Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
1. Einleitung... 4
1.1 Infektionskrankheiten und ihre Modellierung ... 4
1.2 Zombies und Epidemiologie... 6
1.3 Der Film ,,Zombieland"... 7
2. Das SI Modell ... 8
2.1 Annahmen des SI Modells... 8
2.2 Berechnung des SI Modells... 9
2.3 Beispielberechnung ... 12
3. Das SIS Modell ... 14
3.1 Annahmen des SIS Modells ... 14
3.2 Berechnung des SIS Modells... 14
3.2.1 Lösung des Gleichungssystems ... 14
3.2.2 Schwellensatz der Epidemiologie ... 16
3.3 Beispielberechnung ... 17
4. Das epidemische SIR Modell ... 19
4.1 Annahmen des epidemischen SIR Modells ... 19
4.2 Berechnung des epidemischen SIR Modells ... 19
4.2.1 Lösung des Gleichungssystems ... 19
4.2.2Schwellenbedingungen ... 20
4.3 Beispielberechnung ... 22
5. Untersuchung des Infektionsausbruchs im Film ,,Zombieland" ... 23
Abbildungsverzeichnis
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
N
Gesamtpopulation
S
Gesunde bzw. Infizierbare (susceptible)
I
Erkrankte bzw. Infizierende (infected)
R
Nicht mehr Infizierte (removed)
r
Infektionsrate (pro Zeiteinheit)
Kontaktrate (pro Zeiteinheit)
c
Wahrscheinlichkeit der Infektionsübertragung
R
0
Basis-Reproduktionszahl
R
e
Ersatzrate
Genesungsrate
4
1.
Einleitung
Schon seit Beginn der Menschheitsgeschichte stellen Infektionskrankheiten eine große Gefahr
für unsere Art dar.
Manche dieser durch Erreger (meist Bakterien, Viren, Pilze oder Parasiten) hervorgerufenen
Erkrankungen sind mittlerweile ausgestorben, wie zum Beispiel die durch Pockenviren
verursachten Pocken oder Blattern. Aber auch heute noch sterben nach Angaben der WHO
jedes Jahr Millionen von Menschen weltweit an Infektionskrankheiten wie AIDS oder Ebola.
1.1 Infektionskrankheiten und ihre Modellierung
Erreger werden direkt oder indirekt übertragen.
Von direkter Übertragung spricht man, wenn die Ansteckung über einen direkten Kontakt mit
der Infektionsquelle und ohne Zwischenschritte erfolgt. Hierbei unterscheidet man zwischen
Kontaktinfektionen, oralen Infektionen, aerogenen Infektionen, Infektionen durch
Hautverletzungen oder Übertragungen im Zuge einer Schwangerschaft.
Bei der indirekten Übertragung dagegen gelangt der Erreger über einen Zwischenträger, wie
z.B. Körpersekrete, Lebensmittel, Vektoren oder Aerosole, zum Endwirt.
Nicht jede Infektion führt zwingend zu einem Krankheitsausbruch und nicht jede Erkrankung
ist für den Menschen gefährlich.
Kommt es zur Ausbreitung einer Infektionskrankheit, so wird zwischen Epidemien, Endemien
und Pandemien unterschieden:
Epidemie =
zeitlich und örtlich in besonders starkem Maß auftretende, ansteckende
Massenerkrankung
Endemie =
örtlich begrenztes Auftreten einer Infektionskrankheit
Pandemie = sich weit ausbreitende, ganze Landstriche, Länder erfassende Seuche
(nach DUDEN, Das Fremdwörterbuch, 10. Auflage, 2010)
Die Wissenschaft, die sich mit der Verbreitung sowie den Ursachen und Folgen von
Krankheiten, insbesondere von übertragbaren Infektionskrankheiten, in Populationen befasst,
heißt Epidemiologie.
5
Die meisten dieser Krankheiten können mathematisch modelliert werden, um ihre Verläufe zu
untersuchen bzw. vorherzusagen.
Zu Beginn der 30er Jahre veröffentlichten William Kermack und Anderson McKendrick drei
Bände unter dem Titel ,,Beitrag zur mathematischen Theorie der Epidemien" und halfen
dadurch, die mathematische Biologie zu begründen.
Ihre Theorie basierte auf den Entdeckungen des britischen Militärarztes Ronald Ross (1857-
1932), der den Infektionsweg von Malaria untersuchte und für seine Ergebnisse 1902 den
Nobelpreis in Medizin erhielt.
Kermack und McKendrick entwickelten verschiedene Modelle, um unterschiedliche
Infektionswege von Krankheiten darzustellen. Dabei unterteilten sie die Population in
verschiedene Klassen, um den Krankheitszustand eines jeden Individuums zu beschreiben.
Für die in dieser Arbeit beschriebenen Modelle sind vier Klassen von Bedeutung:
-Susceptibles (S)
= Individuen, die mit der Krankheit noch nicht in Berührung
kamen und nicht immun sind (Infizierbare)
-Infectives (I)
= Infizierte Individuen, die die Krankheit weitergeben (Infizierte
bzw Infizierende)
-Removed/Recovered (R)
= Individuen, die die Krankheit nicht mehr weitergeben; sie sind
entweder gesundet und nun immun, oder aufgrund der Krankheit
verstorben und somit nicht mehr ansteckend (nicht mehr
Infizierende)
6
-Gesamtpopulation (N)
= Summe aller anderen Klassen; sie wird als konstant
angenommen, solange die betrachtete Zeitspanne kurz genug ist,
um Geburten- und Sterberate vernachlässigen zu können
Jedes Individuum ist Teil der Gesamtpopulation N, gehört aber zu einem bestimmten
Zeitpunkt nur einer Klasse S, I oder R an. Diese Klasse kann jedoch nach einem festgelegten
Schema gewechselt werden.
1.2 Zombies und Epidemiologie
Jede Art von Krankheitsausbreitung lässt sich durch ein entsprechendes Modell beschreiben.
Selbst eine fiktive ,,Zombieepidemie" könnte modelliert werden.
Heutzutage erfreut sich der Zombiemythos besonders bei der jüngeren Generation größter
Beliebtheit. Immer mehr Filme werden über die Untoten produziert, und im Internet finden
sich bereits etliche Anleitungen zum Überleben einer Zombieapokalypse.
Mit Wissenschaft scheint dies alles auf den ersten Blick nichts zu tun zu haben, doch geht
man von einem Virus als Ursache für den Zustand der Betroffenen aus, wie es beispielsweise
in der amerikanischen Filmkomödie ,,Zombieland" der Fall ist, so kann auch diese
Ausbreitung durchaus berechnet werden.
Die Beschäftigung mit einem fiktiven Zombievirus bietet außerdem einige Vorteile gegenüber
der Untersuchung eines alltäglichen Grippevirus.
Zum einen ist eine genaue Datenerhebung bei realen Infektionskrankheiten, besonders für
Laien, kaum möglich. Für eine fiktive Krankheit können dagegen selbstgewählte, wenn auch
realistische, Werte verwendet werden.
Zum anderen weckt die Diskussion über Zombies bei vielen weitaus größere Begeisterung,
als beispielsweise die Untersuchung von HI-Viren.
Beides kommt dem Ziel dieser Arbeit, nämlich dem anschaulichen Erklären verschiedener
Epidemiemodelle, maßgeblich zu Gute. Der Inhalt kann leichter vermittelt werden und stößt
bei den Lesern auf mehr Interesse.
7
1.3 Der Film ,,Zombieland"
Die 2009 veröffentlichte Horrorkomödie ,,Zombieland" von Ruben Fleischer nach dem
Drehbuch von Rhett Reese und Paul Wernick erzählt die Geschichte von vier Überlebenden
einer Zombieapokalypse. Diese begann, so erklärt der Protagonist Columbus, als ein Mann in
einem amerikanischen Schnellrestaurant einen Burger aß, der aus Fleisch bestand, das mit
einer sehr weit entwickelten Form von Rinderwahnsinn kontaminiert war.
Nach dem Online-Lexikon ,,www.wissen.de" ist die Bovine Spongiforme Enzephalopathie
(BSE bzw. Rinderwahnsinn) eine 1985 erstmalig beschriebene Infektionskrankheit von
Rindern, die durch fortschreitende Zerstörung des Gehirns gekennzeichnet wird und in der
Regel zum Tod führt. Übertragen wird diese Krankheit durch Prionen (infektiöse Proteine)
und es wird davon ausgegangen, dass diese durch den Verzehr von infiziertem Fleisch auch
auf den Menschen übergehen können.
Der Mann im Film, Columbus bezeichnet ihn als ,,Patient 0", wurde durch den Burger
infiziert und die Krankheit mutierte zum ,,Zombie-Wahnsinn". Dieser äußert sich durch die
Anschwellung des Gehirns, heftiges Fieber, den Verlust der Sprachfähigkeit und den Drang
zum Kannibalismus. Wird ein Mensch von einem Infizierten gebissen und überlebt dieses
Zusammentreffen, so wird die Krankheit übertragen. Innerhalb von nur zwei Monaten befiel
sie dadurch, bis auf wenige Ausnahmen, die gesamte Bevölkerung der USA.
Im Folgenden werden verschiedene mathematischen Modelle zur Modellierung eines
Epidemieverlaufs erklärt und im Anschluss verwendet, um den Ausbruch des Zombievirus,
der im Film ,,Zombieland" beschrieben wird, zu untersuchen.
Da die im Folgenden behandelten Modelle zu den einfachsten ihrer Art gehören und nach
einer konstanten Gesamtpopulation verlangen, wird für die in dieser Arbeit angestellten
Berechnungen angenommen, dass jeder Mensch eine Begegnung mit einem Infizierten
überlebt. Aufgrund der unvorbereiteten Bevölkerung kommt es jedoch bei 95% der
Interaktionen zwischen einem Infizierten und einem Infizierbaren zu einem Biss, der in jedem
Fall zu einer Infektion führt. Folglich liegt die Ansteckungswahrscheinlichkeit des ,,Zombie-
Wahnsinns" bei
.
Ende der Leseprobe aus 25 Seiten
- Arbeit zitieren
- Olivia Scheffer (Autor:in), 2017, Mathematische Modellierung der Epidemiologie. Epidemiologie eines Zombie-Virus, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/387148
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