Das menschliche Dasein in Relation zur Unendlichkeit

Inhaltsverzeichnis

0 Vorwort

1 Einleitung
1.1 Ziel der Jahresarbeit

2 Mathematische Unendlichkeit
2.1 Überblick
2.2 Das Symbol der Unendlichkeit
2.3 Projektive Geometrie
2.4 Unendlich viele Zahlen
2.5. Unendliche Zahlen/ Irrationale Zahlen
2.6 Folgen und Grenzwerte
2.7 Zusammenfassung

3 Physikalische Unendlichkeit
3.1 Überblick
3.2 Unser Platz in Universum
3.4 Atomaufbau
3.4 Quantentheorie
3.5 Relativitätstheorie
3.6 Inflationstheorie
3.7 Vielweltentheorie
3.8 Zusammenfassung

6 Unendlichkeit in Relation zum Menschen
6.1 Überblick
6.2 Zeit und Unendlichkeit
6.3 Unendliche Seele
6.4.Unendlichkeit im endlichen Leben
6.5 Der Besonderheit des Daseins
6.6 Das menschliche Dasein in Relation zur Unendlichkeit
6.5 Zusammenfassung

7 Mein unendliches Spiegelbild-Praktischer Teil der Jahresarbeit
7.1 Hintergrund
7.2 Konstruktion
7.3 Herstellung
7.4 Fotodokumentation

9 Fazit

10 Nachwort

12 Quellenverzeichnis
12.1 Monographien

11.2 Filme/Serien/Videos
11.3 Internetquellen
11.4 Abbildungsverzeichnis

0 Vorwort

Warum Unendlichkeit? Und warum in Relation zum Menschen? Ich hatte viele verschiedene Ideen für meine Jahresarbeit, z.B. etwas aus der Mathematik, oder das Universum, die Zeit, oder doch Unendlichkeit? Letztendlich habe ich mit dem Thema „Unendlichkeit in Relation zum menschlichen Dasein“ diese Themen vereint und habe nun die Möglichkeit alle Themenfelder zu beleuchten und tiefer kennenzulernen.

Das Universum und seine Magie haben mich immer schon interessiert, der Kosmos ist die Gesamtheit von Raum, Zeit, Energie und Materie, welcher eine so große Auswirkung auf unsere Existenz hat, welche wir gleichzeitig für sehr selbstverständlich nehmen. Es ist einfach faszinierend. Mit dem Universum stellt sich natürlich auch die Frage nach Unendlichkeit und ob sie überhaupt in irgendeiner Form existiert, ob wir Menschen Unendlichkeit wahrnehmen können, oder ob unsere Vorstellungskraft dafür nicht ausreicht. Mit diesen und noch weiteren Fragen möchte ich mich gerne auseinandersetzten, da mich diese Fragen schon immer interessierten.

Auch wenn nicht zu allen Fragen direkt eine Antwort gefunden werden kann, ist allein der Prozess, sich mit den Themen intensiv zu beschäftigen und die jeweilige Erkenntnis, welche dadurch gewonnen wird, sehr hilfreich und spannend.

1 Einleitung

Was ist überhaupt Unendlichkeit und existiert Unendlichkeit in unserem Leben? Was bedeutet es, wenn wir sagen „für immer und ewig“, oder „bis in alle Ewigkeiten“? Können wir Menschen mit unserem endlichen Leben uns Unendlichkeit überhaupt vorstellen? Unendlichkeit ist schon immer ein großes Rätsel und doch gibt es in der Mathematik beispielsweise Wege die Unendlichkeit, oder zumindest Dinge die unendlich sind, darzustellen. Zudem wird in der Mathematik sogar versucht verschiedene Unendlichkeiten mit einander zu vergleichen, um deren Mächtigkeiten herauszufinden.

Viele alltägliche Dinge enthalten einen Hauch von Unendlichkeit bis hin zu solchen, welche unendlich sind. Manchmal ist es uns zudem nicht bewusst, dass wir mit zahlreichen Dingen zu tun haben, die mit der Unendlichkeit in Verbindung stehen. Beispielsweise die unendliche Weite unseres Universums ist etwas, worüber wir nicht jedes Mal nachdenken, wenn, das Wort Universum fällt, natürlich wissen wir, dass es sehr, sehr groß ist, aber unendlich? Doch das ist nicht das einzige. Allein im Alltag gibt es Phänomene, wie z.B. den Droste-Effekt (siehe Kapitel 6.4.), die uns die Unendlichkeit sehr nahebringen. Aber auch unsere Seele, wenn daran geglaubt wird, ist unsterblich.

Auch in der Physik gibt es die Unendlichkeit, wie gerade schon mit der Größe des Universums angedeutet. Nach Einsteins Relativitätstheorie beispielsweise, bleiben Uhren stehen, welche sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, also eine unendliche Zeitspanne, die so gesehen keine Zeitspanne ist.Diese und noch viele weitere Phänomene werden im physikalischen Teil vorgestellt.

Ein weiteres Thema wird das menschliche Dasein und dessen Besonderheiten sein. Dazu kommt, dass auch die Relation vom Menschen zur Unendlichkeit beschrieben wird. Wie klein sind wir eigentlich im Gegensatz zum Universum? Und wie wichtig sind kleine Dinge in unserem Leben, wenn sie aus einer ganz anderen Sichtweise betrachtet werden?

1.1 Ziel der Jahresarbeit

Ein Ziel dieser Jahresarbeit ist es, Unendlichkeit aus verschiedenen Blickwinkeln zu entdecken und auch zu verstehen. Dabei geht es auch vor allem darum, die Vielfalt der Unendlichkeit, welche paradoxer Weise unendlich zu sein scheint, zu betrachten. Sich mit dem Unendlichen vertraut zu machen und dadurch andere Blickweisen zu erlernen oder wenigstens kennen zu lernen. Zudem aber auch zu entdecken, wie viel Unendlichkeit in unserem Leben existiert, was vermutlich eine ganze Menge ist.

Ein weiteres Ziel ist es, Unendlichkeit in Relation zum menschlichen Dasein zu betrachten - Unendlichkeit im endlichen Leben. Dabei geht es vor allem darum, den Menschen und die Besonderheit seines Daseins genauer zu betrachten und somit auch neue Dinge kennen zu lernen. Zudem die Erkenntnis zu erlangen wie zufällig unser Leben doch ist.

2 Mathematische Unendlichkeit

2.1 Überblick

Die folgenden Kapitel beschäftigen sich mit der Unendlichkeit in der Mathematik. In dieser gibt es viele Beweise für die Existenz des Unendlichen. Zunächst wird das Symbol der Unendlichkeit und dessen Herkunft vorgestellt. Darauf folgt die Projektive Geometrie, in welcher die Unendlichkeit nahezu sichtbar wird. Danach werden die Zahlen und deren Eigenschaft, endlos weiter gezählt zu werden, gezeigt. Zudem auch wie bewiesen werden konnte, dass die Zahlen unendlich sind. Zusätzlich werden die irrationalen Zahlen wie Pi oder behandelt und vertieft. Zum Schluss werden Folgen und Reihen erklärt und durch deren Mächtigkeit die Unendlichkeit noch viel komplexer wird.

2.2 Das Symbol der Unendlichkeit

Die Anfänge des Unendlichkeitssymbols sind auf die Symbole in den 5500 Jahre alten Megalithtempeln auf Malta zurückzuführen. In diesen Tempeln wurden mehrere in Stein gehauene Doppelspiralen gefunden, so die Internetseite „unendliches.net“.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 2 Uroboros- Die erste Abbildung der Unendlichkeit

Sie gelten als die erste abstrakte Darstellung der Unendlichkeit.

Zu späteren Zeiten galt die Schlange, welche ihren eigenen Schwanz verschlingt als Unendlichkeitssymbol. Dieses Symbol wurde vor allem von den Tibetern, den Maya und den Altägyptern genutzt und ist als Uroborus bekannt.¹

Das Unendlichkeitssymbol ist auch unter dem Namen Lemniskate bekannt, oder Cassini-Kurve. Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) ein italienischer Mathematiker und Astronom, welcher unter anderem mehrere Saturnmonde und erstmals die Lücke im Saturnring entdeckte, die nach ihm als Cassinische-Teilung benannt wurde, so Wikipedia. Cassini hatte eine eher konservative Haltung, weswegen er auch Keplers Ellipsenbahnen und Newtons Gravitationstheorie ablehnte, er schlug anstatt einer Ellipse eine Kurve vierter Ordnung vor. Bei dieser Kurve handelt es sich um die liegende Acht, sie ergibt sich durch die Abstandsdefinition der Ellipsen, bei der die Summe der Abstände beider Brennpunkte konstant bleiben muss. Dabei entstehen noch vier weitere Arten der Cassini-Kurve.²

Die Benennung Lemniskate wird in der Fachsprache verwendet und stammt von dem griechischen Wort Lemniskos, was so viel wie „Wollenes Band“ heißt, teilweise ist sie auch bekannt unter „Liebesknoten“.

Laut dem Autor Wallace, ließ der englische Mathematiker John Wallis (1616-1703) 1655 das Symbol der liegenden Acht in De sectionibus conicis (Über Kegelschnitte) auftauchen, als ob es bereits allgemein eingeführt wäre. Wallis verwendete das Symbol erneut in seinem großen Werk Arithmetca infinitorum, welches er ein Jahr später verfasste. In diesem Werk erforscht Wallis unendliche Reihen, damit ist dieses eine der bedeutenden Vorarbeiten für die Infinitesimalrechnung.

Aus welchen Grund Wallis das Symbol der Unendlichkeit verwendete, ist nicht bekannt, jedoch ist es heut zu Tage zu einem gängigen Symbol der Mathematik geworden.³

Es gibt noch eine weiteres „Symbol“, welches für Unendlichkeit steht. Es sind die drei Punkte (...), die sehr oft in dem Bereich Folgen, Reihen und Grenzwerte auftauchen. Dabei ist beispielsweise bei der Folge 1,2, 3, ... gemeint, dass sie unendlich fortsetzbar ist. Eine Folge ist hingegen nicht unendlich, wenn am Ende der Reihe noch eine Zahl folgt. Beispiel: 1, 2, 3, ...x.

2.3 Projektive Geometrie

„In diesem unglaublichen Universum, in dem wir leben, gibt es nichts Absolutes. Selbst Parallelen schneiden sich irgendwo im Unendlichen.“

- Pearl S. Buck, Zuflucht im Herzen⁴

Die Projektive Geometrie ist ein sehr umfangreiches Thema in der Mathematik, weshalb ich nur auf bestimmte Bereiche eingehen werde.

Die Projektive Geometrie, ebenfalls als nichteuklidische Geometrie bekannt, wurde von dem französischen Architekten und Mathematiker Gerard Desargues (1591-1661) erforscht, so Wikipedia. 1640 erschien sein Buch „Brouillon“, in dem Desargues sich mit dem „ersten Entwurf eines Versuches über die Ereignisse des Zusammentreffens eines Kegels mit einer Ebene“⁵ beschäftigte. Dieses Werk gilt als Geburtsurkunde der Projektiven Geometrie.⁶

Ein kleines Gedankenexperiment: Stellen wir uns vor, dass wir mittig auf einem Eisenbahngleis stehen und die beiden parallelen Schienen, welche ohne Kurven genau geradeaus weiterlaufen, mit den Augen verfolgen. An einem bestimmten Punkt treffen sich die beiden parallelen Schienen, dies ist der sogenannte Fluchtpunkt oder auch Fernpunkt. Doch eigentlich ist uns bewusst, dass die beiden Geraden sich nicht schneiden, warum sehen wir es dann in der Realität?

Das was in der Realität wahrgenommen wird, ist nicht der euklidische Anschauungsraum, sondern der, der Projektiven Geometrie. Wir sehen, dass sich die beiden Schienen am Horizont scheiden da wir mit dem menschlichen Auge nicht weiter schauen können. Wenn wir uns ein Fernglas zur Hand nehmen und den Schienenverlauf verfolgen, der in diesem Falle gerade und parallel ist, sehen wir ebenfalls den Fernpunkt am Horizont. Durch das Sehen des Fluchtpunktes, können wir Perspektiven wahrnehmen und Entfernungen einschätzen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 3 - Fernpunkt

Für die Projektive Geometrie gilt folgendes:

Jede Gerade besitzt einen Fernpunkt, alle Fernpunkte des Raumes bilden die Fernebene, die restlichen Punkte, wie beispielsweise Schnittpunkte sind eigentliche Punkte, genauso wie die Ebenen, welche keine Fernebenen sind, eigentliche Ebenen heißen. Die Fernpunkte jeder eigentlichen Ebene bilden die Ferngerade.⁷

Doch wo befinden sich die Fernpunkte, bzw. wo schneiden sich die beiden Geraden, wenn sie parallel zu einander verlaufen?

Beginnen wir mit zwei Geraden, die sich an einem Punkt schneiden, beide Geraden sind unendlich lang.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 4 - Zwei sich schneidende Geraden

Dreht man nun die obere Gerade soweit, dass die beiden Geraden parallel zu einander erscheinen, ist der Schnittpunkt scheinbar verschwunden. Dennoch schneiden sich die beiden Geraden und zwar im Fernpunkt oder auf der Ferngeraden. Da aber beide Geraden unendlich lang sind, schneiden sich die beiden Parallelen auch im Unendlichen. Dadurch sind sie streng genommen keine Parallelen mehr. Doch wie schneiden sich zwei Parallelen im Unendlichen? Eine sehr paradoxe Vorstellung, doch der Schnittpunkt muss an einer Stelle wieder „auftauchen“. Der Punkt ist dadurch in das Unendliche gelangt, ein ganz herkömmlicher Schnittpunkt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 5 - Parallele Geraden

Ebenso wie Geraden Fernpunkte besitzen, stehen auch Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln und Kreise damit in Verbindung.

Anhand der Kegelschnitte lässt sich dies sehr gut zeigen. Schon der griechische Mathematiker Menaichmos (um 380 v. Chr.-320 v. Chr.) untersuchte die Kegelschnitte mit Hilfe eines Kegelmodells, später wurden die gesamten Kenntnisse über die Kegelschnitte von Apollonis von Perge (ca. 265 v. Chr.- ca. 190 v. Chr.) in seinem achtbändigen Werk Konika zusammengefasst, so die Internetseite „Wikipedia“. Menaichmos hatte zuerst nicht nach den Kegelschnitten geforscht, sondern nach der Würfelverdopplung, dabei entdeckte er die Kegelschnitte und damit auch die Parabel und die Hyperbel. Allerdings wurden diese Begriffe erst durch Apollonis von Perge und sein Werk Konika geprägt. Mit dieser Entdeckung wurde vor allem in der Astronomie, aber auch in der Optik und in noch anderen Themenbereichen, viel gearbeitet. Beispielsweise konnte bewiesen werden, dass die Bahnen der Himmelskörper Ellipsen sind, ein anderes, ganz praxisnahes Beispiel sind Autoscheinwerfer und noch vieles mehr.⁸

2.4 Unendlich viele Zahlen

Anaximander (610 - 546 v.Chr.) führte den Begriff Apeiron als einen unendlichen und unendlich fein teilbaren Urstoff ein, aus dem alles Endliche hervorgeht: "Ursprung aller Dinge ist das Unendliche", so die Internetseite „Unendlich.net“.⁹

Bereits im Kindesalter fangen wir an zu zählen. Zunächst bis Zehn, dann bis Hundert, Tausend und so weiter… bis die Frage aufkommt, wie weit die Zahlen reichen. Manche Kinder stellen sich vielleicht gar nicht diese Frage, sondern behaupten nach der Zahl, nach der sie nicht mehr weiter zählen können, die nächste Zahl sei unendlich.

Auch wenn diese Annahme für ein Kind zunächst selbstverständlich ist, muss jedoch hinzufügt werden, dass Unendlichkeit keine Zahl ist, sondern eher als ein Prozess bezeichnet werden sollte. Nach Clegg ist es ein Prozess des Immer-weiter-Zählens, oder des Alle-Grenzen-Überschreitens. Deshalb ist Unendlichkeit auch nicht mit „unheimlich groß“ zu verwechseln.¹⁰

Schon um 3000 v. Chr. befassten sich die Ägypter mit Zahlen und praxisnaher Geometrie. Zahlen schrieben sie in Hieroglyphen.

Die Zahl Null taucht dort allerdings nicht auf, es wurde anstatt dieser gelegentlich der Begriff des „nicht Vorhandenseins“ verwendet. Die vier Grundrechenarten gab es zu diesem Zeitpunkt ebenfalls. Durch geschicktes Verdoppeln, Addition und Subtraktion konnten Multiplikationen und Divisionen gemeistert werden. Zum Berechnen von Flächen oder Volumina verwendeten sie Brüche.

Die zu der Zeit vorhandene Mathematik wurde auch in der Schule gelehrt. Außerdem gab es den Beruf des Schreibers, bei dem unter anderem gerechnet werden sollte.

Unser heutiges Zahlensystem stammt aus dem Arabischen. Die arabischen Mathematiker gründeten die Algebra anhand der Erkenntnisse von den Römern, den indischen -und griechischen Mathematikern.

Doch vor allem die Griechen waren es, welche schon 600 v. Chr. ein philosophisches Interesse an der Mathematik aufwiesen.

Pythagoras von Samos (um 570 v.Chr.- 510 v. Chr.) war es, der als Gründer der griechischen Philosophie, der Mathematik und der Naturwissenschaften gilt. Am bekanntesten ist er sehr wahrscheinlich für den Satz des Pythagoras, der in Schulen gelehrt wird. Pythagoras war außerdem Gründer der Schule der Pythagoreer, auf der unter anderem auch der Mathematiker Archytas von Tarent (zwischen 435 und 410 v. Chr. – zwischen 355 und 350 v. Chr.) war. Dieser bewies z.B., dass Quadratwurzeln irrational sind, was ich später noch vertiefen werde. Außerdem stammt von ihm ein kosmologisches Gedankenexperiment, welches für ein unendliches Universum argumentiert, worauf ich ebenfalls später eingehen werde.¹¹

An der von Platon (428 v. Chr. – 347 v. Chr.) gegründeten platonischen Akademie in Athen waren ebenfalls viele bedeutende Philosophen und Mathematiker. Zu dieser Zeit wuchs die griechische Mathematik zu einer Wissenschaft heran.

Unter anderem auch durch Aristoteles (384-322 v. Chr.), welcher einer der bekanntesten Philosophen der Geschichte war. Durch ihn entwickelten sich der Aristotelismus und auch die Postulate der Aussagenlogik. Zusätzlich widerlegt er auch Zenons Paradoxien, siehe Kapitel XXX meiner Ausarbeitung.¹²

Eudoxos von Knidos (zwischen 397 bis 390 v. Chr. – zwischen 345 und 338 v. Chr.) war ebenfalls ein bedeutender Philosoph der platonischen Akademie. Er entwarf die Exhaustionsmethode, die antike Version der Integralrechnung und gleichzeitig die Grundlage der Infinitesimalrechnung.¹³

Bevor ich mit Zenon aus Elea und seinen Paradoxien beginne, möchte ich anmerken, dass sich selbstverständlich auch andere Kulturen mit der Mathematik auseinandersetzten. Dennoch sind für meine Jahresarbeit die mathematischen Erkenntnisse der griechischen Kultur am interessantesten.

Zenon aus Elea (490-430 v. Chr.) zählte zu den Vorsokratikern und war ein Schüler von Parmenides aus Elea (540-480 v. Chr.). Zenon vertrat Parmenides Auffassung, die besagt, dass das Sein unveränderlich sei was bedeute, dass die Veränderung und die Bewegung nur eine Täuschung der Sinne sei.¹⁴ In Zenons berühmter Dichotomie, versucht er demnach zu beweisen, dass die Kontinuität unmöglich ist.

In seinen Paradoxien behandelt Zenon das unendlich Kleine, was heißen soll, dass ebenso das unendlich Große besteht. Am besten lassen sich diese Unendlichkeiten anhand einer Zahlengrade veranschaulichen.

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Bild 6 - Zahlengerade

Diese ist übrigens auch von den Griechen, allerdings beinhaltet die „frühere Version“ nicht die negativen Zahlen und auch nicht die Zahl Null, da die Griechen nicht mit diesen rechneten. Mit der Zahlengrade wurden Mathematik und Geometrie vereint. Die Zahlengerade ist auch als hyperreller Zahlenstrahl bekannt, da er auch die Nichtstandardzahlen enthält, so der Autor Wallace.

Auf der Zahlengrade lässt sich für jede Zahl eine Position bestimmen, sie stellt somit ein Kontinuum dar, was für Zenons Paradoxon etwas ironisch ist.

Außerdem ist der Zahlenstrahl geordnet und erstreckt sich bis in die Unendlichkeit, wobei hier das unendlich Große gemeint ist.

Es gilt für jeden Punkt: (n-1) <n<(n+1).

Um auch auf das unendlich Kleine einzugehen, wird es noch abstrakter. Nicht genug, dass die Zahlengrade unendlich lang ist, sie hat ebenfalls keine Lücken oder Löcher. Zwischen jedem natürlich zahligen Intervall, beispielsweise zwischen 0 und 1, existiert eine weitere Unendlichkeit. In diesem Intervall erstrecken sich nämlich sämtliche rationale und auch irrationale Zahlen.

In Zenons Paradoxien wird gezeigt, dass die Folge 1/2,1/4,1/8 …. im Intervall 0-1 existiert, wobei jedoch andere Folgen im Intervall 0-1 nicht mit einbezogen werden, so Wallace. Zum Beispiel die Reihe 1/x, bei welcher x eine ungerade Zahl ist, oder auch die Folge und noch viele weitere. Somit gibt es in dem oben genannten Intervall nicht nur eine „kleine“ Unendlichkeit, sondern unzählbar viele. Also „Eine Unendlichkeit von Unendlichkeiten“.¹⁵ Dadurch werden logischerweise neue Fragen entstehen, womit die Rätselhaftigkeit und Zweideutigkeit in der Metaphysik und in der Mathematik zu diesen Unendlichkeiten vertieft wird. Soll diese endlose Unendlichkeit etwa auf hindeuten? Oder doch 2×oder ?¹⁶

Das wird zunächst leider eine offene Frage bleiben.

Obwohl oben gesagt wurde, die Zahlengrade habe keine Lücken, können wir ebenso das Gegenteil behaupten. Denn schon allein im Intervall 0-1 bestehen unendlich viele Unendlichkeiten, die Lücke ist also somit unendlich groß. Demnach hat der Zahlenstrahl, welcher ja unendlich lang ist, auch noch unendlich große Lücken. Wie kann sich so etwas vorgestellt werden? Heißt das, dass um von der Null zu der Eins zu gelangen, es unendlich lange dauern wird? Und von der Eins zur Zwei ebenfalls? Es scheint so, trotzdem ist es möglich diese Unendlichkeiten einfach zu „ignorieren“ und wie gewohnt von Eins bis Zwei zu zählen, ohne jegliche unendlichen Folgen in Betracht zu ziehen. Wenn Sie also das nächste Mal bis Zehn zählen, erinnern Sie sich, dass Sie unendlich lange weiter Zählen könnten und dabei unendlich viele und unendlich große Lücken überspringen.

Nun zu den Paradoxien Zenons. Das erstes und auch das wahrscheinlich meist bekannteste Paradoxon, ist das von Achilles und der Schildkröte. Dafür benötigte Zenon ausschließlich die Dichte der Zahlengerade. Wie schon bereits erwähnt verfolgt Zenon das Ziel, zu beweisen, dass es keine Kontinuität gibt und dass unsere Sinne sich täuschen würden, wenn wir so etwas wie Bewegung und oder Veränderung wahrnehmen.

Das Paradoxon kann wie folgt beschrieben werden:

Achilles, der schnellste und beste Läufer, tritt gegen eine Schildkröte zu einem Laufwettbewerb an. Die Schildkröte ist eine gewöhnliche und nicht mit besonderen Fähigkeiten ausgestattete Schildkröte, somit sollte geglaubt werden, dass Achilles mit links das Rennen gewinnt. Um fair zu bleiben, bekommt die Schildkröte 100 Meter Vorsprung, denn ihre Geschwindigkeit beträgt nur ein Zehntel von Achilles Geschwindigkeit. Das Rennen beginnt, Achilles läuft los, ebenso wie die Schildkröte. Achilles kommt bald an den Startpunkt der Schildkröte, diese ist ihm allerdings immer noch 10 Meter voraus. Achilles läuft zu dem Punkt, an dem die Schildkröte 10 Meter vor ihm war, doch diese ist ihm wieder um ein Zehntel voraus. Achilles kann demnach die Schildkröte nie einholen, da diese ihm immer um ein Zehntel voraus sein wird. Zudem werden die beiden auch nie an eine Ziellinie geraten, denn ihre Schritte werden immer kleiner und das Rennen geht unendlich lang!

Jedoch würde uns der gesunde Menschenverstand etwas anderes sagen, nämlich, dass dies doch unmöglich ist. Und doch ist es so.

Ähnlich verhält es sich mit dem Pfeil, der nie ankommt und die Straße, welche nicht überquert werden kann.

Stellen Sie sich vor, sie stehen in einer kleinen Entfernung vor einer Dartscheibe und versuchen den in ihrer Hand haltenden Dartpfeil auf die Scheibe zu werfen, so beschreibt es der Autor Wallace. Zunächst muss der Pfeil die Hälfte der Strecke zurücklegen, um zu der Scheibe zu gelangen. Nachdem er die halbe Strecke zurückgelegt hat, muss folglich die Hälfte der verbleibenden Hälfte passiert werden und anschließend von dieser Hälfte die Hälfte und von dieser Hälfte die Hälfte und so weiter. Demnach würde der Pfeil erst langsamer werden und anschließend stehen bleiben, wobei er sich eigentlich noch sehr, sehr langsam bewegen würde, was mit dem bloßen Auge jedoch nicht zu erkennen wäre. Daraus folgt, dass der Pfeil nie ankommt. Genauso spielt sich das Szenario des Überquerens der Straße ab, welches der Autor Wallace beschreibt. Die Ampel springt auf grün und sie gehen los, zuerst überqueren Sie die Hälfte der Straße, dann die Hälfte der verbleibenden Hälfte und so weiter. Wie dies ausgeht ist offensichtlich, die Straße kann nicht überquert werden.¹⁷ Es ist einfach nicht möglich! Nach Zenon.

In der Realität ist es selbstverständlich möglich, das können wir alle bestätigen. Aber trotzdem ist es doch merkwürdig, denn auch auf der echten Straße wird erst die Hälfte der Strecke zurückgelegt und dann die Hälfte der zweiten Hälfte. Warum brauchen wir nicht auch unendlich lange um die Straße zu überqueren?

Die Antwort gibt uns Aristoteles in seinen Büchern V, VI und VIII zu der Physik.

Auch wenn die Widerlegungen Aristoteles eigentlich Teil der Metaphysik sind, möchte ich sie trotzdem in diesem Zusammenhang erklären.

Zunächst stellt Aristoteles fest, dass Zenon im Zusammenhang, der nicht vorhanden Bewegung und Veränderung auch davon ausgeht die Zeit würde aus dem Jetzt bestehen. Denn nur so kann der Pfeil beim Bewegen stehen. Jedoch beinhaltet die Zeit zusätzlich die Gegenwart und die Zukunft, weshalb der Pfeil auch ankommt, genauso, wie Sie die Straße überqueren können. Wenn nur die Gegenwart bestehen würde, würde sie folglich ewig existieren und nichts könnte sich verändern und bewegen. Außerdem erklärt Aristoteles, dass beim wiederholenden Teilen der Strecke die Bewegung kontinuierlich bleibt. Im Kontinuierlichen, in dem sich nach Zenon Achilles und die Schildkröte befinden, gibt es unendlich viele Hälften, allerdings trifft dies in der Verwirklichung nicht zu, sondern ist bloß potentiell. Das heißt, dass in der Wirklichkeit in diesem Sinne keine kontinuierliche Bewegung besteht. Achilles kann die Schildkröte somit überholen, der Pfeil gelangt an die Dartscheibe und wir können über die Straße gehen, da die Unendlichkeit in der Potenz möglich ist, jedoch nicht in der Realität. Auch wenn es einem vorkommen mag, als habe eine Linie unbegrenzt viele Hälften, so ist dies in der Verwirklichung nicht der Fall.¹⁸

Unendlich viele Primzahlen

Euklid von Alexandria (ca. 300v- Chr.) war ein Philosoph über dessen Leben leider nicht sehr viel bekannt ist, so Wikipedia. Er stellte eine Musiktheorie auf und beschäftigte sich mit der Mathematik. Die damaligen mathematischen Kenntnisse fasste er im Buch der Elemente zusammen.¹⁹ Unter anderem stellt er in diesem Buch die Behauptung auf, dass es unendlich viele Primzahlen gäbe, allerdings beschrieb er es ohne das Wort unendlich. Er sagt vielmehr es gäbe keine größte Primzahl, was natürlich auf das Gleiche hinausläuft.

Um dies auch zu beweisen, nimmt der Autor Wallace an, die größte Primzahl sei P. Somit wären die Primzahlen endlich (2, 3, 5, 7, 11, ... P). Jetzt wird jede Primzahl der endlichen Folge miteinander multipliziert und zu dem Ergebnis 1 addiert. Dieses Ergebnis ist die Zahl R. R ist demnach größer als P. Wenn R nun eine Primzahl ist, wurde damit widerlegt, dass P die größte Primzahl ist. Wenn R keine Primzahl ist, dann muss R jedoch durch eine Primzahl dividiert werden können. Es kann allerdings keine Primzahl aus der endlichen Reihe sein, da es immer einen Rest von 1 geben würde. Folglich muss es eine größere Primzahl als P geben, in welche R zerlegt werden kann.²⁰

Um es noch einmal zu veranschaulichen, zeige ich ein Zahlenbeispiel aus der Oberstufenakademie:

Nehmen wir, 7 ist eine Primzahl und größer als 3, welche zuvor die größte Primzahl war, bevor wir bewiesen haben, dass 7 eine größere Primzahl ist.

Dies lässt sich immer so weiterführen, bis das Ergebnis keine Primzahl ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

30031 ist keine Primzahl, sie lässt sich jedoch in zerlegen. Beide sind Primzahlen und offensichtlich auch größer als 13. Dies kann immer so weitergeführt werden, denn es gibt immer noch eine größere Primzahl, allerdings werden heut zu Tage die sehr großen Primzahlen über einen Computer und nicht mit der Hand ausgerechnet.²¹

Tatsächlich gibt es Menschen, welche sich das Finden und Beweisen von unglaublich großen Primzahlen zum Sport gemacht haben. Spencer sagt, dass eine der größten Primzahlen, die jemals entdeckt wurde, -1 ist. Dazu muss man sagen, dass das Beweisverfahren etwas anders ist. Hier hat die 2 immer eine Potenz, welche die nächste größte Primzahl ist, davon subtrahiert man 1 und es ergibt entweder eine Primzahl die größer ist als die Potenz der 2 oder keine Primzahl die größer ist. Auch wenn es keine Primzahl ist, kann sie aber wieder in zwei Faktoren zerlegt werden, welche prim sind und gleichzeitig auch größer als die Potenz. Nun zurück zu der massiven Primzahl, wie groß ist sie denn jetzt wirklich?

Dazu gibt Spencer ein paar Beispiele: Zunächst besitzt sie 17.000.000.000,5 Millionen Ziffern. Würde diese Zahl an einem Computer aufgeschrieben werden und das Dokument würde gespeichert werden, hätte es 22 MB. Immer noch nicht richtig vorstellbar?

Kein Problem. Stellen Sie sich alle sieben Harry Potter Bände vor, würde man diese Primzahl aufschreiben, wäre sie so lang wie alle diese sieben Harry Potter Bände und nochmal die Hälfte dieser Bände dazu.²²

Die 9-Teilung

Zum Ende des Unterkapitels unendlich viele Zahlen möchte ich das Paradox der 9-Teilung anhängen. Bevor wir beginnen, ergänze ich noch ein anderes Paradox zum Einstieg.

Dank Euklid ist es uns bewusst, dass eine Linie aus Punkten besteht und jede Linie unendlich viele Punkte hat, so Wallace. Ein Punkt ist wie bekanntlich ein geometrisches Element, welches keine Ausdehnung besitzt. Eine Linie hat demnach keine Ausdehnung, da sie ja bloß aus Punkten besteht, jedoch erstreckt sie sich in die Unendlichkeit. Wie ist das möglich?²³ Noch verwirrender verhält es sich mit der sogenannten Konstruktion der 9-Teilung, sie geht wie folgt:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Kathete mit der Länge von einem Meter und die Hypotenuse eine Länge von 1,8 Meter. Die übrigbleibende Kathete ist die Kathete K. Die 1,8 Meter lange Hypotenuse wird in 9 Teile mit jeweils einer Länge von 0,2 Metern unterteilt. Bevor ich fortfahre, muss gesagt werden, dass die Kathete mit der Länge von einem Meter natürlich kürzer ist und weniger Punkte auf ihr sind, als auf der 1,8 Meter langen Hypotenuse. Allerdings kann gezeigt werden, dass dies nicht der Fall ist! Nachdem die Hypotenuse in 9 Abschnitte geteilt ist, werden parallel zu Kathete K 9 Linien zu der Kathete mit der Länge von einem Meter konstruiert. Somit hat die ein Meter lange Kathete dieselbe 9-Teilung, wie die Hypotenuse, welche um 0,8 Meter länger ist. Merkwürdig, nicht?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 7 – Konstruktion der 9-Teilung

2.5. Unendliche Zahlen/ Irrationale Zahlen

Es ist noch nicht all zu lange her, als die irrationalen Zahlen nicht akzeptiert wurden, wie andere Zahlen. Irrationalität und auch die Zahl Null galten früher als Verrücktheit. Der Autor Wallace berichtet, dass zu Beginn der Entdeckung der Irrationalität es schien, als würden Mathematiker beweisen wollen, dass ein Einhorn nicht etwa ein Tier sei, welches niemand jemals gesehen hat, sondern dass ein Einhorn eher eine völlig neue Art von Tier sei. Zudem soll es besondere Eigenschaften haben und gleichzeitig unsichtbar sein.²⁴

Schon bei den Griechen galt die Irrationalität als ein Skandal, denn zur Zeit Pythagoras galt der Grundsatz „Alles ist Zahl“, so die Internetseite „geo.de“. Dabei ging es vor allem darum, die Natur durch ganze Zahlen zu erklären und zu erfassen, so Pesic. Ein griechischer Philosoph namens Hippasos von Metapont, der ungefähr zum Ende des fünften Jahrhunderts v. Chr. lebte fand heraus, dass es Größen gebe, die sich nicht durch ganzzahlige Verhältnisse ausdrücken ließen. Wie beispielsweise der goldene Schnitt. Hippasos wurde für diese Entdeckung mit dem Tod bestraft, für den Verrat des so genannten Geheimnisses wurde er im Meer ertränkt.²⁵

Pi

Irrationale haben die Eigenschaft, dass wenn sie in eine Dezimalschreibweise ausgedrückt werden, die Dezimalstellen hinter dem Komma weder begrenzt noch periodisch sind, so Wallace.²⁶ Sehr wahrscheinlich sind die irrationalen Zahlen auch so umstritten gewesen und fanden deswegen lange Zeit keine Anerkennung. Ungefähr im 17. Jahrhundert begannen viele Mathematiker sich mit der Irrationalität auseinander zu setzten, so Clegg.²⁷

Die Internetseite „3.14159.de“ sagt, dass die Zahl Pi wohl als eine der ältesten irrationalen Zahlen gilt. Bereits bei den Ägyptern, ca. 2000 v. Chr. wurden Annäherungswerte für Pi gemessen. Dabei lagen sie mit einem Wert von 3,16 weniger als ein Prozent neben dem korrekten Zahlenwert. Der griechische Philosoph Archimedes war der erste, welcher Pi schriftlich und rechnerisch herleitete und dadurch auch 2 Stellen nach dem Komma erlangte. Der Buchstabe Pi stammt aus dem griechischen Alphabet und ist der sechste Buchstabe. Das nächste einschneidende Ereignis von Pi trug sich erst in der Neuzeit zu, als es dem Mathematiker Ludolph van Ceulen (1540-1610) gelang Pi bis auf die 35. Stelle zu berechnen. Veröffentlicht wurde diese Ziffernfolge erst im Jahre 1615. Auf Ludolphs Grabstein wurde Pi bis auf die 35. Stelle eingraviert. Im Jahre 1707 knackte der Astronom und Mathematiker John Machin die hundertste Stelle von Pi. Als das Zeitalter der Computer begann, gelang es Mathematikern Pi bis auf die 1.000.000.000. Stelle zu errechnen, dies geschah im Jahre 1989. Der heutige Pi-Stellen Weltrekord liegt bei 22,4 Billionen Stellen und wurde 2016 aufgestellt.²⁸

Abbildung ist aus urheberrechtlichen Gründen nicht Teil dieser Arbeit.

Bild 8 - Pi

Wie wir wissen besitzt Pi unendlich viele Stellen, was es auch zu einer irrationalen Zahl macht. Pi war außerdem ein Auslöser, dass die Irrationalität nicht länger ignoriert werden konnte. Doch nicht nur Pi war vielen Mathematikern in früherer Zeit nicht geheuer, sondern auch die Wurzel aus 2.

Das Problem entstand nachdem der Satz des Pythagoras entdeckt war. Zuvor wurde er nur auf reale geometrische Sachverhalte angewendet, bis man versuchte, die Hypotenuse von dem gleichschenkligen Einheitsquadrat zu errechnen. Dabei stellte sich schnell heraus, dass die Hypotenuse nicht mit einer rationalen Zahl dargestellt werden könne.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 9 - Einheitsquadrat

Anhand eines Verhältnisses versuchte man die Länge der Hypotenuse darzustellen, denn diese ist beim Einheitsquadrat . Da jede rationale Zahl in einen Bruch verwandelt werden kann, wurde gedacht, dass dies auch bei der Wurzel aus zwei funktioniert. Der Autor Wallace beschreibt, dass wenn man p und q herausfinden will, muss die Annahme gemacht werden, dass der Bruch gekürzt ist und p und q größer als Null sind. Durch den Satz des Pythagoras kann zu umgeformt werden. p kann nicht ungerade sein, da eine Zahl, welche mit 2 multipliziert wird immer grade ist. Nehmen wir an p ist gerade , dann könnte p ebenso als 2 r ausgedrückt werden, weil r in dem Falle die Hälfte von p wäre. Wird dies in die Gleichung eingesetzt, bekommen wir =und gekürzt ergibt dies . Daraus folgt, dass q auch eine gerade Zahl ist, allerdings ist das Problem, dass ein Bruch mit zwei geraden Zahlen immer gekürzt werden kann. Damit ist der Versuch ein Widerspruch. Das kommt daher, dass die irrationalen Zahlen nicht in Brüche dargestellt werden können, daher auch der Widerspruch.²⁹

Ist 1=0,99999 ?

Ist die Zahl 0,9999 gleich 1? Das könnte angenommen werden, wenn bedacht wird, dass die 0,99999 sich auf Grund der Periode unendlich lange wiederholt. Theoretisch könnte jede Zahl so ausgedrückt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und so weiter...

Dazu besteht noch ein anderer Beweis, der für die Gleichheit von 0,99999 und 1 spricht:

=0,und = 1, das steht fest. Nehmen wir nun ein Drittel und multiplizieren dies mit der 3 bekommen wir: . Wir wissen, sind ein Ganzes, also 1, damit wird gezeigt, dass 0,= 1. Der Gegenbeweis ist, dass gesagt wird, 0,sei eine surreale Zahl, also eine unendlich lange und große Zahl, die nicht real ist. Dadurch sind andere Regeln beim Rechnen zu beachten, weshalb nicht angenommen werden kann, dass . Darüber hinaus könnte auch argumentiert werde, dass 0,eine andere Zahl als 1 ist und vor allem immer etwas weniger als 1, aus diesem Grund können diese nicht gleich sein.

[...]

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¹ Vgl. Lotter, J. (2015): Unendlichkeitssymbol Online im Internet: http://unendliches.net/ Stand(5.2.2018)

² vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018) : Giovanni Domenico Cassini. Stand im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Domenico_Cassini Stand (6.2.2018)

³ vgl. Wallace 2015, S. 28

⁴ vgl. Clegg 2015, S. 108

⁵ zit. Alderse, F. (2012): Ein wenig projektive Geometrie. Stand im Internet: https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/WS1314/GeoLBWS1314/WebHome/Geometrie_fuer_LB_Vorl_02.01.pdf Stand 6.2.2018

⁶ vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018) : Gerad Desargues. Stand im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Gérard_Desargues Stand 6.2.2018

⁷ vgl. Material aus der Oberstufenakademie vom 15.12.2018-22.12.2018

⁸ vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018) : Kegelschnitte. Online im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt Stand 6.2.2018

⁹ vgl. Lotter, J. (2015): Unendlichkeitssymbol Online im Internet: http://unendliches.net/ Stand 8.2.2018

¹⁰ vgl. Clegg 2015, S. 15

¹¹ vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018) : Archytas von Tarent. Online im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Archytas_von_Tarent Stand 8.2.2018

¹² vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018) : Geschichte der Mathematik. Online im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Mathematik#Mathematik_in_Griechenland Stand 8.2.2018

¹³ vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018): Eudoxoa von Knidos. Online im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Eudoxos_von_Knidos Stand 8.2.2018

¹⁴ vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018): Zenon von Elea. Online im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Zenon_von_Elea Stand 8.2.2018

¹⁵ zit. Wallace 2015, S.98

¹⁶ vgl. Wallace 2015, S. 97f

¹⁷ vgl. Wallace 2015, S. 65f

¹⁸ vgl. Aristoteles : Physik, Buch V

¹⁹ vgl. Wikimedia Foundation Inc. (2018): Euklid. Online im Internet: https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid Stand 12.2.2018

²⁰ vgl. Wallace 2015, S.40f

²¹ vgl. Material aus der Oberstufenakademie vom 15.12.2018-22.12.2018

²² vgl. Spencer, A.(2013) : Why I fell in love with monster prime numbers. Online im Internet: https://www.ted.com/talks/adam_spencer_why_i_fell_in_love_with_monster_prime_numbers Stand 13.2.2018

²³ vgl. Wallace 2015, S.51

²⁴ vgl. Wallace, S.56

²⁵ vgl. Broschart, J. (2018): Unendlichkeitslehre: Todesstrafe für Denker. Online im Internet: https://www.geo.de/magazine/geo-epoche/10691-rtkl-unendlichkeitslehre-todesstrafe-fuer-denker Stand 13.2.2018

²⁶ vgl. Clegg 2015, S.103

²⁷ vgl. Wallace 2015 S.140

²⁸ vgl. Steffens, G. (2018): Die Zahl Pi – Faszination in Ziffern. Online im Internet: https://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/ Stand 15.2.2018

²⁹ vgl. Wallace 2015, S.101f