Unterrichtsentwurf für eine 12. Klasse. Der Geradenschnittpunkt und die Lage von zwei Geraden im Raum

1 Stundenrelevante Angaben zur Lerngruppe

Den Mathematikkurs MAg1 (grundlegendes Anforderungsniveau) des 12. Jahrgangs begleite ich seit April 2016 im Mathematikunterricht. In dieser Zeit habe ich immer wieder Sequenzen des Unterrichts ubernommen und den Kurs dabei als besonders leistungsstark und motiviert

5 kennengelernt. Insbesondere seit dem Schuljahreswechsel ist eine sehr konzentrierte und en­ gagierte Arbeitsatmosphare wahrzunehmen, was zum einen darauf zuruckzufuhren ist, dass einige leistungsschwache Schulerinnen und Schuler ¹ den Kurs nach der 11. Klasse verlassen haben. Zum anderen zeigen die verbleibenden SuS in ihrem letzten Schuljahr vor dem Abitur eine besonders hohe Arbeitsbereitschaft. lnsgesamt besuchen 20 SuS diesen Grundkurs, da-

10 von neun Schulerinnen und elf SchUler. Das Sozialverhalten der SuS untereinander als auch zu mir als Lehrkraft ist sehr freundlich und respektvoll, was zur guten Lematmosphare im Kurs beitragt. Die SuS bevorzugen kooperative Lernformen und erzielen dabei auch gewinnbringende Arbeitsergebnisse. Sie arbeiten sowohl in selbst gewahlten Tandems oder Kleingruppen sowie in vorgegebenen Konstellationen effek-

15 tiv. lm Hinblick auf das bevorstehende Abitur, dass zumindest von einigen SuS des Kurses auch im Fach Mathematik abgelegt wird, ist jedoch darauf zu achten, dass immer wieder Ein­ zelarbeitsphasen in den Unterricht integriert werden, urn die SuS auf die Anforderungen der Prufungen vorzubereiten.

2 Stundenrelevante Angaben zur Sache

20 Die SuS beschaftigen sich in dieser Stunde ausgehend von einer Abbildung, die zwei sich kreu­ zende Kondensstreifen zeigt, mit der Frage, ob es zu einer Kollision der beiden Flugzeuge ge­ kommen ist. Auf fachlich-innermathematischer Ebene thematisieren die SuS die Lagebeziehung von Geraden im dreidimensionalen Raum und erarbeiten dabei einen der vier moglichen Faile, der im Schneiden zweier Geraden in einem Punkt besteht. Urn den Schnittpunkt berechnen zu

25 konnen, mussen zunachst die Parameterdarstellungen der beiden Geraden bestimmt werden. Hierbei werden die SuS mit unterschiedlichen Angaben konfrontiert, aus denen sie die notwen­ digen lnformationen fur die Parameterdarstellung ableiten mussen. lm ersten Fall erhalten die SuS die Koordinaten eines Punktes im dreidimensionalen Raum sowie den Richtungsvektor der Geraden. Urn aus diesen lnformationen die erste Geradengleichung zu bestimmen, mussen die

30 Lernenden erkennen, dass sie die Punktkoordinaten in einen Ortsvektor umwandeln konnen und damit den erforderlichen Stotzvektor erhalten. Gemeinsam mit einem Parameter und dem vorgegebenen Richtungsvektor konnen sie die Parameterdarstellung erzeugen (g:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

,lmits Element aus den reellen Zahlen).

lm zweiten Fall sind den SuS zwei Punkte vorgegeben, durch die die Gerade verlaufen soli. Hier mossen die SuS zunachst den Richtungsvektor aus den beiden Punkten ableiten, bevor sie die Parameterdarstellung erzeugen klinnen (h:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit t Element aus

5 den reellen Zahlen). lm nachsten Schritt ist es notwendig, das lineare Gleichungssystem aufzu­ stellen, welches durch Gleichsetzen der beiden Geraden entsteht. Die Komponenten der Lo­ sung des Gleichungssystems mossen anschliel!end in die jeweilige Geradengleichung einge­ setzt werden, urn den Schnittpunkt zu bestimmen.

Aus innermathematischer Perspektive ist das Schnittpunktproblem an dieser Stelle gellist. Da

10 die Aufgabe jedoch in einen Sachkontext eingebettet ist, bei dem es zu OberprOfen gilt, ob zwei Flugzeuge kollidieren, muss das Ergebnis an dieser Stelle noch interpretiert warden. Da sich fur die beiden Parameter Werte von 100 Sekunden bzw. 200 Sekunden ergeben, sollten die SuS zu dem Schluss kommen, dass die Flugzeuge zwar beide den Punkt (1000015000015000) pas­ sieren, dies jedoch im Abstand von 100 Sekunden geschieht und damit keine Kollision zu be- 15 furchten war.

3 Didaktische Oberlegungen

3.1 Unterrichtszusammenhang

Die SuS beschaftigen sich seit diesem Halbjahr mit der analytischen Geometrie und haben dabei zunachst den Vektorbegriff und grundlegende Rechenoperationen mit diesen mathemati-

20 schen Objekten kennengelernt. In den beiden Doppelstunden vor der gezeigten Unterrichts­ stunde haben sich die SuS die Parameterdarstellung von Geraden erarbeitet und an ausge­ wahlten Beispielen geubt. Dabei sind bereits verschiedene Moglichkeiten angesprochen wor­ den, wie die Parameterdarstellung aus unterschiedlichen Angaben ermittelt werden kann. Au­ l!erdem wurden bereits die beiden Lagebeziehungen Parallelitat und ldentitat zweier Geraden

25 thematisiert. In der gezeigten Stunde wird nun die dritte Lagebeziehung mit dem Schneiden zweier Geraden eingefuhrt. Ziel der nachfolgenden Stunden ist es dann, die windschiefen Ge­ raden zu erarbeiten und eine Systematik zu erschlieBen, mit der die Lagebeziehung von Gera­ den untersucht werden kann. lm weiteren Unterrichtsverlauf werden auch Ebenendarstellungen in Parameterform sowie Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Lerngegenstand

30 sein. Auch der Sachkontext dieser Unterrichtsstunde mit dem Bezug auf die Flugsicherung bzw. die Beschreibung von Flugrouten mithilfe von Geraden in Parameterform ist den SuS bereits aus der Einfuhrungsstunde zur Parameterdarstellung bekannt und wird somit in dieser Stunde wieder aufgegriffen und inhaltlich vertieft.

Daruber hinaus sei angemerkt, dass die SuS die Lagebeziehung von Geraden bereits in der

5 Mittelstufe im zweidimensionalen Raum und einem funktionalen Zusammenhang untersucht haben und damit bereits an Vorwissen anknupfen konnen. lm Sinne des Spiralcurriculums wird auf diese Weise das Kompetenzerfahren sowie der Kompetenzsausbau ermOglicht. Auch das LOsen linearer Gleichungssysteme ist den SuS grunds tzlich bereits aus frtlheren Schuljahren bekannt und wird hier in einem neuen Zusammenhang gedeutet.

10 3.2 Legitimation

Die Gerade stellt ein Basisobjekt der Geometrie dar und errnOglicht es den SuS, lineare Zu­ sammenh nge darzustellen. Durch die Einfuhrung der Parameterdarstellung gelingt es den SuS, ihre geometrischen Beobachtungen nun auch in einem algebraischen Zusammenhang zu sehen und zu beschreiben. Auf diese Weise ergeben sich fur die Lernenden neue Moglichkei-

15 ten, sich im sie umgebenden Raum zu orientieren. Die Untersuchung von Lagebeziehungen stellt dabei ebenfalls eine grundlegende mathematische Operation dar, die dazu genutzt wird, Zusammenhange zwischen den Objekten zu beschreiben. Insbesondere die Ermittlung von Schnittpunkten verweist auf Gemeinsamkeiten zweier Objekte. Mithilfe dieser Techniken kon­ nen auch Sachverhalte in anderen Bezugsdisziplinen beschrieben werden und ergeben damit

20 vielerlei Anwendungskontexte fOr die Lernenden. Diese Aspekte sind auch im Kerncurriculum fur die gymnasiale Oberstufe in Niedersachsen wiederzufinden. Dart werden sie unter der Leitidee ,Raumliches Strukturieren/ Koordinatisieren· und dem Lernbereich .Raumanschauung und Koordinatisierung - Analytische Geometrie/ Li­ neare Strukturen" aufgegriffen. Konkret heiBt es: Die SuS ,beschreiben Geraden [..] durch Glei-

25 chungen in Parameterform" (KC, S. 23) bzw. die SuS ,erfassen und begrunden unterschiedliche Lagebeziehungen von Geraden [...] und losen Schnittprobleme" (KC, S. 23). Ebenso wird die EinfOhrung des Vektorbegriffs als grundlegend fOr die Algebraisierung von geometrischen Zu­ sammenhangen erwahnt (vgl. KC, S. 37).

DarOber hinaus fordert die gezeigte Stunde nicht nur die inhaltsbezogenen Kompetenzen der

30 SuS, sondern auch die Modellierungskompetenz, da sie zunachst eine Realsituation in ein ma­ thematisches Modell Oberfuhren und nach Beendigung ihrer mathematischen Oberlegungen eine Rucktransformation und Interpretation der Ergebnisse leisten mOssen. Der gewahlte Sach­ kontext sensibilisiert die SuS zudem dafur, mathematische Sachverhalte in ihrem taglichen Le­ ben wahrzunehmen und stellt damit einer der drei Grunderfahrungen nach Winter (1995:37)

35 dar, die der Mathematikunterricht leisten soli.

3.3 Schwerpunktsetzung und didaktische Reduktion

Der Schwerpunkt der Stunde besteht in der Schnittpunktbestimmung zweier Geraden, die die Flugbahnen zweier Flugzeuge reprasentieren und der anschlie enden Deutung des Ergebnis­ ses. Damit greift der Schwerpunkt den kontextuellen Zusammenhang auf, in dem die SuS be-

5 reits die Parameterdarstellung kennengelernt haben und bietet somit Anknupfungspunkte an das Vorwissen der SuS. Durch diese inhaltliche Entlastung k6nnen die Lernenden sich verstarkt um die mathematische Berechnung des Schnittpunktes bemuhen, ohne zu viel kognitive Ener­ gie in den Modellbildungsprozess investieren zu mussen. Dabei wird die Haupttatigkeit der SuS darin bestehen, die beiden ermittelten Geradengleichungen gleichzusetzen und das daraus

10 resultierende Gleichungssystem zu losen. Um die verschiedenen Zugange zum Losen linearer Gleichungssysteme offenzuhalten, wurden die Zahlenwerte der Aufgabenstellung so konstruiert, dass sich ganzzahlige Ergebnisse erge­ ben und somit insbesondere der Zugang uber eine algebraische Losung anstelle des GTR­ Einsatzes geebnet warden soli. Damit stellt die Aufgabe eine Glattung des Realkontextes dar,

15 was jedoch damit zu rechtfertigen ist, dass die SuS sich in dieser Stunde zum ersten Mal mit der Schnittpunktproblematik im dreidimensionalen Raum beschaftigen und ihr Rechenweg so­ mit nicht unnOtig verkompliziert werden sollte. Um dem Realitatsbezug dennoch gerecht zu werden, wurde ebenfalls darauf geachtet, dass die gegebenen Koordinaten der Punkte mit den echten Werten von FlughOhe und Geschwindigkeit von Flugzeugen kompatibel sind. Die Be-

20 schrankung auf eine von vier moglichen Lagebeziehungen stellt ebenfalls eine didaktische Re­ duktion dar, um die SuS kognitiv nicht zu Oberlasten und das Verstandnis fOr die grundlegende Schnittpunktermittlung zu sichern. lm weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit kOnnen die einzel­ nen Lagebeziehungen dann in Verbindung gebracht und systematisiert werden, wie es in Ab­ schnitt 3.1 bereits angelegt ist.

25 3.4 Transformation und Antizipation

Die Unterrichtsstunde wird durch einen kurzen Lehrervortrag erOffnet, in dem ich auf den Kon­ text der Flugsicherheit eingehen werde und die SuS dazu anrege, sich in den bereits bekannten Sachverhalt erneut einzufOhlen. Dabei ermoglicht eine direkte Ansprache der Lernenden den mentalen Modellaufbau. Ausgehend von dieser Einstimmung in das bevorstehende Thema

30 werde ich den SuS berichten, dass bei der Flugsicherung ein Beschwerdebrief samt Foto eingegangen sei und die Folie ,Kondensstreifen" auflegen. Dieser bildliche lmpuls kann gegebe­ nenfalls noch durch einen verbalen lmpuls unterstotzt werden, in dem die SuS Vermutungen anstellen sollen, worin die Sorge des Verfassers des Beschwerdeschreibens besteht. Da die Lerngruppe aber grundsatzlich als lernstark und leistungsbereit eingeschatzt werden kann, ist

35 davon auszugehen, dass die SuS direkt nach dem Auflegen der Folie beginnen, ihre ersten Assoziationen zu au ern. Hierbei konnen die SuS auf unterschiedliche Weise argumentieren. bei dem die einzelnen Schritte der Schnitlpunktbestimmung zusammengefasst sind und nach und nach aufgeklappt werden konnen. Durch die Konstruktion der Aufgabe, haben die SuS hier die Wahl, welches Verfahren sie nutzen wollen, da grundsatzlich verschiedene Losungswege denkbar sind. In der anschlieBenden Sicherung geht es um die Interpretation der Losung des

[...]

¹.Schulerinnen und SchUler" wird im Folgenden mit .SuS" abgekurzt.