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Sample Kovarianz-/Korrelationsmatrizen und ihre robusten Schätzer

Hausarbeit (Hauptseminar) 2004 24 Seiten

Mathematik - Angewandte Mathematik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

A Einleitung

B Portfolio Optimierung
1. Robuste Kovarianz/Korrelations-Schätzer
1.1 Klassische vs robuste Korrelationen
1.2 Mahalanobis-Distanz
1.3 Robuste Schätzer
1.3.1 M-Schätzer (Bsp.: Huber-Schätzer)
1.3.2 S-Schätzer (Bsp.: Minimum Covariance Determinant (MCD))
1.4 Das IOIV-Modell
1.5 Paarweise robuste Schätzer
1.6 Algorithmus zur Berechnung einer skalierten robusten Kovarianzmatrix
2. Shrinkage-Methode und Alpha-Regel
2.1 Schätzung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](Shrinkage-Methode)
2.2 Beispiel
2.3 Schätzung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](Alpha-Regel)
2.4 Beispiel
3. Empirische Korrelationsmatrizen
4. Risikoeinschätzung

C Schluss

D Anhang

E Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: 5-D Scatterplot

Abbildung 2: klassische und robuste Korrelationen

Abbildung 3: klassische und robuste M-Distanzen

Abbildung 4: Huber-Funktion für c=2

Abbildung 5: Vergleich von QC und FMCD Schätzer

Abbildung 6: Empirische Eigenwertdichte vom S&P500

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Wahrscheinlichkeit gestörter Zeilen in Abhängigkeit der Spaltenanzahl

Tabelle 2: Beispiel für Anwendung der Alpha-Regel

Tabelle 3: Risiko für verschiedene Werte von N und T

A Einleitung

Seit der bahnbrechenden Arbeit von Markowitz, ist die Portfolio Theorie aus dem Asset Management nicht mehr wegzudenken. Wichtige Bestandteile seiner Theorie sind die erwartete Aktienrendite und das Risiko, das durch die Kovarianzmatrix ausgedrückt wird. Das Schätzen der Kovarianzmatrix kann zu größeren Problemen führen. Wenige Ausreißer reichen aus, um die Schätzer zu verzerren und somit unbrauchbar zu machen.

Kapitel 1 zeigt welche Auswirkungen einzelne Ausreißer haben und wie diese durch die „bloße“ Anwendung von robusten anstatt klassischen Schätzverfahren vermieden werden können. Doch auch diese haben Nachteile; darum wurden andere Verfahren entwickelt, wie z.B. die sog. „paarweisen“ Schätzmethoden, bei der anstatt der gesamten Matrix die einzelnen Einträge der Matrix geschätzt werden.

Eine weitere Schätzmethode ist das Shrinkage-Verfahren, das in Kapitel 2 , ausgehend von einem quadratischen Optimierungsproblem, gezeigt wird. Des Weiteren wird eine praktische Anleitung der Alpharegel vorgestellt, bei der ein aktiver Portfoliomanger, der von einer Benchmark abweichen will, sog. Alphaprognosen erhält, die den Input seiner Arbeit darstellen.

Kapitel 3 beschäftigt sich mit empirischen Korrelationsmatrizen und der Annahme, dass diese zufällig verteilt sind. Die Ergebnisse führten dazu, dass die Portfoliotheorie von Markowitz zunächst in Frage gestellt wurde, durch die Erkenntnisse in Kapitel 4 aber wieder verworfen werden konnte.

B Portfolio Optimierung

1. Robuste Kovarianz/Korrelations-Schätzer

Kovarianz- und Korrelations-Schätzer haben große Einsatzgebiete in der Finanzwelt. Doch in der Anwesenheit einzelner Ausreißer reagieren diese Schätzer, beispielsweise abgeleitet von der Maximum-Likelihood oder Momenten-Methode, sehr sensibel. Deshalb wurden robuste Methoden erfunden, die weniger sensibel auf Ausreißer reagieren.

1.1 Klassische vs robuste Korrelationen

Mit Hilfe der folgenden Abbildungen 1-3 soll veranschaulicht werden, wie stark Ausreißer klassische Korrelations-Schätzer verzerren können und wie diese Verzerrung durch robuste Verfahren reduziert werden kann.

In Abbildung 1 sind die fünf Datensätze in einem 5-D Scatterplot wiedergegeben (V1:= US Aggregate Credit, V2:= MSCI Eur, V3:= MSCI Wor ex Eur, V4:= MSCI Jap, V5:= MSCI Em). In diesem Scatterplot bzw. in dem vorhandenen Datensatz existieren Ausreißer (liegen außerhalb der Punktwolken).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 : 5-D Scatterplot

Abbildung 2 zeigt die Berechnungen der Korrelationskoeffizienten sowohl mit der klassischen als auch mit einer robusten Methode (MCD-Methode). Im linken unteren Dreieck sind die verschiedenen Werte aufgeführt; in der rechten oberen Hälfte werden die Werte graphisch in Form von kreis- und ellipsenförmigen Umrissen aufgezeigt. Diese repräsentieren eine bivariate Gauß-Dichte mit Erwartungswert 0 und Varianz 1.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 : klassische und robuste Korrelationen

Eine nahezu kreisförmige Ellipse visualisiert einen Korrelationskoeffizienten nahe bei 0. Ist die Ellipse in Richtung +45 (-45) Grad- Achse gestreckt, so ist der Korrelationskoeffizient positiv (negativ). Man erkennt, dass die Berechnungen der Korrelationskoeffizienten mit der robusten Methode, die auf Ausreißer nicht sehr sensibel reagieren, signifikante Unterschiede zu denen mit dem klassischen Ansatz haben. Beispielsweise liegt in V1/V3 (Lehmann US Aggregate Credit/MSCI World ex Europe) der Korrelationskoeffizient bei der klassischen Methode im negativen Bereich und wird durch die robuste Methode ins Positive umgewandelt.

1.2 Mahalanobis-Distanz

Multivariate Normalverteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit Kovarianzmatrix C, Datenvektor und Mittelwertvektor .

Man sieht, dass die Daten x nur in der quadratischen Form im Exponenten der Dichtefunktion vorkommen. Daraus ergibt sich, dass die Menge aller x, die denselben Wert der quadratischen Form ergeben, auch denselben Wert von f(x) und somit auch dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte haben.

Die Wurzel dieser quadratischen Form ergibt die sog. Mahalanobis-Distanz, die benutzt wird, um multidimensionale Ausreißer festzustellen.

Mahalanobis-Distanz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit xi als i-ter Datenvektor der Dimension p, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Schätzer für den Mittelwert und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Schätzer für die Kovarianzmatrix der Datenreihe.

Theorem von Tatsuoka:

Es sei eine p-variate Normalverteilung mit o.g. Dichtefunktion gegeben. Die quadratische Gleichung im Exponenten dieser Dichtefunktion ist chi-quadrat verteilt.

Beweis: siehe [15]

Da von normalverteilten Daten ausgegangen wird, gilt nach dem Theorem von Tatsuoka, dass

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]chi-quadrat verteilt ist (mit p Freiheitsgraden).

Überschreitet die Distanz einen bestimmten Grenzwert, so wird dieser Datenpunkt als Ausreißer identifiziert, d.h. falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt, so ist xi ein Ausreißer. Dabei ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] das 0.975-Quantil der Chiquadratverteilung.

Für den vorgegeben Datensatz mit p=5 gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

d.h. alle Werte xi, die weiter als 3,58 vom Mittelwert entfernt sind, sind Ausreißer.

Betrachtet man nun Abbildung 3, so erkannt man, dass der klassische Ansatz (Bsp.: Max. Likelihood) weit weniger Ausreißer erkennt als der robuste Ansatz. Der Grund dafür ist, dass die Ausreißer das (klassische) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] so sehr verzerrt haben, dass es keine zuverlässigen M-Distanzen produzieren konnte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3 : klassische und robuste M-Distanzen

1.3 Robuste Schätzer

Hier einige Beispiele für robuste Schätzer, die in verschiedene Klassen unterteilt werden:

1.3.1 M-Schätzer (Bsp.: Huber-Schätzer)

Def.: M-Schätzer [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]sind robuste Schätzer für einen Lokalisationsparameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Grundgesamtheit. Sie ergeben sich durch Minimierung der Zielfunktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine geeignet gewählte differenzierbare Funktion ist und[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Stichprobenwerte sind.

Setzt man[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Und da M-Schätzer im Allgemeinen nicht skalenäquivariant sind, gilt mit einem Skalenparameter s

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Beispiel für M-Schätzer ist die sog. Huber-Funktion, die wie folgt definiert ist:

Huber-Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Literatur wird auch häufig folgende Definition verwendet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit zugehöriger Funktion[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](wie oben definiert)

Abbildung 4 : Huber-Funktion für c=2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Generell haben M-Schätzer folgende Eigenschaften:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man sieht, dass für große p der Bruchpunkt gegen 0 geht und somit der Schätzwert gegenüber Ausreißern empfindlicher wird. Daher wäre ein höherer Bruchpunkt (beispielsweise 0,5) wünschenswert; eine Eigenschaft, die S-Schätzer erfüllen.

[...]

Details

Seiten
24
Jahr
2004
ISBN (eBook)
9783638430142
ISBN (Buch)
9783656525455
Dateigröße
1.7 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v45654
Institution / Hochschule
Technische Universität München
Note
2,7
Schlagworte
Sample Kovarianz-/Korrelationsmatrizen Schätzer

Autor

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