Der Einfluss der Wahrscheinlichkeit bei statistischen Kugelspielen

Inhaltsangabe:

1. Einleitung

2. Versuchsdurchführung
2.1. Galton Brett
2.2. Radioaktiver Zerfall
2.3. Ehrenfest`sches Spiel
2.4. Unkontrollierter Schwankungsvorgang
2.5. Unkontrollierter Schwankungsvorgang mit Wechselwirkung
2.6. Alles oder Nichts

3. Ergebnisse
3.1. Galton Brett
3.2. Radioaktiver Zerfall
3.3. Ehrenfest`sches Spiel
3.4. Unkontrollierter Schwankungsvorgang
3.5. Unkontrollierter Schwankungsvorgang mit Wechselwirkung
3.6. Alles oder Nichts

4. Diskussion

1. Einleitung

Durch die durchgeführten Versuche soll gezeigt werden, welchen Einfluss die Wahrscheinlichkeit auf durchgeführte Experimente nimmt. Dazu werden verschiedene Versuche durchgeführt und deren Ergebnisse durch unterschiedliche Arten der Verteilung beschrieben. Dabei entsprechen die durchgeführten Versuche einem Bernoulli Experiment, welches ein Zufallsexperiment beschreibt, in dem nur zwei mögliche Ergebnisse entstehen können, nämlich Erfolg oder Misserfolg. Der Erfolg wird dabei mit der Wahrscheinlichkeit p bezeichnet und der Misserfolg wird mit q = 1-p bezeichnet. Der Wurf einer Münze ist ein Beispiel für Bernoulli- Experiment.

Durch N Fache Durchführung eines Bernoulli Experimentes erhält man aus den Ergebnissen verschiedene Arten von Verteilungen.

Eine Art der Verteilung ist die Binomial-Verteilung. Der Versuch "Galton-Brett" soll eine solche Binomial-Verteilung als Ergebnis haben, da die Wahrscheinlichkeit das eine Kugel an einem Hindernis nach rechts oder nach links fällt jeweils gleich groß ist.

In dem Versuch "Ehrenfest`sches Spiel" soll gezeigt werden, wie sich Schwankungen um einen Gleichgewichtspunkt verteilen. Dies wird durch Würfeln und Tauschen von verschieden farbigen Kugeln erreicht. Aus den erhaltenen Ergebnissen soll eine Gaußverteilung zustande kommt, da es hier zu einer Selbstregulierung der Verhältnisse kommt. Die Normalverteilung (Gaußverteilung) ist eine Näherungsmethode der Wahrscheinlichkeitsverteilung, in der Ergebnisse einer Binomial-Verteilung vereinfacht werden.

Eine andere Verteilung ist die Poisson-Verteilung. Diese beschreibt die Ergebnisse eines Experiments, in dem ein Ergebnis nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftritt und die Anzahl der einzelnen Versuche sehr groß sind, wie beim Versuch. Diese Verteilung wird anhand von radioaktiven Zerfällen geprüft.

Um zu überprüfen ob die verwendete Näherung und dadurch die theoretische Berechnung einer Verteilung mit der praktischen Verteilung übereinstimmen wird der Chi-Quadrat-Test für jede Verteilung durchgeführt.

Des Weiteren soll in den Versuchen "Unkontrollierter Schwankungsvorgang" und "Unkontrollierter Schwankungsvorgang mit Wechselwirkung" die Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisses mit den theoretisch berechneten Wahrscheinlichkeiten verglichen werden und es soll gezeigt werden welche Auswirkungen die erzeugten Wechselwirkungen auf die Wahrscheinlichkeiten haben.

Im Versuch "Alles oder Nichts" soll gezeigt werden, dass durch Veränderung der Verhältnisse die Gleichgewichtsverteilung instabil wird und dadurch ein Ergebnis bevorzugt wird.

2. Versuchsdurchführung

2.1. Galton Brett

Das Galton Brett besteht hier aus sechs regelmäßig angeordneten Hindernissen auf einem Brett. Eine endliche Anzahl an Kugeln (10 x 100) wird oben in das Brett reingeworfen und durchläuft das sechs stufige Brett. Im Anschluss fallen sie in 7 verschiedene Behältnisse und bilden eine Verteilung. Abbildung 1 zeig ein Beispiel für ein 4 stufiges Galton Brett.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Bsp. eines 4 Stufigen Galton Brettes.

Die Wahrscheinlichekeit das eine Kugel an einem Hinderniss nach rechts oder nach links fällt ist jeweils gleich. Die Wahrscheinlichkeiten in einem 6 stufiges Galton Brett sind für die Fächer 1-7 wie folgt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2. Radioaktiver Zerfall

In diesem Experiment werden die Zerfälle in 200 aufeinanderfolgende Zeitintervalle von jeweils 30 Sekunden gemessen.

Es soll festgestellt werden ob der experimentelle Befund durch eine

Poisson-Verteilung beschrieben werden kann.

2.3. Ehrenfest`sches Spiel

Das 6x6 Spielfeld wurde so aufgebaut wie es aus den Unterlagen des Versuches von der letzten Gruppe beschrieben wurde. Am Anfang waren 16 gelbe sowie 20 grüne Kugeln auf dem Brett verteilt. Mit 2 verschiedenen Würfeln wurde nun 50 mal gewürfelt. Die Kugel die erwürfelt wird, wird durch eine Kugel der jeweils anderen Farbe ausgetauscht. Nach jedem Austausch wird der k Wert, der das Verhältnis von grünen zu gelben Kugeln angibt neu errechnet.

-(1)

Mit n = Anzahl der grünen Kugeln und N = Anzahl der Felder. Nach 50 Würfen wird das Spiel willkürlich unterbrochen.

2.4. Unkontrollierter Schwankungsvorgang

Dieses Spiel wurde auf einem 4x4 Feld gespielt. Das Spielfeld wurde so aufgebaut wie es die Vorgängergruppe notiert hatte.

Es wird mit einem Würfel gewürfelt. Wird eine gerade Zahl gewürfelt wird eine beliebige grüne gegen eine gelbe Kugel ausgetauscht. Bei einer ungeraden Zahl umgekehrt. Nach 50 Würfen wird das Spiel willkürlich unterbrochen.

Nach jedem Wurf wird das Verhältnis notiert. (n = Anzahl der grünen Kugeln n`= Anzahl der gelben Kugeln)

2.5. Unkontrollierter Schwankungsvorgang mit Wechselwirkung

Dieses Spiel wird auf einem 4x4 Spielfeld gespielt. Die eine Hälfte wird mit 8 grünen die andere mit 8 gelben kugeln besetzt. Es wird mit einem Würfel gespielt. Wird eine ungerade Zahl gewürfelt wird eine beliebige gelbe Kugel durch eine grüne ersetzt. Wird eine gerade Zahl gewürfelt wird eine beliebige grüne durch eine gelbe ersetzt. Das Spiel wird bis zum Ende gespielt, bis nur noch eine Farbe auf dem Spielbrett vorhanden ist.

2.6. Alles oder Nichts

Das Spiel wird auf einem 6x6 Spielfeld gespielt. 18 gelbe sowie 18 grüne Kugeln werden ohne Ordnung auf diesem Spielbrett verteilt. Es wird mit 2 Würfeln gewürfelt um die Koordinaten des Spielfeldes zu erwürfeln. Befindet sich auf dem gewürfelten Feld eine grüne Kugel wird eine beliebige gelbe Kugel durch eine grüne Kugel ersetzt.

Das Spiel wird bis zum Ende gespielt bis nur noch eine Farbe übrig ist.

3.Ergebnisse

3.1. Galton Brett

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Verteilung der 10 Durchläufe a 100 Kugeln ist in Tabelle 1 wiedergegeben.

Tabelle 1: Ergebnisse der 10 Durchläufe.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.2: Auftragung der Experimentellen und Theoretischen Werte.

Abbildung 2 zeigt die graphische Auftragung der Ergebnisse.

Durch den X2-Test wird im Folgenden Überprüft ob die Ergebnisse mit einem N- stufigen Bernoulli Experimentes übereinstimmen. Die Größe X2 ist ein Maß der Abweichung zwischen der experimentell bestimmten absoluten Häufigkeit und der theoretisch berechneten absoluten Häufigkeit.

-(2)

Die Entscheidung, ob die gewählte Hypothese mit der Theoretischen übereinstimmt wird über die kritische Grenze c entschieden. c

Diese wird durch eine Signifikanzzahl α, sowie über die Anzahl der Freiheitsgrade aus der im Skript gegeben Tabelle bestimmt. (3)

Hierbei beschreibt t die Anzahl der verschiedenen Häufigkeitsklassen und s die Zahl der unbekannten Parameter in der Verteilungsfunktion P(n).

Nun wird mit Verglichen um die angestellte Hypothese zu überprüfen.

: Annahme der Hypothese

: Verwerfen der Hypothese

Die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung einen bestimmten Behälter n zu treffen ist gegeben durch folgende Gleichung (4).

- (4)

Mit N = Anzahl der Stufen und n = Behälternummer

Der theoretische Wert wird durch die unten stehende Gleichung (5) bestimmt. (5)

(5)

Mit N ‘ = Gesamtzahl der Kugeln (hier 1000)

Die Vergleiche der Absoluten Häufigkeiten sind in Tabelle 2 dargestellt.

Tabelle 2: Auftragung Wahrscheinlichkeit sowie der Absoluten Häufigkeiten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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