Subventionen im Forschungssektor - Subventionsabbau in Deutschland

5. Anhang

Im Folgenden werden die für das Modell relevanten Umformungen und Herleitungen nachvollzogen:

Zu: 3.1.1 Grundlagen

5.1 Die Produktion des Monopolisten

Herleitung von Gleichung (1): Bei dem für den Monopolisten optimalen Produktionsumfang entsprechen die Grenzkosten dem Grenzerlös.

Die Gewinnfunktion des Monopolisten lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um den Gewinn zu maximieren, ist es nötig die Funktion nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten abzuleiten. Löst man den daraus resultierenden Term nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf, so erhält man die gesuchte Gleichung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Neben der generellen Ableitungsregel^[1] Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenmuss man für die Ableitung nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zusätzlich die Produktregel^[2] anwenden. Sie besagt, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Bezogen auf obige Gleichung ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sowie Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kann in diesem Kontext als Konstante betrachtet werden, die durch die multiplikative Verknüpfung mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bei der Ableitung erhalten bleibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tremblay nimmt für die inverse Nachfragefunktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine negative Elastizität der Form Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten an, wie er in einer älteren Version seines Papers ausführt.^[3] Für obigen Term folgt daraus (sogenannte Amoroso-Robinson-Relation^[4] ):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zu: 3.1.3 Die Investitionen

5.2 Das Investitions-Problem: Gleichung (4) zu Gleichung (5)

Gleichung (4): Maximiere die abnehmende Summe der Monopol-Gewinne (Netto abzüglich der Kapitalkosten) nach Steuer/Subvention.

Um diese Gleichung nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ableiten zu können, empfiehlt es sich eine spezielle Form der sogenannten Leibniz-Regel^[5] anzuwenden: Wenn ein Integral der Form entspricht, also „x not only enters the integrand function F, but also affects the upper limit of integration“^[6], lautet die Ableitung nach x wie folgt :

Der Integral in Gleichung (4) entspricht oben erläuterter Form, da Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nicht nur Teil der Integralfunktion ist, sondern auch die Obergrenze Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beeinflußt, wie aus Gleichung (3) ersichtlich ist:

Die Gleichung besagt, dass die Firma, die mit Technologie i produziert, aus dem Markt austritt wenn ihre Cournot-Gewinne (Netto abzüglich Abschreibungskosten) nach Steuer/Subvention gleich Null sind. Eine höhere Abschreibungsrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten führt beispielsweise dazu, dass die betreffende Firma schneller den Markt verlässt. Da Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten variiert auch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit einer Veränderung des Austrittszeitpunktes Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Um die Ableitung der Integralfunktion in Gleichung (4) zu erhalten, bedient man sich wieder der in Abschnitt 5.1 erläuterten Produktregel: Dabei ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sowie Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, so dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten folgt.

Die Anwendung der Leibniz-Regel führt nun - ohne das weitere Umformungen nötig sind - direkt zu Gleichung (5):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5.3 Höhe der Abschreibungsrate

Behauptung: Die Firma, die mit Technologie i produziert, wählt eine relativ niedrige Abschreibungsrate, d.h. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist durch Gleichung (3) eindeutig definiert (s.o.):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ableiten nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenmit Hilfe oben erläuterter Produktregel ergibt:

Zu: 3.1.4 Der F&E-Wettbewerb

5.4 Zeitpunkt Beginn F&E-Wettbewerb: Gleichung (6) zu Gleichung (7)

Gleichung (6): Die Entscheidung einer beliebigen Firma j in den F&E-Wettbewerb einzutreten wird durch folgenden, zu maximierenden Term beschrieben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus der Symmetrieannahme Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[7] für alle j folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Integralfunktion rückleiten zu können, kann man auf die Substitutionsregel^[8] zurückgreifen. Sie besagt, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Unter der Annahme, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten folgt daraus für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Um Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten aus dem Integral zu isolieren, kann man darauf zurückgreifen, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[9]. Es resultiert also: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die Rückleitung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbereitet nun keine weiteren Probleme, da Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[10]. Für die Integralfunktion in Gleichung (6) erhalten wir damit: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenfolgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund der Annahme, dass die Firmen gleichzeitig mit dem F&E-Prozess beginnen (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) folgt für die auf den F&E-Prozess verbrauchten Ressourcen, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[11] Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Es ergibt sich die Beziehung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Für Gleichung (6) folgt daraus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Exponentialfunktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ableiten zu können, kann man sich zunutze machen, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (allgemeine Ableitungsregel für natürliche Exponentialfunktionen^[12] ):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tremblay erhält ein leicht anderes Ergebnis für die Bedingung erster Ordnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Vgl. Chiang (1967), S. 165.

^[2] Vgl. ebd., S. 169.

^[3] Vgl. Tremblay (2002b), S.5.

^[4] Vgl Wied-Nebbeling, Schott (2001), S.218.

^[5] Vgl. Chiang (1992), S.31.

^[6] ebd., S.31.

^[7] Vgl. Tremblay (2002a), S.9.

^[8] Vgl. Chiang (1967), S.396-397.

^[9] Vgl. ebd., S.406.

^[10] Vgl. ebd., S.393.

^[11] Vgl. Tremblay (2002a), S.5.

^[12] Vgl. Chiang (1967), S.293.