Risiken von Kreditportfolien - Grundlagen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Was versteht man unter Kreditrisiken

3 Modellierung von Kreditrisiken für einzelne Kredite
3.1 Risikofaktoren
3.2 Modelle zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten und Wert- veränderungen
3.2.1 Migrationsmodelle
3.2.2 Strukturmodelle
3.2.3 Hazardratenmodelle

4 Risikomaße für Kreditportfolien
4.1 Erwarteter oder unerwarteter Verlust - was ist das eigentliche Risiko?
4.2 Reservebildung anhand des ökonomischen Kapitals

5 Die Berechnung der Verteilung der Portfolioverluste
5.1 Modellierung der Korrelation
5.2 Herleitung der Portfolioverlustverteilung
5.3 Kreditrisikomodelle

6 Schluss

A Anhang
A.1 Abkürzungsverzeichnis
A.2 Tabellen

1 Einleitung

Das Kreditrisiko ist das älteste Risiko an den Finanzmärkten und doch ist es im Vergleich zum Marktrisiko noch relativ wenig erforscht worden. So wurde im tra- ditionellen Kreditgeschäft der Banken jeder Kredit eines Unternehmens einzelnd bewertet und oft war die Kundenbeziehung wichtiger als die Rentabilität des ein- zelnen Kredits, so dass die meisten Kreditportfolios weit entfernt waren von einem optimalen Verhältnis von Ertrag zu Risiko. Diese Sichtweise hat sich jedoch in den letzten Jahren vielerorts geändert und so ist man inzwischen auch auf regulatori- scher Ebene der Auffassung, dass die auf dem Portfolioansatz beruhenden ”Kredi- trisikomodelle .. zu einem besseren internen Risikomanagement führen können“^[1]

In diesem Seminar über Kreditrisiken soll die vorliegende Arbeit Risiken von Kreditportfolien aufzeigen, dabei auf Besonderheiten eingehen und einen Rahmen für die Betrachtung der verschiedenen Modelle schaffen.

Dazu werden in Kapitel 2 die Risiken einzelner Kredite genannt und in Kapitel 3 deren Modellierung vorgestellt. Hier gilt die Aufmerksamkeit insbesondere den Mo- dellen zur Bewertung und Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit von Krediten. In Kapitel 4 werden Maße zur Messung der Risiken von Kreditportfolien aufgezeigt und es wird erklärt, warum man dafür die Verteilungsfunktion der Portfolioverlus- te braucht. Allgemeine Ansätze zu deren Schätzung sowie die gängigsten Modelle werden in Kapitel 5 vorgestellt.

2 Was versteht man unter Kreditrisiken

Bei der Betrachtung einzelner Kredite ist das Kreditrisiko das Risiko eines ökonomi- schen Verlustes aufgrund einer Nichteinhaltung der vertraglichen Verpflichtungen durch den Schuldner^[2]. Da der Kreditgeber, im allgemeinen eine Bank, die Zah- lungen für Zins und Tilgung erwartet und sie möglichst ohne größere Verzögerung wieder sinnvoll investieren will, geht er seinerseits wieder Verpflichtungen ein, so dass ein Ausbleiben der erwarteten Zahlungsströme zu Liquiditätsengpässen und schlimmstenfalls zur Zahlungsunfähikeit des Kreditgebers führen kann. Um das zu verhindern, sollte er für eingegangene Kreditrisiken Reserven bilden. So sind Ban- ken aufgrund ihrer Wichtigkeit für die Stabilität einer Volkswirtschaft sogar dazu verpflichtet, Reserven gemäß ihrer eingegangenen Kreditrisiken zurückzulegen^[3].

Das Kreditrisiko einzelner Kredite ist abhängig von der Kreditqualität und dem finanziellen Engagement in diesem Kredit. Dabei wird die Kreditqualität durch die Ausfallwahrscheinlichkeit^[4] und die voraussichtliche Wiedergewinnungsrate bei Ausfall bestimmt. Neben Verlusten durch Ausfälle kann eine verschlechterte Kre- ditqualität bei handelbaren Anleihen zu Verlusten durch einen steigenden Zins und damit fallenden Kursen führen. Bei diesem so genannten Spreadrisiko ist es allerdings nicht ganz einfach, zwischen Kreditrisiko und Marktrisiko zu unterscheiden, da eine erhöhte Differenz zwischen dem Anleihe-Zins und dem risikofreien Zins (=Spread) nicht unbedingt durch eine veränderte Kreditqualität hervorgerufen sein muss, sondern an einer allgemein geringeren Nachfrage nach Anleihen derselben Bonität liegen kann^[5].

Betrachtet man ein Kreditportfolio, so zeugen historische Daten davon, dass im Durchschnitt mit einer gewissen Ausfallquote gerechnet werden muss^[6], die man mit einer entsprechenden Reserve antizipieren sollte. So besteht das Risiko von Kreditportfolien in der Unsicherheit darüber, ob und um wie viel die erwartete Höhe des zukünftigen Kreditverlustes übertroffen wird^[7]. Da man auch für diese “unerwarteten Verluste“ eine Reserve bilden muss, stellt sich also die Frage wie man diese Risiken messen kann, um die Höhe der Reserve zu bestimmen.

3 Modellierung von Kreditrisiken für einzelne Kre- dite

3.1 Risikofaktoren

Im Folgenden betrachten wir einen klassischen, nicht handelbaren Kredit, der von einer Bank an einen Kunden vergeben wird. Um das Risiko eines solchen Kredits, welches ja von dem finanziellen Engagement und der Kreditqualität abhängt, messen zu können, modelliert man den Verlust durch eine Zufallsvariable, die sogenannte Verlustvariable (loss variable)^[8]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Zeithorizont kann dabei nach zwei Ansätzen bestimmt werden^[9]. Entweder nach dem Ansatz der Liquidationsperiode, bei dem jeder Kredit über einen Zeitraum entsprechend seiner Laufzeit oder Dauer einer ordnungsgemäßen Liquidation betrachtet wird. Oder es wird ein gemeinsamer Zeithorizont für alle Forderungen gewählt. Die meisten Banken wählen einen Zeithorizont von einem Jahr, weil dies unter anderem der typische Zeitraum ist, in dem neues Kapital beschafft werden kann, neue Informationen über die Kreditnehmer bekannt werden können und die Daten über Ausfallraten publiziert werden.

1 D ist eine Bernoulli Zufallsvariable, die mit der Ausfallwahrscheinlichkeit (default probability) P(D)=DP den Wert 1 annimmt. Kommt es im betrachteten Zeitraum zu keiner Insolvenz und der Schuldner kommt seinen Zahlungsverpflichtungen nach, so ist der Verlust gleich null, also L=0*EAD*LGD=0. Bei einem Ausfall (default) gilt L=1*EAD*LGD, wobei der Ausfall recht unterschiedlich definiert werden kann und i. d. R. von der juristisch gebräuchlichen Definition abweicht. So gilt je nach Bank ein Kredit als ausgefallen, wenn zum Beispiel Zahlungen überfällig sind, der Kredit abgeschrieben oder das Zwangsvollstreckungsverfahren eingeleitet wird. In Basel II wird ein Kreditausfall als gegeben angesehen, wenn entweder davon ausgegangen werden muss, dass der Schuldner seinen Kreditverpflichtungen mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht in voller Höhe nachkommen wird, ohne dass auf Maßnahmen (z. B. Verwertung von Sicherheiten) zurückgegriffen wird, oder eine wesentliche Verbindlichkeit des Schuldners mehr als 90 Tage überfällig ist^[10].

Die Ausfallquote LGD (loss given default) nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und wird bestimmt durch die Wiedergewinnungsrate (recovery rate, RR), genauer [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Wiedergewinnungsrate ist der prozentuale Anteil an den noch ausstehenden Forderungen, der bei Eintreten des Ausfalls an den Gläubi- ger geht. Diese schwer herzuleitende Variable hängt von vielen Faktoren wie zum Beispiel den Sicherheiten, den Kosten für das Konkursverfahren und dem Rang ab. Sie wird stochastisch oder in manchen Modellen deterministisch modelliert. Schätzungen beruhen oft auf Informationen aus internen historischen Daten, wel- che noch sehr spärlich sind, oder aus öffentlichen Daten der großen Ratingagenturen über historische Ausfallquoten von Unternehmensanleihen. Hierbei können sich z.

B. Schwierigkeiten ergeben, wenn das bankinterne Rating mit externen Ratings verglichen wird, um die entsprechende Wiedergewinnungsrate als Schätzwert ein- zusetzen^[11].

Der Term exposure at default (EAD) steht für den Risikobetrag und bezeichnet die Summe der ausstehenden Forderungen bei Ausfall. Bei einem gewöhnlichen Kredit wird das der Nominalwert des Kredits sein. Wenn aber zum Beispiel Kre- ditlinien vereinbart wurden, welche der Kunde bisher noch nicht beansprucht hat, kann man nicht einfach von EAD=0 ausgehen. Vielmehr muss man damit rech- nen, dass der Schuldner diese im Falle finanzieller Schwierigkeiten nutzen wird, um damit möglichen anderen finanziellen Verpflichtungen nachzukommen. Eine einfa- che Lösung wäre daher, von einem EAD in voller Höhe der zugesagten Kreditlinien auszugehen. Dies kann allerdings wieder zuviel sein, da die Bank die wirtschaftliche Situation des Kunden in der Regel überprüft und im Falle einer sich ankündigen- den Insolvenz die Zusagen zurückziehen kann. Als Lösung bietet sich nun folgender Ansatz an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

EAD besteht aus dem schon vergebenen Teil (outstandings, OUTST) und dem bis zum Insolvenzzeitpunkt beanspruchten Anteil β) der zur Zeit noch ungenutzten Kreditlinien (commitments, COMM). Dieser Anteil kann eine Zufallsvariable sein, vereinfachend nimmt man [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]aber oft als Erwartungswert der zugrunde- liegenden Zufallsvariable an. Im IRB-Basisansatz von Basel II wird zum Beispiel für Kreditzusagen β = 0 . 75 angenommen; im fortgeschrittenen Ansatz können die Banken unter gewissen Bedingungen eigene Schätzungen für β verwenden^[12].

Die Zufallsvariable L besteht also wiederum aus drei Zufallsvariablen, die miteinan- der multipliziert werden. Bei der Berechnung des erwarteten Verlustes (EL) stellt sich nun die Frage, ob wir es hier mit unabhängigen Zufallsvariablen zu tun haben oder nicht. So zeugen historische Daten zum Beispiel von einem Zusammenhang zwischen Ausfall und Wiedergewinnungsraten^[13]. In Jahren schlechterer wirtschaft- licher Bedingungen mit vielen Insolvenzen sinken auch die Wiedergewinnungsraten, was unter anderem an sinkenden Marktwerten der Sicherheiten liegen kann. Auch der Risikobetrag ist wohl nicht unabhängig vom Kreditausfall, wie oben schon an- gemerkt wurde. Dennoch geht man im Allgemeinen von der Unabhängigkeit der drei Zufallsvariablen aus, womit dann für den erwarteten Verlust gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die hier vorgestellte Modellierung des Verlustes eines Kredits beruht auf der buy- and-hold-Sichtweise, das heißt man geht davon aus, dass der Kredit bis zum Endfällig- keitszeitpunkt gehalten wird und interessiert sich daher auch nur für das Ausfall- risiko. Für eine Modellierung des Kreditrisikos unter dieser klassischen Sichtweise, auch Ausfallparadigma (default mode, DM) genannt, welche dem traditionellen Kreditgeschäft entspricht und aus dem in Deutschland immer noch der Großteil des Kreditrisikos herrührt, spricht zum Beispiel die leichte Berechnung^[14]. Dane- ben gibt es noch das Marktwertparadigma (mark-to-market, MTM), bei dem man den Kredit so behandelt, als würde er zu Beginn und zum Ende des Planungs- zeitraums marktgerecht bewertet, womit Kreditverluste als Differenz dieser beiden Werte auch durch eine Verschlechterung der Kreditqualität entstehen können, oh- ne dass es zum Ausfall gekommen ist. Die Messung der Kreditrisiken unter dem Marktwertparadigma ist zwar komplizierter, denn statt der zwei Zustände (Aus- fall oder kein Ausfall) müssen mehrere Zustände abhängig von der Kreditqualität berücksichtigt werden, doch ist gerade diese Mehrzustandswelt vorteilhaft, wenn handelbare Kredite betrachtet werden, welche auch durch die sich entwickelnden Secondary Markets immer mehr an Bedeutung gewinnen. So können dann auch Ri- siken von Kreditportfolien modelliert werden, die sowohl handelbare als auch nicht handelbare Kredite beinhalten, wobei auch letztere durch entsprechende Modelle bewertet werden^[15].

3.2 Modelle zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten und Wertveränderungen

3.2.1 Migrationsmodelle

Um jedem Kredit eines bestimmten Ratings eine Ausfallwahrscheinlichkeit zuzu- ordnen, also eine Abbildung Rating ↣ DPRating zu finden, kann man die von den Ratingagenturen gestellten Übergangsmatrizen^[16] heranziehen, welche die his- torischen Ausfallraten eines jeden Ratings sowie die relativen Häufigkeiten der Übergänge von einem Rating zum anderen angeben. Diese Daten sollten unter Umständen noch geglättet werden, so dass Inkonsistenzen der statistischen Da- ten eleminiert werden. Zum Beispiel möchte man selbst dem Rating AAA nicht die völlige Risikofreiheit unterstellen und weist diesem Rating eine positive Aus- fallwahrscheinlichkeit zu. Hat man dann jedem Rating entsprechende Ausfall- und Übergangswahrscheinlichkeiten zugeordnet^[17], so ist unter dem Ausfallparadigma bei einem Zeithorizont von einem Jahr nur die letzte Spalte von Interesse. Bei einem mehrjährigen Zeithorizont werden auch die Übergangswahrscheinlichkeiten genutzt, denn man multipliziert die Matrix einfach entsprechend oft mit sich selbst. So ergeben sich nach fünfmaligem Multiplizieren die entsprechenden Ausfall- und Übergangswahrscheinlichkeiten für einen Zeithorizont von fünf Jahren^[18], wobei in dieser Matrix wiederum nur die letzte Spalte von Bedeutung ist.

Unter dem Marktwertparadigma spielen die anderen Spalten auch bei einjährigem Zeithorizont (den die meisten Banken wählen) eine bedeutende Rolle, denn neben den Ausfallwahrscheinlichkeiten müssen auch Übergangswahrscheinlichkeiten berücksichtigt werden, welche die Bewertung des Kredits beeinflussen. Zur Bewertung eines Kredits geht man folgendermaßen vor:

Sei die Endfälligkeit in T und der Kredit habe das Rating [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Nun zieht man die Spreadkurve (sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Zinsspread der Ratingklasse Ri über t Jahre) des Ratings heran und diskontiert damit die zukünftigen Zah- lungsströme (et) ab, um den Wert zum aktuellen Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]zu berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Wert in einem Jahr werden die entsprechenden Forward Zinsen (sei ft 1(Ri) der Forward Zins vom nächsten Jahr bis t) benötigt, um für jedes mögliche Rating, das der Kredit dann haben kann, eine Bewertung durchzuführen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun kann man mit den geschätzten zustandsabhängigen Werten und den Wahrscheinlichkeiten aus der Übergangsmatrix den erwarteten Marktwert des Kredits in einem Jahr errechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Migrationsmodelle haben neben dem Vorteil der relativ einfachen Rechenbarkeit einige Nachteile, zum Beispiel bezieht sich das Rating auf die Ausfallwahrschein- lichkeit und die Wiedergewinnungsrate. Daher haben zwei Kredite desselben Ra- tings mit unterschiedlicher geschätzter Wiedergewinnungsrate auch unterschiedli- che Ausfallwahrscheinlichkeiten.

[...]

^[1] vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (1999, S. 1)

^[2] vgl. Jorion (2003, S. 393)

^[3] desweiteren müssen sie noch Reserven für Marktrisiken und operationelle Risiken zurücklegen, vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (2004, Teil 2, Abschnitte V und VI)

^[4] die Begriffe Ausfallwahrscheinlichkeit und Wiedergewinnungsrate werden im folgenden Kapi-tel erklärt

^[5] vgl. Crouhy et al. (2000, S. 60), Jorion (2003, S. 399) oder auch Bühler und Uhrig-Homburg (2000, S. 318-322)

^[6] vgl. Büschgen (1998, S. 924)

^[7] vgl. Hickman (2000, S. 537)

^[8] vgl. hier und im folgenden Bluhm et al. (2003, S. 16-27)

^[9] vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (1999, S. 15f)

^[10] vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (1999, S. 22f) und (2004, Absatz 452)

^[11] vgl. zu diesem Absatz Bluhm et al. (2003, S. 27) und Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (1999, S. 34f) sowie zu den Problemen bei Krediten ohne öffentliches Rating Kern und Rudolph (2001, S. 5ff) und Caouette et al. (1998, S. 236)

^[12] vgl. Bluhm (2003, S. 24-27), Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (2004, Absätze 308-316, 474-478)

^[13] vgl. Moody’s (2000, S. 8f)

^[14] vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (1999, S. 23f), Kern und Rudolph (2001, S. 2) und Credit Suisse First Boston (2004, S. 11)

^[15] vgl. Wilson (1998, S. 80)

^[16] siehe Tabelle 2 im Anhang

^[17] siehe Tabelle 3 im Anhang

^[18] siehe Tabelle 4 im Anhang, bei der die historischen relativen Häufigkeiten aus Tabelle 2 als Wahrscheinlichkeiten angenommen wurden