VK) des vom Körper K verdrängten

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Hydrostatischer Druck (p) an einem Punkt bestimmter 'Tiefe' (h) wird in einem flüssigen Medium M von der Gewichtskraft der auf dem Punkt stehenden Säule des Mediums ausgeübt, also:

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1.2. Innere Reibung

Die Reibungskraft einer Flüssigkeit wirkt stets der Bewegungsrichtung der Flüssigkeit entgegen. Anschaulich beschreiben lässt sich die Ursache der Reibungskraft durch die Vorstellung die Flüssigkeit bestünde aus Platten, die sich zur Bewegung gegeneinander verschieben müssen. Hierbei sind die Platten, die sich nahe an einer festen Wand bewegen die langsamsten, mit zunehmendem Abstand d zur Wand nimmt die Plattengeschwindigkeit zu. In unmittelbarer Nähe zur Wand bildet sich eine Haftschicht (grün) aus, der sich praktisch nicht bewegt. Um die Platten gegeneinander zu verschieben ist eine Kraft nötig, die der Reibungskraft zwischen ihnen entgegenwirkt. Die gesamte Flüssigkeitsreibungskraft ergibt sich durch die Addition aller zur Plattenbewegung nötigen Kräfte.

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Abbildung 1: Reibungskräfte zwischen Flüssigkeitsschichten

1.3. Dynamische Viskosität

Abbildung 2: Örtliche Ausbildung verschiedener Flüssigkeitsschicht en; Bewegungsrichung: nach unten

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Da sich ein Objekt nur dann mit einer konstanten Geschwindigkeit (v) fortbewegen kann , wenn sich alle angreifenden Kräfte aufheben, muss somit eine der Reibungskraft entgegengerichtete Kraft ( Fv ) wirken. Greift nun diese Kraft Fv an, so bewegt sich die Haftschicht am Objekt (rote Schicht) annähernd mit der Geschwindigkeit v wohingegen die gegenüberliegende Haftschicht in der Distanz d (an der Wand des Gefässes) weiterhin in Ruhe bleibt (grüne Schicht). Die Zwischenplatten bewegen sich mit einer Geschwindigkeit kleiner als v, linear abhängig von ihrer Entfernung zur bewegten Haftschicht. Da die Reibungskraft mit der Geschwindigkeit v zunimmt, nimmt ebenso Fv mit v zu. Desweiteren wächst Fv abhängig von der Reibefläche A zwischen den Platten direkt proportional. Als letzter Faktor muss die Distanz d zwischen den Haftschichten berücksichtigt werden. Diese geht jedoch indirekt proportional mit ein, da geringere Distanz gleichbedeutend mit weniger Flüssigkeitsschichten ist auf die die Reibung “verteilt“ werden kann, also ergibt sich die Proportionalität:

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Wenn wir hier die dynamische Viskosität Æ einführen, lässt sich folgende Aussage treffen:

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1.4. Laminare und turbulente Strömung, Reynoldsche Zahl

Das oben verwendete Bild der Strömungsvorgänge, welches die Flüssigkeit in verschiedene, aneinander reibende Schichten unterteilt, ist nur bei laminaren Strömungen gültig. Sobald Dichte Ï oder Flussgeschwindigkeit v einen gewissen Wert über- und/oder die Viskosität l einen gewissen Wert unterschreitet tritt eine turbulente Stömung zutage - es treten Bewegungsrichtung quer zur Strömungsrichtung auf. Ob eine Flüssigkeit turbulentes oder laminares Strömungsverhalten zeigt, lässt sich anhand der Reynoldschen Zahl errechnen, die sich in folgender Form auf in Röhren des Radius rG fliessende Flüssigkeiten anwenden lässt:

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Abbildung 3: Laminare (oben) und turbulente Strömung (unten)

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Die Reynoldschen Zahl gibt zwar einen Wert für den Übergang von laminarer in turbulente Strömung an, doch treten starke statistische Schwankungen auf, so dass sich nur in etwa sagen lässt ab wann eine Flüssigkeit ihren Strömungszustand ändert. Laminare Strömung herrscht bei einer Reynoldschen Zahl von grob unter 2000 - turbulent wird es ab über 3000.

1.5. Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Wie bereits erwähnt können laminare Strömungen durch infinitesimal dünne Flüssigkeitsschichten angenähert werden, welche sich aufeinander bewegen und somit zur konstanten Bewegung Reibungskräfte überwinden müssen. Diese Schichten treten nun bei Rohren des Radius rG und der Länge lG in Form von ineinander liegenden Zylindern auf, deren Radius sich von 0 bis rG erstreckt. Die Geschwindigkeit der Zylinder wächst mit zunehmendem Abstand zur Haftschicht an der Rohrwand - also indirekt proportional zum Radius rG (siehe Abbildung 2).

Bei der Annahme konstanter Geschwindigkeit v setzt ein Gleichgewichtszustand zwischen der Reibungskraft innerhalb der Flüssigkeit FR und der Kraft des hydrostatischen Druckes Fp ein:

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Bei Betrachtung eines Rohres gilt AM [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , da die reibenden Flächen gleich der Mantelflächen der Zylinder sind. Ausserdem bezeichnet Ar den horizontalen Querschnitt des

Rohres, also: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Nach Einsetzen von AM, Ar und anschliessendem Vereinfachen ergibt sich:

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Nach der Integration beider Seiten:

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Da die Geschwindigkeit der Haftschicht an der Wand gleich null ist, ergibt sich für C=rv². rv ist der Radius des von der Kraft Fv bewegten Zylinders.

Umformung ergibt die Geschwindigkeit der laminaren Strömung in einem Rohr:

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Deutlich fällt hierbei die biquadratische Abhängigkeit des Stromes nach rG auf, im Gegensatz der Einfachen nach ©p.

Der zu errechnende Wert ist die Viskosität l, daher ist es noch nötig nach l aufzulösen:

1.6. Stokesches Gesetz

Auf einen Körper mit konstanter Geschwindigkeit wirkt ein Gleichgewicht der Kräfte. Für den Fall eines kugelförmigen Körpers der Masse mn und des Radius rv, der mit konstanter Geschwindigkeit v0 durch ein röhrenförmiges Behältniss mit der Flüssigkeit der Dichte ÏF und der Viskosität l gleitet, gilt folglich:

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1.6.1. Ladenburg-Korrektur

Allerdings berücksichtigt das Gesetz von Stokes nicht, dass die Stömungen innerhalb eines kleinen Gefässes stärker miteinander wechselwirken als in einem Gefäss von unendlichen Ausmassen. Als Konsequenz sind die Ergebnisse die das Gesetz von Stokes liefert nur für den Fall korrekt, dass gilt

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Als Korrekturfaktor, der die Höhe des Gefässes hG, sowie seinen Radius rG berücksichtigt, lässt sich Ê einführen - die Ladenburg-Korrektur:

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Abbildung 4: Versuchsaufbau der Viskosität nach Stokes

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2. Versuchsdurchführung und Messwertermittlung

2.1. Ermittlung der dynamischen Viskosität nach Hagen-Poiseuille

2.1.1. Versuchsaufbau

Ermittelt werden soll bei diesem Versuch die dynamische Viskosität destillierten Wassers. Es wird das Volumen (©V) in der Zeit (©t) durch zwei Kapillaren verschiedenen Durchmessers (2rK) und bestimmter Länge (lK) geleitet. Hierbei ist die Druckdifferenz (©p) explizit zu betrachten, da sie in dieser Form nicht in der Formel zu verarbeiten ist:

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p(t) lässt sich jedoch, wie in 1.1. gezeigt, durc ersetzen. Da das Behältniss als Rotationskörper um die Abflussachse betrachtet werden kann gilt analog:

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Da die Dichte von Wasser, der Ortsfaktor sowie die Höhen der Flüssigkeitsstände bekannt oder leicht zu ermitteln sind, sind somit alle Werte zur Errechnung der Viskosität im Versuch messbar.

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2.1.2.1. Messung der Kapillarradien und -länge

Der Kapillarradius rK wird mit einem Messmikroskop gemessen. Dieses Gerät entspricht in seinem prinzipiellen Aufbau einem normalen Mikroskop. In einem festen Abstand b vom Objektiv Ob befindet sich eine Strichskala Sk. Zunächst stellt man das Okular so ein, dass man die Strichskala scharf sieht. Durch Veränderung der Gegenstandsweite g mittels der großen Rändelschraube wird der Gegenstand durch das Objektiv so abgebildet, dass Strichskala und Zwischenbild Zw des Gegenstandes in einer Ebene liegen. Mit dem Okular betrachtet man diese Zwischenbildebene. Ist das Mikroskop so eingestellt, dann entspricht eine Teilung der Strichskala einer Objektgröße von 0,01 mm. Durch Drehen der Kapillare um jeweils ca. 45° werden an beiden Enden der Kapillare je vier Messungen ausgeführt. Da die Stärke der Kapillarwände durch das Messmikroskop teilweise schlecht zu erkennen ist, wird hier die doppelte Skaleneinteilung als Fehler angenommen (0,02 mm). Die Längen der Kapillaren werden mit einem millimetergenauen

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Abbildung 5: Versuchsaufbau der Viskosität nach Hagen- Poiseuille Holzlineal gemessen.

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Abbildung 6: Aufbau Messmikroskop

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Die Längenmessung beider Kapillaren ergibt:

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2.1.2.2. Messung des Gefässvolumens

Das Gefässvolumen wird direkt am Versuchsaufbau (Abbildung 5) gemessen. Es muss darauf geachtet werden, dass sich in Ballongefäss, Hahn und Verbindungsschlauch keine Luftblasen befinden. Daraufhin wird das Wasser aus dem Gefäss von hoben bis hunten in einen Messbecher abgelassen und das Volumen abgelesen.

Das die millilitergenaue Skala des Messbechers ergibt:

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2.1.2.3. Messung der Höhe der Flüssigkeitsoberfläche

Hier wird nun die Höhe h des Flüssigkeitsstandes bei V/2 gemessen. Hierbei muss das millimetergenaue Holzlineal an der Wasseroberfläche des Ablaufbeckens angelegt, und beim aktuellen Flüssigkeitsstand am Ballongefäss abgelesen werden. Es bietet sich hier nicht an den Mittelwertwert von hoben und hunten zu verwenden, da die obere Marke nicht zwangsläufig genausoweit vom Korpus des Gefässes entfernt ist wie die untere. Da das Anlegen eines Holzlineals an Flüssigkeitsoberflächen mit Schwierigkeiten verbunden ist, wird hier die doppelte Skaleneinteilung als Fehler betrachtet.

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2.1.2.4. Messung der Durchlaufzeiten

Für die Messung der Zeit, in der das Wasser im Gefäss von hoben bis hunten abfliesst, ist entscheidend, dass die Kapillare komplett mit Wasser gefüllt ist und sich in ihr keine Luftbläschen befinden. Ausserdem sollte sich das Kapillarenende unterhalb der Wasseroberfläche des Auffangbeckens befinden.

Fehler bei dieser Messung resultieren wohl hauptsächlich aus der Reaktionszeit des Zeitnehmers. Diese wird hier auf 0,2 s veranschlagt.

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2.1.3. Auswertung

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2.1.4. Fehlerrechnung

ÏWasser und g werden als fehlerfreie Literaturwerte verwendet.

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2.1.5. Überprüfung des r4-Gesetzes

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2.2. Ermittlung der dynamischen Viskosität nach Stokes

2.2.1. Versuchsaufbau

Bei der Ermittlung der Viskosität nach Stokes werden Kugeln verschiedener Radien rv und Massen mn durch einen mit Flüssigkeit der Dichte ÏF gefüllten Zylinder fallen gelassen (siehe Abbildung 4) – hier ist die Flüssigkeit Silikonöl. Der Ortsfaktor g sowie die Dichte der Flüssigkeit ÏSilikonöl werden als Literaturwerte übernommen, die konstante Gleichgewichtsgeschwindigkeit v0 wird mit einer Stoppuhr nach [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermittelt. Benutzt wird die Formel zur Berechnung der dynamischen Viskosität aus 1.6.:

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2.2.2.1. Messung des Radius und der Länge des Gefässes

Mithilfe eines Holzlineals der Genauigkeit 1mm wird der Radius rG sowie die Höhe hG des Gefässzylinders gemessen, in dem sich das Silikonöl befindet. Ausserdem wird die Länge lG bestimmt - die Strecke innerhalb derer die Kugeln sich mit konstanter Geschwindigkeit v0 bewegen.

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2.2.2.2. Messung des mittleren Gewichts jeder Kugelart

Fünf Kugeln einer Masse werden jeweils zusammen gewogen. Das Einzelgewicht mn ergibt sich aus der Division aller Kugeln einer Art durch fünf. Die Messgenauigkeit der Waage beträgt in etwa 0,2 mg.

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2.2.2.3. Messung der Kugelradien

Für jede einzelne der Kugeln wird der Radius rv anhand einer Mikrometerschraube bestimmt. Der angegebene Radius einer Kugelart ist das arithmetische Mittel der einzelnen Kugelradien einer Art. Anhand der Mikrometerschraube sind bis auf 0,01 mm genaue Längenangaben zu machen. Der Fehler des Radius beträgt also 0,005 mm

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2.2.2.4. Messung der Fallzeiten

Daraufhin werden die Kugeln in den Messzylinder geworfen und die Zeit tK gestoppt, die sie für die Strecke lG benötigen (siehe Abbildung 4). Wichtig ist hierbei, dass die Kugeln zu Beginn der Zeitnahme die konstante Gleichgewichtsgeschwindigkeit v0 erreicht haben. Als Fehler ist hier vor Allem die Reaktionszeit des Zeitnehmers zu nennen. Sie dürfte sich in etwa auf 0,2 s belaufen. Desweiteren sollte darauf geachtet werden, dass die Kugeln möglichst mittig eigeworfen werden, da sonst die Flüssigkeitsreibung an einer Seite grösser ist als an der anderen und daduch ein Teil der potentiellen Energie in Rotationsenergie übergeht (siehe Abbildung 2).

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2.2.3. Auswertung

Anhand der gemittelten Werte aus 2.2.2.4. sowie der bekannten Weglänge lG lässt sich durch[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Durchschnittsgeschwindigkeit (v0) der Kugelart K beschreiben. Die Dichte des Öls war gegeben mit ÏSilikonöl=976 Kg/m³. Die auftretende Viskosität bei Kugeln des Typ K ergibt sich also darufhin durch:

[...]