Zur Strukturanalyse von bedingt heteroskedastischen Zeitreihen

Universität zu Köln
Institut für Mathematik

Zur Strukturanalyse von bedingt heteroskedastischen Zeitreihen

Diplomarbeit

vorgelegt von

Natalie Kulenko

2005

Zusammenfassung

Autoregressive bedingt heteroskedastische Modelle (G)ARCH bilden eine Modellklasse, mit der stochastische Prozesse beschrieben werden können, deren Volatilität nicht konstant bleibt, sondern sich im Zeitverlauf verändert. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Modelltyp GARCH(1,1), der in der Praxis oft zur Beschreibung von Finanzzeitreihen eingesetzt wird (vgl. Bera und Higgins [2]).

Zuerst werden Kriterien für die Stationarität und für die Existenz und Endlichkeit von Momenten eines GARCH(1,1)-Prozesses erläutert. Danach werden einige in der Literatur vorgeschlagene Erweiterungen des Standardmodells vorgestellt und hinsichtlich der Existenz der stationären Lösungen und Momente untersucht. Anschließend wird im Rahmen der Change-Point-Analyse ein sequentieller Test zum Erkennen von Parameteränderungen eines stationären GARCH(1,1)-Prozesses detailliert beschrieben. Dazu wird das asymptotische Verhalten der entsprechenden Teststatistik untersucht und die Grenzverteilung der zugehörigen Stoppzeit bestimmt.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ...  3

2 GARCH(1,1) - Modell ... 5
2.1 Struktur ... 5
2.2 Momente  ... 7

3 Erweiterte GARCH(1,1) - Modelle ... 14
3.1 Struktur ... 14
3.2 Momente ... 20

4 GARCH(1,1) - Modell: Sequentielle Change-Point-Analyse ... 29
4.1 Motivation  ... 29
4.2 Parameterschätzung für GARCH(1,1) - Modell  ... 30
4.2.1 Darstellungen für GARCH(1,1) - Modell  ... 30
4.2.2 Die Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung  ... 34
4.2.3 Einige Hilfsresultate  ... 40
4.3 Test  ... 48
4.3.1 Teststatistik unter H0  ... 50
4.3.2 Teststatistik unter HA  ... 51
4.3.3 Beweis von Proposition 4.1  ... 52
4.3.4 Beweis von Satz 4.5  ... 59
4.3.5 Beweis von Satz 4.6  ... 74

Literaturverzeichnis ... 77

1 Einleitung

Bei finanzökonometrischen Zeitreihen wie Renditen von Aktien- oder Wechselkursen ist häufig beobachtet worden, dass die Renditen selbst zwar unkorreliert sind, ihre quadrierten Werte weisen dagegen seriell eine hohe positive Korrelation auf. Diese Besonderheit hängt damit zusammen, dass die Volatilität, d.h. die bedingte Streuung dieser Zeitreihen nicht konstant ist, sondern im Zeitablauf schwankt. Man bezeichnet diese Eigenschaft als bedingte Heteroskedastizität der Zeitreihe. Als Konsequenz bilden sich Volatilitätscluster: Phasen hoher Volatilität wechseln sich ab mit Phasen geringer Volatilität.

Zur Modellierung von Kapitalmarktdaten wird die Klasse der autoregressiven bedingt heteroskedastischen Prozesse (ARCH1 - Prozesse) eingesetzt. In diesem stochastischen Modell wird die bedingte Varianz als lineare Funktion von vergangenen quadrierten Werten der Zeitreihe dargestellt. Dadurch können die beschriebenen Charakteristika von Renditen gut abbilden werden. Eine weite Anwendung in der Finanzökonometrie findet insbesondere das verallgemeinerte ARCH - Modell (GARCH2 - Modell). Hier hängt die bedingte Varianz nicht nur von den vergangenen quadrierten Realisationen der Reihe, sondern zusätzlich von den bedingten Varianzen der Vorperioden ab. Das klassische GARCH-Modell dient außerdem als Grundlage für eine Reihe von modifizierten Modellen, die unter anderem die empirisch beobachtete Asymmetrie der Volatilität bezüglich des Vorzeichens vergangener Schocks nachbilden können. Eine Übersicht über die erweiterten Modelle findet sich z.B. in Engle und Ng [18].

Eines der wichtigsten Ziele der Modellierung von (ökonomischen) Zeitreihen ist die Prognose der zukünftigen Entwicklung. Man schätzt das Modell aus einer Stichprobe der Zeitreihendaten und versucht, damit die zukünftigen Werte vorherzusagen. Die Prognose kann aber nur dann zuverlässig sein, wenn die Parameter des zugrunde liegenden datenerzeugenden Prozesses über die Zeit stabil bleiben. Ansonsten muss das Modell angepasst werden. Das Vorliegen von solchen Strukturbrüchen kann mit Methoden der Change-Point-Analyse getestet werden.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem in der Praxis weit verbreiteten GARCH(1,1)-Modell von Bollerslev [9]. Eigenschaften wie Stationarität und Existenz von Momenten sollen untersucht werden. Der Schwerpunkt der Betrachtung liegt jedoch auf der Untersuchung des Prozesses nach Strukturbrüchen, genauer nach Parameteränderungen im Rahmen der sequentiellen Change-Point-Analyse. Der ursprünglich für allgemeine GARCH(p, q)-Prozesse entwickelte sequentielle Test von Berkes u.a. [6] soll für das GARCH(1,1)-Modell spezifiziert und detailliert erläutert werden.

Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut. In Kapitel 2 werden Bedingungen für die Stationarität sowie für die Existenz und Endlichkeit von Momenten der stationären 4 Verteilung des GARCH(1,1)-Prozesses vorgestellt. Kapitel 3 behandelt einige Erweiterungen dieses Modells. Es werden einheitliche Kriterien für die Existenz der stationären Verteilungen und Momente hergeleitet. Kapitel 4 beschäftigt sich mit der Change-Point-Analyse. Es folgt zuerst eine kurze Einführung in die Methode der sequentiellen Change-Point-Analyse, danach wird die Quasi-Maximum-Likelihood- Methode der Parameterschätzung eines stationären GARCH(1,1)-Prozesses beschrieben. Schließlich wird der sequentielle Test von Berkes u.a. [6] für das Aufdecken von Strukturänderungen beim GARCH(1,1)-Prozess ausführlich dargelegt. Dabei wird das asymptotische Verhalten der entsprechenden Teststatistik untersucht und die Grenzverteilung der zugehörigen Stoppzeit unter der Nullhypothese bestimmt.

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