Maximum-Likelihood- und Minimum-Distanz-Schätzer von Copula-Funktionen

Inhaltsverzeichnis

I Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Einführung in die Grundlagen der Copula-Theorie
2.1 Konstruktion und Eigenschaften bivariater Copula-Modelle
2.2 Der allgemeine Fall: Multivariate Copula

3. Klassifizierung von Copula-Modellen
3.1 Fundamental-C opulas
3.1.1 Kontramononotonie-C opula
3.1.2 Unabhängigkeitscopula
3.1.3 Komonotonie-Copula
3.2 Archimedische - Copulas
3.2.1 Gumbel-Copula
3.2.2 Clayton - Copula
3.3 Parametrische Copulas
3.3.1 Gauß-Copula
3.3.2 t-Copula

4. Simulationsstudie: Parameterbestimmung bivariater Copulas - Vergleich von Maximum-Likelihood und Minimum-Distanz Schätzern
4.1 Schätzverfahren zur Parameterbestimmung
4.1.1 Maximum Likelihood Schätzer
4.1.2 Minimum Distanz Schätzer
4.2 Simulationsstudie
4.2.1 Design der Simulationsstudie
4.2.2 Resultat und Schlussfolgerung

5. Fazit

VI Literaturverzeichnis

VII Anhang

I Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Dichtefunktion der Gleichverteilung mit u,V E [0,1]

Abbildung 2: Dichtefunktion der Copula bei ue[a,b] mit a,bE[0,l] und v=0

Abbildung 3: Dichtefunktion bei V=1 und u2=1.0 bzw. ul=0.5

Abbildung 4: Dichtefunktion bei u=1 und v2=l bzw.vl=0.5

Abbildung 5: Kontramonotonie-Copula basierend auf 500 Pseudo-Beobachtungen

Abbildung 6: Unabhängigkeitscopula für n=2 basierend auf 1000 Pseudo-Beobachtungen

Abbildung 7: Komonotonie-Copula basierend auf 500 Pseudo-Beobachtungen

Abbildung 8: Gumbel-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0=1

Abbildung 9: Gumbel-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0=2

Abbildung 10: Gumbel-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0 = 150

Abbildung 11: Gumbel-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0 = 5

Abbildung 12: rotierte Gumbel-Copula im Vergleich zur Gumbel-Copula mit jeweils Parameter 0 = 2 und n = 4000

Abbildung 13: strikte Generatorfunktionen für 0 > 0

Abbildung 14: nicht-strikte Generatorfunktionen für 0 < 0

Abbildung 15: Clayton-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0 = 1

Abbildung 16:Clayton-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0 = —1

Abbildung 17: Clayton-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0 = 150

Abbildung 18: Clayton-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen mit 0 = 5

Abbildung 19: rotierte Clayton-Copula im Vergleich zur Clayton-Copula mit jeweils Parameter 0 =

und n = 4000

Abbildung 20: Gauß-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen für p = —0.5

Abbildung 21 : Gauß-Copula basierend auf 4000 Pseudo-Beobachtungen für p = 0.8

Abbildung 22: Koeffizient der asymptotischen Abhängigkeit der t-Copula in Abhängigkeit von V und p

(in Anlehnung an Demarta und McNeil [2004, S.5])

Abbildung 23: Grafische Darstellung verschiedener t-Copula Instanzen für 4000 Pseudo-Observationen zur Verdeutlichung von Abb.22

Abbildung 24: Darstellung des MSE für ML-Schätzer, MD-Schätzer basierend auf dem empirischen Prozess und MD-Schätzer basierend auf Kendall’s Transfonnation mit ansteigender Stichprobengröße für die Nonnal-Copula

Abbildung 25: Darstellung des MSE für ML-Schätzer, MD-Schätzer basierend auf dem empirischen Prozess und MD-Schätzer basierend auf Kendall’s Transfonnation mit ansteigender Stichprobengröße für die t-Copula mit Freiheitsgrad 10

Abbildung 26: Darstellung des MSE für ML-Schätzer, MD-Schätzer basierend auf dem empirischen Prozess und MD-Schätzer basierend auf Kendall’s Transfonnation mit ansteigender Stichprobengröße für die Gumbel-Copula

Abbildung 27 : Darstellung des MSE für ML-Schätzer, MD-Schätzer basierend auf dem empirischen Prozess und MD-Schätzer basierend auf Kendall’s Transfonnation mit ansteigender Stichprobengröße für die Clayton-Copula

Abbildung 28: Boxplots für Nonnal- und t-Copulas und verschiedene Stichprobenumfänge

Abbildung 29: p-Werte eines zweiseitigen t-Test zum Signifikanzniveua 5% für die Nonnal-Copula mit n=100undn=250

Abbildung 30: p-Werte eines zweiseitigen t-Test zum Signifikanzniveua 5% für die Nonnal-Copula mit n=500 und n=1000

Abbildung 31: p-Werte eines zweiseitigen t-Test zum Signifikanzniveau 5% für die Gumbel-Copula mit n=100 und n=250

Abbildung 32: p-Werte eines zweiseitigen t-Test zum Signifikanzniveau 5% für die Gumbel-Copula mit n=500 und n=1000

Abbildung 33: Darstellung des MSE für ML-Schätzer, MD-Schätzer basierend auf dem empirischen Prozess und MD-Schätzer basierend auf Kendall’s Transfonnation mit ansteigender Stichprobengröße für die t-Copula mit Freiheitsgrad 3

Abbildung 34: Darstellung des MSE für ML-Schätzer, MD-Schätzer basierend auf dem empirischen Prozess und MD-Schätzer basierend auf Kendall’s Transfonnation mit ansteigender Stichprobengröße für die t-Copula mit Freiheitsgrad 5

1. Einleitung

Im finanz-und versicherungswirtschaftlichem Umfeld spielt die Modellierung von Abhängigkeiten in diversen Anwendungsfallen eine zentrale Rolle. So kommt es beispielsweise in der Bankenpraxis dazu, Abhängigkeiten zwischen Risikofaktoren eines Portfolios zu modellieren, (vgl. Beck und Lesko [2006, S. 289])

Durch regulatorische Anforderungen, wie die Mindestanforderungen an das Risikomanagement (MaRisk), die von der Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin) aufgestellt wurden, wird wie in Art.2.2 MaRisk beschrieben gefordert, dass „die Geschäftsleitung regelmäßig und anlassbezogen im Rahmen einer Risikoinventur einen Überblick über die Risiken des Instituts zu verschaffen [...] “ hat. Dabei sind Adressenausfallrisiken, Marktpreisrisiken, Liquiditätsrisiken und operationelle Risiken zu betrachten. Diese Einzelrisiken sollen dann zum Gesamtrisikoprofil aggregiert werden, wobei Art.2.2 MaRisk zusätzlich daraufhinweist, dass mit wesentlichen Risiken verbundene Risikokonzentrationen zu berücksichtigen seien.

Bei der Ermittlung des Gesamtrisikoprofils spielt die Frage nach der geeigneten Zusammenführung der Risikoarten ebenso eine zentrale Rolle wie die Korrelationen zwischen den einzelnen Teilrisiken. Dabei soll das Konzept der Copula helfen die einzelnen Risiken verteilungsspezifisch zu simulieren und zu einer gemeinsamen Verteilung zu verknüpfen, ((vgl. Beck et al. [2006, S. 29])

Roger В. Nelsen [2015, S. 1] definiert die Copula als Funktion, welche multivariate Verteilungsfunktionen mit deren eindimensionalen Rand Verteilungen verbindet (engl, couple). Dabei liegt der große Vorteil darin, dass die Abhängigkeitsstruktur getrennt von den Randverteilungen modelliert wird. (vgl. Schmid und Trede (2006, S. 98))

Diese Arbeit, inhaltlich aus drei aufeinander aufbauenden Kapiteln bestehend, soll einführende und vertiefende Aspekte zur Copula-Theorie vermitteln. Dabei nimmt insbesondere die im vierten Hauptkapitel vorgestellte Simulationsstudie für Copula- Parameterschätzer eine zentrale Rolle in dieser Arbeit ein. Dementsprechend ist auch das Konzept so ausgerichtet, dass die Simulationsstudie sukzessive durch theoretische und beispielhafte Argumentationen vorbereitet und motiviert wird. Dabei wird zunächst im Kapitel 2 das Grundkonzept der Copula-Idee vorgestellt. Aufbauend auf der Konstruktion im bivariaten Modellkontext werden grafische und formale Eigenschaften dieses Konzepts vorgestellt ehe es anschließend auf den multivariaten Fall ausgeweitet wird. Die Quellenangaben werden jeweils im Text angegeben und es wird an entsprechenden Stellen auf weiterführende Aspekte oder tiefgründigere mathematische Aufarbeitungen hingewiesen.

Nachdem die Grundlagen gelegt wurden, werden im Kapitel 3 verschiedene Copula-Arten vorgestellt und näher charakterisiert. Dabei soll bei der Erläuterung der Besonderheiten der einzelnen Copula-Klassen ein ausgewogener Mix zwischen mathematischer Formulierung und grafischer, beispielorientierter Argumentation herrschen. Darüber hinaus werden jeweils Vor- und Nachteile dargestellt und es wird regelmäßig versucht einen praktischen Zusammenhang herzustellen.

Im abschließenden Kapitel 4 soll es im Rahmen einer Performance-Simulationsstudie darum gehen, wie gut sich Minimum-Distanz Schätzer (MD) im Vergleich zu Maximum- Likelihood Schätzern (ML) bei der Parameterbestimmung für Archimedische lind Parametrische Copulas verhalten. Dabei werden zunächst die zwei Schätz ver fahr en vorgestellt, ehe diese anschließend mithilfe des Statistikprogramms R angewendet werden.

2. Einführung in die Grundlagen der Copula-Theorie

2.1 Konstruktion und Eigenschaften bivariater Copula-Modelle

Es existieren zwei Zufallsvariablen (X,Y) mit den dazugehörigen, stetig angenommenen Randverteilungsfünktionen Fx(x) = Pr(X < x) und FY(y ) = Pr[Z < у]. Die gemeinsame Verteilungsfunktion sei charakterisiert durch HXY(x,y) = Pr[X < X, Y < у]. (vgl. Jondeau et al. (2007, S. 241))

Abe Sklár hat gezeigt, dass eine Funktion cx Y(u,v) für (u, v)E [0,1] mit der Eigenschaft

Нх,у(х,у) = cx1y(Fx(x),Fy(y)) (2.1)

existiert, die als eindeutig bezeichnet werden kann, wenn die Rand Verteilungen stetig sind. Ferner gilt für den Wertebereich einer bivariaten Copula-Funktion CX Y(u, v)

cx1y ะ [ОД] X [ОД] -> [ОД] , (2.2)

d.h. der Wertebereich ergibt sich aus dem kartesischen Produkt der Wertebereiche der Randverteilungen, welche definitionsgemäß nur Werte aus dem abgeschlossenen Intervall [0Д] annehmen können. Daher bildet eine bivariate Copula wiederum Werte nur auf das abgeschlossene Intervall [0Д] ab.

Basierend auf Sklar's Definition gemäß Formel (2.1) kann gezeigt werden, dass sich eine bivariate Verteilungsfunktion HXY(x,y) in zwei Komponenten aufspalten lässt, zum einen in die Copula CXY (u, v), zum anderen in die Randverteilungsfunktionen Fx(x) und Fy (y). Mithilfe dieser Aufspaltung ist es möglich, die Informationen über die Art der Abhängigkeit von X und Y, welche die Copula CX Y (u, V) enthält, von den Randverteilungen zu separieren. Eine ähnliche Definition liefern Schmid und Trede (2006, S. 97 f).

Den großen Vorteil den die Modellierung mittels Copula mit sich bringt erscheint gemäß obiger Definition zunächst nicht eindeutig. Doch wird die Definitionsrichtung umgedreht, ergeben sich für praktische Modellierungen eine Vielzahl an neuen Möglichkeiten. Denn wie auch Schmid und Trede (2006, S. 98) hervorheben, könne mittels Copula eine konkrete Abhängigkeitsstruktur gewählt werden, die mit beliebigen, gewünschten Randverteilungen kombiniert, die gemeinsame Verteilung von X und Y ergäbe. Diese Vorgehensweise ist insbesondere för reale Anwendungsfälle von enormer Bedeutung, da wie auch Jondeau et al. (2007, S. 241) bemerken, es empirisch leichter sei die Randverteilungen von Zufallsvariablen zu ermitteln als gleich die gemeinsame Verteilungsfunktion. Diese wird, wie durch Ralph dos Santos Silva und Hedibert Freitas Lopes (2008, S. 313) beschrieben meist durch ein zweistufiges Schätz ver fahr en approximiert. Dabei werden zunächst die Randverteilungen auf Basis der empirischen Verteilung bestimmt, woraufhin im zweiten Schritt die Parameter der Copula Funktion mittels Maximum-Likelihood Verfahren geschätzt werden. Für eine theoretische Einführung, siehe Genest et al. (1995) und för praktische Studien siehe Roch und Aiegre (2006).

Eigenschaften bivariater Copulas

Eine Alternative zur Darstellung aus (2.2) folgt dem Gedanken, wie in Schmid und Trede (2006, S. 99 f.) gezeigt, aus einer gegebenen bivariaten Verteilung HXY(x, y) mithilfe der Copula CXY (u, v) die Informationen über die Abhängigkeitsstruktur herauszulösen. Dies kann durch Einsetzen der Quantilfsfönktionen der Randverteilungen Ff¹ (u) und Ff¹ (u) in die gemeinsame Verteilungsfönktion

c (.u, V) = Hx^(Ffx(u),Ffx(vf) (2.3)

mit u, V E [0,1] geschehen. Hieran wird deutlich, dass die Copula selbst wiederum als eigenständige Verteilungsfönktion der Zufallsvariablen

u = Fx(x),

V = Fr(y),

agiert, för die gilt

cu v(u,v) = Pr (u < u, V ≤ v) für u, v E [ОД]. (2.4)

Auf Basis der Idee, dass eine Copula selbst als Verteilungsfunktion füngiert, lassen sich weitere Eigenschaften und Charakteristiken för Copulas festlegen, welche sich per Definition der Verteilungsfönktion ergeben. Diese werden nachfolgend in Anlehnung an Schmid und Trede (2006, S. 99 f.) und Jondeau et al. (2007, S. 242) erläutert.

Eine Copula c (u, v) ist monoton steigend in jeder Komponente, d.h. wenn eine Komponente konstant gehalten wird, dann steigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit unter der Prämisse das die andere Komponente monoton steigend ist. Diese Eigenschaft gilt för jede Verteilungsfunktion, demnach auch för eine Copula wie in (2.4)

c(u, 0) = c(0,v) = 0 für u, V G [ОД] (2.5)

An Formel (2.5) lässt sich erkennen, dass wenn eine Randverteilung u beziehungsweise V mit einer Nullwahrscheinlichkeit eintritt, dann gilt dies auch för die gemeinsame Verteilung Cuy. Hingegen gilt för eine Komponente u oder V, welche mit Wahrscheinlichkeit 1 eintritt

c(u,l) = u, C(l, v) = V für u, V G [ОД]. (2.6)

Anhand von (2.6) wird verdeutlicht, dass wenn eine Komponente sicher eintritt, dann bestimmt die Wahrscheinlichkeit der gemeinsamen Verteilung die restliche Variable. Aus dieser Überlegung heraus kann man auch schreiben

c(u2, V2) - c(u2, v f) - C(u1, v2) + c (u1, vj ≥ О,

für V u1, u2, v 1, v2 G [ОД] mit u1 ≤ u2 und vx < v2. (2.7)

Um die Formeln (2.5) - (2.7) grafisch zu erläutern, wird die Copula so modelliert, dass eine Standard gleichverteilte Abhängigkeitsstruktur vorliegt. Dabei dient die Dichtefunktion der

Gleichverteilung, f(x) = ib-а aiui b für a und b im Intervall [0,1], als Maß för die

( Q sonst

Abhängigkeitsstruktur.

Dichtefunktion der Gleichverteilung

> 'u

Abbildung 1: Dichtefunktion der Gleichverteilung mit u, V ε [0,1]

u

Abbildung in dieser Leseprob nicht enthalten

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist 0, da der Flächeninhalt des Rechtecks über dem Intervall [0,1] gerade 0 ist.

In einem nächsten Schritt soll der Gedanke aus Formel (2.6) aufgegriffen werden. Demnach bestimmt die Wahrscheinlichkeit der gemeinsamen Verteilung die resultierende Variable, unter der Bedingung, dass die Verbliebene mit sicherer Wahrscheinlichkeit eintritt.

Abbildung in dieser Leseprob nicht enthalten

Eine dritte Eigenschaft die gelten muss damit eine Copula existiert, ist die Stetigkeitseigenschaft. Diese resultiert aus den zuvor erläuterten Eigenschaften (2.5 - 2.7).

|c(u2,v2) - c(u1, vß)I < |u2 -u!| + |u2 -v1|fürVu1,u2,v1,v2 G [ОД] (2.8)

Dabei ist (2.8) zentral für die Erweiterung des Copula-Konzepts auf den multivariaten Fall, der in Teilkapitel 2.2 vorgestellt wird.

Eine weitere Besonderheit bivariater Copulas, ist die Invarianz bezüglich streng monoton wachsender Transformationen a(·) und /?(■). Ferner seien wiederum zwei Zufallsvariablen X und Y gegeben, die streng monoton wachsende Transformationen u (X) und ß(Y) besitzen, dann gilt für die Copulas

Cx,Y(u, u) = ca(x)1β(γ)(u, v) &ru,v e [0,1]. (2.9)

Roger B. Nelsen [2005, S. 3] zeigt an dieser Stelle noch drei Sonderfälle unter der Prämisse auf, dass mindestens eine Transformation a(-) oder /?(■) monoton fallend ist. Demnach ergibt sich für eine Copula aus (2.9), falls a(-) monoton wachsend und /?(-)monoton fallend ist

Ca(x),ß(Y)(u> u) = u- CX¡Y(u,1-v), (2.10)

falls a(-) monoton fallend und /?(-)monoton wachsend ist

Ca(x),ß(Y)(U'V) = V- CXiY(l-u, v), (2.11)

falls α(·) monoton fallend und Д(-)тоnoton fallend ist

Ca{x),ß(Y) (.u, u) = U + V-1+ CX¡Y (1 -u, 1-v). (2.12)

Die letzte Eigenschaft, die im Rahmen dieser Arbeit diskutiert werden soll, ist die Differenzierbarkeit. Demnach gibt es, in Anlehnung an Schmid und Trede (2006, S. 100), für eine Copula c (u, v) eine Funktion c (u, v) mit der Eigenschaft

c(u, v) = /0¹ J0\(S, t)dtds für u, V G [ОД], (2.13)

die als Copula-Dichte c bezeichnet wird.

Gilt zudem noch, dass c zweimal partiell differenzierbar ist, kann man die Dichte auch schreiben als

c{u,v) = c (u, r). (2.14)

Die weitreichende Bedeutung dieser Eigenschaft wird in Kapitel 3 und 4 deutlich.

Nachdem nun die Einführung bivariater Copulas abgeschlossen ist, soll im nachfolgenden Teilkapitel der Fokus auf dem allgemeinen Fall, dem multivariaten Modellkontext, liegen.

2.2 Der allgemeine Fall: Multivariate Copula

Um vom zwei-dimensionalen Fall auf den n- dimensionalen Fall zu schließen, muss zunächst die Definition der Zufallsvariablen angepasst werden. Nachfolgend wird ein Zufallsvektor X mit n Zufalls variablen x1,x2, ■■■ ,Xn betrachtet. In Anlehnung an Embrechts et al. [1998, S.4], kann die Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen xn durch die gemeinsame Verteilungsfunktion beschrieben werden

H(xltx2,...,xn) = Рг(хг < *1, ...,xn < xn) mitx = (*1, ..., xn) G Rn. (2.15)

An dieser Stelle kann der Gedanken aus Teilkapitel 2.1 aufgegriffen werden, die gemeinsame Verteilungsfunktion H in zwei Komponenten, die Abhängigkeitsstruktur und zum anderen in die Randverteilungen zu separieren. Dabei wird zunächst angenommen, dass der transponierte Zufallsvariablenvektor X = (Xlt x2,... ,Xri)T standard-gleichverteilte Randverteilungen Flt..., Fn hat, für diese zudem gilt, dass sie stetig sind.

Dieser Zusammenhang kann mittels Wahrscheinlichkeits-Integral Transformation gezeigt werden, welche allgemein in Roussas [1997, S. 242 f] bewiesen wird. In dieser Arbeit wird der Definition durch Embrechts et al. [1998, S.4] gefolgt, sodass für die Transformation T: //u¹ -> //u¹, (*1,... , хпУ -> (F1 (*1),... , Fn(xn)y gilt. Das bedeutet, dass die gemeinsame Verteilungsfunktion c von (Fx(*1),... , Fn(xn)y als Copula des Zufallsvektors {Xx,X2,..., Xn) ' bzw. der multivariaten Verteilung H bezeichnet wird.

Daher gilt im mehrdimensionalen Kontext

Я(*1,*2,...,*n) = c(Fi(*1),F2(*2), ... , F,1 (*71)). (2.16)

Wie an (2.16) zu erkennen ist, verknüpft die multivariate Copula die n- standard­gleichverteilten Randverteilungen zu einer gemeinsamen Verteilungsfunktion des n- dimensionalen Zufalls vektors. Formell gesehen, gilt daher für den Wertebereich einer n- dimensionalen Copula c

C: [0,l]n -» [0,1]. (2.17)

Demnach bildet die Copula c ihre Werte aus einem abgeschlossenen, n-dimensionalen Hyper-Quader in das eindimensionale, abgeschlossene Intervall [0,1] ab.

Eigenschaften multivariater Copulas

Es sei an dieser Stelle daraufhingewiesen, dass die in Teilkapitel 2.1 Formel (2.3) vorgestellte Eigenschaft ebenfalls für den multivariaten Modellkontext gilt. Wie durch Klaassen und Wellner [1997, S.55 f] publiziert, fungiert eine Copula c durch Einsetzen der Quantilsfuntion der Randverteilungen Ef¹ (u1),... (u·,1) in die gemeinsame

Verteilungsfunktion H selbst wiederum als Verteilungsfunktion

С(щ,...,un) = # (Ef¹ (u1),... ,^n-¹ (un)) för w = (u!,... ,un) e [0,l]n. (2.18)

Es können nun die bereits für die bivariaten Copulas beschriebenen Eigenschaften auch auf den multivariaten Kontext transformiert werden. Im Folgenden werden die in Teilkapitel

2.1 vorgestellten Eigenschaften (2.5 - 2.7) auf den n-dimensionalen Fall erweitert. Es sei daraufhingewiesen, dass sich weitere multivariate Eigenschaften ergeben, welche in Nelsen 1999 vorgestellt werden. Embrechts et al. [1998, S.4] formuliert die folgenden drei Eigenschaften:

(1) Eine Copula C(x1,..., xn) ist steigend in jeder Komponente Xj für V i = 1,... , n

(2) C(l,... ,l,Xj, 1,... ,1) = Xj für V i = 1,... ,n und Xj G [0,1]

(3) Für V (u1,... , u,1), (vlt... , vn) G [0,l]n mit Щ < Vi för v i = 1,... , n gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei Хд = Uj und Xj2 = Vj för V j = 1,... , n.

Eigenschaft (1) impliziert Eigenschaft (2) insofern, dass wenn alle Komponenten Xj för ) Ψ i mit Wahrscheinlichkeit 1 eintreten, die verbliebende Komponente die Wahrscheinlichkeit der gemeinsamen Verteilung bestimmt. Embrechts et al. [1998, S.4] stützen Eigenschaft (2) durch den Fakt, dass die Randverteilungen standard-gleich verteilt sind. Die Darstellung in (3) folgt der Auffassung, dass die Summen sich auch darstellen lassen als Pr(u1 < X1 < vx,..., un < X,1 < vn) vgl. (2.15) und die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses immer größer gleich 0 ist. An dieser Stelle wird durch Jondeau et al. (2007, S. 242) darauf verwiesen, dass diese Eigenschaft die multivariate Erweiterung der

Stetigkeitsbedingung einer kumulativen Verteilungsfunktion (cdf) darstellt.

Abschließend sei noch einmal die Eigenschaft der Invarianz bezüglich streng monoton wachsender Transformationen genannt. Speziell durch Embrechts et al. [1998, S.5 f.] wird die besondere Bedeutung der Invarianz dargelegt. Folgt man der Argumentation, ergibt sich durch diese Eigenschaft ein positiver praktischer Nutzen im Umgang mit unterschiedlich skalierten Daten. Dabei wird als Beispiel angeführt, dass wenn in Prozent angegebene Renditen in ein Modell aus logarithmierten Renditen transformiert werden sollen, sich die Struktur der Copula nicht ändere. Hingegen ändere sich lediglich die Randverteilung.

Durch den Zugewinn an Flexibilität, welche durch Modellierung mittels Copula erreicht wird, ist dieses Konzept in zahlreichen praktischen Anwendungen zu finden (siehe Einführung Kapitel 1). Dabei liegt der Vorteil der Copulas nicht einzig und allein an den Eigenschaften, welche zuvor im bi- und multivariaten Kontext erläutert wurden. Ein ganz entscheidender Vorteil liegt darin, dass die Abhängigkeitsstruktur, welche die Copula repräsentiert, unterschiedlich gewählt werden kann. Es haben sich in der Literatur daher zahlreiche Klassen und Copula-Familien herausgebildet, wie auch Jondeau et al. (2007, S. 245) bemerkt wird. In dieser Arbeit soll zunächst der Fokus auf der Klasse der Fundamental-Copulas liegen, daraufhin werden zwei Vertreter der Archmedischen- Copulas vorgestellt, gefolgt von zwei Mitgliedern der Parametrischen-Copulas. Dies sollen als theoretische Grundlage für die in Kapitel 4 praktisch durchgeführte Simulationsstudie dienen, in der sowohl Archimedische als auch Parametrische Copulas im Hinblick auf eine effiziente Parameterbestimmung näher untersucht werden.

3. Klassifizierung von Copula-Modellen

Wie in Kapitel 2 erläutert, enthält eine Copula ausschließlich Informationen über die Art der Abhängigkeit der betrachteten Zufallsvariablen. Demnach existieren viele verschiedene Arten von Copulas, mithilfe derer diverse Abhängigkeitsstrukturen modelliert werden können. Demnach haben sich die unterschiedlichsten Copula-Klassen herausgebildet, welche sich in Bezug auf Approximationseigenschaften, Einfachheit der Erzeugung und Verhalten bei kleinen Stichprobenumfängen unterscheiden. In dieser Arbeit werden drei Klassen von Copulas vorgestellt, die der Fundamental-Copulas und die der Parametrischen Copulas mit den expliziten Archimedischen-Copulas und den impliziten Parametrisch en Copulas. Dabei wird auffallen, dass speziell die Fundamental-Copulas auch in anderen Klassen auftauchen und diese demzufolge als Grundlagenklasse für alle anderen zu verstehen ist.

Demzufolge liegt der Schwerpunkt zunächst auf der Klasse der Fundamental-Copulas, welche die Extremfälle an möglichen Abhängigkeiten auf einfache Art darstellen. Im Anschluss daran erfolgt eine Einführung in die Klasse expliziten Archimedischen-Copulas,. Abschließend richtet sich der Fokus auf implizite Parametrische-Copulas, welche zusammen mit den Archimedischen-Copulas, die Grundlage für die Simulationsstudie in Kapitel 4 sein werden.

3.1 Fundamental-Copulas

Die Klasse der fundamentalen Copulas repräsentieren wichtige Abhängigkeitsstrukturen, die modelliert werden können. Dabei spricht man in diesem Zusammenhang von der Minimum-Copula, der unabhängigkeitscopula und der Maximum-Copula. Diese Copulas bilden die Fälle der Kontramonotonie, der Unabhängigkeit und der Komonotonie zwischen Zufallsvariablen ab.

3.1.1 Kontramononotonie-Copula

Um die Bedeutung dieser Klasse zu erläutern, seien zwei Zufallsvariablen X und Y gegeben. Dann gilt für die Minimum-Copula

w(u, v) = cmin (u, v) = max{u + v — 1,0}. (3.1)

Diese Copula stellt die negative Abhängigkeit zwischen den zwei Zufallsvariablen X und Y dar, wenn u = 1 — V bzw. formal angelehnt an Formel (2.1), wenn Fx(X) = 1 — FY(Y). Weiterhin, erläutern auch Schmid und Trede (2006, S. 101), verteile sich die Wahrscheinlichkeitsmasse der gemeinsamen Verteilung von u und V auf der Nebendiagonalen des Einheitsquadrats. Roger B. Nelsen [2005, S. 3] fuhrt in diesem Zusammenhang weiter aus und definiert,

w(u, v) = max{i¿ + V — 1} < c(u, v) < min{i¿, v} = M(u, v), (3.2)

die Frèchet-FIoeffdmg-Ungleichimg bzw. Frèchet-FIoeffdmg-Schranken. Dabei sei an dieser Stelle daraufhingewiesen, dass diese Ungleichung nur gilt, falls H (vgl. Formel (2.1)) eine bivariate Verteilungsfunktion mit den Randverteilungen Fx(x) und FY(y) ist.

Die Kontramonotonie-Copula stellt demnach die untere Frechet-Hoeffding-Schranke dar, für die gilt, wenn X und Y stetige Zufallsvariablen sind, dass w(u, v) die Copula von x und Y genau dann und nur dann ist, wenn jeder von X und Y sicher eine abnehmende Funktion der anderen ist.

Grafisch wird anhand von Abbildung 5 eine Simulation der Kontramonotonie-Copula mit 500 zufälligen Beobachtungen im Einheitsquadrat dargestellt.

Kontramonotonie-Copula

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Kontramonotonie-Copula basierend auf 500 Pseudo­Beobachtungen

3.1.2 Unabhängigkeitscopula

Die Unabhängigkeitscopula oder auch Produktcopula genannt, gilt för die Zufallsvariablen X und Y genau dann, wenn X und Y stochastisch unabhängig sind (vgl. Schmid und Trede (2006, S. 101)).

Abbildung in dieser Leseprob nicht enthalten

Abbildung 6: Unabhängigkeitscopula für n=2 basierend auf 1000 Pseudo-Beobachtungen

3.1.3 Komonotonie-Copula

Die dritte Fundamental-Copula, auch Maximum-Copula genannt, bildet den Fall der perfekten positiven Abhängigkeit ab. Wie in Schmid und Trede (2006, S. 101) erläutert, hängen die zwei Zufallsvariablen X und Y über eine Komonotonie-Copula zusammen, wenn mit sicherer Wahrscheinlichkeit u = V ist. In Anlehnung an die Definition aus Teilkapitel 3.1.2, kann auch geschrieben werden Fx(X) = FY(Y).

M(u, v) = cmax(u, v) = min{u,v}.

Dies impliziert grafisch gesehen sofort, dass sich die Wahrscheinlichkeitsmasse der gemeinsamen Verteilung von X und Y auf der Hauptdiagonalen des Einheitsquadrats konzentriert. Roger B. Nelsen [2005, S. 3] formuliert für diese Copula, welche gleichzeitig die obere Frèchet-Hoeffdmg-Schrcmke darstellt, eine wichtige Schlussfolgerung: „ [...]die Copula von X und Y ist M (u, v) dann und nur dann wenn jeder von X und Y bereits sicher eine steigende Funktion der anderen ist [...] “

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Komonotonie-Copula basierend auf 500 Pseudo­Beobachtungen

Nachdem die Grundlagenklasse der Copula-Familien vorgestellt wurde, soll im nächsten Teilkapitel eine Einführung in die Klasse der Archimedischen-Copulas erfolgen. Diese Copula Familie würde, wie Roger B. Nelsen [2005, S. 5] bemerkt, bereits in zahlreichen finanz- und versicherungstechnischen Hintergründen genutzt und besitzt demnach eine hohe praktische Aktualität.

3.2 Archimedische - Copulas

Die Klasse der Archimedischen Copulas ist eine Unterklasse der Parametrischen Verteilungen. Aufgrund der geschlossenen Form, wird diese Familie häufig als explizite Archimedische-Copulas bezeichnet. Mahfoud [2012, S. 17]

Im Folgenden sei φ eine stetige, streng monoton fallende und konvexe Funktion φ\ [0,1] -> [0, oo] mit φ(1) = 0, die als Generator bezeichnet wird (vgl. Schmid und Trede (2006, S. 102)). Weiterhin sei, in Anlehnung an die Ausführungen von Roger B. Nelsen [2005, S. 5], φ-¹ die pseudo-inverse (Umkehrfunktion) von φ. Daher gilt formal

φ: <p-¹ (t) = <p-¹ (t) , t G [0, φ(0)] und (3.5)

<p-¹ (t) = 0,t > φ(0). (3.6)

In einschlägiger Fachliteratur, wie in Roger B. Nelsen (2006, S.109 ff), wird ausführlich gezeigt, dass

c (u, v) = φ~¹ (φ(ν.) + φ(ν)) (3.7)

die Eigenschaft (2.5 und 2.6) und das zudem, unter der Voraussetzung, dass φ konvex ist, auch Formel (2.7) aus dem Teilkapitel 2.1 erfüllt ist. Ist dies der Fall spricht man von der Klasse der Archimedischen Copulas.

Wenn die zweite Ableitung der pseudo-inversen <p_¹ existiert, dann gilt für die Dichte einer Copula c

c(u, V) = -

v ' φ-ι\φ< (.u))φ-ϊV (u)

Es wird an dieser Stelle auf die Definition der Copula-Dichtefunktion eingegangen, da in der Simulationsstudie (siehe Kapitel 4) die Dichtefunktionen für die Parameterbestimmung benötigt werden.

Weiterhin kann zwischen einem strikten und nicht-strikten Generator unterschieden werden.

Dabei gilt ein Generator φ als strikt, wenn

lim<p(t) = 00 (3.9)

t—>0

gilt und als nicht-strikt, wenn

lim<p(t) = 1 (3.10)

t—>0

gilt. Dadurch kann, unter Verwendung der Gleichung aus (3.7), auch geschrieben werden, dass eine Copula c(u, v) strikt ist, falls (3.8) zu trifft und nicht-strikt, falls (3.9) gilt.

An dieser Stelle sei daraufhingewiesen, dass nicht jede Copula eine Archimedische-Copula ist und sich gemäß (3.7) darstellen lässt (vgl. Schmid und Trede (2006, S. 103)).

Den allgemeinen Vorteil dieser Copula Klasse, hebt Roger B. Nelsen [2005, S. 5] hervor, läge vor allem in der einfachen Form und den daraus resultierenden schönen Eigenschaften. Jondeau et al. (2007, S. 248) bemerken zunächst, dass die Archimedischen-Copulas sich nicht aus multivariaten Verteilungsfunktionen ableiten, dennoch sehen sie den Vorteil vor allem in der geschlossenen Form, die durch den Generator entsteht. Als Nachteil wird angeführt, dass multivariate Erweiterungen schwierig zu begründen bzw. herzuleiten sind.

Aufgrund der dargestellten Vorteile, könne darin der Grund liegen, weshalb diese Copula Familie besonders in praktischen Anwendungen eine große Rolle spielt, wie bereits am Ende von Teilkapitel 3.1 bemerkt. Im Folgenden werden zwei bedeutsame Vertreter der Klasse der Archimedischen-Copulas näher vorgestellt.

3.2.1 Gumbel-Copula

Nachfolgend sei φ ein Ein-Parameter-Erzeuger <p(t) = (—ln(t))e mit Θ G [1, oo) der Gumbel-Copula. Anhand des Wertebereiches von Θ wird deutlich, dass sich mit diesem Generator nur positive Abhängigkeiten modellieren lassen. Im Laufe dieses Teilkapitels wird gezeigt, dass auch der Fall der Unabhängigkeit konstruiert werden kann.

Mahfoud [2012, S. 19] charakterisiert die Gumbel-Copula als Modell um asymptotische Abhängigkeiten in einem Datensatz zu modellieren. Auf die Besonderheit wird im Laufe dieses Teilkapitels noch näher eingegangen.

Die Ein-Parameter Copula lautet, gemäß Formel (3.7)

Cø(u,v) = exp[—((—ln u)[9] + (— \ην)θ)θ ]1

mit der Pseudo-Inverse <p-¹ (t) = exp y—te j.

Die Dichte der Gumbel-Copula ist gegeben durch

exp(—[(—lnu)e + (— 1ηι/)θ]θ)

θ^)Ζ + (0 - 1)[(— lni¿)e + (-1ηιΟθΓ^).

(3.12)

Im Folgenden werden zwei Spezialfalle der Copula, für 0 = 1 und 0 = 00, formal als auch grafisch aufgezeigt.

Beispiel 3,1 //

Annahme: 0 = 1

Ein-Parameter-Erzeugerfunktion: = (—ln(t))¹

Einsetzen in die Ein-Parameter-Copula: c1 (u, V) = exp [—((—ln u)¹ + (— ln u)¹ )!]

Nach Anwendung des Logarithmengesetzes ergibt sich folgende Vereinfachung:

C1 (u, v) = u* V //

Anhand des Beispiels 3.1 wird der Zusammenhang zur Klasse der Fundamental-Copulas deutlich. Wie bereits einführend zu diesem Kapitel erwähnt, taucht die Klasse der Fundamental-Copulas auch in anderen Copula-Familien auf. Für den Fall, dass eine Gumbel-Copula mit 0 = 1 gebildet wird, ergibt sich die in Teilkapitel 3.1.2 vorgestellte Produktcopula (3.3). Eine weiterer Zusammenhang zu der Familie der Fundamental- Copulas lässt sich für 0 = 00 herstellen.

Beispiel 3.2 //

Annahme: Θ = 00

Ein-Parameter-Erzeugerfunktion: : <p(t) = (—ln(t))°°

Einsetzen in die Ein-Parameter-Copula:

lim (Cq(u, v)) = lim exp[— ((—Ιηΰ)θ + (—1ηι;)θ)0]

θ—>οο θ—>οο

Es ergibt sich daraus die obere Frechet-Hoeffding-Schranke:

c00 (u, V) = min{u, V} //

Man spricht hierbei von einer Ein-Parameter-Copula, da die Gumbel-Copula nur vom Parameter Θ abhängt. Im Folgenden ist eine Simulation von 4000 Pseudo-Observationen för verschiedene Werte von Θ zu sehen.

Abbildung in dieser Leseprob nicht enthalten

Empirisch gesehen sind zunächst Abbildung 8 und Abbildung 10 auffällig, welche die Erkenntnisse aus den zuvor dargelegten Beispielen verdeutlichen. Dabei ist insbesondere bei Abbildung 10 auffällig, dass bereits für 0 = 150 die Verteilung stark gegen die obere Frechet-Hoeffding-Schranke konvergiert. Es sei an dieser Stelle daraufhingewiesen, dass durch Abbildung 10 nicht deutlich gezeigt wird, dass die Gumbel-Copula der oberen Frechet-Hoeffding-Schranke entspricht bzw. gegen diese konvergiert, dafür ist der Wert für 0 zu klein. Doch mit dem Hintergrund, dass in Beispiel 3.2 explizit auf den Fall 0 = 00 eingegangen wurde, lässt Abbildung 10 Schlüsse über das Verhalten in Richtung 0 = 00 zu.

Mahfoud [2012, S.19] beschreibt diese Klasse der Archimedischen-Copulas als „[...] berühmt für ihre Fähigkeit starke obere asymptotische Abhängigkeiten und schwache untere asymptotische Abhängigkeiten darzustellen. “

Anhand der simulierten Gumbel-Copulas, mit 0 = 2 (Abbildung 9) und 0 = 5 (Abbildung 11) lassen sich diese Aussagen grafisch gesehen damit stützen, dass es vermehrt in der rechten oberen Ecke des ersten Quadranten Punkthäufüngen auftreten.

Obere und Untere Asymptotische Abhängigkeiten

In der Literatur, wie durch Kort [2007,S.22], wird der Koeffizient der asymptotischen Abhängigkeit als Maß für die Wahrscheinlichkeit gesehen, dass im bivariaten Modellkontext zwei Zufallsvariablen beide extreme Werte annehmen. Ähnlich beschreiben auch Luca und Rivieccio [2013,S.384] den Abhängigkeitskoeffizienten. Diese sehen die

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