Generierung von Zufallszahlen und Simulation

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Zufallszahlen
2.1. Generierung von Zufallszahlen
2.2. Deterministische Zufallszahlengeneratoren
2.3. Transformation von Zufallszahlen
2.3.1. Normalverteilung
2.3.2. Exponentialverteilung

3. Simulation
3.1. Aufbau eines Simulationsmodells
3.2. Auswertung der Simulation

4. Fazit

5. Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Gleichverteilung

Abbildung 2: Dichtefunktion der Normalverteilung

Abbildung 3: Normalverteilung aus Zentralem Grenzwertsatz

Abbildung 4: Dichtefunktion der Exponentialverteilung

Abbildung 5: Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung

Abbildung 6: Aufbau der Produktionsanlage

Abbildung 7: Logikschaubild der Produktionsanlage

Abbildung 8: Subsystem

Abbildung 9: Schaubild zur Bestimmung der Ausfallzeitpunkts im Subsystem

Abbildung 10: Zuverlässigkeitsfunktion R(t)

1. Einleitung

Überall dort, wo Maschinen genutzt werden um Güter zu produzieren, kommt es zu Fehlern oder Ausfällen dieser Maschinen. Ausfälle können vom Zufall oder dem Verschleiß der Maschine bestimmt sein. Sind viele Maschinen in einer Produktionsanlage miteinander verknüpft, beeinflusst der Ausfall eines Elements die gesamte Fertigung. Aus Effektivitäts- und Kostengründen sind diese Ausfälle zu minimieren. Möglich ist dies zum Beispiel mittels Variation der Anordnung der Maschinen oder mit Systemredundanzen. Diese Umgestaltung der Produktionsanlage ist jedoch sehr aufwendig und teuer, und der Erfolg nur bedingt voraussehbar. Daher ist es sinnvoll, die Auswirkungen der Umgestaltungen auf das Gesamtsystem im Vorfeld zu untersuchen. Dies ist mit Hilfe von Simulationen möglich.

Die Analyse dieses Bereichs des Qualitätsmanagements an einem konkreten Beispiel ist Gegenstand der vorliegenden Ausarbeitung.

Mit Hilfe von Simulationen können komplexe mathematische Probleme gelöst werden.

„Simulieren“ bedeutet vortäuschen, sich verstellen. Ziel einer Simulation ist es, ein Erscheinungsbild künstlich zu erzeugen, um damit die Effekte der Realität zu erreichen.^[1] Physikalische Simulationen sind beispielsweise Versuche im Windkanal oder Crashtests. Die im Folgenden aufgezeigten Simulationen beschreiben dagegen rein mathematische Zusammenhänge und werden daher auch als mathematische Simulation bezeichnet. Die Simulation selbst wird mit Hilfe eines Rechners und einer geeigneten Software durchgeführt. Es ist wichtig, das vorliegende Problem möglichst genau in einem mathematischen Modell abzubilden, um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten. Simulationen werden dann eingesetzt, wenn das Problem zu komplex für eine numerische Lösung ist oder eine numerische Lösung unwirtschaftlich erscheint. Im Unterschied zu den üblichen numerischen Verfahren liefern mathematische Simulationen nur wahrscheinlichkeitstheoretische Ergebnisse.^[2] Am Beispiel der Produktionsanlage ist als Ergebnis einer Simulation die Ausfallwahrscheinlichkeit als Funktion der Betriebsdauer zu erwarten.

Um solche Simulationen durchführen zu können sind Zufallszahlen notwendig. Der Rechner muss einen Ausfallzeitpunkt bestimmen. Dies geschieht mittels der Zufallszahlen. Deren Verteilung charakterisiert das Ausfallverhalten der Maschinen. Es werden nachfolgend verschiedene Möglichkeiten zur Generierung von Zufallszahlen dargestellt und die dabei auftretenden Probleme diskutiert. Im Kapitel 3: Simulation, wird auf die Verwendung von Zufallszahlen und Simulation detailliert eingegangen. Das zu lösende Problem ist die Optimierung einer Produktionsanlage.

2. Zufallszahlen

2.1. Generierung von Zufallszahlen

Zufallszahlen sind zufällige Werte in einer Zahlenfolge die auf eine beliebige Weise erzeugt werden. Der Wert der jeweiligen Zahl und der wertmäßige Abstand zur vorhergehenden Zahl ist zufällig. Es treten also keine periodischen Wiederholungen innerhalb der Zahlenfolge auf. Das bedeutet, dass eine solche Zahlenfolge nicht mit einem arithmetischen Algorithmus beschrieben werden kann. Sollen Zufallszahlen mit Hilfe eines Rechners generiert werden, kommt es zu folgendem Problem: Der Rechner ist nicht in der Lage zufällige Zahlenwerte zu erzeugen, da hinter jeder Rechenoperation immer ein mathematischer Zusammenhang steht. D.h. die Werte werden errechnet und sind daher nicht mehr zufällig. Dennoch ist es möglich scheinbar zufällige Zahlen mittels eines Rechners zu generieren. Diese Zahlen werden Pseudozufallszahlen genannt.^[3] Bis auf die Zufälligkeit erfüllen diese Pseudozufallszahlen die wichtigste Eigenschaft einer Zufallszahl: Die Zahlenwerte sind gleichverteilt, d.h. es treten keine Häufungen von Werten in einem bestimmten Intervall auf.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Gleichverteilung

Der Rechner ist des Weiteren in Folge des begrenzten Speicherplatzes nicht in der Lage unendlich viele Pseudozufallszahlen zu erzeugen. Die generierte Verteilung ist also nur eine diskrete Approximation der Gleichverteilung.^[4] Ziel ist es, möglichst viele Zahlen zu erzeugen, um eine möglichst hohe Dichte im Einheitsintervall zu erreichen.^[5] Nur die Zahlen der ersten Periode sind nutzbar. Ein Vorteil der computergenerierten Pseudozufallszahlen ist die Reproduzierbarkeit. Da die Zahlenfolge bei gleichem Startwert immer gleich ist, kann ein und dasselbe Experiment mehrmals mit denselben Zahlen durchgeführt werden. Dabei könnte dann immer ein Parameter der Simulation variiert, und so dessen Auswirkungen auf das Ergebnis untersucht werden.^[6] Programme welche Pseudozufallszahlen erzeugen werden Generatoren genannt. Die Güte der berechneten Zahlen hängen sehr stark mit der Arbeitsweise des jeweiligen Generators zusammen.

Nicht alle Simulationen können mit Pseudozufallszahlen durchgeführt werden, da es unter bestimmten Umständen erforderlich ist, echte Zufallszahlen zu benutzen. Dies ist beispielsweise bei Zufallsexperimenten der Fall, wo die Zufälligkeit von großer Bedeutung ist. Ein Gebiet der Mathematik, in dem echte Zufallszahlen unbedingt erforderlich sind, ist die Kryptographie.^[7] Solche echten Zufallszahlen lassen sich mit Hilfe physikalischer Prozesse erzeugen. Zum Beispiel ist der Zerfall radioaktiven Materials zufällig. Auch elektronisches Rauschen in einer Röhre ist zufällig. Über einen geeigneten Prozess zur Auswertung lassen sich so Zufallszahlen ermitteln. Diese Methoden erfordern jedoch zusätzliche Geräte und eine Schnittstelle zum Rechner. Sie verursachen somit Kosten und sind regelmäßig zu Warten.^[8] Auf die physikalischen Zufallszahlengeneratoren wird im Folgenden nicht weiter eingegangen, da die physikalischen Zusammenhänge zu komplex sind.

2.2. Deterministische Zufallszahlengeneratoren

Der meist verwendete Zufallszahlengenerator geht auf D. H. Lehmer zurück.^[9] Dieser Generator arbeitet nach der linearen Kongruenzmethode und liefert gleichverteilte Zufallszahlen. Diese werden Standardzufallzahlen genannt. Daher heißt dieser Generator auch Standardzufallszahlengenerator. Im Folgenden wird die Berechnung dieser Zufallszahlen dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei sind a und r Parameter die Einfluss auf die Zahlenreihe haben; m beschreibt das Modul. X ist die gleichverteilte Zufallszahl im Intervall [0, 1].

Wie alle Rechner-basierten Generatoren wird auch dieser nach einer aperiodischen Anfangsfolge eine sich ständig wiederholende Periode erzeugen. Als brauchbare Pseudozufallszahlen kommen nur die Zahlen der Anfangsfolge in Frage.^[11] Folglich ist eine möglichst lange Anfangsperiode wünschenswert. Eine solche lässt sich mit der Optimierung der Parameter erreichen.^[12]

Es gibt zwei verschiedene Versionen des Linear-Kongruenzgenerators: Der multiplikative Kongruenzgenerator für r = 0 und der gemischte Kongruenzgenerator fürAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[13] Der gemischte Kongruenzgenerator hat eine bessere Periodenlänge, benötigt aber auch mehr Rechenzeit.^[14]

Am Beispiel des gemischten Kongruenzgenerators wird die Vorgehensweise zu Gewinnung von Zufallszahlen verdeutlicht. Dieser Ansatz lässt sich in einer geeigneten Programmiersprache auf den Rechner übertragen.

Zunächst werden die Parameter a und r, der Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und das Modul m festgelegt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der erste Wert der Zahlenfolge ergibt sich aus dem gewählten Startwert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der zweite Wert errechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gesucht wird jetzt die kleinste mögliche Zahl, deren Differenz zu 731 durch 100 teilbar ist. Folglich ergibt sich fürAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten undAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analog dazu ergeben sich die die restlichen Werte der Pseudozufallszahlenreihe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Exner / Schmitz, S. 1

^[2] Exner / Schmitz, S. 2

^[3] Niedereiter, S. 161

^[4] Exner / Schmitz, S. 6

^[5] Exner / Schmitz, S. 12

^[6] Exner / Schmitz, S. 7

^[7] Kryptographie ist die Verschlüsselung von Daten. Würden hierfür Pseudozufallszahlen verwendet werden wäre die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Wäre ein Wert des Schlüssels bekannt könnten alle anderen daraus errechnet werden.

^[8] Exner / Schmitz, S. 6

^[9] Lehmer

^[10] Zwei ganze Zahlen a und b heißen kongruent modulo m, wobei m positiv und ganz ist, wenn a – b durch m teilbar ist.

^[11] Schmitz / Lehmann, S. 24

^[12] Jansson, S.57

^[13] Schmitz / Lehmann, S. 24

^[14] Niederreiter, S. 168