Lassen sich die Renditen am deutschen Aktienmarkt alternativ zur gaußschen Normalverteilung mit der Alpha-stabilen Verteilung abbilden?

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Einleitung

Literaturüberblick

Grundlagen

Datensatz

Empirische Analyse

Erweiterung des Modells

Grundlagen Alpha-stabile Verteilung

Empirische Auswertung

Diskussion

Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Theoretische Eigenschaften und empirische Eigenschaften, Quelle: (Eigene Darstellung)

Tabelle 2: Differenz zwischen Normalverteilung und empirischer Verteilung, Quelle (Eigene Darstellung)

Tabelle 3: Normalverteilung gegen die Alpha-stabile Verteilung, Quelle: (Eigene Darstellung)

Tabelle 4: Stabilitätsprüfung, Quelle: (Eigene Darstellung)

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Normalverteilung gegenliber der empirischen Verteilung..7

Abbildung 2: Alpha-Stabile Verteilung gegeni.iber der empirischen Verteilung, Quelle: (Eigene Darstellung)..9

Einleitung

Die heutige Finanzwirtschaft nutzt komplexe Bewertungsmodelle um Wertpapiere und Derivate bewerten zu können. Viele Modelle nutzen dabei die Annahmen und Eigenschaften bestimmter Verteilungen von Wertpapierrenditen. Schon früh ist dabei die Gaußsche Normalverteilung in den Mittelpunkt der Wissenschaft gerückt. Bereits Bachelier (1900) hat in seiner Arbeit The Theory of Speculation Verteilungseigenschaften von Preisen erforscht und die Grundlagen der Finanzmathematik geschaffen. Aufbauend darauf hat Mandelbrot (1959) in seiner Arbeit die Normalverteilung von Aktienrenditen in Frage gestellt und andere Verteilungen wie beispielsweise die Levý-Verteilung als Alternative vorgestellt. Genau auf dieses Thema baut diese Arbeit in den nächsten Zeilen auf. Der deutsche Aktienmarkt soll als einer der liquidesten Märkte als Grundlage für eine empirische Analyse der Renditen dienen. Hierbei werden die empirische Verteilung gegenüber der gaußschen Normalverteilung gelegt und verglichen. Zusätzlich wird die Levý-Verteilung als mögliche Darstellungsform diskutiert. Darauf folgend wird sie im zweiten Teil der Arbeit mit den empirischen Ergebnissen verglichen und als bessere Alternative getestet. Die Ergebnisse dieser Arbeit werden im letzten Abschnitt zusammengefasst und bewertet. Das Ziel dieser Arbeit ist die Bestätigung anderer wissenschaftlicher Arbeiten, die bereits signifikante Ergebnisse auf anderen Aktienmärkten erhalten haben, zu untermauern. Andererseits sind auch vollkommen gegensätzliche Auswertungen möglich. Begonnen wird mit der Schaffung eines Überblicks, der für diese Arbeit relevanten Paper.

Literaturüberblick

Die Untersuchung von Kapitalmarktdaten und deren Verteilung geht bis in die 1960er Jahre zurück und wurde durch Mandelbrot (1959) sowie Fama und French (1965) mit ihrer Arbeit The Behavior of Stock-Market Prices geprägt. Aus den ersten Publikationen zur Analyse von Aktienrenditen entwickelte sich ein ganzer Wissenschaftszweig, der bis heute die Entwicklungen von Renditen und Preisen am Kapitalmarkt zu modellieren und zu analysieren versucht. Diese Arbeit baut dabei grundlegend auf den Ergebnissen von verschiedenen Autoren auf, die bereits verschiedenste Märkte analysiert haben. Den Grundstein legen dabei Aparicio und Estrada (1990) mit der Modellierung von europäischen Aktienrenditen. Hierbei zeigen die Autoren, dass auf dem europäischen Aktienmarkt signifikante Abweichungen der Renditen von der Standardnormalverteilung gibt. Des weiteren werden alternative Verteilungen wie beispielsweise die studentische t- Verteilungen genutzt um die Aktienrenditen realitätsnäher zu modellieren. Gray et al. (1990) testen ebenfalls die Güte der Normalverteilung. Hierfür dient dieses mal der US- amerikanische Aktienindex S & P 500 als Forschungsgrundlage. Neben der Normalverteilung werden wieder die studentische t-Verteilung, die logistische Verteilung sowie exponentielle Verteilung als mögliche Modelle für die Beschreibung von Aktienrenditen getestet. Für den zweiten Teil der Arbeit und der alternativen Modellierung der deutschen Aktienrenditen dienen als Grundlage die Arbeiten von Mittnik und Rachev (1993) sowie Lux (1996). Mittnik und Rachev (1993) greifen dabei alternative Verteilungsformen auf, welche stabil sind. Lux (1996) setzt sich auch stark mit den Stabilitätseigenschaften von Renditen auseinander und nutzt ähnlich dieser Arbeit Aktienrenditen des deutschen Aktienmarktes. Lux versucht die Renditen mit der Pareto- Verteilung zu modellieren, was schlussendlich aber nicht erfolgreich funktioniert. Auf Basis der genanten Arbeiten, soll in diesem Paper die alpha stabile Verteilung genutzt werden um die Verteilung deutscher Aktienrenditen zu modellieren.

Grundlagen

Beginnend geht es darum die Arbeit von Fama und French (1965) teilweise zu analysieren. Im Fokus sollen Tabelle 1 und Tabelle 2 beschrieben werden. Im Grundsatz untersucht die Arbeit die Prognosefähigkeit von vergangenheitsbezogenen Aktienpreisen auf dem US-Amerikanischen Kapitalmarkt. Auf der einen Seite werden hierbei Charttechnische Theorien genutzt und auf der anderen Seite die Random-Walk Theorie. Die Charttechnik basiert dabei immer auf der Annahme, dass die vergangenen Aktienkurse die zukünftigen Erwartungen von Aktienrenditen beschreiben können. Die Random-Walk Theorie hingegen sagt, dass die Preise von Aktien unabhängig und gleich- verteilte Variablen sind. Farma und French wollen die Random-Walk These dabei untermauern.

Die verwendeten Daten für die Auswertung sind die 30 Aktien des Dow Jones Industrial Index. Hierbei wurden tägliche Preise der einzelnen Aktien genutzt. Diese Daten wurden für den Zeitraum von Ende 1957 bis zum 26.09.1962 gefiltert. Die Preise wurden für die Analyse in stetige Renditen umgewandelt um eine Verteilungsfunktion generieren zu können. In der ersten Tabelle von Fama und French (1965) werden die Verteilungsfunktionen der einzelnen Aktienrenditen eines Unternehmens sowie der Durchschnitt aller 30 Aktienrenditen der 30 Unternehmen erzeugt. Diese werden dann mit der Normalverteilungsfunktion verglichen. Dieser Vergleich findet mit der Standardabweichung statt. Hierbei werden verschiedene Intervalle der Verteilungsfunktion analysiert. Die verschiedenen Intervalle lauten wie folgt: 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0 und 5.0. Die Standardnormalverteilung gibt damit als Referenz vor wie viele Renditen beispielsweise bei der 0,5 fachen Standardabweichung abgedeckt werden müssen. Somit werden die wahren Renditen auch bei der 0,5 fachen Standardabweichung gemessen und mit der Standardnormalverteilung verglichen. Die erste Tabelle von Farma und French (1962) zeigt genau diesen Vergleich. Das Ergebnis zeigt eine eindeutige Abweichung aller Unternehmensrenditen von der Standardnormalverteilung. Die wahre Verteilung ist deutlich spitzgipfliger als die Standardnormalverteilung, was bedeutet, dass ein Großteil aller Renditen eine geringere Abweichung vom Mittelwert aufweisen, als die der Standardnormalverteilung.

Tabelle 2 hingegen zeigt die absolute Abweichung der Renditen der einzelnen Unternehmen sowie aller im Durchschnitt gerechneten Unternehmen von der Standardnormalverteilung über die schon vorher genannten Intervalle. Interpretiert werden kann eine positive Abweichung von der Standardnormalverteilung als Überschreitung der relativen Häufigkeit über die Standardnormalverteilung. Tabelle 2 untermauert noch einmal quantitativ das Ergebnis aus Tabelle

Die grundlegenden Erkenntnisse von Farma und French (1965) wurden in den letzten Jahren von beispielsweise Aparicio und Estrada (1990) sowie Gray et al. (1990) auch auf Basis anderer Datensätze bestätigt. Die Signifikanz der Verteilungsannahme in der Wissenschaft basiert auf vielen Annahmen, die Porfoliotheorien oder Optionspreistheorien nur gütltig macht, wenn Renditen bestimmten Verteilungen folgen.

Deshalb wird im folgenden der deutsche Aktienmarkt auf die Verteilungseigenschaften der Renditen getestet und mit der alpha-stabilen Verteilung eine alternative Verteilungsfunktion getestet.

Datensatz

Für die Analyse werden die wöchentlichen diskreten Renditen des deutschen Aktienmarktes verwendet. Der betrachtet Zeitraum erstreckt sich vom 01.01.1990 bis zum 25.03.2019. Die Daten werden mithilfe des Anbieters Thomson Reuters Datastream gewonnen. Für die weitere Analyse gilt es mehrere Filter anzuwenden um die Güte der Daten für die wissenschaftliche Analyse zu gewährleisten. Die Basis für die Filter legen hierbei Schmidt et al (2017), die mir ihrer Arbeit eine Anleitung zu Filterung von Daten aufzeigen. Folgende Filter finden Anwendung auf den Datensatz. Erstens wird statisch gefiltert direkt über Thomson Reuters Datastream. Hierbei werden folgende Filter gesetzt:

1. Major Secrurity Flag: Alle Firmen werden herausgefiltert, die nicht im Mainlisting auftauchen.
2. Geography Group Name: Alle Firmen werden herausgefiltert, die nicht auf dem Zielmarkt gelistet sind.
3. Type of Instrument: Alle Wertpapiere werden herausgefiltert, die nicht zu Kategorie Aktie gehören.
4. Exchange Mnemonic: Alle Wertpapiere werden entfernt, die nicht auf einer heimischen Börse notiert sind.
5. Extended Name: Titel mit suspekten oder unerklärlichen Namen werden entfernt.

Nach der statischen Filterung werden die Daten heruntergeladen und sind für die weitere Bearbeitung in Matlab vorbereitet. Hier werden die Daten eingelesen und dynamisch gefiltert. Die dynamische Filterung sorgt für eine wissenschaftliche Auswertung und bereinigt die Daten um Fehlerhafte Werte oder Ausreißer, die die Aussagekraft der Daten verzerren. Als erstes werden sogenannte Pennystocks entfernt. Das sind Aktien mit einem sehr geringen Preis. Hierbei wird das untere 10% Quantil entfernt. Außerdem werden die Renditen bereinigt. Einmal starke Ausreißer, die die Verteilung verzerren würden. Hierbei sind alle Renditen raus, die über 247,5% pro Woche liegen. Zusätzlich werden Renditen zeitabhängig gefiltert um Handelspausen auf gewisse Aktien herauszufiltern, die zu starken Kursschwankungen führen können. Ince und Porter (2006) erklären dies ausführlich. Für dieses Paper werden Kurschwankungen von Tag zu Tag, die größer als 75% und miteinander multipliziert kleiner als 17,5% sind herausgefiltert. Als letzten Filter, fallen alle Titel raus, die weniger als 500 Tagesrenditen aufweisen um die Stichprobe möglichst groß zu halten. Ergebnis der Filterung ergibt eine Stichproben Größe von 800 Unternehmen, die im folgenden Kapitel analysiert werden.

Empirische Analyse

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Theoretische Eigenschaften und empirische Eigenschaften, Quelle: (Eigene Darstellung)

Tabelle 1 zeigt den Vergleich der theoretischen Werte einer Normalverteilung und der empirischen Verteilung aller 800 Aktien auf dem deutschen Markt. Im Vergleich zu Fama und French (1965) sind neben den Mittleren Abweichung noch Median, minimale Abweichung in der Stichprobe sowie die maximale Abweichung in der Stichprobe dargestellt. Die ersten Beobachtungen in Tabelle 1 zeigen, dass eine signifikante Abweichung der empirischen Verteilung zur Normalverteilung auszumachen scheint. Ein weiterer Punkt ist in der Spalte Sigma 5 zu sehen, in der laut der Normalverteilung alle Renditen von der Verteilung beschrieben werden müssten. Hier sehen wir in der empirischen Beobachtung im Mittel nicht mal bei Sigma 6 eine vollständige Abdeckung der Renditen. Zu beobachten ist eine deutlich spitzgipfligere Verteilung mit höher liegenden Rändern (Heavy tails). Diese Beobachtung decken sich mit dabei mit den Ergebnissen der Autoren aus dem bereits beschriebenen Literaturüberblick.3

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