Leseprobe
Seminararbeit Mathematik
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Jonas Roser
Inhaltsverzeichnis
I. Einleitung ... 3
II. Die Hyperbelfunktionen ... 4
1. Kosinus Hyperbolicus (
cosh x ) ... 4
2. Sinus Hyperbolicus (
sinh x ) ... 6
3. Tangens Hyperbolicus (
tanh ) ... 9
4. Zusammenhang zwischen hyperbolischen Funktionen, Hyperbel und
trigonometrischen Funktionen ... 11
5. Anwendung der hyperbolischen Funktionen ... 12
III.
Kurvendiskussion ... 13
1. Definitionsmenge. ... 14
2. Nullstellen ... 16
3. Grenzwerte an den Rändern der Definitionsmenge ... 18
4. Symmetrie ... 19
5. Monotonie ... 20
IV.
Nachwort ... 26
VI.
Literaturverzeichnis ... 27
VII. Abbildungsverzeichnis ... 28
Seminararbeit Mathematik
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Jonas Roser
I. Einleitung
Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit der Funktionenschar
f
x
.
Dabei werde ich auf deren Verbindung zu den hyperbolischen Funktionen, oder
auch Hyperbelfunktionen genannt, namens Sinus Hyperbolicus, Kosinus
Hyperbolicus und Tangens Hyperbolicus eingehen. Zudem habe ich an einer
Kurvendiskussion mit der Betrachtung aller Fälle von
a,b
und
c
zur oben
genannten Funktion gerechnet.
f
x
ist eine Funktionenschar, die für diese Seminararbeit erfunden wurde.
Dabei ist aufgefallen, dass in Spezialfällen der Sinus Hyperbolicus, der Kosinus
Hyperbolicus und der Tangens Hyperbolicus auftreten können. Das führte zu der
Betrachtung der Hyberbelfunktionen, ihrer Eigenschaften, ihrer Definition und
ihrer Anwendung in der realen Welt.
Bei der Bearbeitung der Kurvendiskussion ist mir jedoch aufgefallen, dass
angefangen bei dem Monotonieverhalten und der ersten Ableitung von
f
x
immer mehr Fälle von a, b und c dazu kamen. So werde ich die Monotonie nur
ein wenig betrachten. Das Krümmungsverhalten und die zweite Ableitung, das
unbestimmte Integral oder auch die Umkehrfunktion, falls es eine gibt, werde ich
nicht berechnen, da es Rahmen und Zeit der Seminararbeit um ein Vielfaches
sprengen würde.
Die Graphen zu den Termen konnte ich mit Hilfe des kostenlosen erhältlichen
Programms ,,Mathe-Grafix" erstellen und in dieser Seminararbeit verwenden.
Die Arbeit wird so aufgebaut sein, dass ich zuerst auf die Hyperbelfunktionen näher
eingehen werde. Danach gehe ich auf die Definitionsmenge, Nullstelle, Symmetrie
und die Grenzwerte an der Definitionsmenge bei allen möglichen Fällen von
f
x
ein. Bei der Monotonie habe ich drei Fälle gerechnet und ausgewertet.
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II. Die Hyperbelfunktionen
Die Funktionsschar
f
x
kann, wie in der Einleitung erwähnt auch
längst bekannte Funktionen darstellen, welche dem Mathematiker als
Hyperbelfunktionen oder Hyperbolischen Funktionen bekannt sind. Eine bekannte
Mathematikerin beschreibt die Hyperbolischen Funktionen als ,, ... Funktionen, die
von ihrer Namensgebung und von ihren charakteristischen Eigenschaften her auf
Verwandtschaft mit den trigonometrischen Funktionen schließen lassen." (Kopp,
2008). Auf diese und andere Eigenschaften werde ich im Folgenden eingehen und
sie rechnerisch herleiten.
1. Kosinus Hyperbolicus (
cosh x
)
Die Funktion für des Kosinus Hyperbolicus ist:
cosh x
e
e
2
Dies bedeutet, wenn man von unserer Funktionenschar
f
x
ausgeht, dass
a
1, b
0
und
c
2
ist.
Abbildung 1: cosh(x)
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Eigenschaften des Kosinus Hyperbolicus:
1. Definitionsmenge:
Hier muss der Nenner der Funktion
cosh x
0
gesetzt
werden, damit man sieht, für welchen
x
-Wert die Funktion keine reelle
Lösung besitzt, da sie ansonsten durch
0
geteilt werden würde.
2
0
2.
Nullstelle:
cosh x
0
e
e
x
ln 1
x
x
ln 1
x
2
ln 1
Keine wahre Aussage, da der
ln 1 keine Lösung in
besitzt. Daraus
folgt, dass der
cosh x
keine Nullstelle hat.
3. Grenzwerte an den Rändern der Definitionsmenge:
lim
cosh x
lim
,
da
lim
e
und
lim
e
0
.
lim
cosh x
lim
,
da
lim
e
0
und
lim
e
.
4. Symmetrie:
Hier untersuche ich zuerst den Fall wie
cosh x
aussieht, da
dieser in beiden Symmetriefällen vorkommt.
cosh x
e
e
2
e
e
2
cosh x
Daraus folgt, dass der
cosh x
eine gerade Funktion und somit symmetrisch
zur y-Achse ist (vgl. Walter, Analysis 1).
5.
Monotonie:
cosh x `
e
x
e
x
2
4
e
x
e
x
2
sinh x
cosh x `
0
e
x
e
x
0
e
e
2x
0
x
0
cosh 0
1
Extrempunkt bei
0|1
cosh x `
0
e
x
e
x
0
e
e
2x
0
x
0
cosh x `
0
e
x
e
x
0
e
e
2x
0
x
0
ist auf dem Intervall
; 0
streng monoton fallend und auf dem
Intervall
0;
streng monoton steigend.
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Daraus folgt, dass der Extrempunkt ein absolutes Minimum ist.
T 0|1
Zudem folgt daraus, und aus der Betrachtung der Grenzwerte, die
Wertemenge des
cosh x
:
1;
6.
Krümmung:
cosh x
sinh x
cosh x
cosh x
0
cosh x
0
siehe Nullstelle: keine wahre Aussage!
cosh x
0
e
e
x
ln 1
x
2x
ln 1
Aussage ist immer wahr!
G
ist auf der gesamten Definitionsmenge
linksgekrümmt.
7. Stammfunktion:
Wenn die Ableitung des
cosh x
gleich dem
sinh x
, und
die Ableitung des
sinh x
gleich dem
cosh x
ist, dann ist die
Stammfunktion des
cosh x
sinh x
C
, wobei
C
eine beliebige
Konstante aus
ist.
2. Sinus Hyperbolicus (
sinh x
)
Die Funktion des Sinus Hyperbolicus ist:
sinh x
Dies bedeutet: Wenn man von unserer Funktionenschar
f
x
ausgeht, dass
a
1
,
b
0
und
c
2
ist.
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Abbildung 2: sinh(x)
Eigenschaften des Sinus Hyperbolicus:
1. Definitionsmenge:
Hier muss der Nenner der Funktion
sinh x
0
gesetzt
werden, damit man sieht, für welchen
x
-Wert die Funktion keine reelle
Lösung besitzt, da sie ansonsten durch
0
geteilt werden würde.
2
0
2.
Nullstelle:
sinh x
0
e
e
x
x
x
0
sinh x
hat bei
x
0
eine Nullstelle.
3. Grenzwerte an den Rändern der Definitionsmenge:
lim
sinh x
lim
, da
lim
e
und
lim
e
0
.
lim
sinh x
lim
, da
lim
e
0
und
lim
e
, und
1
.
4. Symmetrie:
Hier untersuche ich zuerst den Fall wie
sinh x
aussieht, da
dieser in beiden Symmetriefällen vorkommt.
sinh x
e
e
2
e
e
2
e
e
2
sinh x
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Daraus folgt, dass der
sinh x
eine ungerade Funktion und somit symmetrisch
zum Ursprung ist (vgl. Walter, Analysis 1).
5.
Monotonie:
sinh x
cosh x
sinh x
0
cosh x
0
keine reelle Lösung (siehe Nullstelle des
cosh x
sinh x
0
e
e
0
e
e
2x
ln 1
x
ln 1
Aussage ist immer wahr. Damit ist
G
auf der gesamten Definitionsmenge
streng monoton steigend.
Daraus, und aus der Betrachtung der Grenzwerte, folgt die Wertemenge:
6.
Krümmung:
sinh x
cosh x
sinh x
sinh x
0
e
e
0
x
x
x
0
sinh x
0
e
e
0
x
x
x
0
sinh x
0
e
e
0
x
x
x
0
Damit hat
einen Wendepunkt bei
W 0|0
(siehe Nullstelle) und ist auf
dem Intervall
; 0
rechtsgekrümmt und auf dem Intervall
0;
linksgekrümmt.
7. Stammfunktion:
Sei die Ableitung des
sinh x
gleich der des
cosh x
, und
die Ableitung des
cosh x gleich der des
sinh x
ist, dann ist die
Stammfunktion des
sinh x
cosh x
C
, wobei
C
eine beliebige
Konstante aus
ist.
Ende der Leseprobe aus 29 Seiten
- Arbeit zitieren
- Jonas Roser (Autor:in), 2015, Einführung in die Hyperbelfunktionen und Diskussion einer dreiparametrigen Funktionenschar, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/429829
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