Fourierzerlegung anhand der Software MATLAB

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Ziel dieser Arbeit
1.3 Aufbau der Arbeit

2 Grundlagen
2.1 Definition der Software MATLAB
2.2 Definition der Fourier-Theorie
2.3 Definition der Fourierzerlegung
2.4 Definition der Approximationseigenschaften

3 Fourierzerlegung
3.1 Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals
3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten
3.3 Berechnung der Spektrallinien

4 Fazit

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1:Formel der Fouriertransformation

Abbildung 2: Ausgangsfunktion zur Aufgabe 1.1 aus der Aufgabenstellung

Abbildung 3: Quellcodeauszug

Abbildung 4: Berechnung in Form des Quellcode

Abbildung 5 : Quellcode-Grafikausgabe anzeigen

Abbildung 6: grafische Darstellung

Abbildung 7: Formel für die Reihenentwicklung aus der Aufgabenstellung REG40

Abbildung 8: Fourierzerlegung des periodischen Dreiecksignals grafisch dargestellt

Abbildung 9: Eingabewerte als Quellcode

Abbildung 10: Berechnung der FFT in Form des Quellcode

Abbildung 11: Erzeugung des Frequenzvektors als Quellcode

Abbildung 12: Abschnitt der grafischen Ausgabe. als Quellcode

Abbildung 13: Grafische Darstellung der Spektrallinien

1 Einleitung

1.1 Problemstellung

In diesem Assignment geht es um die Fourierzerlegung, welche anhand der Software MATLAB in Form von verschiedenen Aufgabenstellungen programmiert wird. Es wird kompakt auf die Software MATLAB und ihre Funktionen eingegangen, indem die Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals, einer Dreieckfuntktion aus den Fourierkoeffizienten, sowie Spektrallinien berechnet bzw. programmiert und grafisch dargestellt werden.

Dabei wird auf das Problem eingegangen, wie viele Faktoren berücksichtigt werden müssen um ein genaues Ergebnis zu erhalten.

1.2 Ziel dieser Arbeit

Das Ziel dieser Arbeit ist es, darzustellen in wie weit sich die Fourierzerlegung berechnen lässt und wie das Hilfsmittel (MATLAB) dabei genutzt werden kann.

1.3 Aufbau der Arbeit

Kapitel 1 stellt die Einleitung dar. Im Kapitel 2 werden die Grundlagen in Form von Definitionen der Software MATLAB, der Fourier - Theorie, Fourierzerlegung, sowie der Approximationseigenschaften dargestellt. Anschließend wird im Kapitel 3 die Berechnung der Fourierzerlegung an verschiedenen Beispielen mit der Software MATLAB aufgeführt. Im Anschluss folgt im Kapitel 4 das Fazit.

2 Grundlagen

Innerhalb der Grundlagen wird die Software MATLAB kompakt erläutert und die Begriffe Fourier-Theorie, Fourierzerlegung sowie die Approximationseigenschaften definiert.

2.1 Definition der Software MATLAB

Die Software MATLAB¹ kombiniert eine Desktop-Umgebung für iterative Analysen und Entwicklungsprozesse mit einer Programmiersprache, dabei wird die Matrix-basierte Mathematik direkt formuliert²

Ursprünglich war die Software MATLAB ein Benutzerinterface für bestimmte Standardroutinen der numerischen Algebra (Eispack, Linpack, Lapack) basierend auf Vektor und Matrizenoperationen. Das erste Programmpaket ist 1984 auf dem Markt erschienen.

Heute ist MATLAB in erster Linie ein Softwarepaket zur numerischen Berechnung und Visualisierung in verschiedenen Ingenieurwissenschaften oder aber auch in der Mathematik. Zudem verfügt die Software über eine Hochsprache mit interaktiver Umgebung.

Ein weiterer Bereich der MATLAB Software ist die grafische Entwicklungsumgebung, welche mit dem Plug in Simulink unter anderem genutzt werden kann. Dieses ist wiederum mit verschiedenen Tools ausgestattet.³

Im folgenden werden einige dieser Tools genannt:
- Stateflow
- Simscape
- SimMechanics
- SimElectronics
- SimDriveline^[4]

Abschließend lässt sich noch hinzufügen, dass die Software in vielen Bereichen eingesetzt wird, sei es zu Lern- bzw. Ausbildungszwecken in verschiedenen Hochschulen wie zum Beispiel in der AKAD University oder aber auch in diversen Unternehmen.

2.2 Definition der Fourier-Theorie

Die Definition von Wolfgang Bachmann in dem Buch “Signalanalyse - Grundlagen und mathematische Verfahren definiert die Fourier Theorie sehr präzise.
Sie lautet:

Die Fourier-Theorie hat einen mathematischen und einen technischen Anwendungsbereich. Im mathematischen Bereich geht es um die Kunst, Fourier - Integrale auszuf ü hren, Regeln f ü r die Umkehrbarkeit der Fourier - Transformationen zu finden und allgemeine Funktionseigenschaften von Original- und Bildbereich zu verkn ü pfen.

Der technische Anwendungsbereich gr ü ndet sich auf den engen Zusammenhang von LTI - Konzept und Fourier Theorie . Hier liefert die Fourier - Theorie unter anderem Denkmodelle zum Verst ä ndnis von Signalen im Umfeld von LTI-Systemen. ⁵

2.3 Definition der Fourierzerlegung

Innerhalb der Fourierzerlegung bzw. die Fourier-Transformation wird ein Signal mit einer Integraltransformation auf komplexe Exponentialschwingungen projiziert. Dabei ist bei dieser Exponentialschwingung die komplexe Frequenz rein imaginär d. h. es treten keine auf- oder abklingenden Schwingungen auf.⁶

Abbildung 1:Formel der Fouriertransformation

Das Transformationsergebnis X (jw) bei der Fourierzerlegung bzw. -transformation nennt sich sich Fourier-transformierte, Fourier-Spektrum oder aber auch komplexes Amplitudenspektrum. Wohingegen die Exponentialschwingung e j wt als komplexe Zeitfunktion definiert ist. Abschließend sei noch die Frequenz gennant, welches als die reelle Variable w bezeichnet wird.⁷

Abschließend sei noch hinzugefügt, dass die Fourier-Transformierte nur für bestimmte Klassen von Signalen existiert.

2.4 Definition der Approximationseigenschaften

Als Approximation versteht man in der Mathematik eine Eigenschaft von Banachräumen (Vektorräumen), bei der die Approximation als eine Annäherung verstanden wird. Das heißt, es werden mit gebotener mathematischer Strenge Phänomene untersucht, um zu prüfen in wie weit sie sich annähern lassen.⁸

3 Fourierzerlegung

Innerhalb des Kapitel 3 wird an verschiedenen Rechenbeispielen der Fourierzerlegung dargestellt und gleichzeitig gezeigt, welche Möglichkeiten die Software MATLAB bietet um diverse Ergebnisse bzw. Auswertungen zu erhalten.

Bei den verschiedenen Aufgaben handelt es sich um Vorgaben aus dem Assignment, welche mittels der Software gelöst werden.

3.1 Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals

Auf Grundlage der Aufgabenstellung (Aufgabe 1.1 des Assignment) soll ein M-File, welches imperativ mittels einer for-Schleife die Fourierzerlegung des periodischen Rechtecksignals darstellt programmiert werden.
Dabei gilt es folgende Parameter zu beachten:
- Impulshöhe a (Default: 1)
- Maximale Oberwelle fend (Default: 100)
- maximaler x - Wert xend (Default: 10)
- x-inkrement (Default: 0,01)

Des Weiteren soll das Programm auf unterschiedliche n, insbesondere auf n = 1, n = 5 und n = 100 getestet werden.
Abbildung 2: Ausgangsfunktion zur Aufgabe 1.1 aus der Aufgabenstellung
Im Folgenden ist das Ergebnis der ersten Aufgabe (Assignment; Aufgabenstellung 1.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals) als Quellcode sowie als Grafik aus der Software MATLAB dargestellt.

[...]

¹MATLAB ist ein eingetragenes Handelszeichen von der Firma The Mathworks Inc.

² Vgl.The Mathworks, 2017, o. S.

³ Pietruszka, 2014, S. 1

⁴ Pietruszka, 2014, S. 1

⁵ Bachmann, 1992, S. 30

⁶ Vgl. Girod, Rabenstein, Stenger, 2003, S. 187, ff.

⁷ gl. Girod, Rabenstein, Stenger, 2003, S. 187, ff.

⁸ V Vgl. Walz, 2016, S. 89