Weiterentwicklung des MATLAB-Programmtools zur Eigenmoden-Abschätzung eines Schiffskörpers durch Kopplung mit einem Querschnittswerte-Programm für dünnwandige mehrzellige Kastenprofile

Inhaltsverzeichnis

DANKSAGUNG .. II

1 EINLEITUNG .. 1

2 GRUNDLAGEN .. 2

2.1 DIE THEORIE DER WÖLBKRAFTTORSION .. 2

2.1.1 Die freie Torsion .. 2

2.1.2 Die Wölbkrafttorsion .. 10

2.2 BERECHNUNG DER QUERSCHNITTSWERTE BELIEBIGER DÜNNWANDIGER QUERSCHNITTE .. 12

3 BESTIMMUNG DER ZELLENABSCHNITTE . 20

3.1 THEORIE DER BESTIMMUNG DER ZELLENABSCHNITTE .. 20

3.1.1 Aufbau der Matrix der Abschnittsliste .. 21

3.1.2 Positive Darstellung der Zellenabschnitte .. 22

3.1.3 Charakterisierung der Zellenabschnitte .. 25

3.1.4 Residuum der Zellenabschnitte .. 26

3.1.5 Filterung der Zellenabschnitte . 28

3.1.6 Darstellung des einzeln Abschnitts .. 31

3.1.7 Darstellung der gemeinsamen Zellenabschnitte mit den fiktiven Schnittpunkten .. 32

3.2 ZUSAMMENFASSUNG DES PROGRAMMS UND DIE ERWEITERUNG DES PROGRAMMS .. 34

4 DAS MUPAD-PROGRAMMS IN EINER MODULAREN FORM .. 42

4.1 AUFBAU DES MODULAREN PROGRAMMS .. 42

4.2 PROGRAMMERWEITERUNG .. 44

4.2.1 Import der Eingabedatei .. 45

4.2.2 Verarbeitung der Eingabedatei .. 45

4.2.3 Berechnung der Querschnittsfläche und des Flächenmoments .. 46

4.2.4 Berechnung des Verdrehwinkels und den Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsradien .... 46

4.2.5 Berechnung der Anzahl der Zellen und der Dicke-Zellen .. 47

4.2.6 Bestimmung des Schubflusses bei geschlossenen Profilen hier .. 48

4.2.7 Aufstellen der Matrix "FI_Zellen" und der Matrix "OM_Hilfe" .. 48

4.2.8 Berechnung der Wölbfunktion für evtl. vorhandene offene Profilteile .. 50

4.2.9 Berechnung von "It","OM", "A_w" und "OM_O" .. 50

4.2.10 Ermittlung der Verwölbung auf den Schwerpunkt und Wechsel des Bezugsystems .. 51

4.2.11 Berechnung der unbekannten Flächenmomente erster Ordnung der Verwölbung .. 51

4.2.12 Bestimmung der Wölbwerte bezogen auf den Schubmittelpunkt .. 52

4.2.13 Berechnung des Wölbmoments .. 52

4.2.14 Vorbereitung und Erstellung der Ausgabe .. 53

4.3 V ERIFIZIERUNG UND P ERFORMANCE DES P ROGRAMMS .. 55

4.3.1 Die Performance des MUPAD-Programms für die zur Verfügung gestellten Schiffskörper-Querschnitte .. 55

5 BERECHNUNG VON SCHIFFSKÖRPER-EIGENMODEN .. 60

5.1 E INBAU DES UMGESCHRIEBENEN Q UERSCHNITTSWERTE -M ODULS IN DAS BESTEHENDE MATLAB-P ROGRAMMTOOL .... 60

5.2 A NPASSUNG DER D ATENSTRUKTUREN FÜR DIE E INGABE .. 60

5.2.1 Erstellung der Querschnitts-Datei .. 61

5.2.2 Anpassung der Datenstruktur des bestehenden MATLAB-Programmtools .. 62

5.3 V ERIFIZIERUNG UND P ERFORMANCE DES P ROGRAMMS .. 63

5.3.1 Ausgewählte Eingabedatei zur Überprüfung der Rechnung .. 64

5.3.2 Durchführung der Testrechnung .. 64

6 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK .. 71

7 LITERATURVERZEICHNIS .. 72

1 Einleitung

Um Resonanzzustände zu vermeiden, spielt die effiziente Abschätzung von Schiffskörpereigenschwingungen eine sehr wichtige Rolle. Unter der Anwendung von CAS lassen sich die Eigenmoden des Schiffskörpers anhand von einfachen FE-Balkenmodellen ermitteln. Aller-dings sollten die benötigten geometrischen Querschnittswerte an mehreren Schnitten des Schiffskörpers genau ermittelt werden. Der Querschnitt des Schiffskörpers wird als dünnwandiges Profil beschrieben.

Im Rahmen dieser Masterarbeit ist das vorhandene MUPAD-Programm zur Berechnung der Querschnittswerte eines beliebigen dünnwandigen mehrzelligen offenen oder geschlossenen Querschnitts bezüglich der Ermittlung der Torsions- und Verwölbung algorithmisch zu optimieren. Insbesondere wird ein geeignetes allgemeines Verfahren entwickelt, dass die komplette Zellentopologie automatisch aus den geometrischen Eingabedaten des mehrzelligen Kastens, d.h. die gerichtete Abfolge der jeweiligen Zellenabschnitte, bestimmt. Das bestehende Querschnittswerte-Programms wird in eine modulare Form umwandelt mit Verifizierung anhand von Schiffsquerschnittsprofilen. Zuletzt wird das umgeschriebene Querschnittswerte-Modul in das bestehende MUPAD-Programmtool implementiert, um mit einer Testrechnung die Eigenmoden des Schiffskörpers zu ermitteln.

2 Grundlagen

In diesem Kapitel werden die Theorie der Wölbkrafttorsion und die Berechnung der Querschnittswerte beliebiger dünnwandiger Querschnitte kurz dargelegt. Für folgendes Kapitel sind die beiden Grundlagen allgemein wirksam und werden insbesondere im Kapitel 4 durch die Begründung der Codes der symbolischen Toolbox Matlab an der jeweiligen Prozedur konkretisiert.

2.1 Die Theorie der Wölbkrafttorsion

basierend auf gleichnamiger Quelle von Herrn PD. Dr.-Ing. Stanoev, Evgueni

,,Berechnung dünnwandiger Stabsysteme”, Skript SS 2013, Rostock : Lehrstuhl für Schiffstechnische Konstruktion, 2013

2.1.1 Die freie Torsion

Die allgemeine Torsion wird als die Verdrehung eines Stabquerschnitts beschrieben, die durch die Wirkung eines sogenannten Torsionsmoments entsteht.

[Abb. in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung 2.1: Stabkoordinatensystem, Schnitt- und Verschiebungsgrößen am differentialen Stabelement

Im Vergleich mit einer Zug/Druck- oder Biegebeanspruchung hat die Querschnittsform einen wesentlichen Einfluss auf die Berechnung des Spannungs- und Verformungszustands bei einer Torsionsbelastung. Es gibt drei Arten von Querschnitten, die dickwandigen Vollquerschnitte, die dünnwandigen offenen- und dünnwandigen geschlossenen (ein- oder mehrzelligen) Querschnitte. Wenn der Stab durch Torsion belastet ist, wird die Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte als Aufgabe gestellt, die tordierten Querschnitte weisen im Allgemeinen auch eine Verwölbung in Richtung der Stabachse auf. Dazu bilden die wölbfreien Querschnitte eine Ausnahme. In diesem Fall lassen sich alle rotationssymmetrischen Querschnitte oder Polygonquerschnitte, in die ein Kreis einschreiben. Im Übrigen gelten als quasiwölbfreie, dünnwandige offene Profile, bei denen die Mittellinien der Einzelrechteckabschnitte sich in einem Schubmittelpunkt M schneiden.

[Abb. in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung 2.2: Beispiele für wölbfreie und quasiwölbfreie Profile

Ohne Behinderung der Verwölbung entstehen keine Dehnungen in Längsrichtung, und danach keine Normalspannungen. In diesem Fall trägt der Schub nur die Torsionsmomente ab. Es wird in diesem Beanspruchungsfall als freie, reine oder St. Venant’sche Torsion bezeichnet. Für wölbfreie Querschnitte gibt es natürlich nur die freie, reine Torsion. Im Fall der nicht wölbfreien Querschnitte entsteht eine reine Torsion allein dann, wenn die letzten Querschnitte sich frei verwölben können und das Torsionsmoment entlang der Stabachse unveränderlich ist.

2.1.1.1 Kinematik der Verschiebung & Spannungen

Wir führen die hier folgenden Überlegungen der betrachteten Stäbe in einem kartesischen Koordinatensystem durch, das in den Stabmittelpunkt gelegt wird. Die Koordinate z sei die gerade Stabachse, y und z zeigen beliebige Querschnittsachsen. Die durch Dehnung, Biegung und Torsion entstehende Bewegung eines Querschnittspunktes (y, z) an der Schnittstelle x lässt sich mit den folgenden Gleichungen beschreiben:

[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten] (2.1) (2.2) (2.3)

[Abb. in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung 2.3: Torsionsanteile in den Durchbiegungsfunktionen u_y und zu

Zur Ermittlung der Verwölbung werden die Verschiebungsfunktionen der Stabachse zuerst abgeleitet:

[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten] (2.4-2.10)

2.1.1.2 Saint-Venantsche Torsion bei dünnwandigen Querschnitten

Neben Vollquerschnitten sind in der mechanischen Anwendung Näherungswerte für dünnwandige Querschnitte von großer Bedeutung. Das Modell der St-Venantschen Torsion bei dünnwandigen Querschnitten kann aus der entsprechenden Lösung schmaler Rechteckquerschnitte hergeleitet werden.

Zur Berechnung der Schubspannung bei dünnwandigen Querschnitten wird ein weiteres Koordinatensystem in die yz Ebene eingeführt, das aus der Umlaufkoordinate s und der Koordinate n besteht (Abb. 2.4).

[Abb. in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung 2.4: Darstellung der Schubspannung im dünnwandigen Stab

Um die Berechnung des Modells der St-Venantschen Torsion bei dünnwandigen Querschnitten durchzuführen, sollten folgende Voraussetzungen erfüllt werden:

- konstante Querschnittsfläche

- reine Torsionsbelastung

- Die Dicke der Profilwand ist viel kleiner gegenüber den jeweiligen Querschnittsabmessungen.

- Schubspannungen nur entlang der Profilmittellinie - linear über die Dicke t

Damit folgen die Schubspannungen:

[Formel in dieser Leseprobe nicht enthalten] (2.11) (2.12)

Anmerkungen:

- die ,,sekundäre“ Spannung ist hier null

[[Formel ist in dieser Leseprobe nicht enthalten]

- bei offenen oder geschlossenen Profilen ist der Schubfluss gültig

- bei geschlossenen Profilen existiert nur der Schubfluss

2.1.1.2.1 Kinematik – die Verwölbung dünnwandiger Querschnitte

Zur Bestimmung der Wölbfunktion wird jetzt noch die geometrische Beziehung hergeleitet. Der allgemeine Ortsvektor

[Formel in dieser Leseprobe nicht enthalten]

wird zwischen dem globalen yz-Koordinaten-System und diesem zweiten Bezugssystem eingeführt (Abb. 2.5).

[Abb. in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung 2.5: Geometrische Beziehungen zwischen dem globalen yz-Koordinaten-System und dem sn-Koordinaten-System

Der allgemeine Ortsvektor:

[Formel in dieser Leseprobe nicht enthalten] (2.13)

wobei die Vektoren r_s und r_t als normalen Winkelfunktionen ausgedrückt werden.

Die Zerlegung der Schubspannungen in Komponenten, bezogen auf das sn -Koordnaten-System:

[…]