Handlungsorientierte Entwicklung einer Formel zur Flächenberechnung von Rechtecken. Unterrichtsentwurf für die Sekundarstufe

Inhaltsverzeichnis

1. Durchdringung und Analyse der Sache
1.1 Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks
1.2 Kompetenzen

2. Rahmenbedingungen und heterogene Lernvoraussetzungen
2.1 Darstellung der Schule
2.2 Klassensituation
2.3 Analyse der Lernvoraussetzungen

3. Didaktische Analyse
3.1 Bildungswert des Unterrichtsgegenstandes
3.2 Bezug zum Bildungsplan

4. Aufgabenstellung und Differenzierung
4.1 Fachdidaktische Verortung und didaktische Reduktion
4.2 Aufgabenanalyse
4.3 Formen der Differenzierung

5. Methodische Entscheidung und unterrichtspraktische Umsetzung

6. Strukturskizze/ Verlaufsplanung

7. Literaturverzeichnis

8. Abbildungsverzeichnis:

1. Durchdringung und Analyse der Sache

Geometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet »Feldmesskunst« (vgl. Redaktion Schule und Lernen 2004, S. 147). Die Geometrie ist ein „Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Gebilden der Ebene und des Raums befasst“ (ebenda, S.147). Dabei wird die Geometrie in Teildisziplinen gegliedert. In der Elementargeometrie wird zwischen Planimetrie^[1] und Stereometrie^[2] unterschieden. Des Weiteren ist noch die Trigonometrie^[3], die Darstellende Geometrie^[4], die Analytische Geometrie^[5] und die Abbildungsgeometrie^[6] zu nennen.

1.1 Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks

Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks lassen sich in der Ebenen Geometrie (Planimetrie) verorten und bezeichnen Eigenschaften von Figuren.

„Der Flächeninhalt einer Figur der Euklidischen Ebene ist definiert über die sogenannte Flächenmaßfunktion, deren axiomatische Fundierung letztlich auf David Hilbert (1862-1943) zurückgeht […]. Diese Flächenmaßfunktion ordnet jeder ebenen geometrischen Figur eine (reelle) Flächenmaßzahl (den Flächeninhalt) A^[7] zu“ (Kuntze 2018, S.161).

Dabei müssen unter anderem folgende Eigenschaften gegeben sein:

1) Der Flächeninhalt ist immer größer oder gleich null.
2) Wenn zwei Figuren kongruent sind, sind auch ihre Flächeninhalte gleich.
3) Der Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren ergibt sich aus der Summe der Inhalte der Teilflächen.

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche einer ebenen Figur. Ein Beispiel hierfür ist das Rechteck, welches ein Viereck mit vier rechten Winkeln und zwei Paar paralleler Seiten ist. Die Diagonalen halbieren sich im Rechteck und es besitzt zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen (vgl. DUDEN 2011, S.274). „Als Umfang einer ebenen Figur, die durch eine Linie begrenzt ist, bezeichnet man die Länge ihrer Begrenzungslinie“ (DUDEN 1994, S.629).

Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b wird mit der Formel
A = a ∙ b und der Umfang mit u = 2 ∙ a + 2 ∙ b = 2(a + b) berechnet.

Bei dem Quadrat, einem speziellen Rechteck, bei welchem alle Seiten gleich lang sind, folgt die Formel für den Flächeninhalt A = a2 (= a ∙ a) und für den Umfang u = 4a (vgl. DUDEN 1994, S.169)^[8].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Rechteck (http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/rechteck/flaecheninhalt.html, 06.04.18)

In Abbildung 1 beträgt die Länge des Rechtecks a = 7 cm und die Breite b = 3 cm. Der Umfang berechnet sich wie folgt: u = 2 ∙ 7 + 2 ∙ 3 = 2(7 + 3) = 20 und entspricht 20 cm. Der Flächeninhalt wird berechnet, indem man die Seitenlänge mit der Seitenbreite multipliziert. Es ergibt sich ein Flächeninhalt von A = 7 cm ∙ 3 cm = 21 cm2. Flächeninhalte misst man in m2 (Quadratmeter) und daraus abgeleiteten Einheiten^[9]. Im oben aufgeführten Beispiel wird die Einheit Quadratzentimeter verwendet. Bei allen Aufgaben ist zu beachten, dass sich die Maßeinheiten der Längen- und Flächenmaße entsprechen. Wird also mit Meter (m) gerechnet, ergibt sich als Fläche Quadratmeter (m2). Stimmen die Einheiten nicht überein, müssen diese vorher umgerechnet werden (vgl. Handbuch Mathe 1997, S. 112ff.).

1.2 Kompetenzen

Flächeninhalt und Umfang eines Rechtecks sind nicht nur in vielen Lebensbereichen relevant, sondern auch für die Entwicklung mathematischen Wissens und mathematischer Fähigkeiten (vgl. Kuntze 2018, S.150). Die Leitidee Messen spielt für Flächeninhaltsbestimmungen dabei eine besondere Rolle. Im Alltag werden Wohnungen durch Angabe ihrer Grundfläche vergleichbar und auch beim Malen und Tapezieren hilft die Berechnung des Flächeninhalts, eine geeignete Menge des benötigten Materials abzuschätzen. Hierfür muss gemessen werden.

Die Schüler^[10] sollen das Grundprinzip des Messens bei der Flächen- und Umfangsmessung beim Rechteck nutzen, indem sie in Anwendungssituationen Maßangaben entnehmen und Berechnungen durchführen sowie das Ergebnis am Ende auf die Sachsituation beziehen (vgl. KMK 2004, S.10).

2. Rahmenbedingungen und heterogene Lernvoraussetzungen

2.1 Darstellung der Schule

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2.2 Klassensituation

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2.3 Analyse der Lernvoraussetzungen

Der Lerngegenstand der Stunde ist im Bereich der Geometrie (genauer: im Bereich der Flächenberechnung von ebenen Figuren) einzuordnen. In den zwei vorhergehenden Stunden wurde das Thema „Flächeninhalt“ und das Thema „Flächenmaße“ thematisiert und die Schüler entwickelten eine Grundvorstellung des Abzählens von Kästchen, um den Flächeninhalt von Figuren vergleichen zu können.

Der Begriff des Flächeninhalts ist den Schülern aus diesen Stunden bekannt und auch das Rechteck wurde bereits als Form eines Vierecks behandelt. Der Begriff des Umfangs ist den Schülern hingegen wahrscheinlich noch nicht bekannt. Dieser wird in der geplanten Stunde jedoch auch nicht direkt verwendet.

Aufbauend auf diese hier vorgestellte Stunde wird der Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren erarbeitet.

Aus den bisherigen Unterrichtsstunden konnte ich feststellen, dass die Schüler bei der enaktiven und problemorientierten Erarbeitung eines Themas sehr viel Spaß am Unterricht haben und sehr motiviert sind.

Ich möchte in meiner Unterrichtsstunde deshalb besonderen Wert auf einen enaktiven und problemorientierten Zugang zum Thema „Flächeninhalt des Rechtecks“ legen und die Schüler mit viel Material in ihrer Begriffsbildung unterstützen. Besonders die Lernschwächeren sollen durch die Veranschaulichung eine Grundvorstellung zum Thema aufbauen. Für die Lernstärkeren stehen weiterführende Aufgaben zum Nachdenken bereit.

Stellung der Stunde in der Einheit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Didaktische Analyse

3.1 Bildungswert des Unterrichtsgegenstandes

Die Schüler begegnen häufig Rechtecken in ihrem Alltag. In unserer Umwelt findet man zahlreiche Flächen, welche die Form eines Rechtecks haben. Insbesondere die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks tritt im Alltag auf (z.B. Fußballfeld abmessen, Wohnungsgrundriss, Bau eines Zauns usw.). Die Schüler werden also direkt im Alltag damit konfrontiert und brauchen die Formel zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts für ihr weiteres Leben.

Anwendungsaufgaben aus dem Alltag, die meist als Prototypen für die jeweiligen geometrischen Flächen fungieren, eignen sich besonders gut, um Handlungen, Alltags- und Fachsprache miteinander zu verbinden.

Da die Stunde keine Einführungsstunde zum Thema „Flächeninhalt“ darstellt, sondern sich gezielt mit dem Flächeninhalt (und Umfang^[11] ) des Rechtecks beschäftigt, baut sie auf den vorangegangenen Stunden auf und legt die Basis für eine weitere Beschäftigung mit dem Flächeninhalt ebener Figuren im Mathematikunterricht. Bereits in der Grundschule wird die „Größe“ von Figuren verglichen. Erst in der 5. Jahrgangsstufe wird die Flächenmessung dann mit Fokus auf das Rechteck systematisch entwickelt. In höheren Klassenstufen wird der Flächeninhalt und Umfang an weiteren ebenen Figuren durchgeführt (Parallelogramm, Dreieck, Kreis) und spielt bis zum Abitur hin eine Rolle. Ein gutes Grundverständnis über die Berechnung des Umfangs und Flächeninhalts kann den Schülern später bei Berechnungen an ebenen Figuren helfen. Aufgrund der Formeln, die für die Flächen- und Umfangsberechnungen zur Verfügung stehen, ist zu beachten, dass die Idee des Messens dabei nicht in den Hintergrund tritt (vgl. Kuntze 2018, S.151).

Um ein tiefes Verständnis über das Zustandekommen dieser Formeln zu erreichen, wird zunächst auf die formale Ebene verzichtet und der Fokus auf die Versprachlichung und Begründung des Messvorgangs gelegt.

3.2 Bezug zum Bildungsplan

„Guter Mathematikunterricht bedarf kognitiv aktivierender, reichhaltiger, möglichst authentischer und motivierender inner- und außermathematischer Problemsituationen, die das Potenzial beinhalten, Begriffe, Regeln, Lösungsverfahren oder Modellierungen entweder selbstständig zu entdecken oder begründet zu konstruieren. Dabei spielen die eigenständige Bearbeitung von Frage- und Problemstellungen, die Reaktivierung des Vorwissens [und] die Auseinandersetzung mit unterschiedlichen Zugangs- und Lösungsmöglichkeiten […] eine wichtige Rolle (Bildungsplan 2016 Sek 1 Mathe, S.9f.).“

Der Bildungsplan 2016 für die Sekundarstufe beschreibt in seinen Leitgedanken zum Kompetenzerwerb die Bedeutung von entdeckendem Lernen, einer selbstständigen Problemlösung und die Einbettung in einen authentischen Kontext. Mathematik trägt insbesondere dazu bei, sich in der Lebenswelt zu orientieren und mit Hilfe mathematischen Wissens vielfältige Lebenssituationen zu bewältigen. So ermöglicht zum Beispiel mathematisches Modellieren ein besseres Verständnis der Welt (vgl. ebd., S.3). Der Mathematikunterricht muss daher den Aufbau und die Weiterentwicklung von Grundvorstellungen fördern, um einen „Sinnzusammenhang zwischen der mathematischen und der realen Welt herzustellen“ (ebd., S.9). Dazu gehören vor allem konstruierend-entdeckende Prozesse, welche das Vorwissen aufgreifen und zu einer Auseinandersetzung mit den Sachverhalten führen.

„Innermathematische beziehungsweise anwendungsbezogene Fragestellungen fördern neben dem Erwerb inhaltlicher Kompetenzen die Ausbildung prozessbezogener Kompetenzen und ermöglichen einen Bezug zu den Leitperspektiven“ (BP 2016, S.10).

Ziele der Unterrichtsstunde:

Das Thema „Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks“ fördert dabei besonders die folgende, im Bildungsplan für die Sekundarstufe 1 in Mathematik genannte inhaltliche Kompetenz in der Leitidee „Messen“:

1. Die Schüler konstruieren Quadrate und Rechtecke mit vorgegebenem Umfang (LZ1).
2. (Hauptziel) Die Schüler entwickeln „ die Formel für den Flächeninhalt [und Umfang] eines Rechtecks mit dem Grundprinzip des Messens“ (ebd.) (LZ 2).
3. Die Schüler berechnen „den Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck“ (ebd.) (LZ 3).
4. Die Schüler verbalisieren und begründen ihre Ergebnisse (LZ 4).

Weitere Teilziele:

a) Kognitives Lernziel:

Die Schüler aktivieren ihr Vorwissen zum Lerngegenstand (LZk).

b) Affektives Lernziel:

Die Schüler erfahren durch den Einstiegsimpuls und die Problemstellung Anteilnahme und verfolgen eine ernsthafte Bestrebung die Aufgabe zu lösen (LZa).

c) Personales Lernziel:

Die Schüler entscheiden sich für ihren konkreten Gegenstand der Aufgabe (Tier) entsprechend ihrem Interesse (LZp1).

Die Schüler diskutieren in der Klasse über die bestmögliche Lösung (LZp2).

d) Soziales Lernziel:

Die Schüler können störungsfrei mit ihrem Partner arbeiten (LZs).

e) Methodisches Lernziel:

Die Schüler üben das Prinzip des entdeckenden Lernens, der Handlungsorientierung und des kooperativen Lernens (LZm).

Diese Kompetenzen sollen durch konkrete Handlungen gefördert werden, um einen behutsamen Übergang zu einem formal-abstrakten Denken zu ermöglichen.

Prozessbezogene Kompetenzen

- Die Schüler üben sich im Kommunizieren, indem sie in Partnerarbeit gemeinsam nach verschiedenen Lösungen suchen.

- Die Schüler üben sich im Argumentieren und Beweisen, indem sie die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit dem Grundprinzip des Messens erklären.

[...]

^[1] Planimetrie beschäftigt sich mit ebenen Figuren (ebene Geometrie).

^[2] Stereometrie beschäftigt sich mit dreidimensionalen Körpern (räumliche Geometrie).

^[3] Trigonometrie beschäftigt sich mit der Berechnung von Längen und Winkeln in geometrischen Figuren (Redaktion Schule und Lernen 2004, S.148).

^[4] Darstellende Geometrie beschäftigt sich mit dem Zeichnen räumlicher Gebilde in der Ebene (ebenda, S.148).

^[5] Analytische Geometrie: Darstellung von Punktmengen in einem Koordinatensystem.

^[6] Abbildungsgeometrie: Untersuchung von Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich.

^[7] Lat. area = Fläche

^[8] In der geplanten Stunde soll auf die formale Schreibweise der Formel mit den Bezeichnungen a, b für die Seiten des Rechtecks verzichtet werden. Es wird lediglich die Bezeichnung Seitenlänge und Seitenbreite verwendet.

^[9] Bei Grundstücksgrößen wird auch oft mit der Einheit Ar (a) und Hektar (ha) gerechnet.

^[10] Im Folgenden wird aus Gründen der Leserfreundlichkeit ausschließlich die männliche Form verwendet. Weibliche Personen sind jedoch stets inbegriffen.

^[11] Der Fokus der Stunde liegt auf dem Flächeninhalt des Rechtecks. Der Umfang spielt dabei eine hintergründige Rolle und wird nur indirekt im Umgang mit der Problemstellung und der Entwicklung einer Formel für den Flächeninhalt von den Schülern benutzt.